精品解析：四川省仁寿第一中学校（北校区）2026-2027学年上学期高二年级十月质量监测数学试题

仁寿一中北校区2026-2027学年上期高二年级十月质量监测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 3. 对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（ ） A. 概率太小，不可能发生 B. 1000次中一定发生1次 C. 1000人中，999人说不发生，1人说发生 D. 1000次中有可能发生1次 4. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 6. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事作A为“第一次出现1点”，B为“第二次出现6点”，则有（ ） A. A与B互斥 B. C. A与B相互独立 D. 7. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 8. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的极差是1 C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的方差是2 10. 已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，则 B. 如果，则 C. 如果A，B相互独立，则 D. 如果A，B相互独立，则 11. 某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.04 B. 估计样本成绩的众数约为85 C. 估计样本成绩的上四分位数约为87.5 D. 若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某同学记录了仁寿县2026年8月中旬连续6天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：31，29，32，35，35，34，则这6个数据的中位数为____________． 13. 已知空间向量，，若，则____________． 14. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）求向量的模长； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 16. 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； （2）若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率． 17. 天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都降雨的概率； （2）甲、乙两地都不降雨的概率； （3）至少一个地方降雨的概率. 18. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且. （1）求证：； （2）求EF与CG所成角的余弦值. 19. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区2026-2027学年上期高二年级十月质量监测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，抽样比为，则由，解得. 3. 对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（ ） A. 概率太小，不可能发生 B. 1000次中一定发生1次 C. 1000人中，999人说不发生，1人说发生 D. 1000次中有可能发生1次 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件概率的意义，即可判断选项. 【详解】概率是千分之一，是指事件发生的可能性为千分之一，每一次发生都是随机的， 每一次可能发生，也可能不发生，1000次中有可能发生1次. 故选：D 4. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数. 【详解】在空间直角坐标系，关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数， 所以P关于平面对称点是， 故选:C 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 6. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事作A为“第一次出现1点”，B为“第二次出现6点”，则有（ ） A. A与B互斥 B. C. A与B相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件“第一次出现1点”和“第二次出现6点”可以同时发生，判断A,B;根据事件A的发生与否对事件B没有影响，判断C;进而根据，计算，可判断D. 【详解】由于“第一次出现1点”和“第二次出现6点”可以同时发生，故A与B不互斥， 所以，故A，B错误； 由于事件A的发生与否对事件B没有影响，故A与B相互独立，C正确； 由于 ,且A与B相互独立，故,D错误， 故选:C. 7. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. 8. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的极差是1 C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的方差是2 【答案】AD 【解析】 【详解】A：数据中9共出现3次，出现次数最多，因此众数为9，正确. B：数据最大值为10，最小值为6，极差为，错误. C：平均数，错误. D：方差，正确. 10. 已知事件A，B，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，则 B. 如果，则 C. 如果A，B相互独立，则 D. 如果A，B相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件的运算及概率公式即可判断AB；根据相互独立事件的乘法公式即可判断CD. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为A，B相互独立，所以，故C错误； 对于D，因为A，B相互独立，所以相互独立， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，旨在引导同学们深入学习人工智能伦理规范与相关法律知识，争做负责任的AI技术传播者．竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.04 B. 估计样本成绩的众数约为85 C. 估计样本成绩的上四分位数约为87.5 D. 若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于90分 【答案】ABC 【解析】 【分析】由所有矩形的面积和为1，求出的值，即可判断A；由众数的定义求出其值，即可判断B；求出上四分位数，即可判断C；由题意可得绩不低于90分的同学占总体的，即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，设样本的众数为，则，故B正确； 对于C，设样本成绩的上四分位数为， 由题意可得， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为成绩不低于90分的同学占总体的，不满足题意，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某同学记录了仁寿县2026年8月中旬连续6天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：31，29，32，35，35，34，则这6个数据的中位数为____________． 【答案】 【解析】 【详解】气温数据从小到大依次为，当数据个数为偶数时，中位数是排序后中间两个数的平均值， 这组数据中间的第3个和第4个数分别是32和34，计算得中位数为. 13. 已知空间向量，，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【详解】若两个空间向量互相垂直，则它们的数量积为0. 已知向量，，，可得，解得. 14. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，， 则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率， 故该密码被成功破译的概率． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，． （1）求向量的模长； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先利用坐标公式求出向量的模，再根据空间向量数量积坐标运算求得，接着计算的模，最后代入向量夹角公式，计算并分母有理化，得到两向量夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， 故与的夹角余弦值为. 16. 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； （2）若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率． 【答案】（1），中位数为（分） （2） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积之和为即可求出，再根据频率分布直方图求出中位数即可； （2）分别求出和的市民人数，再根据古典概型即可得解. 【小问1详解】 由题意可得， 解得， 由， 可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为， 则，解得， 所以此次问卷调查分数的中位数为（分）； 【小问2详解】 的市民有人，记为a，b， 的市民有人，记为1，2，3，4， 则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种， 则所求概率为. 17. 天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都降雨的概率； （2）甲、乙两地都不降雨的概率； （3）至少一个地方降雨的概率. 【答案】（1）0.06 （2）0.56 （3）0.44 【解析】 【分析】 （1）根据独立事件概率性质,代入即可求解. （2）根据互斥事件概率的求法,,代入即可求解. （3）根据对立事件概率性质, “至少一个地方降雨”与“甲乙两地都不降雨”互为对立事件,即可代入求解. 【详解】设事件“甲地降雨”,事件“乙地降雨”,则事件与相互独立. 由题意知. （1）； （2）； （3）. 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,互斥事件与对立事件概率性质的应用,属于基础题. 18. 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且. （1）求证：； （2）求EF与CG所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图，     则根据题意可得：，，， ， ，， ，即， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量证明垂直关系即可证明结果； （2）根据空间向量求线线夹角的方法求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ， 又与所成角的范围为， EF与CG所成角的余弦值为． 19. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【答案】（1）游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求游戏一，游戏二的获胜概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数，利用古典概型求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而求出游戏三获胜的概率的范围，据此可求值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以， 所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得徽章”，“先玩游戏三，获得徽章”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $