上海市长宁区2026届高三上学期一轮质检数学试卷

2025学年第一学期高三年级第一次学科调研数学试卷 考生注意： 1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分. 3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设全集，若集合，则________. 2. 已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________ . 3. 设为虚数单位，若复数满足，则________. 4. 在二项展开式中，项的系数为______. 5. 设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______． 6. 若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_______．（结果保留） 7. 已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为__________. 8. 若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则__________. 9. 以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为__________. 10. 将棱长为的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积为_________. 11. 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是___________. 12. 已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为__________.（用含的式子表示） 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥 C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥 15. 我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的.现将沿折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 16. 设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（ ） A. 为严格减数列 B. 为严格增数列 C. 为严格增数列，为严格减数列 D. 严格减数列，为严格增数列 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 设函数的表达式为，其中. （1）设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； （2）若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期. 18. 如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 19. 2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. （1）求所抽取的“青年人”的人数； （2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 20. 如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于拋物线对称轴的线段组成.已知，拋物线的顶点到线段所在直线的距离为. （1）请用数学符号语言表达这个封闭图形边缘； （2）在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； （3）求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上. 21. 已知都是定义在实数集上的可导函数.对于正整数，当分别是和的驻点时，记，若，则称和满足性质；当，且时，记，若，则称和满足性质. （1）若，，判断和是否满足性质，并说明理由； （2）若，，且和满足性质，求实数的取值范围； （3）若的最小正周期为4，且，.当时，的驻点与其两侧区间的部分数据如下表所示： 1 3 0 0 0 极小值 极大值1 极小值 已知和满足性质，请写出的充要条件，并说明理由. 2025学年第一学期高三年级第一次学科调研数学试卷 考生注意： 1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分. 3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】2 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】2 【8题答案】 【答案】（答案不唯一，可以为或其它字母表示的表达式） 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】或 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1）80 （2）①答案见解析；②事件A与事件B不独立，理由见解析 【20题答案】 【答案】（1）详见解析； （2）； （3）证明见解析 【21题答案】 【答案】（1）和是满足性质，证明见解析 （2） （3），理由见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $