甘肃省渭源县第一中学2026-2027学年第一学期期中考试试题高二数学

2026-2027学年第一学期期中考试试题学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 高二 数学 1． 选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．经过，两点的直线的方向向量为，则（   ） A． B．2 C． D．6 2．在平行六面体中，下列各式不成立的有（ ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A．B．C． D． 4．已知直线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D． 5．若，两点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1或2 D．1或 6．圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A．B．C． D． 7．已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．如图，正方体 的棱长为 1，动点 在线段 上，动点 在平面 上，且 平面 ，则线段 长度的取值范围为（　　）   A． B． C． D． 二．多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分.） 9．在平行六面体中，，，点是上靠近的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 10．已知圆：，圆：，则（    ） A．若，则圆与圆相切 B．若，则圆在轴上截得的弦长为 C．若，则直线为圆与圆的一条公切线 D．若，则圆与圆公共弦所在的直线为 11．如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，点 满足 ，则（　　） A．当 时， 平面 B．任意 ，三棱锥 的体积是定值 C．存在 ，使得 与平面 所成的角为 D．当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为 三．填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知正方体中，点为的中点，若，，则______． 13．若经过，两点的直线的倾斜角为，则________. 14．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行或重合，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________. 三．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15（13分）．已知在平行四边形中，． (1)求直线的方程； (2)求的边上的高所在直线的方程； 16．（15分）（1）直线过点，且横截距为纵截距的两倍,求直线方程； （2）已知直线恒过定点A，求A点的坐标； （3）任选四点，，，中的三点，求圆的方程（多做只按第一个给分）. 17（15分）．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示，； (2)求线段的长 18（15分）．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 19（17分）．如图，三棱锥的侧棱均相等，在底面中，为中点，，． (1)证明：； (2)若，的面积为，求二面角的正弦值； (3)在第（2）问的条件下，若内（不含边界）存在一动点，满足，求直线与平面所成角的正切值的范围 第5页共6页 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C C c D ABD ACD 题号 11 答案 AD 12.1 13.-4 14.4+V5 15c)￥行周边形D中CD:则=-2， 直线8C过点B(4,1,则其方程为-1=2(x-),即2x-y-7=0 (②因B的率女。一号=1，则边B上的有所在直战的斜率为 又因△1BD的边4B上的高经过D(--3 ,则其方程为y+3=x+1,即x-y-2=0 1 16.(1)当直线的横纵截距均为0时，直线y=2x符合题意： x+=1 当直线的横纵截距均不为0时，依题意设其方程为2a+a 代入点亿，可得a=2,直线方程为产+号1，即x+2y-4=0 故所求的直线方程为x+2y-4=0或x-2y=0: (2)将x+-2-k=0化为k0y-)+x-2=0, y-1=0 x=2 由x-2=0可得y=1,即定点A的坐标为A(2,): (3)当选择 (0,0，B(4,0,C(-时，可知线段4B的中垂线方程为=2 则可设圆的圆心坐标为M(2,),由MAHMC1可得V4+F=V9+6-了 答案第1页（共2页） 解得=3，则圆心为M(2,3》,半径为M作4+9=5 x-2)2+0y-3)2=13x2+y2-4x-6y=0 故所求圆的方程为 ,即 当选择1(0,0)，B(4,0,D(4,2)时，与上同法，可设圆的圆心坐标为M2,), 由MAHMD1可得4+=4+b-2沙，解得b=1, 则圈心为M2,D,半径为MM作4+I=5 故所求圆的方程 为x-2y+0-1=5.即+y-4-2y=0 当选择40，C1,D(4,2时， 2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 不妨设圆的方程为 8 D=- 3 14 则得F=0 ，解得E=、 3, -D+E+F+2=0 F=0 4D+2E+F+20=0 故所求圆的方程为2+y28x-1 3y=0. 3 当选择 (4,0),C(-1,),D(4,2） 时 2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 不妨设圆的方程为 Ds-16 5 [4D+F+16=0 则得 -D+E+F+2=0 ，解得E=-2 4D+2E+F+20=0 、16 5 收所求题的方#为2+y广-白-2y白=0 17(1)解方法：由题意知，BD=D-AB=D+A-A 答案第2页（共2页） AG-4B+BC+CG-AB+AD+CB-B+D+BB-BC) =B+D+(a4-D)=B+)D+)4: 方法二：因为C为CB的中点， CB 所以4G=(+d列=[a+）+(西+j]=+D+4 (2)解：因为四边形MBCD是正方形. ∠AAD=∠AAB=60°AA=2AB=2 所以AB.Ad=0,B.A4=1x2xcos60°=1AD.4-1x2xcos60°=1 所4G-(+号D+ =+号40+号+0+B.4+号D.M 115 =1++1+0+1+二= 24 所以5 √15 2,即线段AG的长为2： 18.(I)取PA中点M,连接EM,BM,因为E为PD的中点，M为PA中点，所以EM /IAD且 EM=AD 2 E M B AD1BC,BC=2:D=4:BC=)D,所以有EMIIBC且EM=C 所以四边形BCEM为平行四边形，则CE//BM, 又BMC平面PAB,CEC平面PAB,所以CEII平面PAB. 答案第3页（共2页） (②在PMB中，由PA=4,AB=2,PB=25,符PB=PM+AB,所以PA1A 因为平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,PAc平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD, 又AD1IBC,∠ABC=90°，所以∠BAD=90°，则AB⊥AD, 如图以A为原点，以AB，AD,AP所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， A B 则40,00)，PO0,0,C2,20,DQ4,0),因为E为PD的中点，所以 E(0,2,2) 所uP=(00,4,Ac=(22,0).E=(0,22) .AC=2x+2y=0 设平面4CE的法向量为=(x,y,z)则n.4A正=2y+2z=0: 取x=,可得少=，z=,所以i=(- 又由(2)知P11平面4BCD,所以平面4CD的一个法向量为P=(00,4) 设二面角E-AC-D的平面角的大小为B,由图可知二面角E-AC-D为锐二面角， 则cos=cos(, AP.列4_5 AP4×33， 3 所以二面角E-AC-D的余弦值为3· 19.(I)因为AB=AC,所以A0⊥BC, 因为40-BC且0为BC中点，所以0M=0B=0C 2 又因为PA=PB=PC,PO=PO=PO, 所以△PAO兰△PBO兰△PCO,所以∠POA=∠POB=∠POC, 答案第4页（共2页） 在平面PBC中，∠POB+∠POC=x'所以∠POA=∠POB=∠POC= 2 即PO⊥BC,PO⊥AO, 又因为AO∩PO=O,A0c平面APO,POc平面APO, 所以BC⊥平面APO, 因为APC平面APO, 所以AP⊥BC (2由d)可知O1C,所以Se-号BcP0=5,所以p0=万 由(I)可知PO⊥BC,PO⊥AO,AO∩BC=O,AOC平面ABC,BCC平面ABC, 所以PO⊥平面ABC, 取AC中点F,连接OF,PF, 因为40-8C且O为BC中点，所以MBC为直角三角形，即BL4C, 所以OF⊥AC,且平面BAC∩平面PAC=AC, 所以二面角B-AC-P的平面角为∠PFO, 等腰直角三角形ABC中，BC=2,所以AB=V2,所以0=AB 2, sin∠PF0=P0-V2_2W5 所以PF=VOF2+PO=10 2，所以 PF 10 5 2 答案第5页（共2页） F B (3)由(2)可如图建立空间直角坐标系0-z A B 则B0L0,C0-l0,设20e>0) B-00=05-c0,所以y+广+=1-y,即广+=1z>0), 直线PB:z=2-V2,PC:z=V2+V2y 因为动点巴在△PBC内，所以2=-少， 0<1-y<2-2y 所以0<V-<2+2y即-y< 以-2 平面18C的一个法向量为万=(0,0，) 设直线OA与平面ABC的线面角为ax, 则sina=cosi,gd= nOA O1×P+y2+222 答案第6页（共2页） 所以sina= 2,22] z∈ 3’2 sina 2√2 因为a∈0， 2,所以函数 ana= Vh-sina在sinae 3'2 上单调递增， 答案第7页（共2页）