专题1.1 集合的概念 重难点题型精讲【知识清单+8大题型+强化训练】-2026-2027学年高一上学期人教A版必修第一册重难点题型精讲精练系列

本讲义聚焦集合的概念这一核心知识点，系统梳理元素与集合的定义及符号表示，元素的确定性、互异性、无序性，元素与集合的关系及常用数集记法，以及列举法、描述法两种表示方法，形成递进的学习支架。 资料按知识点分模块讲解，每个知识点后设“即学即练”，结合阶段检测题和课堂例题，题型覆盖基本概念、元素关系等，培养学生数学思维中的推理意识，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲 知识点01：元素与集合的概念及符号表示 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 4.元素与集合的符号表示：通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素. 【即学即练】 1.（25-26高一上·海南·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（     ）. A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2022且小于2014的所有整数能组成集合 知识点02：集合中元素的特性 元素特性 理 解 应用 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. 确定性是判断一组对象是否形成集合的标准，给定一个集合，则任何一个对象都能明确它是否为这个集合的元素，如“著名的科学家”中“著名的”是一个含糊不清的概念，没有统一的标准，所以它不能构成一个集合. 互异性 一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. 在同一个集合中，没有相同的元素，因而可以根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验，如一元二次方程的根组成的集合只含有一个元素1. 无序性 集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 无序性主要应用在判断两个集合是否相等，只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的，如集合和是相等的. 【即学即练】 1.（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，，且，则集合________． 知识点03：元素与集合的关系 关系 含义 记法 示例 属于 是集合中的元素，就说属于集合 所有正实数构成的集合记为，则， 不属于 不是集合中的元素，就说不属于集合 对元素与集合关系的理解： （1）或取决于是不是集合的元素，根据集合中元素的确定性，知对任何元素与集合，在与这两种情况中必有一种且只有一种成立. （2）符号“”与“”是表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点要切记.并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换． 常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【注意】0是自然数，0∈N． 【即学即练】 1.（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）下列关系中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 知识点四：集合的表示方法 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，应将”m∈N*“写进”{　}“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 【即学即练】 1.（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合． (1)不大于10的非负奇数集； (2)且； (3)且，； (4)； (5)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合． 题型01 集合的基本概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）(多选)下列说法正确的是（    ） A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2 014且小于2 026的所有整数不能组成集合 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）下列各项中，不可以组成集合的是（    ） A．所有的正数 B．方程的实数根 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 3．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）下列四组对象中，能构成集合的是（    ） A．很薄的纸 B．高个子的人 C．与2接近的数 D．所有的正方形 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（    ） A．某中学所有成绩优秀的学生 B．边长为2的正方形 C．比较大的数字 D．著名的数学家 题型02 判断元素与集合的关系 5．（25-26高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26高一·全国·随堂练习）用符号“”和“”填空： （1）______N；    （2）1______；    （3）______R； （4）______；    （5）______N；    （6）0______． 7．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型03 用列举法表示集合 9．（25-26高一上·上海·期中）集合用列举法表示为________． 10．（25-26高一上·重庆·阶段检测）集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·上海·课后作业）用列举法表示集合________． 12．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）用列举法表示集合______． 题型04 用描述法表示集合 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的所有自然数组成的集合； (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合. 14．（25-26高一·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． （1）小于5的正有理数组成的集合：______； （2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______； （3）偶数集：______； （4）抛物线上的所有点组成的集合：______． 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 16．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段检测）（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为或 题型05 同一集合的判断 17．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列各组中的M，P表示同一集合的是（    ） A．M={3，-1}，P={(3，-1)} B．M={(3，1)}，P={(1，3)} C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1} D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R} 18．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 19．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）（多选）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型06 根据元素与集合的关系求参数 21．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 22．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 23．（25-26高一上·云南·阶段检测）（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 24．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为______． 题型07 集合元素个数的问题 25．（26-27高一上·全国·课堂例题）由实数所组成的集合里面元素最多有________个. 26．（2026高三下·吉林·竞赛）设，则集合中的元素个数为______． 27．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 28．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 题型08 利用集合中元素的特异性求参数 29．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 30．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值． 31．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 32．（25-26高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 1．（2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 2．（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一上·全国·专题练习）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河南濮阳·阶段检测）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一上·全国·专题练习）（多选）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 10．（25-26高一上·云南临沧·阶段检测）（多选）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 12．（25-26高二下·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 13．（25-26高一上·上海静安·期末）已知集合，，则__________． 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程的解集； (3)不等式的解的集合； (4)二次函数图象上的所有点组成的集合． 16．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲 知识点01：元素与集合的概念及符号表示 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）. 3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 4.元素与集合的符号表示：通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素. 【即学即练】 1.（25-26高一上·海南·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（     ）. A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2022且小于2014的所有整数能组成集合 【答案】ACD 【分析】根据集合元素的确定性依次判断每个选项得到答案. 【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，故A正确； 高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，故B错误； 正偶数的全体可以构成一个集合，故C正确； 大于2 022且小于2 014的所有整数能构成集合，故D正确. 故选：ACD. 知识点02：集合中元素的特性 元素特性 理 解 应用 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. 确定性是判断一组对象是否形成集合的标准，给定一个集合，则任何一个对象都能明确它是否为这个集合的元素，如“著名的科学家”中“著名的”是一个含糊不清的概念，没有统一的标准，所以它不能构成一个集合. 互异性 一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. 在同一个集合中，没有相同的元素，因而可以根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验，如一元二次方程的根组成的集合只含有一个元素1. 无序性 集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 无序性主要应用在判断两个集合是否相等，只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的，如集合和是相等的. 【即学即练】 1.（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知集合，，且，则集合________． 【答案】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 知识点03：元素与集合的关系 关系 含义 记法 示例 属于 是集合中的元素，就说属于集合 所有正实数构成的集合记为，则， 不属于 不是集合中的元素，就说不属于集合 对元素与集合关系的理解： （1）或取决于是不是集合的元素，根据集合中元素的确定性，知对任何元素与集合，在与这两种情况中必有一种且只有一种成立. （2）符号“”与“”是表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点要切记.并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换． 常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【注意】0是自然数，0∈N． 【即学即练】 1.（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）下列关系中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数集符号的意义及元素与集合的关系判断作答 【详解】是实数集，是整数，有，故①正确， 是有理数集，是分数，而是无理数，有，，故②正确，④不正确， 表示自然数集，有，故③不正确； 表示整数集，-3是整数，有，故⑤正确； 所以正确的个数是3， 故选：C 知识点四：集合的表示方法 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，应将”m∈N*“写进”{　}“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 【即学即练】 1.（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合． (1)不大于10的非负奇数集； (2)且； (3)且，； (4)； (5)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据题意，结合集合的表示方法，合理利用描述法表示集合，即可求解. 【详解】（1）解：由不大于10，即小于或等于10，非负是大于或等于0，所以不大于10的非负奇数集，用列举法可表示为. （2）解：由集合且，可得，解得且， 当时，可得，满足题意； 当时，可得，不满足题意； 当时，可得，不满足题意； 当时，可得，满足题意； 当时，可得，满足题意； 当时，可得，满足题意， 所以集合且可表示为. （3）解：由集合且，则满足且且， 所以，所以可表示为集合. （4）解：由方程且，解得， 所以集合可表示为集合. （5）解：由平面直角坐标系内，点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以与坐标轴的距离相等的点组成的集合，可表示为集合. 题型01 集合的基本概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）(多选)下列说法正确的是（    ） A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2 014且小于2 026的所有整数不能组成集合 【答案】AC 【详解】对于A，由于中国的所有直辖市是确定的，所以可以组成一个集合，故A正确； 对于B，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，故B错误； 对于C，由于正偶数是确定的，所以正偶数的全体可以组成一个集合，故C正确； 对于D，由于大于2 014且小于2 026的所有整数是确定的， 所以大于2 014且小于2 026的所有整数能组成集合，故D错误． 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）下列各项中，不可以组成集合的是（    ） A．所有的正数 B．方程的实数根 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 【答案】C 【分析】由集合元素的确定性即可判断 【详解】根据集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素，故接近于0的数不能组成集合. 故选:C 3．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）下列四组对象中，能构成集合的是（    ） A．很薄的纸 B．高个子的人 C．与2接近的数 D．所有的正方形 【答案】D 【分析】根据集合的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】根据集合的定义知： 对于A中，很薄的纸中的元素不确定，不能构成集合； 对于B中，高个子的人的元素不确定，不能构成集合； 对于C中，与2接近的数的元素不确定，不能构成集合；     对于D中，所有的正方形元素是确定的，所以可以构成集合. 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（    ） A．某中学所有成绩优秀的学生 B．边长为2的正方形 C．比较大的数字 D．著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】成绩优秀的学生、比较大的数字、著名的数学家这三组对象均不满足确定性，故ACD错误； 边长为2的正方形满足确定性，可以构成集合，故B正确； 故选：B. 题型02 判断元素与集合的关系 5．（25-26高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据元素与集合之间的关系结合常用数集逐项分析判断. 【详解】对于①：因为为实数集，所以，正确； 对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误； 对于③：因为为自然数集，，正确； 所以正确的有3个. 故选：C. 6．（25-26高一·全国·随堂练习）用符号“”和“”填空： （1）______N；    （2）1______；    （3）______R； （4）______；    （5）______N；    （6）0______． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系判断. 【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 （1）（2）（3）（4）（5）（6）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）. 7．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常用数集的范围判断即可. 【详解】N表示自然数集，-1不是自然数，故A错； 表示正整数集，0不是正整数，故B正确； Q表示有理数集，不是有理数，故C错； R表示实数集，是实数，故D错. 故选：B. 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 题型03 用列举法表示集合 9．（25-26高一上·上海·期中）集合用列举法表示为________． 【答案】/ 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；，，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 10．（25-26高一上·重庆·阶段检测）集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解，即可. 【详解】由， 可得， 即，又 所以， 故选：C 11．（25-26高一上·上海·课后作业）用列举法表示集合________． 【答案】 【分析】结合列举法与描述法的转化即可分别求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 用列举法表示集合为， 故答案为：． 12．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）用列举法表示集合______． 【答案】 【分析】由可列举出符合题意的的值，进而表示出集合． 【详解】集合 所以可以取的值为，1，2，3，所以． 故答案为：． 题型04 用描述法表示集合 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的所有自然数组成的集合； (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的表示方法即可得解. 【详解】（1）被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为； （2）比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为； （3）平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为. 14．（25-26高一·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． （1）小于5的正有理数组成的集合：______； （2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______； （3）偶数集：______； （4）抛物线上的所有点组成的集合：______． 【答案】 【分析】根据各项集合的自然语言描述，直接应用描述法写出集合即可. 【详解】（1）由描述可得：集合为. （2）第一、三象限角平分线上的所有点都在上，故集合为. （3）由偶数可表示为，故集合为. （4）由描述知：集合为. 故答案为：，，，. 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【详解】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 16．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段检测）（多选）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为或 【答案】AC 【分析】根据集合的描述法逐一分析判断即可得解. 【详解】对A，时，表示所有的奇数，A正确； 对B，表示小于10的实数集，B错；同理可得C正确； 对D，不是不等式的解，D错. 故选：AC. 题型05 同一集合的判断 17．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）下列各组中的M，P表示同一集合的是（    ） A．M={3，-1}，P={(3，-1)} B．M={(3，1)}，P={(1，3)} C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1} D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R} 【答案】CD 【分析】利用集合相等的定义判断. 【详解】在A中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误； 在B中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C中，M={y|y=-1}={y|y≥-1}，P={t|t=-1}={t|t≥-1}，二者表示同一集合，故正确； 在D中，M={m|m≥4，m∈R}，即M中元素为大于或等于4的所有实数，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P中元素也为大于或等于4的所有实数，故M，P表示同一集合，故正确． 故选：CD 18．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用集合相等的概念判断. 【详解】在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 19．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 20．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）（多选）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 题型06 根据元素与集合的关系求参数 21．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 22．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 23．（25-26高一上·云南·阶段检测）（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】BC 【分析】讨论或两种情况，解等式即可求解. 【详解】由题意得，或．若，则，解得或． 当时，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则，解得或．当时，，当时，舍去． 综上，x可能为，． 故选：BC 24．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为______． 【答案】/-1.5 【分析】由，则或，注意元素的互异性即可． 【详解】， 当，解得，此时不符合题意， 当，解得（舍去），或， 时，符合题意， 综上，． 故答案为：． 题型07 集合元素个数的问题 25．（26-27高一上·全国·课堂例题）由实数所组成的集合里面元素最多有________个. 【答案】2 【详解】当时，各个式子都为0，所组成的集合里面元素只有1个； 当时，由于， 因此，时，所组成的集合里面元素只有个； 时，所组成的集合里面元素有2个. 综上所述，所组成的集合中的元素最多有2个. 26．（2026高三下·吉林·竞赛）设，则集合中的元素个数为______． 【答案】31 【分析】以集合为基础，通过线性组合构造集合，分析该组合的取值范围与连续性，即可最终确定集合的元素个数. 【详解】当时，得； 当时，得， 因为变量的系数为1，当固定时，取1，2，3，4可使连续取4个整数； 变量的系数分别为2，3，4，其组合可覆盖从10到40的所有整数，无间隔， 即10到40之间的所有整数都可以表示为的形式， 所以集合中的元素为从10到40的所有整数，共有个. 27．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况进行讨论. 【详解】集合只有一个元素， 所以方程只有一个实数解. 若，方程只有一解； 若，方程只有一个实数解，所以. 故选：AC 28．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 题型08 利用集合中元素的特异性求参数 29．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 30．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可. 【详解】因为中，为分母，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以或. 当时，不满足集合的互异性，故舍去. 当时，集合为 . 综上所述，，. 所以 31．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 32．（25-26高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 1．（2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 2．（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数集字母表示可得答案. 【详解】表示正整数集，表示有理数集，表示非负整数集，表示整数集. 对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为2是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，方程组解集为点集，即为. 4．（25-26高二下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 5．（2026高一上·全国·专题练习）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合，得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，且，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 7．（25-26高一上·河南濮阳·阶段检测）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知， 当时，的解有且仅有一个：， 符合题意，所以； 当时，要使的方程的解集 中有且仅有一个元素，则有：，则. 所以实数的值组成的集合中的元素个数为：2. 故选：B. 8．（2026高一上·全国·专题练习）（多选）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据集合元素的互异性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据元素互异性且，即且， 根据选项知符合条件. 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 10．（25-26高一上·云南临沧·阶段检测）（多选）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过联立方程组的方法来求得正确答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是： 或. 故选：BC 11．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性求解. 【详解】由，则或， 若，解得或，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 若，解得，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 综上，的可能取值为或. 故选：AD. 12．（25-26高二下·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 【答案】5 【详解】由已知， 所以集合中的元素共有个. 13．（25-26高一上·上海静安·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【分析】解一元二次方程化简集合，再根据集合的概念和表示方法求解即可. 【详解】由可得，解得或， 所以， 故答案为： 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程的解集； (3)不等式的解的集合； (4)二次函数图象上的所有点组成的集合． 【答案】(1){8} (2) (3) (4) 【详解】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为{8}． （2）方程可化为：， 所以，所以方程的解集为． （3）由，得.故不等式的解集为． （4）“二次函数的图象上的所有点”用描述法可表示为． 16．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 学科网（北京）股份有限公司 $