2.2 基本不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

章节名称

第二章 一元二次函数、方程和不等式

学时

1

教材和内容分析

本节位于人教版高中数学必修第一册第二章第二节，主要内容是基本不等式的推导、证明与简单应用。教材从完全平方公式出发，通过变量代换得到基本不等式，并给出了分析法的证明思路和几何解释。基本不等式是求函数最值的重要工具，在高考中常以选择题、填空题及实际应用题形式考查，是高考重点考查内容之一，也是后续学习均值不等式体系的重要基础。

学科素养

（1）数学抽象。通过对不等式的代换与变形，抽象出基本不等式这一数学模型，体会从特殊到一般的抽象概括过程。

（2）逻辑推理。运用分析法从结论出发逐步寻找充分条件，完成基本不等式的严格证明，培养逆向推理与逻辑表达能力。

（3）直观想象。借助圆中直径与弦的几何关系，直观理解算术平均数不小于几何平均数这一不等关系的几何意义。

（4）数学建模。将篱笆围园、造价最低等实际问题转化为基本不等式模型，通过设变量、列式、求最值，体会数学建模的全过程。

教学重点

（1）理解基本不等式的推导与几何意义。

（2）掌握利用基本不等式求最值的方法与“积定和最小、和定积最大”的规律。

教学难点

理解“一正、二定、三相等”三个条件在求最值中的必要性。

学情分析

学生已学习了不等式的基本性质和完全平方公式，对不等式的运算有一定基础，但对分析法证明不等式的逆向思维模式较为陌生。

预判学习困难在于：学生容易忽略基本不等式使用的前提条件，尤其在求最值时忽视验证等号成立的条件。教学中通过正反例对比和变式

训练加以突破，借助几何直观帮助学生理解。

教学方法

本课采用问题驱动与启发式教学法，以复习完全平方公式为起点，通过代换引出基本不等式，再借助分析法完成证明。课堂中以教师引导、学生探究为主，配合几何直观演示和实际应用问题，让学生在“观察—猜想—证明—应用”的过程中自主建构知识。采用小组讨论与变式练习相结合的方式，强化“一正、二定、三相等”的运用意识。

教学过程设计

教学

环节

课堂设计

设计意图（包括师生活动）

1、回顾旧知

1.完全平方公式回顾

（1）对于任意实数，有，当且仅当时等号成立。

2.不等式基本性质回顾

（1）若，则。

（2）若，则。

注：运用不等式性质时须注意各数正负号对不等号方向的影响。

教师：请同学们回顾完全平方公式的展开式，写出由它得到的重要不等式。

学生：口答公式内容，在练习本上写出不等式及等号成立条件。

设计意图：

通过复习完全平方公式和不等式性质，为本节课由出发推导基本不等式做好知识铺垫。

2、探索新知

思考：能否将重要不等式中的变量替换为正数的算术根，得到新的不等式？

（1）当时，用分别替换中的变量，可得什么结论？

（2）所得不等式的等号何时成立？

教师：引导学生将中的变量分别替换为，板书推导过程，并介绍算术平均数与几何平均数的概念。

学生：在教师引导下完成代换，写出基本不等式，思考等号成立的条件。

设计意图：

通过从已知不等式出发，经变量代换得到基本不等式，让学生经历“观察—猜想—证明”的探究过程。同时借助如图1所示的圆的几何图形给出直观解释，使学生从代数和几何两个角度理解基本不等式，深化对算术平均数与几何平均数关系的认识，培养逻辑推理与直观想象素养。