精品解析：山东省济南第一中学2026-2027学年高一上学期第二次学习质量检测数学试题

2026级高一第二次学习质量检测 高一数学 一、选择题：本题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】由题可得：, 故选：B 2. 二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的最值得出二次函数的开口得出单调性即可比较大小. 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 3. 已知，，记，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 4. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐一判断选项可得结果. 【详解】解：若，则，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D错误； 故选：A. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合元素特征判断两集合关系． 【详解】由可知，当，为偶数时， ，此时，与中元素相同， 当，为奇数时，与不相等，故． 6. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】命题，解得：，所以命题：， 命题，即：，因为能推出， 但不能推出，所以命题是命题的充分不必要条件. 7. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，解得且，即的定义域是. 8. 已知是定义在上的奇函数，时，，则时的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的对称性，即可求解. 【详解】因为时，， 设，则，所以， 又因为是定义在上的奇函数， 所以. 9. 学校举办运动会时，高一（1）班共有30名同学参加比赛，有18人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有5人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加三项比赛的有1人，则只参加田径一项比赛的有（ ） A. 1人 B. 2人 C. 3人 D. 5人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合韦恩图列出方程，代入计算，即可求解. 【详解】 如图，设只参加田径一项比赛的有人，只参加球类一项比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛且不参加游泳比赛的有人． 故可解得故只参加田径一项比赛的有2人． 故选：B 10. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得， 所以. 又因为，所以， 即，当时等号成立. 因为，所以； 因为，所以. 将两同向不等式相加，得： ， 当时等号成立. 综上所述，的取值范围是. 11. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，则． 12. 下列说法错误的是（     ） A. 函数与是相同的函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若，则 D. 函数的最小值为6 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由抽象函数定义域的性质即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由基本不等式即可求解D． 【详解】由，解得，则的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，故函数与是相同的函数，故A正确，不符合题意； 由，得，所以的定义域为，故B正确，不符合题意； 因，所以，故C正确，不符合题意； 因， 当且仅当时取等号，因方程无解，等号不成立，故D错误，符合题意． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出，再根据偶函数的对称性和题设给的的增减性解题即可 【详解】 是定义在上的偶函数，，解得，的定义域为 又，当时， 在单调递减， 再由偶函数的对称性可知，解得 答案选C 【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略所有括号中的取值都必须在定义域内 14. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 最小值为4 B. 最大值为4 C. xy最小值为2 D. xy最大值为2 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式，通过换元分别构造关于和的不等式，求解最值后判断选项正误 【详解】已知，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 设，，由基本不等式得，即，将题设条件变形为，代入上述不等式得 ， 两边同乘4整理得，因式分解为.因为，故， 即的最小值为4，当且仅当时取等号，因此A正确，B错误； 将题设条件变形为，代入基本不等式，得 ， 即 ，令，不等式变为， 因式分解为，因为，故，即，平方得， 即的最小值为4，因此C、D均错误. 15. 若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数单调性，结合反比例函数、一次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在上为减函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 二、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 16. 下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意； 对于，，不是偶函数，不符合题意； 对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意； 对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意； 故选：． 17. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题p的否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可. 【详解】对于A，命题，则命题p的否定是，故A正确； 对于B，不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，，即， 即，故a的取值范围为，故C正确； 对于D，关于x的方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 18. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定的函数式，逐项计算判断即可. 【详解】对于AB，，A正确，B错误； 对于CD，由，得，C错误，D正确. 故选：AD 19. 已知关于的不等式的解集为则（   ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理、不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】已知关于的不等式的解集为可知， 且方程 的两个根为和， 由韦达定理可知，则， 对于A选项，由上述推导可知，A错误； 对于B选项，不等式， 因为，所以不等式两边除以得，解得，B正确； 对于C选项，由上述推导可知是方程的根，所以，C错误； 对于D选项，不等式可转化为， 两边同时除以得，，解得，所以不等式解集为，D正确． 20. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在和上单调递减 C. 函数在定义域上的最小值为2 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先对函数分离变形，结合反比例函数的性质以及函数图像的变换逐一验证即可. 【详解】，，即， 则的定义域为，A正确； 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减，B正确； 由，没有最小值，可知C错误； 关于点对称，关于点对称， 关于点对称，D正确． 故选：ABD 21. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，取，满足，而，A错误. 对于B，由正实数满足，得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确； 三、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 22. 满足条件⫋⫋的集合M的个数是______． 【答案】6 【解析】 【详解】由⫋，可得：，，且，即除外至少含有中的1个元素； 由⫋可得：，即除外至多含有中的2个元素； 因此满足条件的集合与集合的非空真子集一一对应， 其非空真子集个数为， 即满足条件的集合的个数为6. 23. 已知函数的定义域为，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】令，得， 令，得，所以， 于是． 24. 已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 25. 已知函数，若，则实数______． 【答案】或 【解析】 【分析】分、、三种情况解方程，即可解得实数的值. 【详解】当时，由，可得，合乎题意； 当时，由，解得，合乎题意； 当时，由，解得，不合乎题意. 综上所述，或. 故答案为：或. 26. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用偶函数对称性得到两侧单调性与零点，再把乘积不等式拆成两个不等式组，结合定义域分段讨论符号求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增，， 故时，；时，； 时，；时，； 不等式等价于或，解得或， 故不等式的解集为. 27. 定义为中的最小值，设，则的最大值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则为三段函数图像中靠下的部分， 从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点， 即， 所以． 故答案为：2. 四、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 28. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【小问1详解】 的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与  轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. 【小问2详解】 ， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 29. 解答以下问题： （1）已知实数满足条件，求的最大值，并说明取到最大值时的值； （2）已知实数，求的最大值，并说明取到最大值时的值． 【答案】（1）最大值为，此时. （2）最大值为，此时 【解析】 【小问1详解】 ，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，此时. 【小问2详解】 ，，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，此时. 30. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. （1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; （2）当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①函数在区间上单调递增，证明如下 ： ，且， ， 因为，所以， 所以， 所以，即. 所以在单调递增， ②[0，1]. 【解析】 【分析】（1）由函数成中心对称的充要条件可得为奇函数，可得对称中心； （2）①根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增； ②依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位， 向上平移1个单位得到的； 所以为奇函数， 可得函数图象的对称中心是. 【小问2详解】 当时，. ①函数在区间上单调递增，证明略； ②因为是奇函数，所以关于点对称， 设在上的值域为在上的值域为B. 因为对任意，总存在，使得，所以， 由①可知在上单调递增，又，所以， 又， 当时，在上单调递增， 又关于点对称，所以函数在也单调递增， 故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，得，又，所以此时不存在. 当时，在单调递减，在单调递增， 又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减， 所以，要使， 只需，且， 解得，又所以， 当时，在单调递减，所以在单调递减， 所以在单调递减，所以， 所以，所以，又，所以此时不存在， 综上：，即的范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一第二次学习质量检测 高一数学 一、选择题：本题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，记，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 4. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，时，，则时的表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 学校举办运动会时，高一（1）班共有30名同学参加比赛，有18人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有5人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加三项比赛的有1人，则只参加田径一项比赛的有（ ） A. 1人 B. 2人 C. 3人 D. 5人 10. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 12. 下列说法错误的是（     ） A. 函数与是相同的函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若，则 D. 函数的最小值为6 13. 已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是 A. B. C. D. 14. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 最小值为4 B. 最大值为4 C. xy最小值为2 D. xy最大值为2 15. 若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 16. 下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ） A. B. C. D. 17. 下列说法中正确的有（ ） A. 命题，则命题p的否定是 B. “”是“”的必要条件 C. 若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 18. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 19. 已知关于的不等式的解集为则（   ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 20. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在和上单调递减 C. 函数在定义域上的最小值为2 D. 函数的图象关于点对称 21. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 22. 满足条件⫋⫋的集合M的个数是______． 23. 已知函数的定义域为，且，则__________． 24. 已知函数对任意的都有，则________． 25. 已知函数，若，则实数______． 26. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，且，则不等式的解集为_________． 27. 定义为中的最小值，设，则的最大值是_____． 四、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 28. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 29. 解答以下问题： （1）已知实数满足条件，求的最大值，并说明取到最大值时的值； （2）已知实数，求的最大值，并说明取到最大值时的值． 30. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数. （1）写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）; （2）当时， ①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明; ②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $