精品解析：黑龙江省大庆市肇源县二站镇第二中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期初四数学试题 考试时间：120分钟 总分： 120 分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m， 则树的高度为（ ） A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m 8. 如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF =NM= 2，ME = 3，则AN = A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在菱形中，， E、F分别是的中点相交于点 G，连接．有下列结论: ①；②； ③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题(每小题3分，共24分) 11. = ,则=_____ 12. 已知α、β是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如图，分别是的边上的点，，则和的周长之比为 __ ． 14. 若，则______． 15. 若方程2x2-8x+7=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长,则这个直角三角形的斜边长是______. 16. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为___________ 17. 四边形是正方形，延长到点E，使，则________ 18. D，E分别是的边，上的点，．若，则的值为_______ 三、解答题(共66分) 19. 先判断根的情况，再求出根与系数的关系． （1） （2） 20. 选择恰当的方式求解方程 （1） （2）=1 21. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 22. 如图，在中，点是延长线上的一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为，求的面积． 23. 已知关于的方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若2是该方程的一个根，求代数式的值． 24. 在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． （1）在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________； （2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上） （3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且． 求证：四边形是菱形． 25. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 26. 如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． （1）请直接用含t的代数式表示的长和的长； （2）当t等于何值时，与相似？ 27. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 28. 解答下列问题： （1）探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且，相交于点O，猜想与之间的数量和位置关系，并说明理由． （2）如图2，在矩形中，点F为的中点，点E为边上的点，且于点O，若，求的长． （3）如图3，在矩形中，点E，F分别是边上的点，垂直平分于点O，若请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期初四数学试题 考试时间：120分钟 总分： 120 分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】需注意各特殊四边形判定定理的适用前提，逐一验证选项． 【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误； B、 对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形无法判定为矩形，错误； C、 平行四边形的对边相等，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，错误； D、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形判定条件． 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 4. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 5. 在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、由能判定是矩形，该选项符合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由平分能判定是菱形，该选项不合题意； 故选：． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据一元二次方程的定义得到，根据方程有实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 7. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m， 则树的高度为（ ） A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似， 设树高x米，则，即 ∴x=8 故选C． 8. 如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质逐一判断即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，A选项正确； ∵， ∴， ∴，B选项正确； ∵ ∴即：， ∴，C选项正确； ∵，， ∴D选项不正确． 9. 如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF =NM= 2，ME = 3，则AN = A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可. 【详解】如图， 在菱形ABCD中，∠1=∠2， 又∵ME⊥AD，NF⊥AB， ∴∠AEM=∠AFN=90°． ∴△AFN∽△AEM， ∴， 即 解得AN=4 故选B. 10. 如图，在菱形中，， E、F分别是的中点相交于点 G，连接．有下列结论: ①；②； ③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质说明，是等边三角形，可得，再根据等腰三角形的性质得，即可解答①；再根据“边边边”证明，可得，进而得出，即可说明②；然后根据直角三角形的性质可得，即可解答③；最后根据三角形中线的性质可得，即可得说明④即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形，且， ∴是等边三角形， ∴． ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，则①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，则②正确； ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴与不全等，则③不正确； ∵是等边三角形，点E，F分别是的中点， ∴， ∴， 即，则④正确， 所以正确的有3个． 二．填空题(每小题3分，共24分) 11. = ,则=_____ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ，且，. 将代入待求分式， 得 . 12. 已知α、β是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解的定义得到，进而得到，根与系数的关系得到，整体代入法计算求值即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴； 故答案为：2． 13. 如图，分别是的边上的点，，则和的周长之比为 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知条件证明出和相似，再利用相似三角形的周长之比等于相似比解答即可． 【详解】解：， ， 和的周长之比． 14. 若，则______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．分两种情况讨论：与时，再进行计算即可． 【详解】解：若，则，，， 此时，， 若，则， 综上所述，k的值为或2． 故答案为：或2． 15. 若方程2x2-8x+7=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长,则这个直角三角形的斜边长是______. 【答案】3 【解析】 【分析】先设x、y是方程的两根，根据根与系数的关系可得x+y==-=-=4，x•y==，结合勾股定理可求斜边平方，再求算术平方根即可． 【详解】设x、y是方程的两根，根据题意得： x+y=-=-=4，x•y==， ∴斜边2=x2+y2=（x+y）2-2xy=42-2×=9， ∴斜边==3． 【点睛】本题考查根与系数的关系、勾股定理．解题的关键是掌握根与系数的关系，注意完全平方公式的灵活利用． 16. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点，则菱形的面积为___________ 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出的长，进而得到的长，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 17. 四边形是正方形，延长到点E，使，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，由可得是等腰三角形，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据计算即可． 【详解】四边形是正方形 ，  ．  ，  ． ． 18. D，E分别是的边，上的点，．若，则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出，证明，，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 三、解答题(共66分) 19. 先判断根的情况，再求出根与系数的关系． （1） （2） 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；两根之和为，两根之积为． （2）方程有两个不相等的实数根；两根之和为，两根之积为． 【解析】 【分析】（1）首先确定方程的各项系数，计算根的判别式判断根的情况，然后推导根与系数的关系． （2）首先将方程整理为一般形式，确定方程的各项系数，计算根的判别式判断根的情况，然后推导根与系数的关系． 【小问1详解】 解：对于方程， ，，， 方程有两个不相等的实数根， ，． 【小问2详解】 对于方程，整理为一般式为， ，，， 方程有两个不相等的实数根， ，． 20. 选择恰当的方式求解方程 （1） （2）=1 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）选用因式分解法求解 ． （2）选用直接开平方法求解 ． 【小问1详解】 解：对， 因式分解，得  ， ∴或．  解得，． 【小问2详解】 解：对， 两边同乘3，得  ， 开平方得 或 ． 解得，． 21. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，得出，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，由勾股定理可得，从而列方程求出，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 22. 如图，在中，点是延长线上的一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1） 四边形是平行四边形， ，， ， ． 四边形是平行四边形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明两角对应相等，两三角形相似即可． （2）首先证明，，利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，结合已知条件，由即可解决问题． 【小问1详解】 解：略． ，，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键． 23. 已知关于的方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． （2）30 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，据此可计算判别式进行求证； （2）将代入原方程，整理得到关于m的等式，计算化简后，整体代入求代数式的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程中， 得，即； ∴． 24. 在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． （1）在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________； （2）对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上） （3）通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且． 求证：四边形是菱形． 【答案】（1）相等，相等且互相垂直 （2）一组邻边相等的矩形（答案不唯一） （3）证明：连接交于点，如图 四边形是正方形， ，，． ， ， 即． 又， 四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形，正方形的判定进行求解即可； （2）根据正方形的判定进行求解即可； （3）连接交于点，根据正方形的性质，得到，，，继而推导出，得到四边形是平行四边形，再根据，可得到四边形是菱形，即可解答． 【小问1详解】 解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形， 即在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为相等，相等且互相垂直； 【小问2详解】 解：由一组邻边相等的矩形是正方形，可知 横线上的答案为一组邻边相等的矩形（答案不唯一）； 【小问3详解】 略 25. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是______； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【小问1详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； 【小问3详解】 解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 26. 如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． （1）请直接用含t的代数式表示的长和的长； （2）当t等于何值时，与相似？ 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 27. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），； （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个； （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）略 28. 解答下列问题： （1）探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且，相交于点O，猜想与之间的数量和位置关系，并说明理由． （2）如图2，在矩形中，点F为的中点，点E为边上的点，且于点O，若，求的长． （3）如图3，在矩形中，点E，F分别是边上的点，垂直平分于点O，若请直接写出的长． 【答案】（1）且， 理由是：四边形是正方形， ，， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ． （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，，求出，求出即可； （2）证明，则，结合已知条件可求，进而解决题目； （3）由（2）知，则，已知，所以，设，则，因为垂直平分，所以，在中，勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，点F为CD的中点，CF=2， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：连接， 由（2）知， ∴， ， ∴， ∴， 设，则， ∵垂直平分， ∴， 在中， （舍） ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $