精品解析：山东济南市钢城区2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度上学期期中诊断性评价 八年级数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 学校抽查了10名青年教师的年龄（见下表），这10名教师年龄的众数、中位数分别是（ ） 年龄（岁） 24 25 26 27 28 人数 2 3 2 1 2 A. 25岁，25岁 B. 28岁，26岁 C. 28岁，25.5岁 D. 25岁，25.5岁 4. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知（1）班和（2）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ） A. （1）班成绩比（2）班成绩集中 B. （1）班成绩的上四分位数是80分 C. （1）班有同学的成绩超过140分 D. （1）班的最低分低于（2）班的最低分 6. 已知分式方程有增根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 2 7. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( ) A. B. C. D. 8. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一组数据，，，的方差为5，则，，，的方差为（ ） A. 20 B. 19 C. 18 D. 17 10. 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个． ①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____________ 12. 近日，生态环境部公布第六批“绿水青山就是金山银山”实践创新基地名单，山西省6个县入选国家生态文明建设示范区，为了响应对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加太原市举办的环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90，方差分别是，，．你认为__________参加决赛比较合适． 13. 若，则a的取值范围为__________． 14. 已知，则分式的值为__________． 15. 已知，则__________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解下列分式方程： （1）； （2）． 18. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 19. 已知关于x的方程解为正数，求k的取值范围． 20. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数__________，上四分位数__________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）去掉一个最高分和一个最低分，求甲组学生竞赛成绩的平均分． 21. 对于代数式，，定义运算“※”：，若，求的值． 22. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共20套，且经费预算不超过3210元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 23. 某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表： 统计量 中位数 众数 男生 a 9 女生 8 b （1）根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：__________，__________； （2）请计算被抽查女生的平均成绩； （3）求被抽查的20名女生成绩的方差． 24. [核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： （1）已知，则的值为______，的值为______； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 25. 综合与实践： 如图所示的图形，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （1）请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； （2）求的值； （3）在线段，，，，中，长度为正整数的线段共有__________条． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期期中诊断性评价 八年级数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件，一是根指数为，二是被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：的根指数为，不是，不符合二次根式定义，故 A错误； 对于选项B：的被开方数，无意义，故B错误； 对于选项C：的根指数为，且被开方数，满足二次根式定义，故C正确； 对于选项D：当时，无意义，因此不一定是二次根式，故D错误． 2. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式定义，分母含有字母的代数式是分式，依次判断各选项，、、分母不含字母为整式，分母含有字母，是分式． 【详解】解：：分母是常数3，属于整式（单项式），不是分式． ：分子分母都是整式，分母含有字母，是分式． ：分母是常数2，属于整式（多项式），不是分式． ：是常数，整个式子是多项式，属于整式，不是分式． 3. 学校抽查了10名青年教师的年龄（见下表），这10名教师年龄的众数、中位数分别是（ ） 年龄（岁） 24 25 26 27 28 人数 2 3 2 1 2 A. 25岁，25岁 B. 28岁，26岁 C. 28岁，25.5岁 D. 25岁，25.5岁 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵年龄为25岁的有3人，出现次数最多， ∴众数为25岁， ∵共有10个数据，将数据从小到大排列为：24，24，25，25，25，26，26，27，28，28， ∴第5、第6个数据分别为25、26， ∴中位数为（岁）． 4. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 已知（1）班和（2）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ） A. （1）班成绩比（2）班成绩集中 B. （1）班成绩的上四分位数是80分 C. （1）班有同学的成绩超过140分 D. （1）班的最低分低于（2）班的最低分 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察数据的集中程度、四分位数、最大值及最小值进行判断即可． 【详解】解：A、观察箱线图知：（1）班成绩的箱线图的长度较长，数据分布较分散，则（2）班成绩比（1）班成绩集中，故该选项A错误；  B、观察箱线图知：（1）班成绩的下四分位数是80分，上四分位数约为110分，故该选项B错误；  C、观察箱线图知：（1）班成绩的最大值约为135分，低于140分，没有同学的成绩超过140分，故该选项C错误；  D、观察箱线图知：（1）班成绩的最低分约为50分，（2）班成绩的最低分约为70分，，即（1）班的最低分低于（2）班的最低分，故该选项D正确． 6. 已知分式方程有增根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得， 代入得． 7. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用数轴结合二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得：-1＜a＜0，0＜b＜1， 故应选B 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是根据字母数字范围正确化简二次根式． 8. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 9. 已知一组数据，，，的方差为5，则，，，的方差为（ ） A. 20 B. 19 C. 18 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】利用方差的变化规律：数据加减常数不改变方差，乘常数时方差变为原方差的倍，代入数值计算即可． 【详解】解：设原数据的平均数为， ∵原方差， 新数据的平均数为： ， ∴新数据的方差为： ． 10. 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个． ①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用题干中的方法将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，利用整数或整式的性质对每个结论进行判断即可． 【详解】解：∵为负整数， 为负整数， 故①的结论正确； ∵， 又， ∴，且有最小值2， ∴有最大值3， ∴， ∴②的结论正确； ∵， ∴m＝x＋2，n−6＝−（x＋2）， ∴m＝x＋2，n＝4−x． ∴m2＋n2＋mn ＝(m＋n)2−mn ＝36−（−x2＋2x＋8） ＝x2−2x＋28 ＝(x−1)2＋27， ∵(x−1)2≥0， ∴m2＋n2＋mn有最小值为27， ∴③的结论正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减法，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 12. 近日，生态环境部公布第六批“绿水青山就是金山银山”实践创新基地名单，山西省6个县入选国家生态文明建设示范区，为了响应对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加太原市举办的环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90，方差分别是，，．你认为__________参加决赛比较合适． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差越小，成绩越稳定即可判断． 【详解】解：∵，，，且， 甲的成绩最稳定， 甲参加决赛比较合适， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查方差的意义，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 13. 若，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的化简性质，结合绝对值的非负性，根据等式左右的对应关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得． 14. 已知，则分式的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将转化为，通过整体代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 15. 已知，则__________． 【答案】2027 【解析】 【分析】先依据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再根据绝对值的性质化简原式，通过等式变形与平方运算推导目标代数式的值． 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ 被开方数满足，即． ∵ ， ∴ ，因此. 将化简后的绝对值代入原等式 可得. 等式两边同时减去，得. 整理得. 等式两边同时平方，得. 移项整理得. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，求得是解答关键． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）方程两边同时乘以，去分母，然后移项，合并同类项，最后系数化为，即可； （2）方程两边同时乘以，去分母，然后移项，合并同类项，最后系数化为，即可． 【小问1详解】 解：两边同乘以， 得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得：， 检验：当时，， 是原方程的解； 【小问2详解】 解：两边同乘以得：， 移项并合并同类项，得，解得， 检验：当时，， 是原方程的增根，舍去， ∴原方程无解． 18. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 19. 已知关于x的方程解为正数，求k的取值范围． 【答案】且 【解析】 【详解】解：去分母得， ， ∵关于x的方程解为正数， ，， ，且， 且． 20. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）__________，__________； （2）求甲组学生竞赛成绩的下四分位数__________，上四分位数__________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）去掉一个最高分和一个最低分，求甲组学生竞赛成绩的平均分． 【答案】（1）90，92 （2）下四分位数为70，上四分位数为96， （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义，解答即可； （2）根据定义，计算，并画图即可； （3）根据平均数的定义，求解即可． 【小问1详解】 解：甲组10个数，排序后第五和第六位分别是89和91， ∴中位数， 众数是出现次数最多的，乙组排序后92最多， ∴众数； 【小问2详解】 解：方法一：前半部分为前5个数，中位数是第3个为70， 则下四分位数为70，后半部分数据为，中位数是第3个为96， 则上四分位数为96； 方法二： ，则取整数3，那么第3个数据即为下四分位数， 故，，则取整数8，那么第8个数据即为上四分位数， 故， 画图略； 【小问3详解】 解：根据题意，得甲的平均数（分）． 21. 对于代数式，，定义运算“※”：，若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先通分合并，然后根据对应系数相等求出，的值，代入，即可． 【详解】解：∵，， ， 解得， ． 22. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共20套，且经费预算不超过3210元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元 （2）学校最多可以购进乙种点茶器具套装8套 【解析】 【小问1详解】 解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； 【小问2详解】 解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为8， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装8套． 23. 某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表： 统计量 中位数 众数 男生 a 9 女生 8 b （1）根据以上图表信息，直接写出表中a，b的值：__________，__________； （2）请计算被抽查女生的平均成绩； （3）求被抽查的20名女生成绩的方差． 【答案】（1）8.5，8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答； （2）根据平均数的定义解答即可； （3）根据方差的计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：男生的成绩从小到大排列排在中间的两个数是8，9，所以男生成绩的中位数是； 由条形统计图可得，女生成绩的众数是8； 【小问2详解】 解：根据平均数的定义可知：被抽查的女生的平均成绩是； 【小问3详解】 解：根据方差的计算方法可得：． 24. [核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： （1）已知，则的值为______，的值为______； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值． （1）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （2）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （3）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解 【小问1详解】 解：由，得， ∴， ∴ 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由，得， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由，得， ∴， ∴， ∴． 25. 综合与实践： 如图所示的图形，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （1）请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； （2）求的值； （3）在线段，，，，中，长度为正整数的线段共有__________条． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （2）先根据分母有理化得到，代入数值后化简即可求值； （3）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数，分析最接近哪个正整数的平方． 【小问1详解】 解：由已知条件可知，，； 【小问2详解】 解： ， ∴原式 ； 【小问3详解】 解：线段，，，，的长分别是，，，，，． 设长度为正整数的数分别是，，，，，，． ，， ． ∴线段，，，，中，长度为正整数的线段共有条． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $