2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷（提高篇）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，，则的子集个数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，求出中的元素，进而求得子集的个数. 【解答过程】根据题意，，故集合的子集个数为个. 故选：D. 2．（5分）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可. 【解答过程】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D. 3．（5分）下列哪一组中的函数与是同一个函数（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据同一函数的概念逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，从而判断是否为同一函数. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，则函数与不是同一个函数，故A不符合； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，则函数与不是同一个函数，故B不符合； 对于C，的定义域均为，又，故函数与是同一个函数，故C符合； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，则函数与不是同一个函数，故D不符合. 故选：C. 4．（5分）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 【答案】D 【解题思路】借助作差法，分与讨论即可得. 【解答过程】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， ， 则当时，，绿化率变小， 当时，，绿化率变大. 故选：D. 5．（5分）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：B. 6．（5分）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可知，当时，单调递增，又因为是单调函数，所以在上单调递增，据此列出关于的不等式组求解即可. 【解答过程】当时，是单调递增函数， 因为函数是单调函数， 则函数在上单调递增函数， 则,解得：, 所以实数的取值范围是. 故选：B. 7．（5分）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式恒成立可得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【解答过程】解：因为不等式对任意恒成立， 所以，， 因为，对称轴为，在上单调递减， 所以，当时，有最小值， 所以， 所以， 当且仅当且时等号成立，即时等号成立，满足. 所以的最大值为. 故选：C. 8．（5分）定义在上的函数满足，当时，，若不等式 对任意恒成立，则实数的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件判断出的奇偶性和单调性，然后通过运算将问题转化为“”，结合单调性分析恒成立问题，从而求解出的取值范围. 【解答过程】因为对成立，所以为奇函数， 当时，，在上单调递减，且， 又因为为奇函数，所以在上单调递减； 当时，，则， 因为为奇函数，所以， 由上可知，； 因为，， 所以， 所以 ， 由单调性可知，对任意恒成立，即对任意恒成立， 当时，，不恒成立，故不满足； 当时，只需，解得， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知是两个非空的集合，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解题思路】根据集合的运算法则和性质依次判断即可. 【解答过程】若，则，故A正确； 若，则，故B错误； 若，则，所以，故C正确； 若， 可知包含于，故，故D正确， 故选：ACD. 10．（6分）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【解题思路】由得出，可判断A选项；由已知等式变形得出，结合基本不等式可判断BCD选项. 【解答过程】因为，，，等式两边同时乘以可得， 即，即，即， 对于A选项，由得，所以，故，A对； 对于C选项，由可得， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C对； 对于B选项， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，B对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D错. 故选：ABC. 11．（6分）已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】CD 【解题思路】对A，令，得或，令，得，结合，求得；对B，令，结合，利用偶函数定义判断；对C，令，得，即可判断；对D，由B、C的解析可得函数的一个周期为4，从而计算可判断D. 【解答过程】对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A错误； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数的图象关于成中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，所以， 即，所以，故函数的一个周期为4， 因为，，，， 所以， 所以，故D正确. 故选：CD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知集合，，且，则的值为__________. 【答案】 【解题思路】根据集合相等得到或，分别求出、的值，再检验即可. 【解答过程】因为，，且， 所以或， 解得或或 ， 根据集合的元素的互异性可得，且， 所以，此时，，满足， 所以. 故答案为：. 13．（5分）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 【答案】202 【解题思路】根据为奇函数推出，得出的图象关于点对称；根据为偶函数，推出，得出的图象关于直线对称，综合推出为周期是4的周期函数.根据周期函数的性质，计算一个周期的函数值，从而得出结论. 【解答过程】由题意得为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称. 由为偶函数，所以可得，所以函数关于直线对称，所以， 又因为函数关于点中心对称，所以， 所以，从而，所以函数为周期为4的函数. 因为，所以，则，因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以，又因为， 又因为，所以， 所以. 故答案为：202. 14．（5分）设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】 【解题思路】由题设恒成立，结合条件及基本不等式求左侧的最小值，即可求参数的范围，即可得参数最大值. 【解答过程】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知集合，集合． (1)时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合题意求出两个集合，再求得即可. （2）分和两种情况讨论，分别得到不等式组求解即可. 【解答过程】（1）当时，集合， 由题意得集合， 则或， 则； （2）若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 则的取值范围为． 16．（15分）已知幂函数满足，为实数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据函数是幂函数列式计算得出或，再结合计算求参； （2）结合二次函数值域计算求解； （3）应用幂函数单调性及函数定义域列不等式计算求解. 【解答过程】（1）由函数为幂函数，得，解得或， 当时，，，，满足； 当时，，，，不满足． 所以． （2）， 因为，所以，得， 故函数的值域为． （3）由得， 所以解得． 所以实数的取值范围为． 17．（15分）已知，均为任意正数． (1)求的最大值． (2)证明：． (3)若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）用基本不等式：把题目的式子分子分母同除x，分母凑成，和定积有最小值，从而原分式有最大值. （2）由(1)知右边(等号仅当)；左边通分后将分子配方，可证明左边 ≥1(等号仅当)，即可得证. （3）先分离参数，等价成不小于右边式子的最大值，注意到，直接推出，由此得到m的取值范围. 【解答过程】（1）因为为正数，则， 因(当且仅当时取等号)， 则，故可得， 即的最大值为1； （2）证明：由(1)知，当且仅当时取等. 因 ，当且仅当 时取等， 则，当且仅当时取等. 故成立； （3）不等式恒成立等价于，对一切恒成立， 注意到， ，又恒成立， 则得，当且仅当且， 即，时取等， 故得， 由题意，，解得， 故m的取值范围为. 18．（17分）已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； (3)若，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 【解题思路】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）将看成主元，构造关于的函数，则，进而可得出答案； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，和3是方程的两根，且， 所以解得； （2）因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 令， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为． 19．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由是定义在R上的奇函数，可得，再结合已知条件列方程组即可求解； （2）由（1）知，可求得函数的解析式，设任意，且，再根据函数单调性的定义证明即可； （3）结合单调性可得在上的值域，再得出二次函数在上的值域，结合已知可得，列不等式组即可求解. 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以满足，又，可得， 解得，可得， ，是奇函数，满足题意， 所以，. （2）在上单调递增，证明如下： 设任意，且，则 ， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增； （3）对任意的，由在上单调递增， 可得，即，则在上的值域为， 的对称轴为， 当时，在上为增函数， 值域为， 由题意可得，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷（提高篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，，则的子集个数为（） A． B． C． D． 2．（5分）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）下列哪一组中的函数与是同一个函数（   ） A．， B． C． D． 4．（5分）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（   ） A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大 5．（5分）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 6．（5分）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）定义在上的函数满足，当时，，若不等式 对任意恒成立，则实数的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知是两个非空的集合，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（6分）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（6分）已知定义域为的函数，对任意实数，都有，且，则以下结论一定正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知集合，，且，则的值为__________. 13．（5分）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 14．（5分）设正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知集合，集合． (1)时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（15分）已知幂函数满足，为实数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若，求实数的取值范围． 17．（15分）已知，均为任意正数． (1)求的最大值． (2)证明：． (3)若不等式恒成立，求的取值范围． 18．（17分）已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数x的取值范围； (3)若，求关于x的不等式的解集． 19．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $