精品解析：山东省济南市钢城区实验学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级数学期中阶段性质量检测试题 一．选择题（共12小题） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑宽均为米的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，则草坪的面积为（　　）平方米． A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段．若点的对应点为，则点的对应点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若样本，，，…，的平均数为8，方差为4，则对于样本，，，…，，下列结论正确的是（　　） A. 平均数为8，方差为1 B. 平均数为5，方差为1 C. 平均数为5，方差为4 D. 平均数为8，方差为4 6. 如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 7. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的极差相等 C. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D. 男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 9. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ） A. (0，0) B. (0，﹣1) C. (1，﹣1) D. (1，﹣2) 10. 第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到； 第二次：作点关于x轴的对称点； 第三次：将点绕点O逆时针旋转得到； 第四次：作点关于x轴的对称点， 按照这样的规律，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 12. 如图所示，在 中，，，，将 绕顶点 C 逆时针旋转得到， 与 相交于点 P．则 的最小值为________． 13. 若分式的值为零，则x的值为 ______． 14. 某校八年级6名学生的体育测试成绩如图所示，则这组数据的众数是______，中位数是______． 15. 如果一组数据6，4，2，x的平均数为5，那么它的方差为____． 16. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 三．解答题（共8小题） 17. 解方程： （1）＝； （2）+2＝． 18. 计算： （1） （2） 19. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值. 20. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 21. 如图，将绕点B逆时针旋转，得到，此时点刚好落在边上，连接，若，求的度数． 22. 若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出．并写出顶点的坐标； （2）将绕顺时针旋转后得到，画出．并写出顶点的坐标； （3）在轴上作一点，使最小，并写出点的坐标． 24. 如图，在等边中，点是边上一点，连接将绕点顺时针旋转后得到，连接． （1）猜想的形状，并说明理由； （2）若，，求的周长； （3）求证：． 25. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 26. 【材料阅读】 我们曾解决过课本中的这样一道题目： 如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．…… 提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD； 提炼2：△ECD≌△FAD； 提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式． 【问题解决】 （1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF． 可得：∠EDF＝　 　°；AF，FE，EC三者间的数量关系是　 　． （2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度． （3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中阶段性质量检测试题 一．选择题（共12小题） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意； B选项是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； C选项既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； D选项是中心对称图形而不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：，，，的分母中不含有字母，都不是分式， ，的分母中含有字母，都是分式，共2个． 故选：C． 3. 如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑宽均为米的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，则草坪的面积为（　　）平方米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移，长方形的面积，把路平移到边上，可得长是米，宽是米的长方形，根据长方形的面积计算公式计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：把路平移到边上，可得长是米，宽是米的长方形， ∴长方形的面积是（平方米）， 故选：． 4. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段．若点的对应点为，则点的对应点N的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据点A、M的坐标确定出平移规律，然后求出点N的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点为， ∴平移规律为向右3个单位，向上2个单位， ∵点， ∴对应点N的横坐标为， 纵坐标为， ∴点N的坐标为． 故选：B． 5. 若样本，，，…，的平均数为8，方差为4，则对于样本，，，…，，下列结论正确的是（　　） A. 平均数为8，方差为1 B. 平均数为5，方差为1 C. 平均数为5，方差为4 D. 平均数为8，方差为4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差，根据平均数、方差随数据的变化规律进行判断，将一组数的每个数据都减少n，所得到的新一组数据的平均数就减少n，而方差不变． 【详解】解∶样本，，，…，，对于样本，，，…，来说， ∵每个数据均在原来的基础上然后减少了， 根据平均数、方差的变化规律得∶平均数较前减少，而方差不变，即平均数为5，方差为4． 故选∶C． 6. 如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN， ∴AB=AC，∠ACN=∠B，AM=AN，故选项A不符合题意； ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴∠B=∠ACB， ∵∠ACN=∠B， ∴∠ACN=∠ACB， ∴平分，故选项C不符合题意； ∵CN与CM不一定相等， ∴不一成立，故故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C． 考点：由实际问题抽象出分式方程． 8. 在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的极差相等 C. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为6 D. 男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出男生、女生投篮命中次数的平均数、方差、中位数、极差，再逐项判断即可得． 【详解】解：男生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 女生投篮命中次数按从小到大进行排列为， 则男生投篮命中次数的平均数为， 男生投篮命中次数的方差为， 女生投篮命中次数的平均数为， 女生投篮命中次数的方差为， 男生投篮命中次数的极差为，女生投篮命中次数的极差为， 所以选项B说法错误； 男生投篮命中次数的中位数为5，女生投篮命中次数的中位数为5， 所以选项C说法错误； 由平均数相等可知男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定，故选项A说法错误，选项D说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数、极差，熟记各量的定义、计算公式、意义是解题关键． 9. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ） A. (0，0) B. (0，﹣1) C. (1，﹣1) D. (1，﹣2) 【答案】D 【解析】 【分析】根据两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论． 【详解】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为(1,-2)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转．解题的关键是理解两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 10. 第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到； 第二次：作点关于x轴的对称点； 第三次：将点绕点O逆时针旋转得到； 第四次：作点关于x轴的对称点， 按照这样的规律，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图－轴对称，旋转变换，找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律． 先根据旋转变换和轴对称变换得出，从而可知每 4 个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】解：由题意可知， 则， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余3， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查关于原点对称的点，解题的关键是记住关于原点对称横纵坐标都互为相反数． 12. 如图所示，在 中，，，，将 绕顶点 C 逆时针旋转得到， 与 相交于点 P．则 的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了旋转的性质，勾股定理，当与垂直时，有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出长即可． 【详解】解：当与垂直时，有最小值，如图． ， ， ， 由旋转的性质得， ， ， 故答案为：． 13. 若分式的值为零，则x的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件可得，且，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ，且， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式值为零的条件：分子为0，分母不为0． 14. 某校八年级6名学生的体育测试成绩如图所示，则这组数据的众数是______，中位数是______． 【答案】 ①. 48 ②. 48 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．根据众数，中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：这组数据 48出现的次数最多，出现了 3 次，则这组数据的众数是 48分；把这组数据从小到大排列为，最中间两个数的平均数是分，则中位数是 48分； 故答案为：48，48． 15. 如果一组数据6，4，2，x的平均数为5，那么它的方差为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算，先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 【详解】解：∵， 解得， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B=AB=8， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°， 过点A1作于点D ∴ ∴×8×4=16， 又∵， ， ∴=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 三．解答题（共8小题） 17. 解方程： （1）＝； （2）+2＝． 【答案】（1）x＝3；（2）无解． 【解析】 【分析】（1）先将方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1），化分式方程为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再检验，从而得出答案； （2）先将方程两边都乘以最简公分母x﹣4，化分式方程为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再检验，从而得出答案．． 【详解】解：（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：3（x﹣1）＝6， 解得x＝3， 检验：x＝3时，（x+1）（x﹣1）＝8≠0， ∴分式方程的解为x＝3； （2）两边都乘以x﹣4，得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x， 解得x＝4， 检验：当x＝4时，x﹣4＝0， ∴x＝4是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 【点睛】本题主要考查解分式方程和二元一次方程组，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法、加法运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． （1）由分式的乘法运算法则进行计算，即可得到答案； （2）由分式的加法运算法则进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值. 【答案】，当时，原式(或者选择当时，原式) 【解析】 【分析】先运用分式的通分化简括号内的式子，再运算分式的除法，熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键． 【详解】解： ， ∵或2时，分母为，分式无意义， ∴只能取或1， ∴当时，原式，（或者选择当时，原式）． 20. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】（1） （2） 补图如下： （3）①9分，8分②，，中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分比，结合圆心角的计算解答即可． （2）根据样本容量，求得7分的人数补图即可． （3）①根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可． ②根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量是（人）， ∴（人），， 故答案为：；12． 【小问2详解】 7分组的人数为（人）， 补图如答案所示； 【小问3详解】 ①∵甲队的第10个，11个数据都是9分， ∴中位数是（分）； ∵乙队的第10个，11个数据都是8分， ∴中位数是（分）； 故答案为：9分，8分． ②②（分）， （分）， 故从中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好． 【点睛】本题考查了中位数，条形统计图，扇形统计图，熟练掌握中位数，平均数，扇形统计图，条形统计图的基本计算是解题的关键． 21. 如图，将绕点B逆时针旋转，得到，此时点刚好落在边上，连接，若，求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转，得到，此时点刚好落在边上， ， ， ， ， ， ， ， 即的度数为． 22. 若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 【答案】正数的值是 6 或 9 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为是解题的关键． 先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为 1 得：， ， ∴， ， ， ∵分式方程有正整数解， ∴正数的值是 6 或 9 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出．并写出顶点的坐标； （2）将绕顺时针旋转后得到，画出．并写出顶点的坐标； （3）在轴上作一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；由图可得，点的坐标为； （2） 解：如图，即为所求；由图可得，点的坐标为； （3） 解：如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求； 由图可得，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，在等边中，点是边上一点，连接将绕点顺时针旋转后得到，连接． （1）猜想的形状，并说明理由； （2）若，，求的周长； （3）求证：． 【答案】（1） ∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴,， ， 是等边三角形； （2）19 （3） ，是等边三角形， ,， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得进而可得，旋转，即可求得答案； （2）根据（1）的结论可得，，结合已知条件即可求得的周长； （3）根据旋转的性质可得，进而可得，又，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 的周长为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 【答案】（1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元 （2）甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的实际应用． （1）设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，先求出m的取值范围，然后列出y关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得： 解得 经检验，是所列方程的根， ∴ 答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元． 【小问2详解】 设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得： 解得： ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴时，y取最小值，此时（个）， 答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少． 26. 【材料阅读】 我们曾解决过课本中的这样一道题目： 如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．…… 提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD； 提炼2：△ECD≌△FAD； 提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式． 【问题解决】 （1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF． 可得：∠EDF＝　 　°；AF，FE，EC三者间的数量关系是　 　． （2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度． （3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明． 【答案】（1）45°，AF+EC＝FE； （2）AC＝4； （3）AD2+BE2＝DE2．证明如下： 如图2：将△ACD绕点C逆时针旋转90得到△BCH，连接EH． ∴DC＝HC，∠DCE＝∠ECH＝45，∠CAD＝∠CBH＝45， ∵CE＝CE， ∴△CEH≌△CED（SAS）． ∴EH＝ED． ∴∠ABC+∠CBH＝∠EBH＝90． ∴HB2+BE2＝EH2． ∵AD＝BH， ∴AD2+BE2＝DE2． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE，可得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90，证明Rt△DAF≌Rt△DGF，可得∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．则结论得出； （2）延长CD到E，使DE＝BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC，可得AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．则答案可求出； （3）将△ACD绕点C逆时针旋转90得到△BCH，连接EH．证明△CEH≌△CED．可得EH＝ED．可求得∠EBH＝90．可得出HB2＋BE2＝EH2．则结论得出． 【详解】（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE， ∴CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90， 在Rt△DAF和Rt△DGF中， ， ∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL）， ∴∠ADF＝∠GDF，AF＝FG． ∴∠EDF＝∠EDG+∠FDG＝＝45， EF＝FG+EG＝AF+EC； 故答案为：45，AF+EC＝FE． （2）如图，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE． ∵AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴AE＝AC，∠EAD＝∠CAB． ∴∠EAC＝90． ∵四边形ABCD的面积为8，可得△ACE的面积为8． ∴． 解得，AC＝4(-4舍去)． （3）略 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行计算求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $