精品解析：山东济南市莱芜区2026-2027学年七年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度第一学期诊断性检测七年级 数学试题（A卷） 注意事项： 本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分　共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用算术平方根的非负性快速排除错误选项，再验证剩余选项． 【详解】解：，，选项A、B运算错误， ，选项C运算正确， ，选项D运算错误． 2. 下列语句是命题的是（ ） A. 美丽的天空 B. 对顶角相等 C. 你喜欢数学吗？ D. 作线段 【答案】B 【解析】 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、美丽的天空，不是完整的语句，没有对一件事情作出判断，不是命题； B、对顶角相等作出了明确判断，是命题； C、你喜欢数学吗？是疑问句，未作出判断，不是命题； D、作线段是作图指令，未作出判断，不是命题． 3. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 7，8，10 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证每组中两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方即可判断． 【详解】解：A.，能组成直角三角形，符合题意； B.，不能组成直角三角形，不符合题意； C.，不能组成直角三角形，不符合题意； D.，不能组成直角三角形，不符合题意． 4. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、被开方数含分母，故选项A不符合题意； B、被开方数是小数，故选项B不符合题意； C、被开方数不含开的尽的因数，被开方数不含分母，故选项C符合题意； D、被开方数含开得尽的因数，故选项D不符合题意； 5. 在，0，，，，，，（相邻两个之间依次多个）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】先化简可开方的根式，再根据无理数定义筛选计数． 【详解】解：，， 无理数有，，，（相邻两个之间依次多个），共个． 6. 在平面直角坐标系中，若点与点所在直线轴，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】平行于轴的直线上点的纵坐标相等，由此求出． 【详解】解：∵直线轴， 点与点的纵坐标相等， ． 7. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形，正方形的面积分别为，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求得的长度，然后结合图形得到：阴影部分的面积正方形的面积直角三角形的面积． 【详解】解：∵以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形，正方形的面积分别为，， ∴，，， ∴，，， ∴， 即阴影部分的面积为． 8. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图，解题的关键是：将该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，、和的长度满足勾股定理，据此求解． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点， 则，， 连接，则即为最短距离， 在直角中， 由勾股定理得： ． 9. 如图，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使．以为圆心，长为半径作弧，与数轴交于原点左侧点，则点所表示的数介于（ ） A. 和之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 和之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，无理数的估算，利用勾股定理求出的长，从而得到点A所表示的数，再根据无理数的估算即可求得答案． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴A点所表示的数就是， ∵， ∴， ∴ 即点A所表示的数介于和之间． 10. 如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙分别由点，同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以4个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为8和4，物体甲是物体乙的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：由题意知：矩形的边长为8和4， ①第一次相遇物体甲与物体乙运动的时间为秒， ∴第一次相遇地点的坐标是； ②第二次相遇物体甲与物体乙运动的时间为秒， ∴第二次相遇地点的坐标是； ③第三次相遇地点的坐标是； ④第四次相遇地点的坐标是； 则每相遇三次，为一个循环， ∵， 故两个物体运动后的第次相遇地点的坐标为：． 非选择题部分　共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：二次根式有意义时，被开方数必须是非负数， ， 解得． 13. 已知点和点关于轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求出、的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， 解得， ． 14. 如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键． 15. 如图，利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，正方形是由四个相同的小长方形、四个相同的小正方形和一个较大的正方形组成．去掉四个小正方形后，按图2重新排列组成一个长方形，当正方形面积为10时，则长方形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据图1得出大正方形的边长为，结合面积求出的值；根据图2得出长方形的长和宽，利用周长公式计算即可 ． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，根据图1得出大正方形的边长为， ， ， ， 由图2可知，长方形的宽，长， 长方形的周长为， 长方形的周长为． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式展开平方项，化简合并即可； （2）将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，，，是边上的高，，求的长． 【答案】21 【解析】 【分析】根据勾股定理分别求出和的长，再由可得结论． 【详解】解：∵是边上的高， ∴和均为直角三角形， 在中，，， ∴； 在中，，， ∴； ∴． 18. 如图，在中，是边上的中线，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】证明是直角三角形，，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴ 19. 已知和是一个正数的两个平方根，的算术平方根是3． （1）求的平方根； （2）是的整数部分，求的立方根． 【答案】（1）的平方根为 （2）的立方根为 【解析】 【分析】（1）利用正数的两个平方根互为相反数列方程求a，结合算术平方根的定义求b，再计算目标式的平方根； （2）估算的取值范围得到整数部分c，代入代数式计算后求立方根． 【小问1详解】 解：∵和是一个正数的两个平方根， ∴，解得， ∵的算术平方根是3， ∴， 将代入并求解，得， ∴， ∴的平方根为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴的整数部分， 将代入得， ∴的立方根为． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （2）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标． 【答案】（1） （2）如图，，4 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征求解； （2）根据点A、B、C的坐标描点即可得到，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出t，从而得到P点坐标． 【小问1详解】 解：∵点与点关于轴对称，且， ∴； 【小问2详解】 解：图略， 的面积． 【小问3详解】 解：设，， ∵的面积为1， ∴， 解得或4， ∴P点坐标为或． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，求小巷的宽的长度． 【答案】米 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求出米，米，利用线段的求和即可求出答案． 【详解】解：在中，米，米， ∴（米）， 在中，米，（米）， ∴（米）， ∴（米）． 22. 在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在y轴上，求点的坐标； （2）若点在第四象限，且到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为. （2）点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据点在y轴上，横坐标为0，求出a的值，即可解答； （2）根据点在第四象限，且到x轴的距离与到y轴的距离相等，得到，，，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为. 【小问2详解】 ∵点在第四象限，且点到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴，，， ∴， 解得， ∴，， ∴点的坐标为. 23. 阅读材料： 通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：， ， 解决问题： （1）将下列式子分母有理化： ， ； （2）比较大小： ；（填，或）； （3）计算：． 【答案】（1）， （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）根据题意分母有理化即可求解； （2）先分母有理化，再比较大小即可求解； （3）先将每项分母有理化，再合并同类二次根式，即可求解． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：，， ∵， ∴，即． 【小问3详解】 解：原式 ． 24. 图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请根据以上材料完成下列问题： （1）如图2，网格图中每个小方格边长为1，利用“双求法”，求中边上的高； （2）如图3，当网格图中的为钝角三角形时，求中边上的高； （3）如图4，在中，，，，交延长线于点．请用“双求法”（勾股定理）列方程求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得出，利用等积法可求出； （2）由勾股定理得出，利用等积法可求出； （3）设，则，在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果． 【小问1详解】 解：∵网格图中每个小方格边长为1， ∴，， ∴， 又， ∴；； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 由等面积法得：, 解得：； 【小问3详解】 解：设，则， ∵是边上的高， ∴． 在中，． 在中，． ∴， 解得， ∴． 25. 阅读材料： 当我们遇到含有的代数式求值时，常常先移项再平方，去掉根号，构造整式方程，简化计算． 例：已知，求的值． 解：由，得，两边平方：，即，所以． 请根据以上方法解决下列问题： （1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）在中，，斜边，直角边，求这个直角三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用阅读材料中的方法解答即可； （2）利用阅读材料中的方法可得，即可求解； （3）设另一条直角边为b，根据勾股定理可求出b，即可求解． 【小问1详解】 解：由，得， 两边平方：，即， 所以； 【小问2详解】 解：由，得：， 两边平方：，即， 所以， 所以； 【小问3详解】 解：设另一条直角边为b， ∵在中，，斜边，直角边， 所以， 所以这个直角三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期诊断性检测七年级 数学试题（A卷） 注意事项： 本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分　共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句是命题的是（ ） A. 美丽的天空 B. 对顶角相等 C. 你喜欢数学吗？ D. 作线段 3. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 7，8，10 D. ，， 4. 下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 5. 在，0，，，，，，（相邻两个之间依次多个）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 在平面直角坐标系中，若点与点所在直线轴，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 3 7. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形，正方形的面积分别为，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（ ）（杯壁厚度不计） A. B. C. D. 9. 如图，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使．以为圆心，长为半径作弧，与数轴交于原点左侧点，则点所表示的数介于（ ） A. 和之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 和之间 10. 如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙分别由点，同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以4个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分　共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 9的算术平方根是_____． 12. 二次根式有意义，则的取值范围是____________． 13. 已知点和点关于轴对称，则_______． 14. 如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____________． 15. 如图，利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法． 如图1，正方形是由四个相同的小长方形、四个相同的小正方形和一个较大的正方形组成．去掉四个小正方形后，按图2重新排列组成一个长方形，当正方形面积为10时，则长方形的周长为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，，是边上的高，，求的长． 18. 如图，在中，是边上的中线，，，，求的度数． 19. 已知和是一个正数的两个平方根，的算术平方根是3． （1）求的平方根； （2）是的整数部分，求的立方根． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （2）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； （3）已知为轴上一点，若的面积为1，求点的坐标． 21. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，求小巷的宽的长度． 22. 在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在y轴上，求点的坐标； （2）若点在第四象限，且到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点的坐标． 23. 阅读材料： 通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：， ， 解决问题： （1）将下列式子分母有理化： ， ； （2）比较大小： ；（填，或）； （3）计算：． 24. 图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请根据以上材料完成下列问题： （1）如图2，网格图中每个小方格边长为1，利用“双求法”，求中边上的高； （2）如图3，当网格图中的为钝角三角形时，求中边上的高； （3）如图4，在中，，，，交延长线于点．请用“双求法”（勾股定理）列方程求的长． 25. 阅读材料： 当我们遇到含有的代数式求值时，常常先移项再平方，去掉根号，构造整式方程，简化计算． 例：已知，求的值． 解：由，得，两边平方：，即，所以． 请根据以上方法解决下列问题： （1）若，求的值； （2）已知，求的值； （3）在中，，斜边，直角边，求这个直角三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $