4.3 对数【知识清单+8大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3 对数 第一部分：知识清单 知识点一：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点二：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点三：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点四：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点五：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 第二部分：典型例题汇总 典例一 对数的概念判断与求值 典例二 指数式与对数式的相互转化 典例三 对数运算 典例四 对数运算性质的应用 典例五 换底公式的应用 典例六 运用换底公式证明恒等式 典例七 利用已知条件对数求值问题 典例八 对数的实际运用 第三部分：典型例题 典例一 对数的概念判断与求值 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 2．（25-26高一上·全国·阶段检测）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3). 4．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 典例二 指数式与对数式的相互转化 5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 6．（26-27高一上·全国·课前预习）已知，则（ ） A． B． C． D． 7．（2026高一上·全国·专题练习）指底对换法则： ，则． （   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 典例三 对数运算 9．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·重庆永川·模拟预测）______. 11．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若，则__________． 12．（26-27高三上·天津西青·阶段检测）计算：__________. 典例四 对数运算性质的应用 13．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D． 14．（26-27高一上·江苏·阶段检测）计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 15．（2026·甘肃天水·模拟预测）（1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 16．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2)已知，，求 典例五 换底公式的应用 17．（26-27高三上·四川达州·阶段检测）计算： (1) (2) 18．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 19．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）若，，则________（用、表示）． 20．（26-27高三上·天津南开·开学考试）计算_________ 典例六 运用换底公式证明恒等式 21．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2)； (3) 22．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）求值： (1)； (2). 23．（25-26高一上·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 24．（25-26高一上·贵州六盘水·阶段检测）求值： (1)； (2)． 典例七 利用已知条件对数求值问题 25．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 27．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 28．（2026·广东广州·模拟预测）若，，则____________．（用，表示） 典例八 对数的实际运用 29．（26-27高三上·安徽·阶段检测）在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 30．（2026·江苏镇江·模拟预测）某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 31．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（    ） A．1.14 B．1.15 C．1.16 D．1.17 32．（25-26高一上·四川泸州·期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（    ）（取：） A． B． C． D． 第四部分：课后检测 1．（25-26高一下·贵州·期中）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 3．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·期中）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 6．（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 9．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若__________. 13．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知，则______． 14．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）计算：______________． 15．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 16．（2027高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 对数 第一部分：知识清单 知识点一：对数概念 1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2、常用对数与自然对数 ①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为 ②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作 说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. 知识点二：指数式与对数式的相互转化 当且， 知识点三：对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点四：对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 知识点五：对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 第二部分：典型例题汇总 典例一 对数的概念判断与求值 典例二 指数式与对数式的相互转化 典例三 对数运算 典例四 对数运算性质的应用 典例五 换底公式的应用 典例六 运用换底公式证明恒等式 典例七 利用已知条件对数求值问题 典例八 对数的实际运用 第三部分：典型例题 典例一 对数的概念判断与求值 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 2．（25-26高一上·全国·阶段检测）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用对数的性质和指数式与对数式的互化关系求解． 【详解】（1）由，得， 故. （2）由，得，故. （3）因为， 所以，所以. 4．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 典例二 指数式与对数式的相互转化 5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 6．（26-27高一上·全国·课前预习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 7．（2026高一上·全国·专题练习）指底对换法则： ，则． （   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【详解】因为， 所以． 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以. 典例三 对数运算 9．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10．（2026·重庆永川·模拟预测）______. 【答案】 【详解】原式. 11．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若，则__________． 【答案】 或 【分析】先利用对数运算性质换元转化为代数方程求解. 【详解】要使方程有意义，则且， 因为，， 设（，因为），则原方程可化为： 整理得， 即 解得或. 当时，，解得； 当时，，解得. 12．（26-27高三上·天津西青·阶段检测）计算：__________. 【答案】10 【详解】原式 典例四 对数运算性质的应用 13．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 所以． 14．（26-27高一上·江苏·阶段检测）计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设 ，则 ，， 原式 ； （2）由，，， 设 ，则 ， 所以 ， 原式 ； （3）由，，，， 原式 ． 15．（2026·甘肃天水·模拟预测）（1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1） ． （2） ； （3）． ，． 所以． 16．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 . （2）因为，，即，即， 所以. 典例五 换底公式的应用 17．（26-27高三上·四川达州·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)100 (2)2 【分析】（1）将指数幂进行整理，根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数的运算法则，和对数恒等式，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 18．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 19．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）若，，则________（用、表示）． 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，由换底公式可得. 20．（26-27高三上·天津南开·开学考试）计算_________ 【答案】 【详解】原式 . 典例六 运用换底公式证明恒等式 21．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）求值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （3）利用换底公式结合对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . 22．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂运算求解即可； （2）根据对数运算性质以及换底公式运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 23．（25-26高一上·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数运算法则，直接计算即可得解． （2）先根据指数运算法则化简所求式子，然后将已知条件代入，利用换底公式化简计算即可求解． 【详解】（1） ． （2）因为，， 所以 ． 24．（25-26高一上·贵州六盘水·阶段检测）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据指数幂的运算性质化简求值即可. （2）根据对数运算性质及换底公式化简计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式. 典例七 利用已知条件对数求值问题 25．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，. 26．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【详解】由，得 因为，所以 所以 所以 27．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用对数公式：， 对数相等，底数相同，则真数相等：， 而，所以， ， 即. 28．（2026·广东广州·模拟预测）若，，则____________．（用，表示） 【答案】 【详解】. 典例八 对数的实际运用 29．（26-27高三上·安徽·阶段检测）在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 【答案】B 【详解】由题意得，，两式相除得，所以，所以，对应地形为复杂山地. 30．（2026·江苏镇江·模拟预测）某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半衰期的定义推导参数关系，再代入剩余质量为原质量的条件求解对应时间. 【详解】由半衰期定义，当时，剩余质量， 即，则. 当剩余质量为原质量的时，则， 所以. 由于指数函数为单调函数， 所以，则. 31．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（    ） A．1.14 B．1.15 C．1.16 D．1.17 【答案】B 【详解】由题意得，故，所以，， 两边取常用对数得，所以. 32．（25-26高一上·四川泸州·期末）把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（    ）（取：） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，的物块经过后的温度， 的物块经过后的温度. 要使得两块物体的温度之差不超过，则， 即，解得. 第四部分：课后检测 1．（25-26高一下·贵州·期中）已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为 所以，. 2．（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数式与指数的互化可得出的值. 【详解】由可得，故. 故选：C. 4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【详解】设， 则，，， 所以， 又，，则，所以. 故选：C 5．（26-27高一上·全国·期中）国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 所以， 即最接近. 6．（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数化成指数，使用指数运算求解. 【详解】由，得，即， 因为，所以，得 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的运算性质和指数幂的运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，所以 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 【答案】B 【详解】 . 9．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】 选项A：对两边平方得 ，得，A正确； 选项B：指数函数为单调递增函数，等价于， 解得，B错误； 选项C：由得，得，故，C正确； 选项D：，D正确. 10．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 11．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 12．（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）若__________. 【答案】 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式计算，即可求解. 【详解】                                                                                           13．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知，则______． 【答案】 【详解】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 14．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）计算：______________． 【答案】 【详解】原式 . 15．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式; （2）原式； （3）因为，所以， 所以， 所以. 16．（2027高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用对数运算法则和指数运算法则计算即可； （2）利用对数运算法则计算即可求解. 【详解】（1） （2）原式 ． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $