精品解析：陕西宝鸡市渭滨中学2026-2027学年第一学期高二第一次质量检测数学试卷

渭滨中学 2026－2027 学年第一学期 高二年级第一次质量检测考试数学试题 考试时间：2026 年 10 月 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分） 1. 已知空间向量，，且，则（ ） A. -10 B. C. D. 10 2. 直线l1：mx+4y+3=0，l2：2x+（m+2）y+3=0，若l1∥l2，则m的值为 A. –4 B. 2 C. –4或2 D. 4或–2 3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 已知点，，是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成120°的二面角.若，，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 已知平面与平面垂直，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为 （ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C. 若斜率的取值范围是，则直线倾斜角 D. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则（　　） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 13. 经过两直线： 与 ： 的交点，且垂直于直线 的直线方程是______． 14. 已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为__________． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量 ，． （1）求向量 ，并求 ； （2）若 ，求 的值； （3）若 ，求 的值． 16. 三角形的顶点是， 求： （1）边所在直线的方程． （2）边上的高所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程． 17. 如图，在平行六面体中，，．设，，． （1）用基底表示向量，； （2）证明：平面． 18. 如图，在直三棱柱中，，，棱，点、分别是、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： （1）求的模； （2）求； （3）求证：. 19. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭滨中学 2026－2027 学年第一学期 高二年级第一次质量检测考试数学试题 考试时间：2026 年 10 月 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分） 1. 已知空间向量，，且，则（ ） A. -10 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】因为，所以， 即， 解得. 2. 直线l1：mx+4y+3=0，l2：2x+（m+2）y+3=0，若l1∥l2，则m的值为 A. –4 B. 2 C. –4或2 D. 4或–2 【答案】A 【解析】 【分析】由m（m+2）﹣4×2=0，解得m，利用直线平行的充要条件经过验证即可得出． 【详解】由m（m+2）–4×2=0，解得m=–4或m=2， 经验证，当m=2时，两条直线重合，舍去， ∴m=–4， 故选A． 【点睛】本题考查了直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定与性质以及法向量和方向向量的关系判断即可. 【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知： 由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”， 所以“”是“”的充分必要条件，故C正确. 4. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入投影向量公式计算即可. 【详解】因为空间向量，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 6. 若点，关于直线l对称，则l的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程. 【详解】由题意可知AB中点坐标是， ， 因为A，B关于直线l对称， 所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， 即， 故选：A. 【点睛】本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为求解，属于简单题. 7. 已知点，，是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可. 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 8. 以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成120°的二面角.若，，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的定义得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，设点D到平面ABC的距离为h，运用等体积法可求得答案. 【详解】解：由已知得，所以是和折成120°的二面角的平面角，所以， 又，所以， ，所以， 因为，其中，所以点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离， 设点D到平面ABC的距离为h， 因为，，所以平面BDC，所以AD是点A到平面BDC的距离， 所以， 又中，，所以， 所以，则，所以，解得， 所以的最小值为， 故选：C. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 已知平面与平面垂直，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为 （ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据平面与平面垂直可得平面对应的法向量的数量积等于0，进而根据向量数量积的坐标运算进行求解即可. 【详解】已知平面与平面垂直，可得平面的法向量与平面的法向量数量积等于0. 已知平面的一个法向量为， 对于A选项，由于，故A正确； 对于B选项，由于，故B错误； 对于C选项，由于，故C正确； 对于D选项，由于，故D错误； 10. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C. 若斜率的取值范围是，则直线倾斜角 D. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的定义，即可判断选项． 【详解】对于选项A.若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零， 所以该选项错误，符合题意； 对于选项B.若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误，符合题意； 对于选项C.若斜率的取值范围是，则直线倾斜角， 所以该选项正确，不符合题意； 对于选项D.若直线的斜率为，但是直线的倾斜角不是，而是， 所以该选项错误，符合题意． 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则（　　） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系后，利用和，即可得到平面，可判断A选项，求出的面积，用向量法求出到平面的距离，然后根据锥体体积公式计算可得到三棱锥的体积为定值，可判断B选项，利用向量法分别求出异面直线与所成角，直线与平面所成角的向量表达式，然后根据的取值范围确定角的范围，可判断C,D选项. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则， 对于A，， ，， ，， 又平面，且， 平面，A选项正确. 对于B，设，其中， 由题意可得是边长为的等边三角形，其面积， 平面的法向量为，， 故到平面的距离, 则三棱锥的体积为定值， B选项正确. 对于C，，， 记异面直线与所成角为， 则 ， ，， 即，，C选项正确. 对于D，, 记直线与平面所成角为， 则， 当时，的最大值为，D选项错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】方程，即，由 可得， 所以方程所表示的直线恒过的定点坐标为． 13. 经过两直线： 与 ： 的交点，且垂直于直线 的直线方程是______． 【答案】 【解析】 【详解】由 ，解得，则直线与交于点， 设过点且垂直于直线 的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. 14. 已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解. 【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对，使得,即， 所以 ， 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量 ，． （1）求向量 ，并求 ； （2）若 ，求 的值； （3）若 ，求 的值． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解. （2）利用空间向量共线的坐标表示求解. （3）利用空间向量垂直的坐标表示求解. 【小问1详解】 向量 ，则，. 【小问2详解】 依题意， ， 由，得，解得， 此时，符合题意， 所以的值为. 【小问3详解】 依题意，，， 由，得， 解得， 所以的值为. 16. 三角形的顶点是， 求： （1）边所在直线的方程． （2）边上的高所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程． 【答案】（1）． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，结合截距写出直线方程； （2）先算出的斜率，利用两直线垂直斜率之积为得到高的斜率，代入点C求直线方程； （3）求出中点及斜率，由垂直关系得到垂直平分线斜率，再利用点斜式写出方程． 【小问1详解】 因为， 所以直线的斜率，直线在轴上的截距， 故直线的方程为，即． 【小问2详解】 由已知， 由得：，解得， 直线过点，则直线的方程为：，即． 【小问3详解】 取中点，则，， 设其垂直平分线斜率为，则，解得， 故直线的方程为，即． 17. 如图，在平行六面体中，，．设，，． （1）用基底表示向量，； （2）证明：平面． 【答案】（1），. （2）证明：设，则，同理 ， ，，， ，. ， ，平面，且， 平面. 【解析】 【分析】（1）根据向量的三角形法则和平行四边形法则用基底表示出，， （2）用基底表示出，然后利用数量积为0得到，，最后利用线面垂直的判定定理可得到平面. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 略 18. 如图，在直三棱柱中，，，棱，点、分别是、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： （1）求的模； （2）求； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3） 证明：根据题意，可得，为中点，所以， ，，所以， 所以，即. 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，根据条件确定图形中每个点的坐标. （1）分别找出，的坐标，求出向量，再用模长公式即可； （2）分别求出向量，利用向量的夹角公式求解； （3）求出向量，，说明即可证明. 【小问1详解】 如图，以为原点，，，分别作为x，y，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 根据题意，可得，，， 因为为中点，所以， 所以. 【小问2详解】 根据题意，可得，，，， 故，， 所以. 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. ，，，四边形是矩形，. ，，. ，、底面，故底面. 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. ， ，又平面，故平面. （2）平面与平面的夹角为. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，证明与法向量垂直，得到线面平行； （2）求两个平面各自法向量，套二面角公式计算； （3）参数表示，用点到平面距离公式列方程，解，求. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ， 设平面法向量，则 ，，取，，. ，， 设平面法向量， ，，取，，. . 平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 ，设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ，令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 此时点坐标为. ，. 【点睛】（1）先利用长度关系证明底面，建立空间直角坐标系，线面平行证向量与平面法向量垂直； （2）二面角用两平面法向量夹角求解； （3）动点存在性依靠参数设点，借助点面距离公式列方程，最后检验参数范围判断点是否在线段上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $