专题4.2 指数函数【知识清单+12大题型+强化训练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册重难点题型精讲精练系列

专题4.2 指数函数-重难点题型精讲 知识点01：指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 【即学即练】 1．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 知识点02：指数函数的图象与性质 指数函数的图象和性质如下表所示： 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 【注意】(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则； 即，(底大幂大)；时，． 图2-3-1 图2-3-2 (4)特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示． 【即学即练】 2．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为______． 题型01 指数函数的概念 1．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 2．（25-26高三上·江苏淮安·开学考试）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 题型02 指数函数求值或解析式 5．（25-26高一上·湖南娄底·期末）函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 6．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数，则________． 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）指数函数过点，则______. 8．（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 题型03 指数函数的定点问题 9．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知函数（且）的图象恒过定点，则定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·福建三明·期中）若函数，且的图象恒过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 12．（25-26高一上·云南·阶段检测）函数，且的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 题型04 根据指数函数图像求参数取值范围 13．（25-26高一上·上海·课前预习）（多选）若函数（且）的图像过第二象限，则必有（　　） A． B．且 C．且 D．且 14．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 15．（25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 题型05 指数函数图像的应用 17．（25-26高三上·河北唐山·期末）已知，则、、的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若函数的图象与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 20．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 题型06 指数型函数的单调区间 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． 22．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）函数的单调递减区间为______. 23．（25-26高一上·北京·阶段检测）函数的单调增区间为___________． 24．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 题型07 指数幂的比较大小 25．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）设，，，则 a、b、c 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．（2027高三·全国·专题练习）已知，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 28．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则（ ） A． B． C． D． 题型08 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围 29．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（      ）. A． B． C． D． 30．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型09 利用指数函数单调性解不等式 33．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 34．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为______. 36．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型10 指数函数的最值问题 37．（2026高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 38．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数是定义在R上的奇函数（）． (1)求的解析式； (2)求时，函数的值域． 39．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，对任意的，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 40．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若函数，，讨论在上的最小值， 题型11 指数函数的恒成立和存在问题 41．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 42．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________． 43．（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 44．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设函数（，）． (1)证明函数是奇函数，并判断单调性（不需要证明）； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，求的最大值． 题型12 指数函数的综合问题 45．（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知函数（其中a，b为常量，且）的图象经过点， (1)求函数的解析式 (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 46．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 47．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知函数 . (1)求关于 的不等式 的解集； (2)求 的值； (3)若对任意 ，且 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 48．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 6．（25-26高一上·天津·期末）若函数（且）在上为减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广西百色·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 10．（25-26高一上·山西阳泉·期末）（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 13．（26-27高三上·云南曲靖·期中）已知函数若恒成立，则的取值范围为______． 14．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是________． 15．（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． (1)求，的解析式； (2)令函数．求不等式的解集． 16．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，直线与曲线至少有3个交点，求实数的取值范围； (3)若，，，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 指数函数-重难点题型精讲 知识点01：指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 【即学即练】 1．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 知识点02：指数函数的图象与性质 指数函数的图象和性质如下表所示： 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 【注意】(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则； 即，(底大幂大)；时，． 图2-3-1 图2-3-2 (4)特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示． 【即学即练】 2．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先由恒成立将问题转化为求参数范围，当时自动满足，当时分离参数得，由基本不等式求出其最小值为2，即得. 【详解】不等式对任意恒成立，即恒成立， 当时，， 因为，所以，即恒成立，无需对附加条件， 当时，，要使对任意恒成立，即， 因为，由基本不等式，当且仅当 时取等号，所以在上的最小值为， 要使恒成立，只需 综上，实数的取值范围为. 题型01 指数函数的概念 1．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【详解】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 2．（25-26高三上·江苏淮安·开学考试）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 【答案】①④⑦ 【分析】由指数函数的定义逐一判断即可. 【详解】因为形如且的函数称为指数函数， 所以所给的7个函数中，只有①④⑦是指数函数. 题型02 指数函数求值或解析式 5．（25-26高一上·湖南娄底·期末）函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【分析】应用分段函数解析式求解函数值. 【详解】函数，则. 故选：D. 6．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数，则________． 【答案】 【分析】根据解析式代入求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）指数函数过点，则______. 【答案】 【详解】设， 由题意，所以. 8．（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 题型03 指数函数的定点问题 9．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知函数（且）的图象恒过定点，则定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的特征，令，进而求出定点坐标. 【详解】因为，所以令，则，此时， 所以定点坐标为. 故选:D. 10．（25-26高一上·福建三明·期中）若函数，且的图象恒过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的图象过定点即可求解. 【详解】由指数函数的图象过定点, 令，可得， 即函数的图象恒过定点， 故选：D 11．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 【答案】 【分析】先确定函数定点得到，将待求式变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】函数的定点为， 故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为 故答案为： 12．（25-26高一上·云南·阶段检测）函数，且的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质求解. 【详解】由函数，且，令，解得，此时， 所以函数的图象恒过定点. 故选：B. 题型04 根据指数函数图像求参数取值范围 13．（25-26高一上·上海·课前预习）（多选）若函数（且）的图像过第二象限，则必有（　　） A． B．且 C．且 D．且 【答案】AD 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】（且）的图像过第二象限, 则或，故或， 故选：AD. 14．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 15．（25-26高一上·江苏南京·期中）（多选）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】作出函数的图象，由数形结合判断四个选项的正误. 【详解】的图象如下图所示,由图可知在单调递减，在上单调递增 因为， 若，因为在单调递减，此时不满足 所以，同理可得， 因为，所以 所以，即，对. 即，错. 若，因为 所以 此时，错，，对. 若,因为 所以 即 综上所述，对. 故选： 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）若直线与函数图像有两个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据和分类讨论，作出函数的图象与直线，由它们有两个交点得出的范围． 【详解】时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意； 时，作出函数的图象，如图，此时在时，， 若与函数的图象有两个交点，则，解得． 综上所述，. 故答案为：. 题型05 指数函数图像的应用 17．（25-26高三上·河北唐山·期末）已知，则、、的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，设，，，则、、分别为直线与函数、、图象交点的横坐标，对的取值进行分类讨论，数形结合可得出、、的大小关系. 【详解】设，设，，， 则为直线与函数图象交点的横坐标， 为直线与函数交点的横坐标， 为直线与函数图象交点的横坐标， 当时，如下图所示： 由图可得，D符合题意； 当时，可得，B符合题意； 当时，如下图所示： 由图可得，C符合题意. 故选：A. 18．（25-26高一上·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性，以及函数的特殊值即可确定出结果. 【详解】因为，所以，函数是增函数，排除AB选项 因为，所以，当时，，排除 D选项. 故选：C 19．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若函数的图象与直线有三个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象即可得结果. 【详解】作出的图象，如图所示： 因为直线与函数的图象有3个交点，可得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 20．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 题型06 指数型函数的单调区间 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为；单调递减区间为． 【分析】（1）先去掉解析式中的绝对值，再利用平移变换作图． （2）根据图象，结合函数单调性，即可判断. 【详解】（1）由题意，， 所以的图象可由的图象向左平移个单位，再截取的部分得到． 的图象可由的图象向左平移个单位，再截取的部分得到． 所以函数的图象如图： . （2）由图象可知其单调递增区间为；单调递减区间为． 22．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）函数的单调递减区间为______. 【答案】 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可求解. 【详解】函数由外层函数，内层函数构成， 内层函数的对称轴为，单调递增区间是，单调递减区间是，外层函数是增函数， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 23．（25-26高一上·北京·阶段检测）函数的单调增区间为___________． 【答案】 【分析】求出给定函数定义域，再求出函数的单调区间，然后借助复合函数单调性即可得解. 【详解】函数中，，解得， 即函数定义域为， 因函数在上单调递减，在上单调递增， 又指数函数为单调递减， 因此，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调增区间是. 故答案为：. 24．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】令，可得，结合指数函数性质和二次函数性质及复合函数的单调性判断方法即可确定结论. 【详解】函数的定义域为， 令，时，． ，， 函数为增函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 由复合函数法可知函数在上单调递减，在上单调递增． 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 题型07 指数幂的比较大小 25．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）设，，，则 a、b、c 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数y =在R上单调递增，因为，故. ，而，故，综上可得. 26．（2027高三·全国·专题练习）已知，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，，，即可判断选项ABC错误，再由不等式性质证明选项D正确. 【详解】对于选项A，取，，，则，，但，故选项A错误； 对于选项B，取，，，则，，但，故选项B错误； 对于选项C，取，，，则，，但，故选项C错误； 对于选项D，因为，，所以，故选项D正确. 27．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数，指数函数单调性结合题设可判断选项. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即. 因为函数在R上单调递减，且，所以，即， 所以. 28．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对底数相同的代数式，利用指数函数单调性进行比较，得到，；再对指数相同的代数式，利用幂函数单调性比较与，得到，最后整合不等式，排出大小即可. 【详解】， 在单调递减， ， ， 在单调递增， ， ， 在单调递增，， ， 综上：. 题型08 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围 29．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（      ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据分段函数的单调递增所满足的三个条件计算可求解. 【详解】因为分段函数在上单调递增，需要同时满足三个条件： ①当时，指数函数且单调递增，所以底数需满足； ②当时，一次函数单调递增：所以一次项系数需满足，解得； ③在分界点处，左段的函数值不能超过右段在处的起始值， 即当时： ，化简得，解得. 联立三个条件，解得，即. 因此实数的取值范围为. 30．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 31．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 32．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】外层函数单调递减，复合函数在上单调递增，故内层函数需在上单调递减，结合二次函数性质分类讨论． 【详解】外层函数在上单调递减，根据“同增异减”可知内层函数需在上单调递减； 当时，，在上单调递减，符合条件； 当时，二次函数开口向上，对称轴为，需满足，解得； 当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，符合条件； 综上可得. 故选 ：B． 题型09 利用指数函数单调性解不等式 33．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可. 【详解】令，定义域为， ，所以为奇函数. 因为，在上递增，易知函数在上为增函数， 因为，， 所以原不等式可转化为， 即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 34．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性、单调性解不等式可得答案. 【详解】因为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数， 因为在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递减， 则不等式，即， 则，解得，即实数的取值范围是． 故选：C. 35．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题知，进而将不等式转化为，再结合的单调性解得对任意恒成立，最后根据一元二次不等式恒成立问题分类讨论求解即可. 【详解】因为， 所以 因为在上的单调递减，所以在上的单调递增， 又因为，在上的单调递增， 所以在上的单调递增 所以， 又，即 所以 所以， 所以，即对任意恒成立， 当时，恒成立， 当时，对任意恒成立等价于，解得. 所以，实数的取值范围为 故答案为： 36．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数变形为，设，从而得出为奇函数，进而得到，由可得，然后分析出的单调性，得出答案. 【详解】， 设，， 因为，所以为奇函数， 则．即， 又，在R上均为减函数，所以在R上为减函数， 由得， 即， 所以，解得或． 故选：D． 题型10 指数函数的最值问题 37．（2026高一上·福建泉州·专题练习）定义在上的函数，则的最大值是________. 【答案】 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，求出函数的最值即可． 【详解】设，，它是增函数，且，， ，它在上递增，在上递减， 因此在上递增，在上递减， ∴． 38．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数是定义在R上的奇函数（）． (1)求的解析式； (2)求时，函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 利用定义在上的奇函数满足的性质求解参数，再验证奇函数定义即可得到解析式； （2）先化简的表达式，通过换元将其转化为二次函数在闭区间上的值域问题求解可得. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，得，即，解得. 验证：当时，， 则，满足奇函数定义. 因此函数的解析式为 （2）由（1）知， 所以. 令，因为，且是上的增函数，故. 所以函数转化为函数，， 因此函数在上的值域就等价于函数在上的值域. 因为函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，取得最小值， 又因为，，且， 所以函数的最大值为. 因此的值域为. 39．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知幂函数在上单调递增，函数，对任意的，总存在使得，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】分别求出的值域，问题转化为值域的包含关系，列出不等式求解即可. 【详解】由幂函数，知，解得或， 又幂函数在上单调递增， 所以，代入检验，不符合，代入检验，满足条件. 则，即， 当时，， 又当时，， 对任意的，总存在使得， 等价于， ∴，解得， 故选：D 40．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)若函数，，讨论在上的最小值， 【答案】(1)62 (2)当时，；当时，. 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，结合完全平方公式进行求解即可； （2）根据所给函数解析式的形式进行换元，利用基本不等式，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，即有， 则； （2）函数， 令，因为， 所以，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 则， ①当时，即，，即， ②当时，即，，即. 综上所述：当时，；当时，. 题型11 指数函数的恒成立和存在问题 41．（25-26高一上·云南文山·期末）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，结合指数函数的单调性和二次函数的最值性质进行求解即可； （2）对不等式进行变形，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1），即， 令，则，， 因为， 所以当时，函数有最小值， 所以当时，函数有最小值； （2）， 因为， 所以， ，当且仅当时取等号， 即当且仅当时，有最小值. 要想存在，使得成立， 只需， 所以的取值范围为. 42．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用函数单调性分别求出函数在上的最小值，在上的最小值，再由已知列式求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则， 函数在上单调递增，则， 由任意的，都存在，使得，得，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 43．（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）解指数方程结合指数函数值域计算求解； （2）先把存在问题转化为指数不等式恒成立，结合指数函数值域计算求解. 【详解】（1）当时，， 令，则即，， 解得或，即或， 解得或. （2）设在上的值域为A，在上的值域为B，则， 因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以， 因为，所以对恒成立， 即对恒成立， 令，则，， 当时，， 所以. 44．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设函数（，）． (1)证明函数是奇函数，并判断单调性（不需要证明）； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，求的最大值． 【答案】(1) 证明：的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数， ∵，∴递增，递增，故是增函数； 证明：因为，设，则，因为，所以， 所以，则函数在单调递增， (2)； (3)﹒ 【分析】（1）应用定义法即可证明奇偶性及单调性； （2）应用抽象函数的单调性得，结合二次函数恒成立即可求解； （3）应用换元法令，转化为在区间的最值问题. 【详解】（1）函数在单调递增，证明略； （2）由（1）得在上单调递增， 不等式化为， ∴，即恒成立， ∴， 解得； （3）∵，∴，即， 解得或（舍去），. ∴， 令，由（1）可知为增函数， ， 令， ， ， 的最大值为. 题型12 指数函数的综合问题 45．（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知函数（其中a，b为常量，且）的图象经过点， (1)求函数的解析式 (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法得到关于,的方程组，求解即可. （2）利用恒成立问题的解决方法，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）将点、代入得方程组： 两式相除得，将代入， 得，解得， 因此函数解析式为 ：. （2）不等式在恒成立， 等价于： 对任意恒成立， 即大于等于的最大值， 因为底数，所以是上的单调递减函数， 最大值在处取得： 因此，即的取值范围为 . 46．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）将代入中，得出函数的解析式，然后结合二次函数和指数型复合函数性质求解即可； （3）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）当时，， 此时函数， 由函数的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，根据复合函数单调性得： 在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是. 47．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知函数 . (1)求关于 的不等式 的解集； (2)求 的值； (3)若对任意 ，且 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）应用指数运算结合指数函数单调性解指数不等式； （2）应用指数运算法则计算求解； （3）先根据指数复合函数单调性及函数的中心对称性得，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，得， 即， 即， 所以不等式的解集为. （2），. （3）对任意的，且，不等式恒成立， 显然函数在上单调递增，，即， ， 由（2）可知， 即， 即，解得， 故实数的取值范围为. 48．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 【答案】(1)最小值-3，无最大值 (2) (3) 【分析】（1）用把函数变成关于的二次函数，然后通过配方找到最小值点，因为且二次函数开口向上，所以只有最小值，没有最大值. （2）同样令，把不等式化为，把分离出来，变成求一个分式的最大值，再令，把分式变成二次函数，通过对称轴求出最大值，得到的取值范围. （3）把也令，变成，题目意思是在区间上的最大值和最小值的差要不少于，按分情况讨论：在区间左侧、内部还是右侧，分别讨论单调性并算差值，判断是否满足条件. 【详解】（1）由题意知，的定义域为， 令，则， 当时，等价于， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，二次函数取得最小值-3， 即时，取得最小值-3，无最大值． （2）令，当时，， 对任意的恒成立，即在时恒成立， ，令，则，不等式变为， 记，则函数的图象开口向下，对称轴为， 在时的最大值为，因此，， 即的取值范围为． （3）由题知， 令，当时，，则等价于， 题目等价于“存在，使得成立”， 等价于“在上的最大值与最小值之差大于或等于”， 分情况讨论： ①当时，易知在上单调递减，最大值与最小值之差为： ，由，知，满足条件， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，知在上单调递增，最大值为，最小值为， 差为：，由，得，满足条件； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，最大值为或， ，，均不符合条件； 当时，在上单调递减， 最大值与最小值之差为， 因为，所以，不符合条件， 综上，的取值范围为． 1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）的图象过定点. 3．（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数单调性求出在上的值域，再利用偶函数的性质求出指定区间上的值域. 【详解】当时，，，函数在上单调递减， 当时，，又函数是上的偶函数， 则当时，，所以函数在上的值域为. 故选：A 4．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小值为，则实数的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴非正的值. 【详解】设，则，函数等价于函数． 令，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线． 当，即时，在上单调递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 或（舍去）． 所以实数的值是. 6．（25-26高一上·天津·期末）若函数（且）在上为减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足，且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 7．（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用参数分离得出，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解. 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 8．（2026·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解. 【详解】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，， 则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 9．（25-26高一上·广西百色·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 10．（25-26高一上·山西阳泉·期末）（多选）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 11．（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，在同一坐标系下画出与的图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________． 【答案】1 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数， 则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是1．故答案为1． 13．（26-27高三上·云南曲靖·期中）已知函数若恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】通过研究分段函数的值域，要使恒成立，即，即可求解. 【详解】当时，，；当时，，所以； 若恒成立，则，解得． 14．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合指数函数单调性判断函数的单调性再判断的奇偶性，利用函数的奇偶性单调性化简不等式，即可得答案． 【详解】因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数. 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 因为，所以， 结合函数为奇函数可得，， 又函数为增函数，所以， 所以， 所以的取值范围是. 15．（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． (1)求，的解析式； (2)令函数．求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）由奇函数和偶函数的性质解方程组可得； （2）构造函数，利用奇函数的性质和单调性解抽象函数不等式可得. 【详解】（1）由，得． 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，，则，联立， 解得，． （2）令．因为是奇函数，所以是奇函数， 又和在上单调递增， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得， 则，则，解得或， 故不等式的解集为． 16．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，直线与曲线至少有3个交点，求实数的取值范围； (3)若，，，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，；单调递增区间为， (2) (3) 【分析】（1）作出的函数图像，进而求解； （2）由（1）得在上为拱段，在两侧为，分类讨论即可求解； （3）先判断的单调性，进而求出在的最大值，再转化为，进而得对任意恒成立，分别求在区间的最大值和的最小值即可求解. 【详解】（1）依题意，，      作出函数的大致图象如下所示， 观察可知，的单调递减区间为，， 单调递增区间为，； （2）结合（1）中的图象可知， 在上为拱段，在两侧为． 直线与两侧支的交点满足， 两根之积为，且负根、正根， 故恒有2个有效交点， 因此“至少有3个交点”等价于直线与拱段有交点． 临界状态为直线与该拱段相切， 联立，整理得，      则，解得或， 又，舍去， 当时，切点，确在拱段上；更大时直线与拱段有2个交点． 综上，实数的取值范围为； （3）设，化为， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，最大值为；      则化为对任意恒成立， 则，可得：对任意恒成立，      函数在区间单调递增，有最大值2， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $