精品解析：山东省济南市莱芜区2025-2026学年上学期期中考试七年级数学试题

莱芜区2025—2026学年度第一学期期中考试七年级 数学试题 本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是． 故选D． 2. 在中，，，的对边分别是，，，则下列条件不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理． 判断三角形是否为直角三角形，可通过角是否为或边是否满足勾股定理逆定理进行判断，逐项判断即可． 【详解】解：三角形内角和为， 选项，设，，， 则， 解得， ，能说明是直角三角形，选项不符合题意； 选项，，，， ，，，且其他组合也不满足勾股定理的逆定理， 不能说明是直角三角形，选项符合题意； 选项，设，，， ， 能说明是直角三角形，选项不符合题意； 选项，， ，能说明是直角三角形，选项不符合题意． 故选：． 3. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因式或因数，解决本题的关键是根据最简二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项： ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C选项： ，中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D选项： 的被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故D选项符合题意． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据第四象限内点的坐标特征，可得答案． 【详解】解：由题意，得 x=2，y=﹣3， 即M点的坐标是（2，﹣3）， 故选B． 【点睛】本题考查点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题关键． 5. 正比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数、正比例函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答． 根据k的符号来判定正比例函数、一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：当时，正比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、三象限； 当时，正比例函数经过二、四象限，一次函数经过二、三、四象限； 综上判断： 选项，正比例函数经过二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，不符合题意，选项错误； 选项，正比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、三象限，符合题意，选项正确； 选项，图中无正比例函数，不符合题意，选项错误； 选项，正比例函数经过二、四象限，一次函数图象经过一、二、三象限，不符合题意，选项错误． 故选：． 6. 如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系中，已知黑棋的坐标为，黑棋的坐标为，则白棋的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征． 先利用已知两点的坐标画出直角坐标系，然后可写出白棋的坐标． 【详解】解：根据题意可建立如图所示平面直角坐标系： 由坐标系知白棋的坐标是， 故选：D． 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与轴的交点为 B. 的值随的增大而减小 C. 它的图象与轴的交点为 D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数的性质，分别计算与坐标轴的交点、判断增减性和图象所经象限． 【详解】解：一次函数为， 当时，， 与 轴交点为 ，选项错误； ， 随的增大而增大，选项错误； 当时，， 解得， 与轴交点为，选项正确； ，， 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项错误． 故选：． 8. 如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是． 故选：C． 9. 如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先由勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：设点M表示的数为m， ， 由勾股定理得：， 由题意得：， ， 故选：B． 10. 如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，，轴，交轴于点，交直线于点．点在线段上，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理等，掌握相关知识是解题的关键．先求出点的坐标，由此求出点坐标，的长度，再得到的长度，通过勾股定理得到的长，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ， ， ，， 将代入，得：， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 比大且比小的整数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴比大且比小的整数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 12. 若点在轴上，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了x轴上点的坐标特征，解题的关键是正确求得的值． 根据轴上点的坐标特征，纵坐标为，由此求出的值，再代入横坐标表达式计算即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴纵坐标， 解得， ∴横坐标， ∴点的坐标为． 13. ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小比较和化简绝对值， 根据绝对值的定义，一个数的绝对值是非负的．由于，因此，故其绝对值为其相反数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为． 14. 一个长方体盒子按如图所示放置，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的外表面爬到盒顶的点，蚂蚁爬行的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别从三个路径计算讨论，得出结果再比较最短路径． 【详解】解：分三条路径考虑： ①从正面和上底面爬行，如图： 此时，， 则； ②从正面和右侧面爬行，如图： 此时，， 则； ③从下底面和右侧面爬行，如图： 此时，， 则， ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用，解题关键是灵活考虑最短路径的几种不同情况分类讨论计算再比较大小． 15. 为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为，应交水费为（元），写出与之间的关系式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用． 根据九月份用水量与水费的关系可得的值，根据十月分用水量和水费的关系即可求得的值，根据题意写出与之间的关系式即可． 【详解】解：九月份的用水量为，水费为12元，未超过6， 则，解得， 十月份的用水量为，水费为元，超过6 ∴，解得， 设某户该月用水量为，应交水费为， 即 故答案为： ， 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行运算即可． （2）先计算二次根式的除法运算，化简二次根式，再进行二次根式的加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 在平面直角坐标系中直线的图象是由的图象平移得到的，且经过点． （1）求的表达式； （2）若点为直线上一点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得两个一次函数的相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）将点代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，一次函数：的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点， ∴经过点， ∴， 解得； ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵点在上， ∴， 解得． 18. 如图，，垂足分别为、，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先证明，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得． 19. 已知的平方根是，的立方根是2． （1）求的算术平方根； （2）是的整数部分，求的立方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的性质可得，，从而得到，，再代入，即可求解； （2）先估算出，可得，然后再代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是的整数部分， ， ∴， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，如图所示， （1）与关于轴成轴对称，在平面直角坐标系中画出，并写出点的坐标__________． （2）在轴上找一点，使最小，请在平面直角坐标系中确定的位置，并写出点的坐标__________． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 如图，点即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出，再根据的位置可得其坐标． （2）由点A关于x轴的对称点为，连接交x轴于P，结合网格特点可得的坐标，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交轴于点，则点即为所求： ∵关于轴对称， ∴， ∴， ∴最小， 结合网格特点可得：． 21. 如图：直线：和直线与轴分别相交于、两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． （1）求点的坐标及直线的函数表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）12 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用一次函数的性质求出点的坐标，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）联立两直线的表达式，求出交点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：将代入，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将和代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴． 22. 如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间一条小路，已知米，米，米，． （1）求的长； （2）为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 【答案】（1）的长为米； （2）这条水渠的最短长度为米． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理推得是直角三角形，，则，再由勾股定理可得； （2）过点作，垂足为点，由垂线段最短可得的长即为水渠的最短长度，结合三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：，， ， 是直角三角形，， ， ， 在中，； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点， 根据垂线段最短，的长即为水渠的最短长度， ， ， 水渠的最短长度为米． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理、勾股定理的逆定理、垂线段最短，解题关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 23. 阅读材料： 通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如： ， 解决问题： （1）将下列式子分母有理化： __________，__________； （2）比较大小：__________（填，或） （3）定义：两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于2的“友好二次根式”，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可求解． （2）先分母有理化，再比较大小即可求解． （3）由新定义可得：，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：； ； 而， ∴． 【小问3详解】 解：∵与是关于2的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 24. 甲、乙两人开车同时分别从相距30km的、两地出发，相向而行．图中分别表示甲、乙两人距地的距离、与行驶时间之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）求出乙行驶多长时间与甲相遇； （3）当为何值时，甲、乙相距8km？ 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答 （1）根据函数图象中点代入对应直线得解析式，利用待定系数法即可求解； （2）联立两个函数解析式，求出交点坐标即可得出相遇时间； （3）甲、乙相距8km，即或，由此列方程即可求解． 【小问1详解】 解：设 将代入， 得：，解得： ∴ 设，将、代入 得：， 解得： ∴ 【小问2详解】 由题意得：， 解得：， ∴乙行驶后与甲相遇； 【小问3详解】 相遇前：，解得： 相遇后：，解得 答：当或甲、乙相距8km 25. 一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求直线的函数表达式； （2）点是轴负半轴上一点，当是等腰三角形时，求点的坐标； （3）点是线段上的任意一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，当时，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）求解，当时，当是底时，．设，则，再进一步求解即可． （3）设，求解，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， ∴， 解得：， ∴． 当时，， 则， 设的表达式为：， 将代入，． 将代入， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：当是腰时，， 由勾股定理得：， 当时， ∴，此时， 当是底时，．设，则， 在中，， 解得：， 此时 综上所述：． 【小问3详解】 解：设， ， 解得：， ∵点在线段上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，一次函数的性质，三角形的面积，掌握以上基础知识是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱芜区2025—2026学年度第一学期期中考试七年级 数学试题 本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 在中，，，的对边分别是，，，则下列条件不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 3. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 正比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系中，已知黑棋的坐标为，黑棋的坐标为，则白棋的坐标为( ) A. B. C. D. 7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与轴的交点为 B. 的值随的增大而减小 C. 它的图象与轴的交点为 D. 它的图象经过第一、二、三象限 8. 如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，，轴，交轴于点，交直线于点．点在线段上，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. 3 D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 比大且比小的整数是______． 12. 若点在轴上，则点坐标为________． 13. ________． 14. 一个长方体盒子按如图所示放置，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的外表面爬到盒顶的点，蚂蚁爬行的最短路程是______． 15. 为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为，应交水费为（元），写出与之间的关系式________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1） （2） 17. 在平面直角坐标系中直线的图象是由的图象平移得到的，且经过点． （1）求的表达式； （2）若点为直线上一点，求的值． 18. 如图，，垂足分别为、，若，求的长． 19. 已知的平方根是，的立方根是2． （1）求的算术平方根； （2）是的整数部分，求的立方根． 20. 在平面直角坐标系中，如图所示， （1）与关于轴成轴对称，在平面直角坐标系中画出，并写出点的坐标__________． （2）在轴上找一点，使最小，请在平面直角坐标系中确定的位置，并写出点的坐标__________． 21. 如图：直线：和直线与轴分别相交于、两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，． （1）求点的坐标及直线的函数表达式； （2）求的面积． 22. 如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间一条小路，已知米，米，米，． （1）求的长； （2）为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 23. 阅读材料： 通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如： ， 解决问题： （1）将下列式子分母有理化： __________，__________； （2）比较大小：__________（填，或） （3）定义：两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于2的“友好二次根式”，求的值． 24. 甲、乙两人开车同时分别从相距30km的、两地出发，相向而行．图中分别表示甲、乙两人距地的距离、与行驶时间之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）分别求出、与之间的函数关系式； （2）求出乙行驶多长时间与甲相遇； （3）当为何值时，甲、乙相距8km？ 25. 一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求直线的函数表达式； （2）点是轴负半轴上一点，当是等腰三角形时，求点的坐标； （3）点是线段上的任意一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，当时，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $