精品解析：湖南省岳阳市平江县平江颐华卓毅补习学校2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

颐华高复部2025级第三次月考 数学试卷 一、单选题（每小题5分．共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，则实数k的最大值是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A. 或3 B. 一定为奇函数 C. 一定为减函数 D. 必过点 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 是偶函数 C. 若，则 D. 函数（且）的图象必过定点 11. “计算是数学大厦的根基”，下列计算中正确的是（ ） A. 若，则 B. 不等式的解集为 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 的值为________． 13. 已知曲线的一条切线的倾斜角为．则切点横坐标为______． 14. 已知为实数，且函数是偶函数，则________. 四、解答题（共77分） 15. 已知函数且的图象经过点，函数的图象经过点. （1）求的值； （2）解不等式. 16. 已知函数． （1）证明：的图象关于直线对称； （2）求的最大值． 17. 已知函数，且． （1）求的值； （2）设，求过点的切线方程． 18. 已知函数 （1）当时，求的极值；判断此时是否有最值，如果有请写出最值（结论不要求证明） （2）若是单调函数，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若函数的图象过原点，求的解析式； （2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颐华高复部2025级第三次月考 数学试卷 一、单选题（每小题5分．共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简集合，然后求出交集即可. 【详解】， ， . 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数、根式、分式的性质求函数定义域. 【详解】由题知，可得，故函数的定义域为. 故选：A 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性来确定正确答案. 【详解】根据函数的基本性质，逐项判定： 对于A中，函数是奇函数，在区间上单调递增，不合题意； 对于B中，函数是偶函数，在区间上单调递增； 对于C中，函数是偶函数，在区间上单调递减，不合题意； 对于D中，函数是偶函数，在区间上单调递减，不合题意． 故选：B 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理可得答案． 【详解】由于在单调递增， 又，，即， 函数的零点所在区间是， 故选：B． 5. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的物理含义，即可求得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 故，故时小球的瞬时速度为（）， 故选：A 6. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D． 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间． 7. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，然后利用函数单调性比较大小即可得， 【详解】因为正实数，满足 所以， 因为，所以， 即， 设，则， 又在单调递增， 所以，C，D中不等关系无法确定， 故选：B 8. 已知函数，若，，则实数k的最大值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上能成立，利用导数求的最大值，求k的范围，即知参数的最大值. 【详解】由题设，使成立， 令，则， ∴当时，则递增； 当时，则递减； ∴，故即可，所以k的最大值为. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A. 或3 B. 一定为奇函数 C. 一定为减函数 D. 必过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数的概念可求的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 是偶函数 C. 若，则 D. 函数（且）的图象必过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A、B；由指数函数的单调性判断C；根据对数函数的性质求函数图象所过的定点坐标判断D. 【详解】的定义域为，且， 所以函数为偶函数，故A正确； 函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，故B不正确； 当时，为单调递增函数，由，得，故C正确； 因为（且）， 所以函数（且）的图象必过定点，故D正确. 故选：ACD 11. “计算是数学大厦的根基”，下列计算中正确的是（ ） A. 若，则 B. 不等式的解集为 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法及不等式的性质判断A，利用零点分段法解绝对值不等式，即可判断B，利用特殊值判断C，利用乘“1”法及基本不等式判断D. 【详解】对于A：因为， 所以，所以， 则，故A正确； 对于B：不等式，即， 即或或， 解得或或， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C：当时，显然满足，但是，故C错误； 对于D：因为，，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根式的性质求解. 【详解】原式＝ － ＋ ＝－＋＝. 故答案为： 【点睛】本题主要考查根式的性质的应用，属于基础题. 13. 已知曲线的一条切线的倾斜角为．则切点横坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】根据题意，设切点横坐标为，由，可得，故，解得. 故答案为：. 14. 已知为实数，且函数是偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求. 【详解】因为函数是偶函数， 所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称， 所以，且， 所以. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知函数且的图象经过点，函数的图象经过点. （1）求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入且求出的值，将点代入，求出的值，进而得到的值； （2）将转化为，根据对数函数单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数且的图象经过点. 所以， 所以 函数的图象经过点， 所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 转化为， 即得出， 所以， 即不等式的解集为：. 16. 已知函数． （1）证明：的图象关于直线对称； （2）求的最大值． 【答案】（1）由的定义域为，关于对称， 任取，则， 所以， 所以的图象关于直线对称. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义域及解析式得，即可证结论； （2）根据对数复合函数的区间单调性求最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，有最大值，则. 17. 已知函数，且． （1）求的值； （2）设，求过点的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求解参数即可. （2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可. 【小问1详解】 定义域为，， 而，而已知，可得， 解得，故的值为， 【小问2详解】 ，设切点为，设切线斜率为， 而，故切线方程为， 将代入方程中，可得，解得(负根舍去)， 故切线方程为， 18. 已知函数 （1）当时，求的极值；判断此时是否有最值，如果有请写出最值（结论不要求证明） （2）若是单调函数，求的取值范围． 【答案】（1）的极小值为，无极大值；最小值为，无最大值； （2） 【解析】 【分析】（1）求函数求导，代入得出函数在定义域内的单调性可得在处取得极小值，也是最小值； （2）对参数的取值范围进行分类讨论，得出不同情况下的单调性，满足是单调函数即可得出结论. 【小问1详解】 易知的定义域为， 由可得， 当时，，令可得； 因此当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此可得在处取得极小值； 所以的极小值为，无极大值； 根据极值与最值得关系可得，此时在处也取得最小值，无最大值； 【小问2详解】 由（1）可知，， 显然当时，恒成立，此时为上单调递减函数，满足题意； 当时，令，解得； 由一次函数的性质可知， 当时，为单调递减， 若，，此时为上单调递增函数； 若，，此时为上单调递减函数； 显然此时不是单调函数，不满足题意； 当时，为单调递增， 若，，此时为上单调递减函数； 若，，此时为上单调递增函数； 显然此时不是单调函数，不满足题意； 综上可知，; 即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若函数的图象过原点，求的解析式； （2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设且，即可求参数值，进而写出解析式； （2）由偶函数性质得，问题化为在R上恒成立，根据求参数范围. 【小问1详解】 由题设，而，则，可得或， 当时，；当时，. 【小问2详解】 由题设，则， 所以恒成立，即， 所以，即在R上恒成立， 所以，即，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $