2026-2027学年高一上学期数学期中自编测试1（人教版A版）

2026-2027学年高一数学上学期期中测试1 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：必修一第1章-第4.2章第（人教版A版）。 一﹑单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知a，b＞0，且a＋2b＝1，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．设，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 10．已知幂函数的图像经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 11．已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（     ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数且的图象必过定点_____． 13．函数是定义在上的奇函数，当时，，则______． 14．定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16．某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 (1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 17．已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 18．已知函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，将其推广得到如下正确结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.根据以上结论解答下面的问题. (1)求函数图象的对称轴，并证明结论； (2)若函数和函数都是偶函数，且时，，求时，的解析式； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”的一个推广结论. 19．定义在上的函数是单调函数，，且 ． (1)求，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中测试1 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：必修一第1章-第4.2章第（人教版A版）。 一﹑单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解含绝对值的不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合，然后根据交集的概念即可求出结果. 【详解】，， 则， 故选：B. 2．化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】因为 所以， 故， 故选：A 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 故选：B 4．已知a，b＞0，且a＋2b＝1，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】∵a＋2b＝1， ∴＝＝9， 当且仅当时即时等号成立, 故选：C. 5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求出，再由抽象函数的定义域可得，解方程即可得出答案. 【详解】的定义域为， 的定义域为， 由可得： ， 解得：的定义域为. 故选：B. 6．若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数的性质，确定和的解集，再转化不等式求解集. 【详解】为上的奇函数，且在单调递减，， ，，且在上单调递减， 所以或，或， 可得，或， 即或，即， 故选：D. 7．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指数函数在上的单调性比较，的大小；再根据幂函数在上的单调性比较，的大小即可求解. 【详解】∵函数在上单调递减，且，，即. ∵函数在上单调递增，且，，即. . 故选：C. 8．若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，将问题转化为恒成立问题，然后参变分离，结合二次函数性质求解可得. 【详解】令，因为，所以， 所以当时，恒成立，即， 因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 10．已知幂函数的图像经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数的定义计算即可得C；结合奇函数性质与幂函数单调性计算即可得D. 【详解】对A：由题意可得，解得，即，故A正确； 对B：由，则，故B正确； 对C：由，故不是偶函数，是奇函数，故C错误； 对D：由，在上单调递增，故可得，解得，故D正确. 故选：ABD. 11．已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（     ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】令，求得的值，再令得到；由函数单调性的定义法判断函数的单调性；令，得到，由此递推出；由题中等量关系化简不等式得，由函数单调性列出不等式，解的解集. 【详解】选项A，令，则，则；令，则， 所以，所以不是奇函数，A选项错误； 选项B，，，且，因为，所以； 又因为当时，，所以，所以， 故在上的单调递增，B选项正确； 选项C，令，则有，所以，，，…，， 将以上式子相加可得：，C选项正确； 选项D，因为，所以原不等式可化为； 由选项C可知，所以原不等式可化为； 因为在上单调递增，所以，解得，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数且的图象必过定点_____． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 13．函数是定义在上的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解. 【详解】函数是定义在上的奇函数，所以 故答案为:. 14．定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】结合题干所给的信息赋值证明函数的单调性和奇偶性，再利用奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令，得， 令，得， 函数是定义在上的奇函数， ，令，得， 任取，则， 当时，，当 时，，即， 函数是定义在上的单调递增函数， . 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以. 16．某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 (1)写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； (2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】(1)解析式为，该企业从第2年开始盈利；理由如下： 由题意可得， 由得且， 该企业从第2年开始盈利； (2) 方案二更合理，理由如下： 方案一：， 当时y取到最大值12800， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 方案二：年平均盈利额万元， 当且仅当时，年平均盈利额最大， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理. 【分析】（1）先写出相应的解析式，再解不等式，求出该企业从第2年开始盈利； （2）方案一：配方得到时y取到最大值12800，进而得到总利润为万元；方案二：年平均盈利额为，由基本不等式求出最大值，此时处理掉智能机器人，总利润为万元，得到结论. 【详解】（1）略 （2）略 17．已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 18．已知函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，将其推广得到如下正确结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.根据以上结论解答下面的问题. (1)求函数图象的对称轴，并证明结论； (2)若函数和函数都是偶函数，且时，，求时，的解析式； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”的一个推广结论. 【答案】(1) 函数的对称轴为， 证明：因为 满足 所以是偶函数， 所以，依题意的对称轴为 . (2) (3)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数 【详解】（1）略 （2）因为函数和函数都是偶函数， 所以， 因为当时，， 所以当时，， ， 所以当时，； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数； 证明：充分性 当为奇函数时， 则有， 即， 所以函数的图象关于点成中心对称； 必要性 当函数的图象关于点成中心对称， 则有， 即， 即函数为奇函数， 综上，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 19．定义在上的函数是单调函数，，且 ． (1)求，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，函数为奇函数 (2)函数为上的减函数，证明： 任取，且，则，所以． 因为， 所以， 所以，函数为上的减函数． (3) 【分析】（1）合理赋值，利用函数奇偶性的判定即可； （2）取值、作差判定符号即可得到其单调性； （3）判断的单调性，得到其值域，再利用整体换元法即可. 【详解】（1）在等式中， 令，可得，解得． 因为函数的定义域为， 令，可得，所以， 因此，函数为奇函数． （2）略 （3）由存在，使得， 可得． 因为函数在上单调递减，所以． 令，其中，则，即函数为偶函数； 任取且， 则 ， 因为，则，则， 所以，则， 所以，函数在[0，1]上单调递增，则当时，， 即， 所以，当时，． 令，则，则， 所以，可得． 令，其中，由题意可得． 因为函数在上单调递减，所以， 则，因此，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是证明的单调性，从而得到，再利用换元法转化为二次函数求解即可. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $