精品解析：山东省济南市历下区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题

2025~2026学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学试题（LX2025.11） 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解题的关键． 根据简单几何体三视图的画法，画出它的左视图即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：B ． 2. 如图，五线谱的基本结构是由五条等距离的平行线组成的，已知直线被这五条平行线所截，若线段，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，即可求解． 【详解】解：∵五线谱由五条等距离的平行线组成， ∴， ∴． 故选：A． 3. 如图，在中，点为边上一点，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形的内角和定理．先根据相似三角形的对应角相等得到，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入反比例函数解析式求出纵坐标，再比较大小即可． 【详解】解：∵点在上， ∴； ∵点在上， ∴； ∵，， ∴． 故选：B． 5. 趵突泉、大明湖和千佛山是济南三大著名景点．若小明从这三个景点中随机选择两个景点游览，则他能游览趵突泉的概率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的简单计算，掌握知识点是解题的关键． 通过列举所有可能的选择组合，计算包含趵突泉的组合数占总组合数的比例． 【详解】解：∵从三个景点（趵突泉、大明湖、千佛山）中随机选择两个，所有可能的选择有： (趵突泉，大明湖)、(趵突泉，千佛山)、(大明湖，千佛山)，共3种． ∵其中包含趵突泉的选择有：(趵突泉，大明湖)和(趵突泉，千佛山)，共2种． ∴概率为． 故选D． 6. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴； 故选D． 7. 如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是面积的．若，则平移的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 因为是平移，所以，所以，再通过相似三角形面积比是相似比的平方求出相似比，最后得出的长度，再求出长度即为平移的距离． 【详解】解：将沿方向平移得到， ∵ ∴ ， 故选C． 8. 一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象．根据m，n的符号讨论一次函数与反比例函数的图象所在的象限，再找出符合的选项即可． 【详解】解：当，时，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，B选项符合； 当，时，，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限． 故选：B． 9. 如图，在中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线，相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题． 作的中点M,连接，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到， ，通过，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论． 【详解】解：作的中点M，连接，如图 ∴， 在中， ， ∴，, ∴， ∴=， 即， ∴． 故选A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如果，那么__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 一个口袋中有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．由此可估计从这个口袋中随机摸出一个红球的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用频率估计概率，通过大量重复试验，摸到红球的频率可以估计其概率．根据题意，摸球100次，摸到红球70次，频率为，由此估计概率． 【详解】解：共摸球100次，其中摸到红球70次，摸到红球的频率为， 根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率接近概率，因此估计从这个口袋中随机摸出一个红球的概率为． 故答案为：． 13. 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三视图，由三视图可得该长方体的底面正方形的对角线长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：该长方体的底面正方形的面积为， 长方体的体积为． 故答案为：4． 14. 如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设直线l与y轴交于点C，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，再由的面积为2，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C， ∵直线平行于轴， ∴直线l垂直于y轴，即， ∵直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点， ∴； ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交延长线于点．根据以上作图，若，，则线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由作图可知，垂直平分，平分 ，则，，由角的组合可知，则可证，所以，设，则可表示，代入解方程即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，垂直平分， ， ， 由作图可知，平分 ， ， ，， ∴， ， ∵， ， ∴ 即， 设 ，且 ， 则： 由 ，且 ， 代入 得： ， ， 则长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线作图，线段垂直平分线作图，角平分线定义，线段垂直平分线性质，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． （1）在图中画出光源的位置（用点P表示）； （2）此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； （3）在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】（1） 如图，点P即为所求： （2）中心投影 （3） 如图所示，为所求． 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 【小问1详解】 如图，点P为光源的位置，点P即为所求： 【小问2详解】 解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； 【小问3详解】 如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 17. 如图，线段与相交于点P，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，再由，即可证明； （2）根据相似三角形的性质可得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画一个，使它与位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点； （2）在（1）的条件下，若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为__________． 【答案】（1） 如图，即为所求． ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点、、，再顺次连接即可得出答案； （2）利用（1）中得到把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点是线段上一点，则点的对应点的坐标为， 故答案为：． 19. 电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． （1）请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； （2）这个游戏规则是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：这个游戏规则不公平，理由如下： 由（1）可得摸出的两个球上的数字之和不大于5的结果数有10种， ∴小刚获胜的概率为， ∵， ∴小刚获胜的概率比小明的大， ∴这个游戏规则不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次数字之和大于5的结果有6种，再由概率公式求解即可； （2）根据（1）求出小刚获胜的概率，再比较两人获胜的概率即可得到答案． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中摸出的两个球上的数字之和大于5的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为； 【小问2详解】 略 20. 某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．假设每副护腕的采购费用为元，本次采购的护腕数量为副，总预算为元．已知当为定值时，与之间的关系如下表所示． /元 5 8 16 /副 32 20 16 10 请根据表中的信息解决下列问题： （1）本次采购的总预算为______元，与之间的函数表达式为________________； （2）求表中的值； （3）为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，请问最多能采购多少副护腕？ 【答案】（1）160， （2）10 （3）26 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，反比例的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）由表格中的数据可知，据此可得答案； （2）求出时的值即可得到答案； （3）求出时的函数值，再根据反比例函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可知， ∴； ∵总预算等于每副护腕的采购费用乘以采购数量， ∴本次采购的总预算为160元； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴当时，y随x增大而减小， ∵每副护腕的采购费用不低于6元，即， ∴， ∵y为整数， ∴y的最大值为26， 答：最多能采购26副护腕． 21. 如图，在中，动点M从点A出发，在边上以每秒的速度向点B运动，同时动点N从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A运动，点M，N的运动时间为t秒（），连接． （1）______，______，______；（用含t的代数式表示） （2）若与相似，求t的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，由，得到，即可解答． （2）由勾股定理求出，分类讨论：① ②，根据相似三角形的性质，逐项求解即可． 【小问1详解】 解：∵动点M从A向B以运动，运动时间为t， ∴； ∵动点N从C向A以运动， ∴； ∵，且， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 在中，，，由勾股定理，得． ∵与有公共角， ∴相似需满足“两边对应成比例且夹角相等”，分以下两种情况： ①时 ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得； ②， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． ∴或． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请直接写出时x的取值范围； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为． （2）或． （3）6 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，推导出反比例函数表达式为．继而求出，由一次函数过，列出方程组并求解即可； （2）结合图象及交点，可得x的取值范围是或即可． （3）设一次函数与y轴的交点为C，求出，根据的面积可拆分为与的面积之和即可解答． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴将代入得：，解得， ∴反比例函数表达式为． ∵点在反比例函数上， ∴将代入得：，即． 又∵一次函数过， ∴， 解得． ∴一次函数表达式为． 答：反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数图象在一次函数图象上方的区域， 结合图象及交点， 可得x的取值范围是或． 【小问3详解】 设一次函数与y轴的交点为C， 令，得，即． 则的面积可拆分为与的面积之和： ∴． 23. 国庆期间，超然楼作为济南地标性建筑，吸引了大量游客．某数学兴趣小组想测量超然楼的高度，测量方案及相关数据如下： 主题 测量超然楼的高度 测量方案及 示意图 测 量 步 骤 步骤1：把2米长的标杆垂直立于地面点D处，后退4米到点Q处，此时楼顶端A，标杆顶端C和点Q正好处于同一直线； 步骤2：再将此标杆垂直立于地面点F处（其中米），后退6米到点P处，此时楼顶端A，标杆顶端E和点P正好处于同一直线． 备注 点B，D，Q，F，P均在同一水平直线上． （1）若米，只根据步骤1中的测量信息，计算超然楼的高度； （2）结合步骤1和步骤2中的测量信息，计算超然楼的高度． 【答案】（1）超然楼的高度为52米 （2）超然楼的高度为52米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形解决实际问题，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据题意得到，从而，根据相似三角形的性质即可求解； （2）设米，由题意，得，得到，，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，，米，米，（米）， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 答：超然楼的高度为52米． 【小问2详解】 解：设米， 由题意，得米，米，米，米，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴（米）， ∵， ∴，即， 解得， ∴米． 答：超然楼的高度为52米． 24. 在△ABC中，，延长至点D，过点C作的平行线，过点D作的平行线，两条平行线交于点E，连接． （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，点F为的中点，过点F作的平行线，交于点G，连接并延长，交于点H． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】（1）， 理由：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，从而，根据相似三角形的性质即可求解； （2）①由，得到四边形是平行四边形，从而，因此，再结合即可证明； ②由得到，再得到，因此，根据推出，从而，进而得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 25. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求m，k的值； （2）点为反比例函数图象上的一点（点与点不重合），过点作直线平行于轴，与一次函数的图象交于点，连接． ①如图1，连接，，，若，求点的坐标； ②如图2，过点作直线轴，与反比例函数图象交于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1）1；4 （2）①或 ② 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数求点坐标，代入反比例函数求值； （2）①设参：，则，，然后化斜为直，过作于点，过作于点，，据此建立方程求解即可； ②过作于点，过作于点，可证△△，可得，从而建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得，， ， 将点代入得，； ，； 【小问2详解】 ①记、交于点， 由（1）知反比例函数表达式为， 设， 点在直线上，且轴， ， 由点和点可得直线解析式为， ， 过作于点，过作于点， 则， △△， ， ， ， 整理得， ，，即， 解得或（舍去）， 此时； ，，即， 解得或（舍去）， 此时； 综上，或； ②过作于点，过作于点， 设，则，， ， ，， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ，， ， ，， 解得或， 点和点重合，点和点重合，不合题意； ，， 解得或（舍去）， 此时， 综上，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合问题、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级期中教学质量检测 数学试题（LX2025.11） 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图所示的机器零件的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，五线谱的基本结构是由五条等距离的平行线组成的，已知直线被这五条平行线所截，若线段，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，在中，点为边上一点，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　　） A. B. C. D. 5. 趵突泉、大明湖和千佛山是济南三大著名景点．若小明从这三个景点中随机选择两个景点游览，则他能游览趵突泉的概率为（） A. B. C. D. 6. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将沿方向平移得到与重叠部分（图中阴影部分）的面积是面积的．若，则平移的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如果，那么__________________． 12. 一个口袋中有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．由此可估计从这个口袋中随机摸出一个红球的概率为__________． 13. 如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为__________． 14. 如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为__________． 15. 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交延长线于点．根据以上作图，若，，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． （1）在图中画出光源的位置（用点P表示）； （2）此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； （3）在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 17. 如图，线段与相交于点P，连接，． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画一个，使它与位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点； （2）在（1）的条件下，若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为__________． 19. 电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． （1）请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； （2）这个游戏规则是否公平？请说明理由． 20. 某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．假设每副护腕的采购费用为元，本次采购的护腕数量为副，总预算为元．已知当为定值时，与之间的关系如下表所示． /元 5 8 16 /副 32 20 16 10 请根据表中的信息解决下列问题： （1）本次采购的总预算为______元，与之间的函数表达式为________________； （2）求表中的值； （3）为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，请问最多能采购多少副护腕？ 21. 如图，在中，动点M从点A出发，在边上以每秒的速度向点B运动，同时动点N从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A运动，点M，N的运动时间为t秒（），连接． （1）______，______，______；（用含t的代数式表示） （2）若与相似，求t的值． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请直接写出时x的取值范围； （3）连接，求的面积． 23. 国庆期间，超然楼作为济南地标性建筑，吸引了大量游客．某数学兴趣小组想测量超然楼的高度，测量方案及相关数据如下： 主题 测量超然楼的高度 测量方案及 示意图 测 量 步 骤 步骤1：把2米长的标杆垂直立于地面点D处，后退4米到点Q处，此时楼顶端A，标杆顶端C和点Q正好处于同一直线； 步骤2：再将此标杆垂直立于地面点F处（其中米），后退6米到点P处，此时楼顶端A，标杆顶端E和点P正好处于同一直线． 备注 点B，D，Q，F，P均在同一水平直线上． （1）若米，只根据步骤1中的测量信息，计算超然楼的高度； （2）结合步骤1和步骤2中的测量信息，计算超然楼的高度． 24. 在△ABC中，，延长至点D，过点C作的平行线，过点D作的平行线，两条平行线交于点E，连接． （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，点F为的中点，过点F作的平行线，交于点G，连接并延长，交于点H． ①求证：； ②若，求证：． 25. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求m，k的值； （2）点为反比例函数图象上的一点（点与点不重合），过点作直线平行于轴，与一次函数的图象交于点，连接． ①如图1，连接，，，若，求点的坐标； ②如图2，过点作直线轴，与反比例函数图象交于点，连接，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $