精品解析：陕西宝鸡市石油中学2026-2027学年高二上学期10月检测数学试题

2026-2027 学年宝鸡市石油中学高二 10 月检测数学试卷 （考试时间：120 分钟　试卷满分：150 分） 第一部分（选择题　共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（    ） A. 4 B. 5 C. 21 D. 26 3. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 7. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10. 在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，满足，，，四点共面 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点运动至中点时，平面截正方体的截面图形的面积为 第二部分（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 13. 已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为_________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线． 16. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年宝鸡市石油中学高二 10 月检测数学试卷 （考试时间：120 分钟　试卷满分：150 分） 第一部分（选择题　共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点间斜率公式求出直线斜率即可求倾斜角. 【详解】设的倾斜角为， 则由题可得直线斜率为. 故选：C 2. 若，则（    ） A. 4 B. 5 C. 21 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】先求的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：A. 3. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知  ，故直线的方程可化为  ， 由  ，  可得  ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 4. 如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，， ， . 5. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 6. 已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量夹角余弦公式计算，再结合同角三角函数关系得出正弦，进而应用面积公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 故选：A. 7. 点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线恒过点，由此可知到直线的最远距离为，最短距离为0，即可得答案. 【详解】解：将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于 到直线的最短距离为0，此时直线经过点． 又， 所以到直线的距离的取值范围是． 故选：B． 8. 在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，通过举反例即可说明命题不成立；对于B，按合并同类项后令两系数为零求定点；对于C通过斜率和纵截距判断直线位置即得；D分“截距不为0”与“截距为0”两类求直线，可得所给答案不全. 【详解】对于A，若取两直线的斜率，则对应的倾斜角分别为， 显然，故A错误； 对于B，由直线方程可得，因， 则有，解得、，即直线恒过定点，故B正确； 对于C，直线方程化成斜截式，可知其斜率大于零，纵截距大于零，则直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，过且在两轴上截距相等的直线有两类： 截距不为时，可设为，代入点解得，则直线方程为； 截距为时，可设为，代入点解得，即直线方程为， 即满足条件的直线有两条，故D错误. 10. 在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 11. 设正方体的棱长为，为线段上的一个动点，则运动过程中，下列说法正确的是（ ） A. B. 存在，满足，，，四点共面 C. 直线与平面所成角为定值 D. 当点运动至中点时，平面截正方体的截面图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】AC选项，建立空间直角坐标系，利用相关公式判断AC；B选项，当与重合时，四点共面；D选项，得到平面截正方体的截面图形，并计算出面积. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 则，则， 则，，A正确； B选项，因为，所以四点共面， 故当与重合时，四点共面，故存在点，使得四点共面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 由于，故不是定值，C错误； D选项，当点运动至中点时，取的中点，连接， 则且，所以四边形为平行四边形， 平面截正方体的截面图形为平行四边形，且， 面积为，D正确. 第二部分（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【解析】 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 13. 已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围，再求倾斜角范围． 【详解】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． （1）经过点且与直线平行的直线； （2）经过点且与直线垂直的直线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【小问1详解】 设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； 【小问2详解】 设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 16. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【小问1详解】 记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 【小问2详解】 ，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在梯形中，，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 易知． 因为是的中点，点是的中点， 所以，． ，． 设平面的法向量为， 则得 取，则，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）因为直线， 即，由，得， 所以直线恒过定点． （2）或 （3）的最小值为16，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）结合（2）可得，，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 由（2）及题意知，， 且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点. （1）求证：； （2）若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值； （3）在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为是等腰三角形，，是的中点， 所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. （2） （3） 不存在，理由如下： 假设线段上存在点，使得平面， 则设，. 因为，，， 所以. 因为平面，所以， 故，即， 解得，与矛盾，所以假设不成立. 因此线段上不存在点，使得平面. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理进行证明； （2）过点作直线，交于点，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行向量运算求解； （3）设，，利用空间向量的运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作直线，交于点. 因为，，所以，. 又因为平面，所以，， 故如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设平面的法向量，则，即. 令，则，，于是. 平面的法向量. 所以， 因此，锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $