2027届上海市延安中学高三一轮复习一模综合模拟数学试卷

2027届延安中学高三一轮复习·高三一模模拟 参考答案及评分标准 填空题（1~12题） 1． 2. 6 3． 4． 2 5． 3 6． 1 7. 12 8. 529 9． 10. 11. 12. 2047 选择题（13~16题） 13. B 14. C 15. B （提示：独立性回归检验得到与商品品种有关，回归直线要剔除异常数据，2022年疫情） 16. A 解答题（17~21题） 17． （1） 因为，由正弦定理得，（1分） 又，则（1分），所以，（1分） 因为（1分），所以或．（2分） （2） 由三角形面积公式得，即，（1分） 又由余弦定理（1分），得， 从而有，（1分） 所以.（2分） 当（1分），即（1分）时，有最大值， 即的最大值为.（1分） 18． （1） 在三棱柱中，取中点，连接，（1分） 由点为正方形边中点，得（1分），则，（1分） 有，则，（1分） 由N是BC的中点，得，而（1分），于是，（1分） 又平面，（1分） 所以平面. （2） 显然，则，（1分） 由（1）知，又平面，于是平面，（1分） 而平面，则，显然直线两两垂直（1分）， 以点为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 则，（1分）， 设平面的法向量，则，令，得，（1分） 设直线与平面所成的角为，则，（1分） 而，解得，所以直线与平面所成角的大小为.（1分） 19． （1） 设事件：成功摘到最大麦穗；事件：最大麦穗出现在第个位置. 最大麦穗出现在每个位置的概率均等，故.（1分） 由全概率公式得.（1分） 当时，最大的麦穗落在前颗麦穗之中，不会被摘到，；（1分） 当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大值的一颗在前颗麦穗中， 此时：.（1分） 所以当，时，（1分） 又因为，（1分） 所以，即所求概率为.（1分） （2） 由全概率公式得.（1分） 因为，所以.（1分） 令. 所以（1分），令，即，则. 当时，，函数在区间是单调递增；（1分） 当时，，函数在区间是单调递减；（1分） 所以. 所以的最大值为（1分）且取最大值时的值为（1分）. 20． （1） 设两条“镜像双曲线”的离心率分别为 则有，，（1分）计算可得：（1分） 又知双曲线C的离心率为，则其“镜像双曲线”的离心率为（2分） （2） ①：由题意可知双曲线的渐近线方程为，（1分） 即，设， 则点P到直线的距离为（1分），点P到直线的距离为（1分）， 所以（3分） ②：双曲线的右焦点的坐标为， 因为过定点（2,0），（1分） 所以，所以， 则双曲线，（1分） 联立，消去得：，（1分） 则， 设，则，， 所以， ，（1分） 又右支两点，，所以，（1分） 因为点、、、满足：，， 所以，，所以四边形为平行四边形，（1分） 故与互相平分，点在直线上， 所以（1分），又，所以， 所以点的纵坐标为， 所以点的坐标为.（1分） 21． （1） 若，取，则代入化简满足（2分） 若，取，则代入化简得：满足题意（1分） ∴是“径向重叠函数”．（1分） （2） 由，化简得：（1分） 又，（1分）故（1分） 取，解得：，故函数过点（1分） 代入得：（1分） 解得：（1分） （3） 充分性：当为奇函数时，由为R上的偶函数，知定义域为R 若，任取，由（1）可知均满足条件（1分） 若，取，代入化简可得满足条件（1分） 则是“径向重叠函数”，充分性成立。 必要性：由（2）可得（1分） 构造，（1分） 又为偶函数；则，由引理可知，为常数（1分） 即，代入，解得：（1分） 则，则（1分） 又为R上的偶函数，故定义域为R（1分） ∴是奇函数，充分性成立。 综上：是“径向重叠函数”的充要条件是：是奇函数． ___________________________________________________________________________________________________ 思路提示： 【定义的几何本质】：其实，两边平方根据基本不等式取等条件可得；另外由几何意义向量共线，可知该定义本质为函数与过原点的倾斜直线至少有2个交点 【1小问】：根据数形结合，判断是，根据定义取点即可。 【2小问】：由（1）可得到思路，函数必过原点。 【3小问】：（1）（2）的两个函数其实都满足（3）性质，埋下伏笔，将核心与取值法涵盖其中，根据提示内容，顺承思路完成证明即可 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届延安中学高三一轮复习·高三一模综合模拟 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1. 本试卷的选择题均为单选题 1. 解答题需要写出必要的计算说明过程 1. 试卷共6页，请作答在答题纸上 1. 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．已知集合，则 ． 2．若等式恒成立，则 ． 3．函数的零点是 ． 4．若，则 ． 5．若圆锥的体积为，它的母线与底面所成角的大小为，则圆锥的表面积为 ． 6．若正实数满足和在同一处取最小值，则__________． 7．若对于任意实数，都有，则 ． 8．已知数据、、…、的平均数为3，方差为520，则、、…、的平均数为 ． 9．有4名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为 ． 10．若存在过点的直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围为 ． 11．已知中心在原点的椭圆的两个顶点和两个焦点的坐标都存在可表示为，则椭圆上的动点到点的点的距离的最大值为 ． 12．已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且，，若，则的取值集合的真子集的个数为__________． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13．函数在区间上的交点个数为（ ） A．646 B．645 C．644 D．643 14．已知随机变量服从二项分布，，则下列说法可能正确的是（ ） A．抛物线的焦点到准线的距离为 B．对随机变量，有 C．复数有 D．向量与向量共线 15．上海一家连锁便利店从2016年到2018年销售商品品种为2000种，从2019年开始全面升级，销售商品品种为3000种。下表列出了2016年至2025年的利润额（单位：万元）： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 利润额 30.0 40.0 44.0 50.0 55.0 60.0 42.0 70.0 80.0 90.0 参考数据：显著性水平， 参考公式：，， 其中 则下列说法中正确的是（ ） A．用2019年~2025年的年份-利润额回归直线模型可用于估测2026年利润额 B．用2019年~2021年，2023~2025年的年份-利润额回归直线模型可用于估测2026年利润额 C．用2016年~2025年的年份-利润额回归直线模型可用于估测2026年利润额 D．用2016年~2021年，2023~2025年的年份-利润额回归直线模型可用于估测2026年利润额 16．定义：设函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“跃增函数”．则以下结论（ ） （1）是的“跃增函数”． （2）若奇函数是函数的“跃增函数”，则也为奇函数． A．结论（1）（2）都成立 B．结论（1）（2）都不成立 C．结论（1）成立，结论（2）不成立 D．结论（1）不成立，结论（2）成立 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17．（本题共14分，（1）小问6分，（2）小问8分） 在中，角的对边分别为． （1）若，求：角的大小； （2）若边上的高等于，求：的最大值． 18．（本大题共14分，每小问均为7分） 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点．    （1）证明：平面； （2）若，求：直线与平面PMN所成角的大小． 19．（本大题共14分，每小问均为7分） 有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果他的学生两手空空走出麦田，因为他不知道前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗．设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为．（取） （1）若10，7，求：在摘到最大麦穗的条件下，最大麦穗出现在第颗的概率； （2）若取无穷大，从理论的角度，求：的最大值及取最大值时的值． 20．（本题共18分，（1）小问4分，（2）①小问6分，（2）②小问8分） 定义：我们把双曲线称为双曲线的“镜像双曲线”． （1）若双曲线C的离心率为，求：双曲线C的“镜像双曲线”的离心率； （2）设，分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于两点，点是坐标原点． ①：已知双曲线是双曲线的“镜像双曲线”，若点为双曲线右支上一点，过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，求：的取值范围； ②：设、，若点在直线上且满足：，，求：点的坐标． 21．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 定义：若定义域为R且在R上可导的函数，都存在另一点，使得：成立，则称为“径向重叠函数”． （1）试判断：是否为“径向重叠函数”并说明理由； （2）若是“径向重叠函数”，求：的取值集合； （3）若为R上的偶函数，求证：是“径向重叠函数”的充要条件是：是奇函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）） 第 1 页 共 2 页 2027届延安中学高三一轮复习·高三一模综合模拟·数学 学科网（北京）股份有限公司 $