精品解析：甘肃省渭源县第一中学2026-2027学年第一学期期中考试试题高二数学

2026-2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 2. 在平行六面体中，下列各式不成立的有（    ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 若，两点到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 1或2 D. 1或 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正方体 的棱长为 1，动点 在线段 上，动点 在平面 上，且 平面 ，则线段 长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二．多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分.） 9. 在平行六面体中，，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：，圆：，则（ ） A. 若，则圆与圆相切 B. 若，则圆在轴上截得的弦长为 C. 若，则直线为圆与圆的一条公切线 D. 若，则圆与圆公共弦所在的直线为 11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 满足 ，则（　　） A. 当 时， 平面 B. 任意 ，三棱锥 的体积是定值 C. 存在 ，使得 与平面 所成的角为 D. 当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为 三．填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知正方体中，点为的中点，若，，则______． 13. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则________. 14. 直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行或重合，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________. 四．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知在平行四边形中，． （1）求直线的方程； （2）求的边上的高所在直线的方程； 16. （1）直线过点，且横截距为纵截距的两倍,求直线方程； （2）已知直线恒过定点A，求A点的坐标； （3）任选四点，，，中的三点，求圆的方程（多做只按第一个给分）. 17. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量，，表示，； （2）求线段的长 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 如图，三棱锥的侧棱均相等，在底面中，为中点，，． （1）证明：； （2）若，的面积为，求二面角的正弦值； （3）在第（2）问的条件下，若内（不含边界）存在一动点，满足，求直线与平面所成角的正切值的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】经过，两点的直线的方向向量为，得直线的斜率为，所以. 2. 在平行六面体中，下列各式不成立的有（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量加减法的几何意义化简各式判断正误即可. 【详解】 对于A项，，故A正确； 对于B项，，故B正确； 对于C项，，故C错误； 对于D项，，故D正确. 3. 在平行六面体中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，在平行六面体 中，，，。 根据向量加法的三角形法则，可得： ， 因为 ， 又因为 是平行四边形 对角线 与 的交点， 所以 为 的中点， 则 . 在 中，， 所以 . 综上所述， . 4. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，则， 且当时，斜率为，斜率为， 斜率乘积不为，两直线不垂直； 当时，斜率为，斜率为， 斜率乘积不为，两直线不垂直； 综上，. 5. 若，两点到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 1或2 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列出等量关系，求出的值即可. 【详解】由题可得，即， 则或， 解得或.经检验，均满足题意. 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由圆，得圆心，半径； 圆心关于直线的对称点为，， 圆关于直线对称的圆的方程为. 7. 已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意转化为函数的图象和的图象有两个交点，而函数的图象为半圆，利用直线与圆相交的位置关系求解. 【详解】已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上， 关于直线的对称直线为， 故题意等价于函数的图象和的图象有两个交点， 令，即， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以的取值范围是． 8. 如图，正方体 的棱长为 1，动点 在线段 上，动点 在平面 上，且 平面 ，则线段 长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系， 是平面 的法向量，先由 平面 表示出 点，再把 表示为函数求解． 【详解】以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，． 设 （），． ，，取平面 的法向量 ． ∵ 平面 ，∴ 与 共线，得 ，． ∴ ． ∵ ，∴ 当 时 取最小值 ，当 或 时取最大值 ． ∴ ． 二．多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分.） 9. 在平行六面体中，，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，以作为基底，判断选项AB，结合数量积公式及变形和向量垂直的性质，即可判断选项CD. 【详解】由题知，， 且，， 所以，A正确， 又，B正确， 所以， 又，， 且， 所以，C错， 因为 ， 所以，D正确. 10. 已知圆：，圆：，则（ ） A. 若，则圆与圆相切 B. 若，则圆在轴上截得的弦长为 C. 若，则直线为圆与圆的一条公切线 D. 若，则圆与圆公共弦所在的直线为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据判断； 对于B，令代入圆方程得，进而求得弦长为判断； 对于C，分别求解点，点到直线的距离即可判断；对于D，根据得两圆相交，进而两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程. 【详解】由题知圆圆心为，半径，圆圆心为，半径，两圆心距离； 对于A，时，，两圆外切，正确； 对于B，时，令代入圆方程得， 即，，圆在轴上截得的弦长为，不是，错误； 对于C，时，直线到圆的距离为，到圆的距离为， 故是两圆公切线，正确； 对于D，时，，故两圆相交， 两圆方程相减：， 化简得，即为公共弦所在直线，正确. 11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 满足 ，则（　　） A. 当 时， 平面 B. 任意 ，三棱锥 的体积是定值 C. 存在 ，使得 与平面 所成的角为 D. 当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】由平面判断A；对于B，由不与平面平行，即点到平面的距离不为定值即可判断B；对于C，建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成的角，由此即可判断；对于D，求出平面的法向量，而显然球心坐标为，求出球心到平面的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积. 【详解】当时，点与点重合，平面即为平面. 连结，由平面可得， 又平面，所以平面，因此； 同理可得，又是平面内的两条相交直线， 所以平面，因此平面，故A正确； 因为不与平面平行，所以点到平面的距离不为定值， 故三棱锥的体积不为定值，故B错误； 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的法向量为， 则 不妨设，则，所以. ， 与平面所成角的正弦值为， 此时与平面所成角大于，故C错误； 当时，则，平面的法向量 ， 所以球心到平面的距离 . 又外接球半径, 故截面圆半径， 所以截面的面积, 故D正确. 三．填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知正方体中，点为的中点，若，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】通过空间向量的线性运算将用表示，对比系数求出的值后计算和. 【详解】如图所示，在正方体中， 由，且为的中点，可得. 又，代入上式得： ， 因为，所以，， 因此. 13. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用过两点的直线斜率公式，结合倾斜角与斜率的关系列方程求解的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 已知直线过，两点， 若，则，，直线垂直于轴，直线的倾斜角为，不符合题意，舍去. 所以，即，由斜率公式，，解得. 因此的值为. 14. 直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行或重合，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出直线l1的斜率，根据平行和垂直关系可列出关于m的方程，解方程即可. 【详解】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 故答案为：4＋ 四．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知在平行四边形中，． （1）求直线的方程； （2）求的边上的高所在直线的方程； 【答案】（1） . （2） . 【解析】 【小问1详解】 平行四边形中，则， 直线过点 ，则其方程为，即. 【小问2详解】 因的斜率，则边上的高所在直线的斜率为， 又因的边上的高经过，则其方程为，即. 16. （1）直线过点，且横截距为纵截距的两倍,求直线方程； （2）已知直线恒过定点A，求A点的坐标； （3）任选四点，，，中的三点，求圆的方程（多做只按第一个给分）. 【答案】（1）或 （2） （3）当选三点时，圆的方程为； 当选三点时，圆的方程为； 当选三点时，圆的方程为； 当选三点时，圆的方程为. 【解析】 【分析】（1）依题意，分截距为0和不为0两种情况，分别用点斜式和截距式代点计算即得； （2）将直线方程转化为，由即可求得； （3）根据圆经过的三点坐标，可运用几何法或一般式法列方程求解. 【详解】（1）当直线的横纵截距均为0时，直线符合题意； 当直线的横纵截距均不为0时，依题意设其方程为， 代入点，可得，直线方程为，即. 故所求的直线方程为或； （2）将化为， 由可得，即定点的坐标为； （3）当选择时，可知线段的中垂线方程为， 则可设圆的圆心坐标为，由可得， 解得，则圆心为，半径为， 故所求圆的方程为，即； 当选择时，与上同法，可设圆的圆心坐标为， 由可得，解得， 则圆心为，半径为， 故所求圆的方程为，即； 当选择时， 不妨设圆的方程为， 则得，解得， 故所求圆的方程为； 当选择时， 不妨设圆的方程为， 则得，解得， 故所求圆的方程为. 17. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． （1）用向量，，表示，； （2）求线段的长 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合向量的线性运算求解即可； （2）根据（1），结合向量的模长公式求解即可. 【小问1详解】 解:方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点， 所以． 【小问2详解】 解：因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接，，因为为的中点，为中点，所以且， 又，，，，所以有且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用几何关系可得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由，，，得，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又，，所以，则， 如图以为原点，以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，因为为的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 又由（2）知平面，所以平面的一个法向量为. 设二面角的平面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角， 则， 所以二面角的余弦值为. 19. 如图，三棱锥的侧棱均相等，在底面中，为中点，，． （1）证明：； （2）若，的面积为，求二面角的正弦值； （3）在第（2）问的条件下，若内（不含边界）存在一动点，满足，求直线与平面所成角的正切值的范围． 【答案】（1）因为，所以， 因为且为中点，所以， 又因为，， 所以，所以， 在平面中，，所以， 即， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）三线合一得到线线垂直，由三角形全等得到与位置关系，即可得到线面垂直，由线面垂直的性质得到线线垂直； （2）由（1）计算出，并证明得到与平面的位置关系，然后由二面角的平面角的定义得到角，由边长求得二面角的正弦值. （3）由（2）建立空间直角坐标系，设点坐标，由等式求得点坐标的关系，由条件求得点坐标中的取值范围，然后由空间向量的数量积求得线面角的正弦值，然后求得线面角的正切值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，所以，所以， 由（1）可知，，平面，平面， 所以平面， 取中点，连接， 因为且为中点，所以为直角三角形，即， 所以，且平面平面， 所以二面角的平面角为， 在等腰直角三角形中，，所以，所以， 所以，所以. 【小问3详解】 由（2）可如图建立空间直角坐标系 则，设 ，所以，即， 直线 因为动点在内，所以， 所以，即. 所以. 平面的一个法向量为， 设直线与平面的线面角为， 则， 所以. 因为，所以函数在上单调递增， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $