精品解析：山东济南市历下区2026-2027学年第一学期九年级数学期中试题

九年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四组数中，成比例的一组是（ ） A. 1，2，4，5 B. 2，3，3，6 C. 1，2，2，4 D. 2，4，8，18 2. 如图，已知直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3. 下列二次函数关系式中，顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形四边形，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 无法确定 7. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧在线段上方交于点，连接，，，与相交于点．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论中正确的有（ ） ①； ②； ③若方程有两个根和，且，则； ④方程有两个根，且两根之和等于． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若与的相似比是，且的周长为3，则的周长为________． 12. 如图，已知△ABC中，D是AB边上一点，若使△ACD∽△ABC,需添加的一个条件是______________（只添加一个即可）. 13. 二次函数的图象如图所示，则的解集为________． 14. 如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形，已知篱笆的长度是，则所围矩形的最大面积是_____． 15. 如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，沿着翻折得到，交于点，则的值为___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知，且，分别求，，的值． 17. 如图，在矩形中，点，分别在，上，连接，．若，，，且，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘． （1）画出以所得四个点为顶点的四边形． （2）四边形与四边形位似中心的坐标为________，其相似比为________； （3）已知四边形与四边形位似，位似中心是原点，且四边形的面积等于四边形面积的，则点的坐标为________． 19. 某竖直上抛物体的高度（单位：米）与运动时间（单位：秒）满足二次函数关系，下表呈现了部分数据： /秒 5 10 15 20 25 /米 650 1025 1150 1025 a 根据上表回答以下问题： （1）的值为________；当运动时间为________秒时，物体的高度取得最大值，最大值为________米． （2）求物体的高度与运动时间之间的关系式． 20. 某文具店购进一批单价为6元的笔记本，如果以单价12元出售，那么每天可以销售40本．经调查发现，这款笔记本销售单价每提高1元，销售量就减少4本． （1）设销售单价提高元，每天的总利润为元，则销售量减少________本，现在的销售量为________本；（用含的式子表示） （2）请求出当销售单价定为多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少？ 21. 如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为，已知，． （1）求的值； （2）求点到地面的距离． 22. 某公园要修建一座拱形景观门，拱门轮廓近似为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，拱门底部横跨地面总宽度为，拱门最高点距离地面． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）现有一辆宽，高的观光车，如果该拱门内设单向行车道，那么这辆观光车是否可以通过？请说明理由． 23. 如图，在中，，，点是边上靠近点的三等分点．动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，点，的运动时间为秒，连接，． （1）________，________，________；（用含的式子表示） （2）当与相似时，求的值． 24. 已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）如图，当点在直线上方的抛物线上时，过点作，垂足为点，求的最大值； （3）如图，当点在轴右侧的抛物线上时，是线段的中点，连接．若，求出点的横坐标． 25. 在菱形中，，为边上一点，连接交对角线于点，延长交的延长线于点，连接． （1）如图，若为中点，请完成填空：与的位置关系为________，用等式表示线段与线段的数量关系为________． （2）如图，连接，若，． ①求线段的长（用含和的式子表示）； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四组数中，成比例的一组是（ ） A. 1，2，4，5 B. 2，3，3，6 C. 1，2，2，4 D. 2，4，8，18 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质，即最小的数和最大的数相乘与另外两个数相乘的积相等，即可判断． 【详解】解：A选项：，本选项的数不成比例； B选项：，本选项的数不成比例； C选项：，本选项的数成比例； D选项：，本选项的数不成比例． 2. 如图，已知直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴，即 ∴． 3. 下列二次函数关系式中，顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∵ 顶点坐标为， ∴ ，， 即函数关系式为， 对比选项，只有D符合． 4. 如图，四边形四边形，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， 在四边形中，， 又∵， ∴． 5. 如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：由网格的特点知，、都是正方形的角平分线， 则，， 显然，选项A、D都不是直角三角形，不符合题意； 选项B中，夹直角的两边的比为，符合题意； 选项C中，夹直角的两边的比为，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，有一角相等及夹这角的两边对应成比例判定三角形相似的方法，本题中根据网格的特点求得，是解题的关键． 6. 二次函数的图象与轴的交点个数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】将二次函数与轴的交点个数问题转化为对应一元二次方程的根的个数问题，通过判别式的符号判断． 【详解】解：令，得， ∵， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与轴有2个交点． 7. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，抛物线开口向上， 点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ． 8. 一次函数与二次函数在同一个平面坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象与性质，解题的关键是抓住、在两函数中的几何意义：同时决定直线的倾斜方向与抛物线的开口方向，决定两图象与轴的交点位置，两图象必过同一点．再结合抛物线对称轴的位置，逐一判断各选项中各量的符号是否矛盾． 【详解】解：一次函数的图象是一条直线，决定直线的倾斜方向，是直线与轴交点的纵坐标， 二次函数的图象是一条抛物线，决定抛物线的开口方向，也是抛物线与轴交点的纵坐标， ∴两图象必与轴交于同一点，且时直线从左到右上升、抛物线开口向上，时直线从左到右下降、抛物线开口向下． A项：直线从左到右上升，则；抛物线开口向上，则，二者一致，但直线与轴的交点在抛物线与轴交点的上方，两图象没有在轴上相交，即的取值不同，故A错误； B项：直线从左到右下降，则；抛物线开口向下，则，二者一致；两图象在轴的正半轴上相交于同一点，则；又抛物线的顶点在轴右侧，即对称轴，由得，各量的符号不矛盾，故B正确； C项：直线从左到右上升，则，而抛物线开口向下，则，同一个的符号矛盾，故C错误； D项：直线从左到右下降，则，而抛物线开口向上，则，同一个的符号矛盾，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象与性质，解题的关键是把、的几何意义与图象特征对应起来：决定直线的倾斜方向与抛物线的开口方向，决定两图象与轴的交点；两条曲线必过同一点，判断时先看的符号是否一致，再看与轴的交点是否重合，体现了数形结合的思想． 9. 如图，在等腰中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧在线段上方交于点，连接，，，与相交于点．以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质及作图条件得出  及 ，利用黄金三角形性质推导角度及边长比例，逐一验证选项 【详解】解：， ， 由作图知 ， 作的角平分线，交于点， 在  中，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去） ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ ，故A正确；  ， ∴四边形  是等腰梯形， ∴， 在和中， ∴， ，故B正确； ， ， ∴， 又 ，， ∴， ∴， ∴，故C正确； 由，得 ， 则， ， ∴， ， ， ∴， ，故 D 错误． 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论中正确的有（ ） ①； ②； ③若方程有两个根和，且，则； ④方程有两个根，且两根之和等于． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线图象在直角坐标系中的位置及顶点坐标可确定，，，可判断①；由，可判断②；将方程转化为，推出，，可判断③；将方程变形为，设（其中），则方程化为，解得，，继而推出，可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上且与轴的交点在原点的下方，顶点坐标为， ∴，，二次函数的解析式为， ∴，， ∴，故结论①正确； ∵， 即，故结论②错误； 将，代入方程， 得：， 解得：， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即，故结论③正确； 方程可变形为： ， 设（其中），则方程化为， 由结论③知，该关于的一元二次方程的两个根为： ，， ∵，而，则舍去， ∵，符合题意， ∴， 解得：或， ∴方程有两个根，且两根互为相反数，其和等于，故结论④正确， 综上所述．正确的结论有①③④，共个． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若与的相似比是，且的周长为3，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】相似三角形的周长比等于对应相似比，结合已知的相似比与的周长，可推导得到的周长． 【详解】解：∵与的相似比是， ∴两三角形的周长比等于相似比，即， ∵的周长为， ∴的周长为． 12. 如图，已知△ABC中，D是AB边上一点，若使△ACD∽△ABC,需添加的一个条件是______________（只添加一个即可）. 【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一） 【解析】 【分析】由于两三角形有一个公共角,则利用有两组角对应相等的两个三角形相似可添加另一组角对 【详解】∵∠DAC=∠CAB, ∴当∠ACD=∠B时, △ACD∽△ABC 故答案为∠ACD=∠B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等、对应边成比例；②平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似；③两角对应相等，两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；⑤三边对应成比例，两个三角形相似. 13. 二次函数的图象如图所示，则的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数图象和轴的交点坐标，借助函数图象求出不等式的解集． 【详解】解：当时， 解得或， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴结合函数图象可得，当时，． 14. 如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形，已知篱笆的长度是，则所围矩形的最大面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是用篱笆的长度表示出矩形的两边长，建立面积的二次函数关系式，再用配方法求最值．因为篱笆两面靠墙，所以篱笆只围矩形的两条边，设其中一边的长为，则另一边长为，列出面积关于的函数关系式后配方，即可求出最大面积． 【详解】解：∵篱笆两面靠墙， ∴篱笆只围矩形的两条边．设矩形的一边长为，则另一边长为， 设矩形的面积为，根据题意，得， 整理，得， 配方，得， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是弄清篱笆只围矩形的两条边，并用一条边长表示出另一条边长；求最值时把二次函数配方为的形式，当时在处取得最大值；同时要注意自变量的取值范围（边长为正数且小于篱笆的长），体现了建模思想与数形结合思想． 15. 如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，沿着翻折得到，交于点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作垂足为点，过点作交于点，根据条件可得是等腰三角形，，利用勾股定理列方程，从而求得，再由等角正切函数关系可得到，，利用等量关系求得，最后再次利勾股定理可求得，，所以可得到结果． 【详解】解：如图所示，过点作垂足为点，过点作交于点， 沿着翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得， ， 解得， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折性质、勾股定理、三角函数解三角形，添加适当的辅助线并灵活运算相关知识是解题关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知，且，分别求，，的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】设，则，，．结合题意可得出关于k的方程，解出k的值即可解答． 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 17. 如图，在矩形中，点，分别在，上，连接，．若，，，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件说明，根据相似比即可求解． 【详解】解：矩形中，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘． （1）画出以所得四个点为顶点的四边形． （2）四边形与四边形位似中心的坐标为________，其相似比为________； （3）已知四边形与四边形位似，位似中心是原点，且四边形的面积等于四边形面积的，则点的坐标为________． 【答案】（1） （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）先写出各点坐标，然后再写出各点坐标，然后连线即可． （2）连接，，，可知连线经过原点，判断位似中心和相似比即可． （3）设相似比为k，则，即，然后根据的坐标分情况求解即可． 【小问1详解】 解：根据直角坐标系可知：，，，， 将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘． 则，，，， 画图略； 【小问2详解】 解：连接，，，可知连线经过原点， 故四边形与四边形位似中心的坐标为，其相似比为． 【小问3详解】 解：∵四边形与四边形位似，位似中心是原点，且四边形的面积等于四边形面积的， 设相似比为k， 则， ∴， ∵， 当时，则， 当时，则， 综上：或． 19. 某竖直上抛物体的高度（单位：米）与运动时间（单位：秒）满足二次函数关系，下表呈现了部分数据： /秒 5 10 15 20 25 /米 650 1025 1150 1025 a 根据上表回答以下问题： （1）的值为________；当运动时间为________秒时，物体的高度取得最大值，最大值为________米． （2）求物体的高度与运动时间之间的关系式． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据确定抛物线的对称轴，然后利用对称轴确定最值以及点的坐标； （2）确定顶点坐标，假设出顶点解析式，然后利用待定系数法求解． 【小问1详解】 解：当或时，， ∴对称轴为直线， ∴的对称点为， ∴； 由函数图象对称轴为直线，且通过表格数据可得，当时，随着的增大而增大， ∴当时，的值最大，最大值为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，函数的顶点坐标为， 假设二次函数解析式为， 将代入解析式可得，， 解得， ∴． 20. 某文具店购进一批单价为6元的笔记本，如果以单价12元出售，那么每天可以销售40本．经调查发现，这款笔记本销售单价每提高1元，销售量就减少4本． （1）设销售单价提高元，每天的总利润为元，则销售量减少________本，现在的销售量为________本；（用含的式子表示） （2）请求出当销售单价定为多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】（1）， （2）当销售单价定为14元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是256元 【解析】 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）根据总利润单件利润销售量得到，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，销售单价提高元，则销售量减少本，现在的销售量为本； 【小问2详解】 解：根据题意，设销售单价提高元，每天的总利润为元， 则， ∵， 当时，y取最大值，最大值为256， 此时销售单价为（元）， 答：当销售单价定为14元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是256元． 21. 如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为，已知，． （1）求的值； （2）求点到地面的距离． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出． （2），由相似三角形的性质得出，由（1）知：即可得出，进而可求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴ ， ∴． 22. 某公园要修建一座拱形景观门，拱门轮廓近似为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，拱门底部横跨地面总宽度为，拱门最高点距离地面． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）现有一辆宽，高的观光车，如果该拱门内设单向行车道，那么这辆观光车是否可以通过？请说明理由． 【答案】（1）． （2）这辆观光车可以通过．理由如下： 要让宽的观光车尽可能利用拱门的通行高度，最优行驶方式是让车辆沿抛物线对称轴（）居中行驶， 此时车辆左右边缘的横坐标分别为和． 将（或）代入抛物线表达式： ， 即车辆宽度对应的拱门高度为，大于观光车的高度， 这辆观光车可以通过． 【解析】 【分析】首先确定抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，因为已知底部宽度为，最高点高度为，所以可选取顶点式设抛物线的函数表达式，代入已知点坐标求解表达式中的未知系数． 要判断观光车能否通过，先确定观光车边缘对应的x轴坐标，因为车道为单向且车宽，所以取对应x值代入抛物线表达式，求出该位置的拱门高度，再和观光车高度比较． 【小问1详解】 解：由图可知抛物线过x轴上的两点和，且拱门最高点（抛物线顶点）的纵坐标为4.5，结合两个零点的位置，可得顶点横坐标为两点中点：， 即顶点坐标为． 我们设抛物线的顶点式为：， 将点代入上式：， 解得， 展开后得到函数表达式：． 【小问2详解】 略． 23. 如图，在中，，，点是边上靠近点的三等分点．动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，点，的运动时间为秒，连接，． （1）________，________，________；（用含的式子表示） （2）当与相似时，求的值． 【答案】（1）；； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据三等分点的定义分别求出、，根据与相似，分两种情况：当时，；当时，；再根据，，，，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动， ∴， ∵动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点是边上靠近点的三等分点， ∴，， ∵， ∴， 分以下两种情况： 当时，， ∵，，，， ∴， 解得或（经检验和是原方程的解）， ∵， ∴不符合； 当时，， ∵，，，， ∴， 解得（经检验是原方程的解）； 综上所述，的值为或． 24. 已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线和直线的函数表达式； （2）如图，当点在直线上方的抛物线上时，过点作，垂足为点，求的最大值； （3）如图，当点在轴右侧的抛物线上时，是线段的中点，连接．若，求出点的横坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为． （2） （3）​​或． 【解析】 【分析】（1）因为已知抛物线与x轴的两个交点A、B坐标，所以可设交点式，代入点C坐标求解参数；因为已知A、C两点坐标，所以代入一次函数一般式求解参数． （2）因为是点P到直线的距离，所以可设点P坐标，利用点到直线的距离公式写出关于点P横坐标的函数，再用二次函数性质求最大值；也可通过构造直角三角形，将转化为竖直方向线段与三角函数的乘积，再求最值． （3）因为已知G是中点，先求出G点坐标，以为斜边作等腰直角，过D作轴，过B作于F，过G作于E，证明，得，设，当点D在上方时，当点D在下方时，分两种情况计算直线的表达式，再与抛物线表达式联立方程求解，保留的值． 【小问1详解】 解：已知抛物线与x轴交于、， 设交点式， 将代入得： ， 解得，  ∴抛物线解析式：． 设直线的解析式为， 代入、： 得 ​， 解得， ∴直线解析式：． 【小问2详解】 解：过点作轴，交直线于点． 设， 则， 因此：   由，， 可知是等腰直角三角形，。 ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，  ∴， ∴， 整理得， 这是图象开口向下的二次函数， 当时，取最大值． 【小问3详解】 解：∵G是中点，、， ∴， ∴。． 以为斜边作等腰直角，过D作轴，过B作于F，过G作于E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则当点D在上方时，, ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴解析式为， 联立抛物线方程： ​， 化简得， 解得​​，或（舍去）​​； 当点D在下方时，, ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴解析式为， 联立抛物线方程： ， 化简得， 解得​，或​（舍去）． 因此点的横坐标为​​或． 25. 在菱形中，，为边上一点，连接交对角线于点，延长交的延长线于点，连接． （1）如图，若为中点，请完成填空：与的位置关系为________，用等式表示线段与线段的数量关系为________． （2）如图，连接，若，． ①求线段的长（用含和的式子表示）； ②求证：． 【答案】（1），； （2）①； ②证明：过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ，， ， ， ，， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可知是等边三角形，利用三线合一可知，根据可得，在由得相似比求解； （2）①先证明，根据相似比求出即可解答； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，解直角三角形求出相关线段的长，再利用三角函数证明． 【小问1详解】 解：菱形中，，， 是等边三角形， 为中点， ． 菱形中，，， ，， 为中点， ， 在和中， , ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①由（1）可知，， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $