精品解析：四川成都高新区金苹果创知路培训学校2026-2027学年高二上学期半期核心素养发展评估数学试题

2026～2027学年上期半期核心素养发展评估 数 学 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5. 考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图可知，第5日和第8日的空气质量指数大于， 则天中有两天空气质量为重度污染， 所以所求概率为． 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 3. 已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共面求解即可. 【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则共面， 即存在唯一一组实数，使得， 可得，解得， 故选：A 4. 在以下命题中，正确的命题有（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 D. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：若共线时，显然共面， 则只能表示和共面的向量， 对于空间中的任意向量则不一定成立，故C错误； 对于D：因为，满足， 由共面向量定理知四点共面，故D正确. 5. 某班按座位将学生分为两组，第一组人，第二组人，现采取分层抽样的方法抽取人，再从这人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，第一组抽取2人，第二组抽取3人，5人中安排两人打扫卫生，共有10种安排方法，两人来自同一组的情况共有4种，故所求概率为.选B . 6. 如图，已知平行四边形，，且，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则A与C之间距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 平面与平面所成角的余弦值为， ， ， ， ， 则，即与之间距离为， 故选：C． 7. 在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 和为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断. 【详解】事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，. 和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误； ，， 事件的基本事件有，，则， 所以和为相互独立事件，B正确； ，， 事件的基本事件有，，则， 故和不为相互独立事件，C错误； 和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误. 8. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为8，样本方差为，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的运算公式和性质、平均数的公式，运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】设这个班参加书法小组的人数从小到大依次为． 记（），则， ，且为互不相等的整数． 显然，否则不符合题意． 如果，则有且， 只能有，矛盾． 另一方面，由于，，，， 所以，即．若时上述各不等式等号成立， 只能有，，，，与矛盾． 因此，且，，，，时所有条件均满足． 因此． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法正确的是（ ） A. B. 评分在的人数约为20 C. 估计评分的平均数为76 D. 估计评分的下四分位数为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A：由频率之和为1得，解得，故A正确； 对于选项B：评分在的频率为，故人数约为20，故B正确； 对于选项C：估计平均数为故C错误； 对于选项D：下四分位数频率为0.25，第一组的频率为，第二组的频率为， 故下四分位数在区间内，设为，则，解得 ，故D正确. 10. 正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直．点分别在正方形对角线和上移动，且．则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题给位置关系，建立空间坐标系，再逐项判断即可. 【详解】已知正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，故， 对于A，设直线AC与BF的夹角为，则，，故A错误； 对于B，， ， ， ，平面的法向量为， ，，平面， 平面，故B正确； 对于 C，， ， 函数开口向上，对称轴为， 当时取得最小值，最小值为，故C正确； 对于D，当时，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则点到平面的距离为：，故D正确． 11. 设样本空间，每个样本点等可能出现．已知事件，，事件同时满足：①，②，则（ ） A. 事件可以为 B. 事件包含的样本点数可能是 C. 事件包含的样本点数可能是 D. 事件可能的情况数是种 【答案】AC 【解析】 【分析】代入集合 C 验算，两个条件均满足，A 正确；若 ABC 含 2 个样本点，会与条件②矛盾，B 错误；可构造合适集合 C，使 AC 仅有 1 个样本点，C 正确；满足条件的 C 共 16 种，不是 8 种，D 错误. 【详解】由题意可知，． 对于A，当时，，，，满足题意，所以A正确． 对于B，由①可知，即．由②可知，即． 若，则，故．因此，不满足题意，所以B不正确． 对于C，取，则， ，满足题意，所以C正确． 对于D，由②可知，否则．由B可知是的倍数且， 所以，从而． 由①可知，所以． 由②可知，所以．由此可知和有且只有一个属于，因此或． 如果，则满足条件的可能是由中的个数和中的个数构成的集合， 有，，，，，， ，共种可能； 如果，则只可能由中的个数与中的个数及和构成的集合， 有，，，，，，，共种可能． 因此的可能情况有种，所以D不正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出x的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角， 所以且与不共线， 因为，， 所以，且， 解得，且， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 设，是两个随机事件，且，，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【详解】由于，当时等号成立． 而，故，当为必然事件时等号成立． 因此的取值范围是． 14. 正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点，，满足，，，，，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，根据位置关系及空间向量共面定理，存在实数使且，从而得到，最后应用棱锥的体积公式及基本不等式求体积最小值，注意取值条件. 【详解】设正四面体的顶点为原点，，，， 已知正四面体棱长为，所以，且两两夹角为， 因为点为正四面体外接球的球心，也是其中心， 所以， 由题设，，，点在平面上， 根据空间向量共面定理，存在实数使且， 所以， 因为不共面（线性无关），所以，，， 所以，即，整理得， 由于，得， 三棱锥与三棱锥共顶点，且分别在棱上， 根据体积比公式， 要求的最小值，即求的最小值， 由，则， 即，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 正四面体的体积为， ， 所以三棱锥体积的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，对正方体­，，，分别是和的中点. （1）求到的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离； 【小问2详解】 由（1），已有， 所以，​，， 设异面直线与所成角为，则. 16. （1）如图，在长方体中，已知.若对角线上存在一点P使得，求的取值范围； （2）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且．过作于，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，由转化为二次方程在有解进行求解即可. （2）先证明平面，将作为平面的法向量，直接代入线面角公式算出正弦值即可. 【详解】（1）以为原点，分别以作为轴正向，建立空间直角坐标系. 则. 设， . 则，. 由题意得. 因为对称轴为， 故，解得. （2）在正方形中，， 已知平面，平面，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ，则， 平面的法向量为． 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值等于． 17. 如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面． （1）证明：； （2）求； （3）求平行六面体的体积． 【答案】（1）连接、，因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的性质定理及其判定定理证明即可得； （2）借助线面垂直性质定理可得，再利用空间向量线性运算法则计算可得的长度，最后借助空间向量模长与数量积关系计算即可得解； （3）利用空间向量线性运算法则及模长与数量积关系与夹角公式计算可得，过点作于点，可得为平行六面体的高，求出菱形ABCD的面积后，再借助体积公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， ，， 则， 即， ， 又，，设的长度为， 故，解得，负值舍去， 又， 故 ， 所以； 【小问3详解】 ， 又， 故，故， 过点作于点，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面ABCD，AC，BD为相交直线， 所以平面ABCD，故为平行六面体的高， 菱形ABCD的面积为， 则平行六面体的体积为. 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对题可获得天会员；连续答对题可获得天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题题题的顺序答题，求甲获得天会员的概率； （2）若，且第一次答题，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）剩余答题顺序为第二次答题，第三次答题 （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可； （2）讨论甲按题题题的顺序答题，及按题题题的顺序答题的概率，比较两种情况的概率即可判断； （3）两端题目的位置互换不影响结果，故只需按中间那道题分类，求出不同题位于中间时的相应概率，由题1位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，列式求解即可. 【小问1详解】 若，且甲按题题题的顺序答题，甲获得天会员的概率为. 【小问2详解】 甲按题题题的顺序答题， 获得会员的概率为； 甲按题题题的顺序答题， 获得会员的概率为， 因为，所以剩余答题顺序为第二次答题，第三次答题. 【小问3详解】 两端题目的位置互换不影响结果，故只需按中间那道题分类： 题在中间时的获奖概率为：， 题在中间时的获奖概率为：， 题在中间时的获奖概率为：， 由题意可得，解得， 所以的取值范围是. 19. 如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，． （1）当时，设三棱锥的各个顶点都在球心为的球上． （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； （2）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）（i）由题意，，， 而，平面， 所以平面．而平面，所以平面平面． （ii）． （2）． 【解析】 【分析】（1）（i）通过证明平面，证得平面平面；（ii）建立空间直角坐标系，设，由，求得球心，进而可求球的半径； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其最小值. 【小问1详解】 （i）略 （ii）过作平面，建立空间直角坐标系（如图）， 则，，，由（i）可知． 由于四面体的外接球球心在平面上的射影是的外心， 于是可设．由，可得，解得． 从而球的半径等于． 【小问2详解】 由（1）可设，其中，则，且． 由，，， 设平面的法向量，平面的法向量 ，, 可取平面的法向量，平面的法向量． 设二面角的大小为，易知， 则． 设，则． 由于，所以． 因此当，即时，二面角的余弦值取最小，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年上期半期核心素养发展评估 数 学 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5. 考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 在以下命题中，正确的命题有（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 D. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 5. 某班按座位将学生分为两组，第一组人，第二组人，现采取分层抽样的方法抽取人，再从这人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为 A. B. C. D. 6. 如图，已知平行四边形，，且，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则A与C之间距离为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 和为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 8. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为8，样本方差为，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法正确的是（ ） A. B. 评分在的人数约为20 C. 估计评分的平均数为76 D. 估计评分的下四分位数为 10. 正方形的边长为1，且它们所在的平面互相垂直．点分别在正方形对角线和上移动，且．则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 平面 C. 当时，的长最小，且最小值为 D. 当的长最小时，点到平面的距离为 11. 设样本空间，每个样本点等可能出现．已知事件，，事件同时满足：①，②，则（ ） A. 事件可以为 B. 事件包含的样本点数可能是 C. 事件包含的样本点数可能是 D. 事件可能的情况数是种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______. 13. 设，是两个随机事件，且，，则的取值范围是__________ 14. 正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点，，满足，，，，，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，对正方体­，，，分别是和的中点. （1）求到的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. （1）如图，在长方体中，已知.若对角线上存在一点P使得，求的取值范围； （2）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且．过作于，求直线与平面所成的角的正弦值． 17. 如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面． （1）证明：； （2）求； （3）求平行六面体的体积． 18. 某平台推出答题赢会员活动，共设置道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对题可获得天会员；连续答对题可获得天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题题题的顺序答题，求甲获得天会员的概率； （2）若，且第一次答题，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 19. 如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，． （1）当时，设三棱锥的各个顶点都在球心为的球上． （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； （2）求二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $