3.2.2函数的奇偶性讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2函数的奇偶性 （2026-2027学年第一学期高一数学必修第一册第三章人教A（2019）版） 题型1、判断函数的奇偶性 例1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 变式1．已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 题型2、求函数解析式 例2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 变式2．已知函数满足：当时． (1)若是偶函数，求时的解析式； (2)用定义证明在上单调递增． 例3．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)已知集合，，求. 变式3．（多选）已知函数的定义域为，且，若为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的最大值为1 例4．已知函数是奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 变式4．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 题型3、根据奇偶性求参数 例5．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 变式5．若函数是上的偶函数，则的值为______． 题型4、解函数不等式 例6．设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式6．定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_____． 例7．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变式7．已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2函数的奇偶性 （2026-2027学年第一学期高一数学必修第一册第三章人教A（2019）版） 题型1、判断函数的奇偶性 例1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【分析】先求出（1）（2）（3）（4）（5）中函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分别判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数． （2）由，则函数的定义域为，它关于原点对称， 又，所以为奇函数． （3）由，则函数定义域为，关于原点对称， 此时，所以，所以， 所以，所以是奇函数． （4）由，则函数的定义域为， 所以函数定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数． （5）由，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 变式1．已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数奇偶性与单调性建立不等式组求解即可. 【详解】(1)函数为奇函数，理由如下：因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. (2)证明：取，规定， 则 因为，所以， 所以，即，由，所以函数在上单调递减. （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由，所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或，解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 题型2、求函数解析式 例2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 【分析】（1）直接描点并结合函数在单调递增可得函数在上的图象，再由奇函数图象的对称性可得的图象； （2）直接由奇函数的对称性可得当时，，进而可得函数在上的解析式. 【详解】（1）当时，，所以. 因为函数是定义域为的奇函数，所以. 又因为函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增. 又函数是定义域为的奇函数，所以在上单调递增. 根据描点并结合函数的性质可得函数图象如下： （2）设，则，故， 因为是奇函数，所以，，即. 故时，. 因此. 变式2．已知函数满足：当时． (1)若是偶函数，求时的解析式； (2)用定义证明在上单调递增． 【分析】（1）根据偶函数的性质，求出函数解析式即可. （2）根据单调性的定义法，直接证明函数单调性即可. 【详解】（1）当是偶函数，可得， 所以当时，，则，即， 所以时，. （2），且，则， 由，可得， 所以，即， 所以在上单调递增. 例3．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且. (1)求和的解析式； (2)已知集合，，求. 【分析】（1）根据函数奇偶性重新构造方程，联立解出即可； （2）先根据函数利用性质求出在的值域即可得出集合，利用基本不等式性质分析得出在的值域即可得出集合，然后利用集合基本运算即可得出. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由，① 则，即，② ①＋②得：， 则， ①－②得： ，则， 所以. （2）对于函数，因为，所以，所以， 从而，即，即，所以或， 对于函数，当时，，当时，， ，当且仅当即时等号成立，所以当时，， 当时，因为为奇函数，图象关于原点对称，且当时，， 因此当时，，所以当时，， 即，所以. 变式3．（多选）已知函数的定义域为，且，若为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据奇偶性可得，，联立解得，结合二次函数的图像与性质依次分析选项即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 因为为偶函数，所以，即， 联立，解得：， 对于A，，故A错误； 对于B，，所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为为图像开口向下，对称轴为的二次函数，所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D，由可得：，即函数的最大值为1，故D正确. 例4．已知函数是奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【分析】（1）由函数是奇函数得，结合，建立方程计算即可求解； （2）根据函数单调性的定义，即可证明. 【详解】（1）函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以， 因为，则，解得，所以函数的解析式为； （2）函数在区间上单调递减， 证明如下：，且， ， 因为，且，所以，，， 所以，即，所以函数在区间上单调递减. 变式4．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以，因为， 则，解得， 故. (2)函数在上单调递增， 证明如下：任取，且，因为， 则 由，则即， 故函数在上单调递增. （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 题型3、根据奇偶性求参数 例5．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的性质求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则，解得. 因为，所以，解得.。因此. 变式5．若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ，，，． 题型4、解函数不等式 例6．设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 变式6．定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内：，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为：, 又因为时为减函数，所以则， 所以的取值范围是. 例7．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 变式7．已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用奇函数定义域含时及求出参数，再将函数变形判断单调性，最后结合奇偶性与单调性脱去函数符号，转化为一元二次不等式求解． 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以，所以，所以． 因此，，， 即，所以． 因为，所以． 又是减函数， 所以，即解得,所以解集是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $