精品解析：江苏省常州市钟楼区昕弘实验学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷

2025秋学期八年级数学学科素养评价 一、单选题（每小题2分，共16分） 1. 气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心的位置的是（ ） A. 西太平洋 B. 北纬，东经 C. 距台湾300海里 D. 台湾附近 2. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置．下列各点中，一定没有被书本遮住的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某学校平面示意图，若建立适当的平面直角坐标系，花坛位置可用坐标表示，则教学楼的位置用坐标表示为（ ） A. B. C. D. 4. 点在轴上，则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 5. 小明在学习画一次函数的图像时，列表如下： … 0 1 2 … … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（ ） A. 动点的速度是 B. 的长为 C. 的值为13 D. 在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 计算：__________． 10. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 11. 在弹性限度内，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的关系式为，当弹簧长度为时，弹簧所挂物体的质量为___________kg． 12. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________．（填“>”“<”或“=”） 13. 俗话说：“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才．”小明前x天的背单词总量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，若小明在前n天的日平均背单词量最高，则n的值为___________． 14. 在平面直角坐标系中，线段经过平移后得到线段，已知点的对应点为．若点的对应点为，则点的坐标为________． 15. 如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为________． 16. 如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上移个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的的范围为_________________． 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 19. 已知关于x的正比例函数． （1）当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？ （2）当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？ 20. 为加强劳动教育，落实五育并举，渭南市某校在校园内建立了一处劳动教育基地．现学校选定基地中土壤水平及光照时长适中的一块地来种植一种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据．数据记录如下．通过分析数据，发现菜苗的高度（单位：）与菜苗种植天数（单位：天）为一次函数关系． 菜苗种植的天数天 菜苗高度 （1）求与之间的函数关系式； （2）查阅资料了解到该菜苗在高度达到时成熟，求该菜苗成熟时种植的天数． 21. 课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【解决问题】 （2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 22. 如图，直线：与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线：经过点C，且与交于点 （1）求直线与的解析式； （2）记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； （3）根据图象，直接写出的解集． 23. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； （2）如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 24. 如图1，汽车以速度V（m/s）匀速行驶，若一路绿灯通过路口A、B、C、D且10≤V≤25，则称V为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔30 s交替一次，其余因素忽略不计． I．从红绿灯设置到绿灯速度 设汽车在第0秒出发，行驶t s后路程为S m．图2表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况． （1）路段BC的长度为______m，路口A绿灯亮起______s后路口D绿灯亮起； （2）求出射线OC3所对应的V的值，判断此时V是否为绿灯速度，并说明理由； （3）写出这种红绿灯设置下绿灯速度的取值范围，并在图2中画出对应的示意图 II．从绿灯速度到红绿灯设置 （4）当V＝20时，汽车经过的每个路口绿灯都恰好开始亮起．根据题意，在图3中画图表示各路口的红绿灯设置． 25. 在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点． （1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． （2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． （3）如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋学期八年级数学学科素养评价 一、单选题（每小题2分，共16分） 1. 气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心的位置的是（ ） A. 西太平洋 B. 北纬，东经 C. 距台湾300海里 D. 台湾附近 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是坐标确定位置．根据用参照物确定物体的位置需要与参照物的相对方向和距离进行分析，即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，两点确定一个点的位置， 根据各选项的数据，只有北纬，东经能确定台风中心的位置． 故选：B． 2. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置．下列各点中，一定没有被书本遮住的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查各象限内点的坐标特征，属于基础知识；由图知，书本遮住了坐标系中的第一、三、四象限的部分，只有第二象限内的点一定不被书本遮住，由此即可求解． 【详解】解：由图知，第二象限内的点一定不被书本遮盖，而在第二象限， 所以此点一定不被书本遮住， 而在第四象限，在第一象限，在第三象限，都有可能被书本遮住； 故选：B． 3. 如图是某学校平面示意图，若建立适当的平面直角坐标系，花坛位置可用坐标表示，则教学楼的位置用坐标表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平面内点的位置的确定．根据已知点的坐标即可建立恰当的平面直角坐标系，进一步求得要求点的坐标． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系， 则教学楼的位置是． 故选：B． 4. 点在轴上，则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标轴上的点的特征， 点P在x轴上，则其纵坐标为0，由此求出m的值，再代入横坐标即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴纵坐标， 解得． ∴横坐标， ∴点P的坐标为． 故选：D． 5. 小明在学习画一次函数的图像时，列表如下： … 0 1 2 … … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5，进而得到时，，进行判断即可． 【详解】解：由表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5， ∴当时，， 当时，， 故算错的函数值为； 故选：C． 6. 如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得出点到轴的距离为3，再结合点到轴的距离得出点的坐标即可． 【详解】解：平分，， 点到的距离与的长相等． 又， 点的纵坐标为3． 点到轴的距离是4， 点的横坐标为， 点的坐标为． 故选：． 7. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 8. 已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（ ） A. 动点的速度是 B. 的长为 C. 的值为13 D. 在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象问题，从函数图象中有效的获取信息，分点分别在上运动时，进行讨论，逐一判断即可． 【详解】解：当点H在上时，如图所示，     ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，     ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，     ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，     ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示，     ，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故A正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故B正确； ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故C正确． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故D错误． 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 10. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 11. 在弹性限度内，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的关系式为，当弹簧长度为时，弹簧所挂物体的质量为___________kg． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数解析的应用，已知函数值求解自变量的值，把代入即可得到答案． 【详解】解：当时，得， 解得， ∴它所挂物体的最大质量是． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：中， 函数值y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 13. 俗话说：“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才．”小明前x天的背单词总量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，若小明在前n天的日平均背单词量最高，则n的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】前n天的日平均背单词量越高，则背单词总量增加越快，据此观察所给图象可得答案． 【详解】解：根据图象可得，第6天背单词总量增加最快，之后增幅变缓， 因此小明在前6天的日平均背单词量最高， 故答案为：6． 【点睛】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是分析出日平均背单词量的几何意义． 14. 在平面直角坐标系中，线段经过平移后得到线段，已知点的对应点为．若点的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】（-4，5）． 【解析】 【分析】对应点之间的关系是横坐标加4，纵坐标减4，那么让点D的横坐标减4，纵坐标加4即为点B的坐标． 【详解】解：由点A（-3，2）的对应点为C（1，-2）可得坐标的变化规律为：横坐标加4，纵坐标减4，则点D的横坐标减4，纵坐标加4即为点B的坐标， 即所求点B的坐标为（-4，5）， 故答案为：（-4，5）． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 15. 如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点， ∵， ∴当点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第3次反弹， 点P的坐标为． 故答案为． 16. 如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上移个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的的范围为_________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是运用数形结合思想． 求得平移后的直线解析式，求得直线过点、、时的值，结合图象即可求解． 【详解】解：将直线向上移个单位长度，得到直线， 将代入得，， 将代入得，，解得， 将代入得，，解得， 由图象可知， 当平移后的直线与折线只有一个交点时，则或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握平方根、立方根和零指数幂的意义是解答本题的关键． （1）先算开方，再算加减即可； （2）先算开方和零指数幂，再算加减即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形； （2） 如图，即为所求作的三角形； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向下平移4个单位长度，再首尾顺次连接即可； （3）根据“关于轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变”及“右加左减、上加下减”求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是． 19. 已知关于x的正比例函数． （1）当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？ （2）当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？ 【答案】（1）当时，函数图象经过第一、三象限 （2）当时，y的值随着x值的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查正比例的图象与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据正比例函数比例系数大于0时图象经过第一、三象限； （2）根据正比例函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限； ∴， 解得：； ∴当时，图象经过一、三象限； 【小问2详解】 解：∵正比例函数中y随着x的增大而减小； ∴， 解得：； ∴当时，y随着x的增大而减小． 20. 为加强劳动教育，落实五育并举，渭南市某校在校园内建立了一处劳动教育基地．现学校选定基地中土壤水平及光照时长适中的一块地来种植一种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据．数据记录如下．通过分析数据，发现菜苗的高度（单位：）与菜苗种植天数（单位：天）为一次函数关系． 菜苗种植的天数天 菜苗高度 （1）求与之间的函数关系式； （2）查阅资料了解到该菜苗在高度达到时成熟，求该菜苗成熟时种植的天数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确求出解析式是解题的关键． （）根据表格可设与之间的函数关系式为，然后将，代入求解即可； （）将代入，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：将代入， 即，解得． 答：该菜苗成熟时种植的天数为天． 21. 课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【解决问题】 （2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【答案】（1）C；（2） 【解析】 【分析】本题考查图形变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标“左减右加”；纵坐标“上加下减”．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要弄清楚平移前后的解析式有什么关系． （1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； 【详解】解：（1）∵函数的图像沿轴向右平移3个单位长度 ∴ 故选：C. （2）在函数的图像上取两个点，关于x轴对称的点的坐标， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴一次函数的表达式为. 22. 如图，直线：与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线：经过点C，且与交于点 （1）求直线与的解析式； （2）记直线与y轴的交点为D，记直线与y轴的交点为E，求的面积； （3）根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1）：，：； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与不等式，待定系数法求一次函数的解析式： （1）先求出直线表达式，再求点B坐标，点B与点C关于y轴对称，即得点C坐标，结合点，即可求出直线的解析式； （2）先求出点和点的坐标，再根据三角形的面积公式建立等式，即可作答； （3）根据图象，要找满足的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线的图象在的图象上方，且的图象在x轴的上方． 解题的关键是求得两条直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵：经过点， 则把代入中， ∴， 解得， 所以的直线解析式为； 令， 则， 解得 所以， ∵点B与点C关于y轴对称， ∴， ∵：经过点C和点A， ， 解得， ∴的直线解析式为； 【小问2详解】 解：在直线的解析式中， 令， 则， ∴， 在直线的解析式中令， 则， ∴， ∴， ； 【小问3详解】 解：根据图象，因为，且， 则， 又因为，且直线与交于点， 所以， 故的解集为． 23. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； （2）如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 【答案】（1）3 （2）①；②；③， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数计算求解即可； （2）①由图象可知，当时，是函数图象的最低点，令代入计算求解即可； ②函数可以改写成，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式，则x的取值范围是； ③根据题意得，令或，解方程即可． 【小问1详解】 解：令，则，即 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：在平面直角坐标系中，函数的图象为两段直线组成， 由图象可知，令，则 因此，该函数图象的最低点的坐标是 故答案为：； ②根据题意得， 观察图象可知，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式， 则x的取值范围是， 故答案为：； ③根据题意得，， 则或 解得或 故答案为：，． 24. 如图1，汽车以速度V（m/s）匀速行驶，若一路绿灯通过路口A、B、C、D且10≤V≤25，则称V为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔30 s交替一次，其余因素忽略不计． I．从红绿灯设置到绿灯速度 设汽车在第0秒出发，行驶t s后路程为S m．图2表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况． （1）路段BC的长度为______m，路口A绿灯亮起______s后路口D绿灯亮起； （2）求出射线OC3所对应的V的值，判断此时V是否为绿灯速度，并说明理由； （3）写出这种红绿灯设置下绿灯速度的取值范围，并在图2中画出对应的示意图 II．从绿灯速度到红绿灯设置 （4）当V＝20时，汽车经过的每个路口绿灯都恰好开始亮起．根据题意，在图3中画图表示各路口的红绿灯设置． 【答案】（1）600；10； （2）对应的时间为10s，与各经过30s，故对应的时间为70s， 所以C3（70，1400）得：． 虽然，但是由图像可知汽车在路口D遇到红灯，所以不是绿灯速度． （3）由（2）知不是绿灯速度的原因是D路口遇到了红灯，所以当汽车刚好在通过D路口时，，此时；当汽车刚好在通过D路口时，，此时； 所以绿灯速度的取值范围：． 如图阴影部分即为所求． （4）当V＝20时，汽车经过的每个路口绿灯都恰好开始亮起，则可知汽车经过D路口的时刻为，故在图中找到点，连接OP，将OP依次向右平移30s，60s，90s……，如图即为所求． 【解析】 【分析】（1）通过获取图2反映的有关信息进行分析即可； （2）根据图2反映的信息易得点对应的坐标，即可求得V，并判定是否为绿灯速度； （3）由（2）知不是绿灯速度的原因是D路口遇到了红灯，因此分别求出汽车行驶经过和时刻对应的速度即可； （4）当V＝20时，汽车经过的每个路口绿灯都恰好开始亮起，则可知汽车经过D路口的时刻为，故在图中找到点，连接OP，将OP依次向右平移30s，60s，90s……作出图形即可． 【详解】（1）路口C对应1400m处，路口B对应800m处，因此路段BC的长度为：； 对应的表示红绿灯D亮起的时刻，为10s，A红绿灯0s时就已经亮起了，所以路口A绿灯亮起10s后路口D绿灯亮起， 故答案为：600；10； （2） 略 （3） 略 （4） 略 【点睛】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是读懂题意与图象，获取相关信息． 25. 在平面直角坐标系中，对于点和线段给出如下定义：若点满足最小，且，则称点为线段的美好点． （1）若点的坐标是，点的坐标是，线段的美好点的坐标是_____． （2）若点为轴上一动点，点为轴上一动点， ①在图1中画出线段的所有美好点； ②当点的坐标为，点在轴正半轴时，的值为_____． （3）如图2，点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点，点的坐标是，以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为的正方形上存在线段的美好点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）或 （2）①见解析；②； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了几何新定义，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，理解新定义，分类讨论是解题的关键． （1）根据新定义可得是等腰直角三角形，且是斜边；结合坐标系，写出点的坐标，即可求解； （2）①构造等腰直角三角形，结合坐标系得出美好点的坐标，进而可得美好点在象限平分线上，进而画出图形，即可求解； ②根据①的结论得出点的坐标为即，即可求解； （3）根据题意画出图形，找到的最大值与最小值，根据全等三角形的性质结合坐标系，得出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：点满足最小，且， ∴，即是等腰直角三角形，且是斜边； ∵，，且，如图所示， 线段的美好点的坐标是或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：①如图所示，直线即为所求 理由如下， 如图所示，设，过点作轴，过点作于点， ∵，，则是的美好点； 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 即点在第二象限的平分线上， 如图所示，当在的另一侧时， 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， 即点在第一象限的平分线上， 如图所示，同理可得在第三、四象限的平分线上， 综上所述，线段的所有美好点组成的图形为象限平分线； ②如图所示， 由①可得， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵点的坐标为， ∴ ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，设，过点分别作垂足分别为，分别在轴上， ∵点和点的坐标分别是，，点为线段上的动点， ∵，则，是等腰直角三角形， ∴ 即，且， 设P为线段的美好点，， 过P作直线轴，过F作于t，过G作于S，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 或， 解得， 或， 当P在上时，，即， ∴ ∴， ∵， ∴，符合题意； 当P在上时，，即或， ∴或， ∴（与P在左侧矛盾，舍去）或， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当P在上时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当P在上时，，不符合题意； 综上所述，t的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $