精品解析：黑龙江省大庆市肇源县第二中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025-2026学年度上学期初三数学期中质量评估 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2. 若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A. m+2＞n+2 B. 2m＞2n C. ＞ D. m2＞n2 【答案】D 【解析】 【详解】A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确； C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确； D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误； 故选：D． 3. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ） A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°， ②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解，得出不等式组的解，再在数轴上的表示出解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和解集的表示，解题关键是熟练运用解不等式组的方法求解，准确在数轴上表示解集． 5. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 7. 如果是一个完全平方式，那么a 的值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央． 通过将给定二次式与完全平方式的标准形式比较，利用系数对应关系求解． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故选：D． 8. 将一把直尺与一把三角尺如图所示放置，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板的有关计算，三角形的外角性质，对顶角相等，由题意得，，，则有，然后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 9. 如图，，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则 的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，含30度角的直角三角形，根据角平分线的定义和含30度角的直角三角形，求出的长，垂线段最短得到当时，最短，根据角平分线的性质，得到即可． 【详解】解：∵平分于点， ∴， ∴， ∵点是射线的一个动点， ∴当时，最短，此时． 故选：B． 10. 如图，O是等边内一点，，以B为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．则下列结论：①可以由绕点B逆时针方向旋转得到；②连接，则；③；④．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足为，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确． 【详解】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ，故②正确； 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，故③正确； 在中，，， ∴， ∴ ∴， ，故④错误， 综上所述，正确的结论为：①②③． 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题(每小题3分，共24分) 11. 多项式的公因式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查公因式的确定，根据公因式的概念求解即可．熟练掌握找公因式的要点是解题的关键，特别注意首项系数应为正数．找公因式的要点是：公因式的系数是多项式系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取次数最低的． 【详解】解：∵多项式有三项， ∴，，中系数的公因数是，字母部分公因式为， ∴多项式的公因式是． 故答案为：． 12. 如图，沿方向平移到 的位置，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，直接利用平移的性质即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE的长为 ． 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：因为ED垂直平分 BC，所以BE=CE,在Rt△BDE中，因为∠B=30°，ED=3，所以BE=2DE=6，所以CE=BE=6． 考点：1．线段的垂直平分线的性质；2．直角三角形的性质． 14. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“大大小小”无解可求a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的不等式组无解， ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解题关键是熟知不等式组解集确定的方法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小则无解． 15. 如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直定义，直角三角形的性质，由角平分线定义得，又，则，根据直角三角形性质可得，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______°． 【答案】50或130 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， ∴； 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：50或130． 18. 若关于x的不等式的正整数解只有三个，则a的取值范围是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键． 解不等式，得到，再由不等式只有3个正整数解，从而得到答案． 【详解】解：， 移项得， 两边同时除以3得， ∵不等式只有3个正整数解， ∴正整数解为，且不是解， 因此， 两边同时乘以3得． 故答案为：． 三、解答题（共计66分） 19. 因式分解 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）使用完全平方公式分解即可； （2）使用平方差公式分解即可； （3）先提取公因式，再使用完全平方公式分解即可； （4）先提取公因式，再使用平方差公式分解即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 20. 解不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组． （1）分别求出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分即可； （2）分别求出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分即可． 【小问1详解】 解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2) ． (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． (2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】 (1)如图所示：△A1B1C即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2即为所求； （3）(0，－2) 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）旋转中心坐标（0，﹣2）． 作图－旋转变换；作图－平移变换． 【点睛】本题考查作图一旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 22. 利用因式分解化简求值： （1）已知，， 求代数式的值 （2）已知：，求代数式的值 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）把原式化为，将，代入计算即可； （2）把原式变形为，将代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴． 23. 如图，在 中，，，的垂直平分线分别交，于点，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：由（）得， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，由是的垂直平分线， 所以，则，可求，根据含的直角三角形的性质得，所以，从而求证； （）由（）得，然后通过角平分线性质即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点． (1)求证：△ACE≌△BCD； (2)若AD＝5，BD＝12，求DE的长． 【答案】 （1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形 ∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90° ∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA ∴∠ACE=∠BCD ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）13 【解析】 【分析】（1）先根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，再结合等腰直角三角形的性质即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质可得AE=BD，∠EAC=∠B=45°，即可证得△AED是直角三角形，再利用勾股定理即可求出DE的长． 【详解】（1）略 （2）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形 ∴∠BAC=∠B=45° ∵△ACE≌△BCD ∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45° ∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°， ∴△EAD是直角三角形 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等. 25. 定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： （1）__________，当时，__________； （2）若，求的取值范围； （3）如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新定义即可求解； （）由题意得， 然后解不等式即可； （）由，得，再通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 26. 某体育用品商店购进一批运动鞋款和款，已知一双款的进价比一双款的进价多元，并且购进双款和双款的价格相同． （1）问每双款和每双款的进价分别是多少元? （2）该商店计划用元购进这两款鞋共双，则本次采购时最多可以购进多少双款鞋? （3）在（）的条件下，每双款的售价为元，每双款的售价为元，该 商店销售完这双鞋能否实现利润为元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）款进价元，款进价元； （2）最多可以购进双款鞋； （3）能，采购方案为款双，款双． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，列出方程和不等式是解题的关键． （）设每双款的进价是元，则每双款的进价是元，根据题意得，然后解方程即可； （）设购进款鞋双，则购进款鞋双，根据题意得，然后解不等式即可； （）设采购方案款双，款双，根据题意得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：设每双款的进价是元，则每双款的进价是元， 根据题意得，，解得：， ∴每双款的进价是元， 答：每双款的进价是元，则每双款的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进款鞋双，则购进款鞋双， 根据题意得，， 解得：， 答：最多可以购进双款鞋； 【小问3详解】 解：设采购方案为款双，款双， 根据题意得，， 解得：， ∴购买款双， 答：能实现利润为15000元的目标，采购方案为款双，款双． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期初三数学期中质量评估 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若m＞n，下列不等式不一定成立的是（ ） A. m+2＞n+2 B. 2m＞2n C. ＞ D. m2＞n2 3. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ） A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 7. 如果是一个完全平方式，那么a 的值是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 将一把直尺与一把三角尺如图所示放置，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则 的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 10. 如图，O是等边内一点，，以B为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．则下列结论：①可以由绕点B逆时针方向旋转得到；②连接，则；③；④．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题(每小题3分，共24分) 11. 多项式的公因式是_______． 12. 如图，沿方向平移到 的位置，若，则______． 13. 如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE的长为 ． 14. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______． 15. 如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ______． 16. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 17. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______°． 18. 若关于x的不等式的正整数解只有三个，则a的取值范围是_______________ 三、解答题（共计66分） 19. 因式分解 （1） （2） （3） （4） 20. 解不等式组： （1） （2） 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2) ． (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形． (2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形． (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 22. 利用因式分解化简求值： （1）已知，， 求代数式的值 （2）已知：，求代数式的值 23. 如图，在 中，，，的垂直平分线分别交，于点，．求证： （1）； （2）． 24. 如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点． (1)求证：△ACE≌△BCD； (2)若AD＝5，BD＝12，求DE的长． 25. 定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： （1）__________，当时，__________； （2）若，求的取值范围； （3）如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 26. 某体育用品商店购进一批运动鞋款和款，已知一双款的进价比一双款的进价多元，并且购进双款和双款的价格相同． （1）问每双款和每双款的进价分别是多少元? （2）该商店计划用元购进这两款鞋共双，则本次采购时最多可以购进多少双款鞋? （3）在（）的条件下，每双款的售价为元，每双款的售价为元，该 商店销售完这双鞋能否实现利润为元的目标?若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $