精品解析：江苏盐城市东台市第一教育联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试卷

江苏省盐城市东台市第一教育联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测 数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1～3章） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 14 2. 若，则的值为（ ） A. 或2 B. 或4 C. 或3 D. 3或 3. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 4. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点C、D在上，连接、，则图中的弦共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 7. 直角三角形的两条直角边分别为和，则它的外接圆的半径为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 13 8. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 已知关于x的方程的一个根是2，则m的值为___________． 10. 等腰中，的长是关于x的方程的两根，则m的值是____． 11. 反比例函数 中，比例系数__________________． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，，若从升到，则的变化量为__________． 13. 一棵40年树龄的树，树干的横截面（圆形）直径为，则横截面的半径平均每年增加____________． 14. 已知的三边长分别是5，12，13，则外接圆的直径是________． 15. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在的____________（填“内”“上”或“外”）． 16. 如图，内接于，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线交于点，连接，则的度数为________． 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． （3）； （4）． 18. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 19. 如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点 B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒，()． （1）当t为何值时，点B在 的垂直平分线上? （2）连接，是否存在t的值，使得的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出时，的取值范围． 21. 如图，在中，、分别是半径、的中点，是上一点，． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 22. 已知：如图，是上的点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，是的直径，是的弦，如果 （1）求的度数． （2）若，求的长． 24. 如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求圆心到的距离． 25. 如图，正六边形内接于，已知的周长等于． （1）求的度数； （2）求正六边形的周长和面积． 26. 如图，已知． （1）用直尺和圆规作出的外接圆O； （2）若，，求的长度． 27. 问题情境： “康居课题学习小组”在学习扇形的面积公式时，对生活中所用的一次性纸杯（如图产生了兴趣，决定对制作这种纸杯的相关问题进行研究．（说明：整个探究过程中均忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度．） （1）任务1：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 测量方法一：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长，即为杯口直径．这里用到的几何知识是：_____；（请选择正确的序号填入） ①垂直于弦的直径平分弦；②的圆周角所对的弦是直径；③直径所对的圆周角是． 测量方法二：如图3，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为，另一边与杯口相交于，两点，利用刻度尺测得的长为．请求出此时杯口的直径； （2）任务2：测量出杯口直径后，用类似的方法测得杯底直径（如图4），杯壁母线长，请求出任务1中水杯的侧面积（如图5）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第一教育联盟2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测 数学试卷 （满分：150分，考试用时：120分钟，考试范围：1～3章） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】解：把代入方程， 得， 即， 解得. 2. 若，则的值为（ ） A. 或2 B. 或4 C. 或3 D. 3或 【答案】A 【解析】 【分析】将看作整体，换元后解一元二次方程． 【详解】解：设， 则原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得或， 即的值为或． 3. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系，方程的两根满足，， 代入， 原式． 4. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、B选项，分别为正比例函数和一次函数，均不符合反比例函数定义． C选项，中的次数为，不符合反比例函数定义． D选项，可化为，符合反比例函数定义． 5. 若反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限的条件列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得． 6. 如图，是的直径，点C、D在上，连接、，则图中的弦共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 【答案】B 【解析】 【详解】解：图中的弦有，共3条． 7. 直角三角形的两条直角边分别为和，则它的外接圆的半径为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】解题关键是明确直角三角形外接圆直径等于斜边长． 【详解】解：由勾股定理得，直角三角形斜边长为， ∵直角三角形外接圆的直径等于斜边长， ∴外接圆半径为． 8. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，建立与的关系． 【详解】解：∵， ， ， ． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 已知关于x的方程的一个根是2，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将已知的根代入原方程，可建立关于的一元一次方程，求解即可得到的取值． 【详解】解：将代入，得： ， 解得：． 10. 等腰中，的长是关于x的方程的两根，则m的值是____． 【答案】 16或25 【解析】 【分析】等腰中，可作为底边或腰，需结合一元二次方程根与系数的关系、三角形三边关系分情况讨论求解． 【详解】解：对于方程，两根为、，则， ∴； 由根与系数的关系可得，， 分两种情况讨论： ①、当为等腰三角形的底边时，， ∵， ∴， 此时三边长为5，5，8，满足任意两边之和大于第三边的三角形三边关系， ∴； ②、当为等腰三角形的腰时，不妨设， ∵， ∴， 此时三边长为8，8，2，满足三角形三边关系， ∴， 综上，的值为16或25． 11. 反比例函数 中，比例系数__________________． 【答案】 【解析】 【分析】将给定的反比例函数整理为标准形式，对比形式即可得到比例系数的值． 【详解】解：反比例函数的标准形式为，其中为非零常数 将给定函数变形，可得 将变形后的式子与标准形式对比，可得比例系数． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，，若从升到，则的变化量为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的电阻和电流值求出电压，再分别计算和对应的电流，两者的差值即为电流的变化量． 【详解】解：∵当时，，代入， ∴ ， ∴ 电流与电阻的函数表达式为， 当时，代入得， 当时，代入得， ∴的变化量为． 13. 一棵40年树龄的树，树干的横截面（圆形）直径为，则横截面的半径平均每年增加____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直径计算出当前横截面的总半径，再用总半径除以树龄，即可得到半径的年平均增加量． 【详解】解：∵树干的横截面（圆形）直径为， ∴半径为， ∵该树树龄为40年， ∴半径平均每年增加的长度为 14. 已知的三边长分别是5，12，13，则外接圆的直径是________． 【答案】13 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆的性质求直径即可． 【详解】解∶∵的三边长分别为，，， ∴ ， ∴是直角三角形，斜边长为， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边的长， ∴外接圆的直径是． 15. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在的____________（填“内”“上”或“外”）． 【答案】外 【解析】 【分析】比较点到圆心的距离与的半径的大小，依据点与圆的位置关系判定点的位置． 【详解】解：∵的半径，点到圆心的距离， ∴根据点与圆的位置关系， 当时，点在圆外， ∴点在外． 16. 如图，内接于，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线交于点，连接，则的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得；由作图过程可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：∵内接于，是的直径， ∴， 由题意可知：平分，即， ∵， ∴． 三、解答题（本题共11小题，共102分．） 17. 用适当的方法解方程． （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，； 【小问3详解】 解： 解得， 【小问4详解】 解：令， 则原方程为 解得， 当时， 解得， 当时， ，方程无解， 综上，，． 18. 已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求m的范围； （2）由题意可知，再由联立求出，再代入方程求m的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为a，b， ∴，又， ∴，解得， 将代入中，得， 解得 19. 如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点 B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒，()． （1）当t为何值时，点B在 的垂直平分线上? （2）连接，是否存在t的值，使得的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）时，点B在 的垂直平分线上； （2）存在，当时，的面积等于 ． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，再由题意确定，利用线段垂直平分线的性质得出，建立方程求解即可； （2）连接，根据题意得出，，然后利用面积建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形中，， ∴， ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点 B开始沿边向终点C以的速度移动． ∴， 点B在 的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得：， ∴时，点B在 的垂直平分线上； 【小问2详解】 连接，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵的面积等于 ， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴当时，的面积等于 ． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入​，即可求出的值，得到反比例函数解析式；因为点在反比例函数图象上，所以将点的横坐标代入已得的反比例函数解析式，即可求出的值，得到点的坐标，将两点坐标代入，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到和的值，得到一次函数解析式； （2）求时的取值范围，结合函数图象，找到一次函数图象在反比例函数图象下方（包括交点）的区域，结合两个交点的横坐标，以及反比例函数的限制，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入中得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入中得， ∴， 把，代入中得 ，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴结合图像可知，一次函数在反比例函数的下方（含交点）， 又∵反比例函数中， ∴或． 21. 如图，在中，、分别是半径、的中点，是上一点，． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）证明：连接，，，如图， ∵、分别是半径、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，，先利用“”证明，再利用“”证明，问题得证； （2）结合（1）中的结论，先得出，再证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是半径的中点，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 22. 已知：如图，是上的点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆心角，弦，弧之间的关系，证明即可； （2）根据圆的性质，三角形内角和，圆心角，弦，弧之间的关系，解答即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， ， ， 由（1）可知，， ， 的度数为． 23. 如图，是的直径，是的弦，如果 （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，据此求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案； （2）根据直径所对的圆周角是直角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴； ∵， ∴， ∴． 24. 如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求圆心到的距离． 【答案】（1） 证明：连接 平分， ， ， ， ， ， ，即， , 又是的半径， 是的切线． （2）4 【解析】 【分析】（1）先连接，利用角平分线得到相等角，再结合的等边对等角，进行等角代换，推出；已知，即可证得，完成切线证明； （2）求圆心到弦的距离，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂线平分弦，构造直角三角形，再用勾股定理直接计算垂线段长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点, 由垂径定理，得, ， ， 在中，， 由勾股定理： ， 圆心到的距离为． 25. 如图，正六边形内接于，已知的周长等于． （1）求的度数； （2）求正六边形的周长和面积． 【答案】（1） （2）正六边形的周长为18cm，面积为 【解析】 【分析】（1）连接，根据中心角定义求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可； （2）过点作于点，证明是等边三角形，结合的周长可求出的长度，然后根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算. 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵正六边形内接于， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ． 的周长等于， 的半径为． ，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 正六边形的周长为，面积为． 26. 如图，已知． （1）用直尺和圆规作出的外接圆O； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）圆O即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）三角形的外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可； （2）连接，，，设交于点D可得，根据等腰三角形三线合一性质得，可知为等边三角形，得到半径的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接，，，设交于点D， ， ． ，， 垂直平分，是等腰三角形， ， 为等边三角形， ， 的长度为． 27. 问题情境： “康居课题学习小组”在学习扇形的面积公式时，对生活中所用的一次性纸杯（如图产生了兴趣，决定对制作这种纸杯的相关问题进行研究．（说明：整个探究过程中均忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度．） （1）任务1：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 测量方法一：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长，即为杯口直径．这里用到的几何知识是：_____；（请选择正确的序号填入） ①垂直于弦的直径平分弦；②的圆周角所对的弦是直径；③直径所对的圆周角是． 测量方法二：如图3，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为，另一边与杯口相交于，两点，利用刻度尺测得的长为．请求出此时杯口的直径； （2）任务2：测量出杯口直径后，用类似的方法测得杯底直径（如图4），杯壁母线长，请求出任务1中水杯的侧面积（如图5）． 【答案】（1）②；此时杯口的直径为 （2） 【解析】 【分析】（1）测量方法一：根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； 测量方法二：设点为圆心，连接交于点，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，在中，，列出方程即可求解． （2）根据纸杯侧面是大扇形减去小扇形的扇环求解即可； 【小问1详解】 解：测量方法一：∵纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 测量方法二：如图，设点为圆心，连接交于点，连接． ∵为的切线， ， 又∵， ， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得， 所以杯口的直径为． 【小问2详解】 解：杯口周长为大扇形的弧长：， 杯底周长为小扇形的弧长：， 设小扇形的半径为，圆心角为， 根据弧长公式得： ， 两式相减得，解得，代入得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $