精品解析：江苏常州市正衡中学2026-2027学年第一学期八年级10月阶段质量调研数学试卷

2026～2027学年第一学期江苏常州正衡中学质量调研 八年级数学（10月） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的算术平方根是4 C. 平方根等于本身的数是0和1 D. 0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意； 因为的算术平方根是2，所以B不符合题意； 因为平方根等于本身的数是0，1的平方根是，所以C不符合题意； 因为0的平方根与算术平方根都是0，所以D符合题意； 故选：D． 2. 在实数，3.14，，（每两个2之间0的数目每次多一个），中，无理数的个数有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，是整数， ∴是有理数； ∵3.14是有限小数， ∴3.14是有理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵（每两个2之间0的数目每次多一个）是无限不循环小数， ∴该数是无理数； ∵中是无理数， ∴是无理数； ∴无理数共有2个. 3. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，再根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，即边之间的夹角， 即． 4. 如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理分别计算各线段的长即可得解． 【详解】解：由图可知，，  ，  ，  ，  长度为的是线段． 5. 如图，点、在线段上，，，再添加一个条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，则可证明，结合，，可利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意． 6. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每本书长，厚度为， ∴， ∴． 故选：A． 7. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小红先画出了，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小红第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ． 8. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 二、填空题（每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9. 比较大小：5________（填“>”，“<”或“=”），16的平方根是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】比较两个正实数的大小可通过比较二者的平方值，结合平方根的定义求解16的平方根 【详解】解：∵ 5和均为正数，可通过比较平方值判断大小 ∴，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 16的平方根为． 10. 若一个正方形的面积是8，则它的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知正方形的面积，结合正方形面积与边长的数量关系，根据边长为正的隐含条件计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴， 解得：或（舍去）． 11. 如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1＋∠2＝________． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】根据题意可得出两个三角形全等，从而可以得出∠1+∠2=90°． 【详解】解：根据题意得：△AEC≌△BDA， ∴∠2=∠CAE， ∴∠1+∠2=90°， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了全等图形的知识，解题的关键是根据题意得到全等的三角形，难度不大． 12. 学期末学校组织体检，测得小亮同学的身高为米，精确到米得到的近似值是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．把百分位上的数字9进行四舍五入即可． 【详解】解：1.69米，精确到0.1米得到的近似值是1.7米． 故答案为：1.7． 13. 如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积是. 14. 如图，在四边形中，，点E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为6，则四边形的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】利用平行线的性质和中点定义证明，从而得出面积相等及线段相等，将四边形面积转化为三角形面积，最后利用中线平分三角形面积的性质求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，的面积为6， ∴是的中线， ∴， ∴ ． 15. 新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，是边上的高，点E是边上的中点，在中，边的“中偏度值”为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离． 根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， 即， 解得：， ∵点E是边上的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16. 如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，共60分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 求下列等式中的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方根的定义即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解． 【小问1详解】 解：移项，得， 两边开平方，得； 【小问2详解】 解：整理得， 则． 19. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式计算即可． （2）对代数式进行通分，代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ∵，， ∴， ， ∴， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ， ． 20. 如图，分别以的边，为腰作等腰和等腰，，，且，使点，，在同一直线上． （1）求证：； （2）若，，，则线段的长为________，的长为________． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中 ， ∴， ∴； （2）4， 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）由已知及可得，再由面积求得的长，进而求得的长；再由等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：由（1）得． ∵，， ∴． 由，得， ∴ ， ∴， 即． ∵，， ∴， ∴， ∴． ，，为等腰直角三角形， ∴， 即， 解得：． 故线段的长为4，的长为． 21. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）以点为圆心，为半径画弧，则圆弧与轴正半轴交点的横坐标为________； （2）借助的三边，说明与的大小关系； （3）若保持点，不动，点从图中的位置沿轴向右移动，当时，直接写出平移后点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出即可求解； （2）根据网格求出，，，然后根据三角形三边关系，求出结果即可； （3）设点B的坐标为，根据两点间距离公式列出方程，解方程得出或，从而得出点B的坐标为或． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， ∴圆弧与轴正半轴交点的横坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， ， ， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：设点B的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点B的坐标为或． 22. 富比尼原理（Fubini’s Principle），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系．在一节数学活动课上，老师带领同学们探寻“算两次”原理的奥秘． （1）任务1：用图1所示的四个大小完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成了一个世界数学年会的会徽图案，通过不同的方法计算这个图形的面积来证明：． （2）任务2：如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，求的长． 【答案】（1）证明：大正方形边长为，面积．另一方面，图形由四个全等直角三角形与中间小正方形组成：直角三角形两直角边为，，小正方形边长为． ． 两种方式算同一图形面积，故． （2） 【解析】 【分析】（1）先用大正方形边长表示总面积为，再用四个直角三角形加中间小正方形的面积和表示总面积为，根据面积相等证得勾股定理． （2）在网格中用割补法算出面积等于 4，用勾股定理算出底边，再利用三角形面积公式，求出高． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设网格左下角为坐标原点，格点坐标：，，． 用割补法求：． 由勾股定理求底边： ． 由三角形面积公式，代入： ． ∴． 23. 【神奇的变换】 （1）如图，在四边形中，，垂足为，则______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【翻折一下】 （2）若将图1中的沿直线AC翻折（如图2所示），其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【旋转一下】 （3）若，，（1）中的其它条件不变（如图3所示），将绕点按逆时针方向旋转度（）后得到图4．求证：． 【平移一下】 （4）若将图1中的沿直线平移，使得和重合，得到（如图5所示），连接，，则有．利用该结论，解决问题：如图6，在中，，是内一点，若，，且，则的最大值为______． 【答案】 （1） （2）成立， 理由：，． 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，． ． （3）证明：如图4，过点作，交的延长线于点，过点作，于点， ，，， 是等腰直角三角形，． ，, 是等腰直角三角形，． ，，． ． ，． ． 又，． ，． 设，，，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，，即， ， ． ． （4） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是本题的关键． （1）在中，，在中，，在中，，在中，，即可得结论； （2）在中，，在中，， 在中，，在中，，即可得结论； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，于点，易证，设，，，，根据，，，，，即可得到结论； （4）将沿着向上平移，使得与重合，连接，，由结论可求的值，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：（1），． 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，． ． 故答案为：＝． （2）略 （3）略 （4）如图6，将沿着向上平移，使得与重合，连接，， ，． 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ． 由结论可得，， ． ． ， 的最大值为， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期江苏常州正衡中学质量调研 八年级数学（10月） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的算术平方根是4 C. 平方根等于本身的数是0和1 D. 0的平方根与算术平方根都是0 2. 在实数，3.14，，（每两个2之间0的数目每次多一个），中，无理数的个数有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 5. 如图，点、在线段上，，，再添加一个条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小红先画出了，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 二、填空题（每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9. 比较大小：5________（填“>”，“<”或“=”），16的平方根是________． 10. 若一个正方形的面积是8，则它的边长为________． 11. 如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1＋∠2＝________． 12. 学期末学校组织体检，测得小亮同学的身高为米，精确到米得到的近似值是________米． 13. 如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是__________． 14. 如图，在四边形中，，点E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为6，则四边形的面积为______． 15. 新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，是边上的高，点E是边上的中点，在中，边的“中偏度值”为_____． 16. 如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 三、解答题（本大题共7小题，共60分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． （1）； （2） 18. 求下列等式中的值： （1）； （2） 19. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 20. 如图，分别以的边，为腰作等腰和等腰，，，且，使点，，在同一直线上． （1）求证：； （2）若，，，则线段的长为________，的长为________． 21. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）以点为圆心，为半径画弧，则圆弧与轴正半轴交点的横坐标为________； （2）借助的三边，说明与的大小关系； （3）若保持点，不动，点从图中的位置沿轴向右移动，当时，直接写出平移后点的坐标． 22. 富比尼原理（Fubini’s Principle），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系．在一节数学活动课上，老师带领同学们探寻“算两次”原理的奥秘． （1）任务1：用图1所示的四个大小完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成了一个世界数学年会的会徽图案，通过不同的方法计算这个图形的面积来证明：． （2）任务2：如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，求的长． 23. 【神奇的变换】 （1）如图，在四边形中，，垂足为，则______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【翻折一下】 （2）若将图1中的沿直线AC翻折（如图2所示），其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【旋转一下】 （3）若，，（1）中的其它条件不变（如图3所示），将绕点按逆时针方向旋转度（）后得到图4．求证：． 【平移一下】 （4）若将图1中的沿直线平移，使得和重合，得到（如图5所示），连接，，则有．利用该结论，解决问题：如图6，在中，，是内一点，若，，且，则的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $