山东菏泽市2026-2027学年青岛版九年级数学上册期中模拟试卷

2026-2027学年九年级上册期中模拟试卷（原卷版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第3章】（青岛版2026） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.在中，，，，则BC的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2.一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 3.如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 4.如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角α、β分别为和，若该摆绳的长度为，此时点F相对于点E升高了（    ） A． B． C． D． 5.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 6.如图，点在上，点在上，，增加下列一个条件：①；②；③．其中能判定的条件是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7.如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（ ）千米． A．4 B． C．2 D．6 8.如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9.如图，在中，，，则（ ） A. 6 B. 18 C. 20 D. 24 10.如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 11.若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 12. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ． 13.在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 14. 关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则 ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ． 16.如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑三条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．若设道路宽为，则根据题意可列方程为 17. 如图，某地市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为________． 18. 如图，在△ABC中，为上一点，且，在边上取一点E，使以为顶点的三角形与△ABC相似，则等于_________． 三．解答题（本题共9小题，共84分，19题10分，20-23，每题8分, 24-26题10分，27题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 20. 如图，在中，AD是BC边上的高，，，求BC的长． 21. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 22. 如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 23. 已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 24. 建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 25. 如图，，平分，过点B作交于点M，连接交于点N． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 27. 请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)已知：如图1，在△ABC中，是角平分线，求证：． 证明：过C作，交的延长线于E．（完成以下证明过程） (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在△ABC中，是角平分线，，，．求的长． ②如图3，在△ABC中，，，点M是的中点，是的平分线，，则的长为____________． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册期中模拟试卷（解析版) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 【测试范围：九年级上册第1章-第3章】（青岛版2026） 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,tanB=2,则BC的长为() A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， .tan B= AC BC, BC=AC 6 =3 tanB 2 2.一元二次方程2x2+1=3x的二次项系数是2，下列说法错误的是（) A.x=1是它的一个根 B.一次项系数是3 1 C.常数项是1 D.x2是它的一个根 【答案】B 1/26 . 【详解】将原方程化为一般形式：2x2-3x+1=0」 A、当x=1时，左边2()-3()+1=0，成立，选项A正确； B、一次项系数为-3，选项B错误； C、常数项为1，选项C正确； 1 2 +1=0 ,成立，选项D正确。 3.如图，AD∥BE∥CF，直线m,n与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,若AB=4, BC=3 DF=9 、EF ,则“的长为（) m 6 27 A.7 7 B.7 C.4 D.12 【答案】B 【详解】解：AD∥BE∥CF, AB DE ·BCEF 49-EF .3=EF, 解得EF=27 73 4如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两，点的 2/26 俯角a、B分别为60°和30°，若该摆绳CD的长度为6cm,此时点F相对于，点E升高了() LLD A a 、BB D A.3cm B.3/3cm c.(B5-3jemD.(65+3)m 【答案】C 【详解】解：过，点E作EM⊥CD,FN⊥CD 由题意，寸知：CF=CD=CE=6cm,，AB⊥CD, .∠ECM=90°-a=30,∠FCW=90°-B=60°， .CM=CE.cos30°=3V3,CN=CF.cos60°=3， MN CM-CN =(33-3)cm ■LD A 、BB 5.若关于x的一元二次方程(k-1)x+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是() 1 1 1 A.k>2 B.22 C.k>2且时1 D.②2且1 3/26 【答案】C 【详解】根据题意得：k10且△=22-4(k1)×(-2)>0, 解得：k>2且件1. 6.如图，点E在BC上，点F在AE上，CE=CF,增加下列一个条件：①∠B=∠EAC;② AB BE AE BE ACAF;③CFAF.其中能判定△AEB∽△CFA的条件是(） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【详解】解：CE=CF, .∠CFE=∠CEF, .∠AEB=∠CFA, ①增加条件∠B=∠EAC,根据两角对应相等能判定△AEB∽△CFA; AB BE ②增加条件ACAF,不能判定△AEB∽△CFA; AE BE ③增加条件CFAF,根据两边对应成比例及其夹角相等，能判定△AEB∽△CFA. 4/26 7如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP=6N5千米， 则点AB两点的距离为()千米. 北 307 60° A B A.4 B.4v5 C.2 D.6 【答案】D 【详解】解：由题意可知，∠PAC=30°，∠PBC=60°， AP=65, PC=4Psim30°=x6N5=35 2 4C-APcOs60-63x=9 2 BC=-PC_33 =3 tan60°V3-, .AB=AC-BC=9-3=6, 8.如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米 的矩形羊圈ABCD，,并在边BC上留一个2米宽的门（建在EF处，门用其他材料），设AB的长为x 米，则下面所列方程正确的是() 5/26 A D BE F A.x(70-x)=640 B.x(70-2x)=640C.x(72-x)=640 D.x(72-2x)=640 【答案】D 【详解】解：矩形ABCD在边BC上留一个2米宽的门，设AB的长为x米，共用长为70米的棚栏围成 矩形， :.BC=70-2x+2=72-2x(米)， ,围成一个面积为640平方米的矩形羊圈ABCD, .x(72-2x)=640 9如国，在9ABCD中，AE:ED=1:2,Se=2,则5c=（） D F B A.6 B.18 C.20 D.24 【答案】D 【详解】解：，口ABCD .AD∥BC,AD=BC, .△AEF∽△CBF, 6/26 AF AE AE ·CF-BC, S.EF:S.CBF=BC) AE:ED=1:2, .AE:AD=1:3, .AE:BC=1:3 AF AE 1 .CFBC-3.S.AER S.COF =1:9 CF 3 .AC4,S.CBF=9S.AEF=18 S.CBF:S.ABC=3:4, '.S.ABC =24; 10如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两，点，且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE与AF相交 于点G,连接BG.若AB=4,BC=6,则sin☑GBF的值为() B 0 3V10 A.10 B.10 C.3 【答案】A 7/26 【详解】解：：矩形ABCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6, .AD=BC=6,AD∥BC,，BE=EF=FC=2, .△AGDOAFGE,BF=4, FG EF 1 ..AG AD 3, FG 1 ..AF 4 过，点G作GH⊥BC,则：GH∥AB, .△GHF∽△ABF FH GH FG 1 ∴.BF AB AF4, .FH-IBF=1 GH-1AB-1 。 4 4 .·BH=BF-FH=3 .BG=V12+32=V10, :sin∠GBF=HG-1=Vo BGV1010; 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分.) 8/26 11.若关于x的一元二次方程a-1x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a= 【答案】-1 【详解】解：将x=0代入方程(a-1)x-2x+a-1=0,得 (a-1)×02-2×0+a2-1=0? a2-1=0? a2=1? 解得a=1或a=-1. 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数a-1≠0，即a≠1. 故答案为：-1. 12.如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC=3m,小明的影子B'C=1.5m，已知小明的身高 A'B'=1.7m AB= ，则树高 B'1.5C 【答案】3.4m .x1.7 【详解】解：设树高是x米，则3=1.5， 9/26 解得：x=3.4m. 故答案为：3.4m. 13.在△ABC中，若 osA +(1-tanB)=0 2 ，∠A,∠B都是锐角，则△ABC是 三角形. 【答案】等腰直角 【详解】解：由 cos4、② 2 0-tanB=0可得 cosA、V② =0,1-tan B=0 2 即c0sA=V -tan B=1 2 解得：∠A=459,∠B=45°，则∠C=90°， △ABC为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角， 14.关于x的一元二次方程x2-k-1x-k+2=0有两个实数根x1,X2,若 x1-x,+2x1-x2-2+2x1x2=-3?则k= 【答案】2 【详解】解：关于x的一元二次方程x2-k-1x-k+2=0有两个实数根X1,X2, .X1+X2=k-1,X1X2=-k+2, 10/26 .x1-x2+2x1-X2-2+2x1X2=-3, .x1+X2-2x1x2-4=-3, 即k-12-2-k+2-4=-3, 解得k=±2， 又4=-k-1-4×1×-k+2=k2+2k-720 当k=2时，k2+2k-7=2+2×2-7=1>0,符合题意， 当k=-2时，k2+2k-7=-22+2×-2-7=-7<0,不合题意，舍去， ∴.k=2, 故答案为：2. 15.如图，在平面直角坐标系中，已知，点A(2,4),B3,2),以原点0为位似中心，作△0AB的位似图形 △OAB,并把△OAB的边长缩小到原来的2，则，点A的对应点A'的坐标是 VA 【答案】4,2)或1，-2) 【详解】解：由题意，△OAB和△OAB以原，点0为位似中心，相似比为2， 11/26 A(2,4), 点A的对应点的是衣是24》2》训 即(12)或-1，-2)， 故答案为：(12)或(-1，-2)」 16.如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑三条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草 坪的面积为540m,求道路的宽.若设道路宽为m，则根据题意可列方程为 【答案】(20-x)(32-2x)=540 【详解】解：设小路宽为m,根据题意得： (20-x)(32-2x)=540 故答案为：(20-x)32-2x)=540 17.如图，某地市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD,DC∥AB,斜坡AD长为8 米，坡角a为30°，斜坡BC的坡角B为45°，则斜坡BC的长为」 D C Aa 12/26 . 【答案】42米 【详解】解：分别作DE⊥AB于点E,CF⊥AB于，点F, D C A <a B B .DC∥AB, .CF=DE, 在Rt△ADE中， .AD=8米，坡角a=30°， DE=ADsin a=8sin30°=4米； 在Rt△ADE中， 坡BC的坡角B=45°， BC=CF-442 sinB√2 2 故答案为：4V2米 如图，在△AC中，4B2,4C=5,D为AB上一点，且AD方1B,在4C边上取一 Γ3 使以AD,E为项，点的三角形与△ABC相似，则AE等于 13/26 D 32 【答案】10或5 【详解】解：：以A,DE为顶，点的三角形与△ABC相似， △ADE△MBC或△MDE-△ACB :04E AD AE ABAC或ACAB ⊙AD=AB,AB=卫 .AD=8 :AC=15 :84E 8AE 12=15威1512 32 解得：AE=10或5. 32 故答案为：10或5. 三.解答题（本题共9小题，共84分，19题10分，20-23，每题8分，24-26题10分，27题12分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 19.(1)计算：V3sin45°-2sin260°-tan60°.cos30°. 14/26 (2)解方程：(5x-1)2=3(5x-1) 1知当-：公4月 5. 3x2 【详解】(1)解：V5sin45°-2sin260-tan60·cos30 -5x5-6-3 2 2 22 (2)解：(5x-1)2=3(5.x-1) (5x-1)2-3(5x-1)=0 (5x-1)(5x-1-3)=0 (5x-1)(5x-4)=0 .5x-1=0或5x-4=0 4 x5, 25； 1 20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45sm8-号 ，AD=2,求BC的长 B 【答案】3W5+2 【详解】解：AD是BC边上的高， .∠ADB=∠ADC=90° .sin B=2 ∠C=459,AD=2, 15/26 AD 2 AB7元CD=AD=2 5 AB=7, BD=VAB2-AD2=V72-22=35, .BC=BD+CD=35+2 即BC的长3V5+2 21.在如图的方格纸中，△0AB的项，点坐标分别为O(0,0)、A(-2,-1)、B(-1,-3),△04B与△0AB是 关于点P为位似中心的位似图形. (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原，点0为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA,B,使它与△OAB的位似比为 2:1 A ,并写出，点的对应点的坐标. O A Av B 【答案】(1)画图见详解(2)画图见详解，4，(4，-2) 【详解】(1)解：，点P的位置如图所示 16/26 . (2)解：如图，△OA,B即为所求； B2 4(4,-2) 22.如图，在正方形ABCD中，E是AD的中，点，点F在CD上，且CF=3FD.求证：△ABE∽△EBF 【答案】见详解 【详解】证明：CF=3DF, 17/26 ..DC=4DF ABCD 四边形 为正方形， .AB=AD=CD=4DF,∠A=∠D=90° :E是D 的中点， AE=DE=号AD=2DF AB AE=2 DE DF 在△ABE和△DEF中， AB AE ∠A=∠D, DE DF .△ABE△DEF BE AB .∠ABE=∠DEF, EF=DE· ABAE ‘BEEF· ∠ABE+∠AEB=90° .∠AEB+∠DEF=90° .∠BEF=180°-（∠AEB+∠DEF)=90 在△ABE和△BEF中， ∠A=∠BEF=90,AB=AE BE EF ∴△ABEEBF 18/26 23.已知关于X的一元二次方程x2-2x+k2-1=0. (1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为X1,X2,且满足X1-1X2-1=8,求k的值. 【答案】(1)见详解(2)k=-2或4 【详解】（1)证明：a=1,b=-2k,c=k2-1, △=b2-4ac’ =-2k2-4k2-1 =4>0’ 无论k为何值时，方程总有两个不相等实数根. (②)解：由x+x=-b, X名：=后得x+x=2k,X0=K-1, x1-1x2-1=8, X1X2-X1-X2+1=8, k2-1-2k+1=8 解得：k1=-2,k2=4, k=-2或4 24.建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社 19/26 区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高 BC 4 AD CE .45° CD 0.1 为米，当太阳光线 与地面的夹角为时，求阴影的长.（结果精确到米；参考 数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tanl6°≈0.29) B 16I-A 45 D 【答案】2.2米 【详解】解：如图所示，过，点A作AG⊥BC于，点G,AF⊥CE于点F,则四边形AFCG是矩形， B G--16⊙ 45 D FE 依题意，∠BAG=16°，AB=5(米) 在Rt△ABG中，GB=AB×sin∠BAG=5×sinl6°≈5×0.28=1.4（米）， AG=AB×cos16°≈5×0.96=4.8 CF=AG=4.8 （米)，则 （米） BC=4(米) .AF=CG=BC-BG=4-1.4=2.6(米) .∠ADF=45° 20/26 .DF=AF=2.6(米) CD=CF-DF=4.8-2.6=2.2(米)· 25.如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC,过，点B作BM∥CD交AD于点M,连接CM 交DB于，点N. D M B (1)求证：BD=ADCD; (2)若CD=6,AD=8,求MC的长. 【答案】(1)见详解 (2)2V 【小问1详解】 证明：：DB平分∠ADC, .∠ADB=∠BDC, :∠ABD=∠BCD=90° .△ABD△BCD, AD BD .∴.BDCD, BD:=AD.CD 21/26 【小问2详解】 解：DB平分∠ADC, .∠ADB=∠BDC, .·BM∥CD .∠MBD=∠BDC,∠MBC=180°-∠DCB=90°=∠ABD ∴.∠ADB=∠MBD,∠MAB+∠ADB=∠MBA+∠MBD=90°， :.BM=MD,∠MAB=∠MBA, 、BM=MD=AM=)AD=x8=4 2 2 又BD2=AD.CD=6×8=48,BC2=BD2-CD2=48-36=12, .MC2=MB2+BC2=16+12=28. :MC=V28=2V7. 26.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌 头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销 售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的送价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若 22/26 在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让 顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)20%(2)50 【详解】(1)解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 依题意，得501+x=72 解得X1=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去) 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%. (2)解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得y-30500-10y-40=8000 整理，得y-120y+3500=0 解得y1=50,y2=70 因尽可能让顾客得到实惠 所以y=70不合题意，舍去. 所以y=50. 答：该品牌头盔每个售价应定为50元. 27.请阅读下面的材料，并回答所提出的问题.三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对 23/26 边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例. E 3 B D D DM 图1 图2 图3 BD AB ()已知：如图1，在△ABC中，AD是角平分线，求证：DC=AC· 证明：过C作CE∥DA,交BA的延长线于E.(完成以下证明过程) (2)用三角形内角平分线性质定理解答问题： ①已知：如图2，在△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm.求BD的长. ②如图3，在△ABC中，AB=7,AC=11,,点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，FM∥AD,则 FC 的长为 【答案】(1)见详解 20D=35 cm;②g 【详解】(I)证明：如图，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, E B D CE∥DA, 24/26 . BD BA ·CDAE，∠2=∠3,1=∠E :AD平分∠BAC, .1=∠2， .∠ACE=∠E ..AE=AC, BD AB ·DCAC; (2)解：①AD是角平分线， AB BD AC CD' AB 5cm,AC =4cm,BC=7cm, 5 BD .47-BD 解得BD=3 cm; ②解：·AD是角平分线， ABBD7 ·ACCD11, .CD=11BD 72 .BC-CD+BD-DBD 7 ,M是BC中点， 25/26 9z/97 “6:年盖号狎 6=0p2=H0· 6 ‘L08i.a2-p 6a8 L WO O 6 ‘QN∥N. d85=8N=3·