精品解析：陕西省宝鸡南山高级中学2026-2027学年高二上学期阶段一考试数学试卷

宝鸡南山中学2025级2026～2027学年度高二第一学期阶段一考试试题 数　学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章～第十章，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某高中三个年级共有学生3000人，其中高一1100人，高二1000人，高三900人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取150人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高三年级应抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】高三年级应抽取的人数为. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 3. 数据2，2，3，5，5，7，8，10，12的第三四分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】已知数据共9个数，第三四分位数即为分位数，， 因此第三四分位数是第7个数：8. 4. 已知事件发生的概率分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件间的包含关系即可直接求解. 【详解】因为，所以. 5. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】因为，， 所以，所以或． 故选：D． 6. 从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】从，，，，这五个数中任取两个数， 有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、6和8、6和9、7和8、7和9、8和9共10种取法， 取出的两个数互质的可能有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、7和8、7和9、8和9共8种， 故这两个数互质的概率为. 7. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得， 设在基底下的斜坐标为， 则， 所以，解得， 故在基底下的斜坐标为. 8. 已知，，，四点共面，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算向量、、的坐标，再根据空间向量共面定理列出方程，最后解方程求出的取值. 【详解】根据题意，，，， 则，，， 因为四点共面，所以存在实数，使得， 所以，解得，所以． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若相互独立，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用随机事件概率的性质，以及独立事件概率的性质，即可逐个选项判断. 【详解】因为，未知， 所以不一定成立，A错； 若相互独立，则， 但独立未知，所以B错； 若，则，C正确； 若相互独立，则，D正确. 10. 在平行六面体中，，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，以作为基底，判断选项AB，结合数量积公式及变形和向量垂直的性质，即可判断选项CD. 【详解】由题知，， 且，， 所以，A正确， 又，B正确， 所以， 又，， 且， 所以，C错， 因为 ， 所以，D正确. 11. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出图1中点的坐标，建立空间直角坐标系，求出各点在空间坐标系中的坐标，即可对选项逐一判断得出结论. 【详解】在图1中，由函数的解析式可知； 在图2中，建立空间直角坐标系如下图所示： 则，可得， 对于A，因此可知，即A正确； 对于B，易知， 则点到直线的距离为，即B错误； 对于C，设平面的一个法向量为，又， 所以，令，则； 因此平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，因此C正确； 对于D，显然平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间三点共线，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，由三点共线，得到，代入坐标计算即可得解. 【详解】，， 共线，， ，，， . 故答案为： 13. 已知一组数据的方差为2，则数据的方差为________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据方差的性质求解. 【详解】因为数据的方差为2， 则数据的方差为． 14. 如图，在正三棱台中，，，分别是、的中点，若四点在球的球面上，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将正三棱台的侧棱延长，补成三棱锥，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设球心，半径为，则，列方程求解，得，再结合球体的表面积公式即可求解. 【详解】如图，延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连接，过作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱台中，，， 则，，， 设上底面的中心为， 在直角梯形中，，，， 所以，即， 又，， 即，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 设球的球心坐标为，半径为，则， 即，，，， 解得，，，， 所以球的表面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算求出相应坐标，再利用向量垂直关系即可求解； （2）根据空间向量模长公式以及平行关系即可求解. 【小问1详解】 由题意知， ， 所以，又， 所以， 解得. 【小问2详解】 因为，又， 设，又，所以， 解得， 当时，；当时，， 即向量的坐标为或. 16. 小郭和小张每下一盘棋，小郭胜的概率为0.3，小郭不输的概率为0.7. （1）若小郭和小张两人下一盘棋，求两人下成和棋的概率； （2）若小郭和小张连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求小郭至少有一盘棋胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式求解即可. （2）根据独立事件的概率乘法公式，结合对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 小郭和小张每下一盘棋，记“小郭胜”为事件，“和棋”为事件， 则，， 因为事件，互斥，所以， 所以. 【小问2详解】 记“小郭第盘胜”为事件，则，所以， 又，相互独立，所以， 所以小郭至少有一盘棋胜的概率. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是BC，的中点. （1）证明：直线平面； （2）求平面ABC与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 因为E，F分别是，的中点，则， 且平面，平面，所以直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面，平面， 则，，且，即，，两两垂直， 故以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．    因为，， 则，，，， 且E，F分别是，的中点，可得，． 因为平面，则是平面的一个法向量， 因为，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，可知是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 踢毽子，又叫“打鸡”.起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐，中国民间体育活动之一，是一项简便易行的健身活动，深受青少年儿童的喜爱.某校举办踢毽子比赛，在3分钟内，以踢毽次数为单位，累计单人踢毽子次数，以3分钟结束时的总次数为个人最后成绩.为了解全校参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了50人的成绩作为样本，将其整理后分为5组：，并作出了如图所示的频率分布直方图.学校规定成绩大于或等于全校成绩的80%分位数的参赛者获得“优秀奖”. （1）求频率分布直方图中的值； （2）参赛者甲的成绩是150，请用样本估计甲是否可以获得“优秀奖”； （3）在抽取的50人中，成绩在内的平均数为134，方差为，成绩在内的平均数为176，方差为102，求成绩在内的平均数和方差. 【答案】（1） （2）甲可以获得“优秀奖” （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1建立方程求解； （2）计算前几组的累计频率，确定80%分位数所在的区间，利用线性插值法求出分位数并与150比较； （3）先根据频率求出两组的人数，再利用分层数据的平均数和方差公式进行计算. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为， 所有矩形的面积之和为1， 即， 化简得， 解得 【小问2详解】 由（1）知， 前三组的频率之和为， 第四组的频率为， 因为 ，所以分位数位于第四组内. 设分位数为，则，解得 . 因为参赛者甲的成绩是， 所以甲可以获得“优秀奖”. 【小问3详解】 成绩在内的频率为，人数为，平均数，方差 . 成绩在内的频率为，人数为， 平均数，方差. 成绩在内的总人数为， 设成绩在内的平均数为，方差为，则 ， 由分层方差公式可得： . 所以成绩在内的平均数为，方差为. 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又，且与相交于点，平面， 所以平面， 又平面，故平面平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，先证明，再结合题意，可证平面，进而可证平面平面； （2）作，垂足为H，连接，根据面面垂直的性质可得平面，结合锥体的体积公式，可得四棱锥的体积，再结合不等式求得和的最大值，即可求解； （3）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，设以垂直于的直线为轴，为终边的角为，可得，再结合空间直线与平面所成角的计算公式，代入计算，结合三角函数的计算，即可求得其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在中，作，垂足为H，连接， 因为平面平面，平面与平面相交于，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 因为，所以． 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当取等号，所以． 又，所以． 所以四棱锥的体积， 即四棱锥体积的最大值为． 【小问3详解】 取的中点，以为原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由（1）知平面， 又平面，所以． 因为，所以， 因为，，所以，， 所以，所以，故， 设的中点为， 因为，，所以，，， 设以轴的正半轴为始边，以为终边的角为， 则，， 所以． 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 （其中）， 所以当，即时，有最小值，最小值为． 即， 所以直线与平面所成角的正弦值平方的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡南山中学2025级2026～2027学年度高二第一学期阶段一考试试题 数　学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章～第十章，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某高中三个年级共有学生3000人，其中高一1100人，高二1000人，高三900人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取150人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高三年级应抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A. B. C. D. 3. 数据2，2，3，5，5，7，8，10，12的第三四分位数为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 4. 已知事件发生的概率分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ） A. B. C. D. 或 6. 从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做向量在基底下的斜坐标.已知空间向量在基底下的斜坐标为，则在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，四点共面，则实数（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若相互独立，则 10. 在平行六面体中，，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，分别是图象的一个最高点和最低点，是图象与轴的交点，，垂足为，现将该卡片沿轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间三点共线，则_________． 13. 已知一组数据的方差为2，则数据的方差为________． 14. 如图，在正三棱台中，，，分别是、的中点，若四点在球的球面上，则球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 16. 小郭和小张每下一盘棋，小郭胜的概率为0.3，小郭不输的概率为0.7. （1）若小郭和小张两人下一盘棋，求两人下成和棋的概率； （2）若小郭和小张连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求小郭至少有一盘棋胜的概率. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是BC，的中点. （1）证明：直线平面； （2）求平面ABC与平面夹角的余弦值. 18. 踢毽子，又叫“打鸡”.起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐，中国民间体育活动之一，是一项简便易行的健身活动，深受青少年儿童的喜爱.某校举办踢毽子比赛，在3分钟内，以踢毽次数为单位，累计单人踢毽子次数，以3分钟结束时的总次数为个人最后成绩.为了解全校参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了50人的成绩作为样本，将其整理后分为5组：，并作出了如图所示的频率分布直方图.学校规定成绩大于或等于全校成绩的80%分位数的参赛者获得“优秀奖”. （1）求频率分布直方图中的值； （2）参赛者甲的成绩是150，请用样本估计甲是否可以获得“优秀奖”； （3）在抽取的50人中，成绩在内的平均数为134，方差为，成绩在内的平均数为176，方差为102，求成绩在内的平均数和方差. 19. 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）若的面积为1，求直线与平面所成角的正弦值平方的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $