精品解析：山东青岛市李沧、城阳、西海岸区2026-2027学年第一学期期中考试九年级数学试卷

九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．该零件的主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，正方形绕着它的对称中心点旋转，旋转后与原正方形重合，则旋转的度数最少为（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 4. 摄影三分法是一种应用广泛的构图方法，其原理源于黄金分割．已知黄金比，某幅竖版油画的总高度为，画中主体景物所占高度与整幅油画总高度的比值恰好为黄金比，则这幅油画中主体景物所占高度约为（ ） A. B. C. D. 5. 四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 太阳光下，身高165 cm的小亮竖直站立在水平地面上，其影长为；同一时刻，他把手臂竖直举起，身体保持直立，此时影长为，由此可得小亮手臂竖直举起时，指尖超出头顶的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某农场计划搭建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边紧靠墙体（墙长），其余边界全部用木栏围建．若使用木栏的总长度为，鸡舍的面积为，设的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，，分别是，的中点，则的长为（ ） A. 2 B. 2．5 C. 4 D. 5 9. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点是上一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 若，则_____． 11. 已知一元二次方程的一个根是3，则它的另一个根是_____________． 12. 如图是某几何体的三视图，该几何体是_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积是矩形的9倍，则点的坐标为_____________． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点．分别取菱形各边的中点，，，，依次连接得到四边形．若菱形的周长为20，对角线，则四边形的面积为_____________． 15. 如图，在正方形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④．正确的是_____________．（填写序号） 三、作图题（本题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 当一个菱形的四个顶点分别在已知矩形的四条边上时，我们称这个菱形为矩形的内接菱形．如图，已知矩形，请用尺规作出它的一个内接菱形． 四、解答题（本大题共8小题，共71分） 17. 解答下列各题． （1）用配方法解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：； （4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 18. 江西省于都县东门渡口是中央红军二万五千里长征的起点，被誉为“长征第一渡口”．为纪念这一伟大历史时刻，渡口旁的纪念园内矗立着雄伟的中央红军长征出发纪念碑．某校数学兴趣小组决定利用相似三角形的相关知识来测量中央红军长征出发纪念碑的高度．如图，他们在点处垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退到点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到纪念碑的顶部．经测量，，，，，求纪念碑的高度． 19. 某学校广场水平地面上竖直栽种着三棵高度各不相同的小树，，，它们的树干底部（与地面接触点）分别为，，（，，在同一条直线上）．小树，的影子分别为，． （1）反映平行投影的情形是_____________，反映中心投影的情形是_____________；（填“图1”或“图2”） （2）结合图2中的影子，，画出小树的影子； （3）在（2）中，小颖从点向左沿直线走到点，在小颖运动的过程中，影长的变化情况大致为_____________．（填写序号） ①持续变长；②持续变短；③先变长再变短；④先变短再变长． 20. 如图，在中，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 下面是小明同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 2026年11月3日 探索中心六边形的性质 对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，且都是从图形的组成元素及相关元素之间的关系展开．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如中心六边形． 1．定义：如图1，在六边形中，若三条对角线，，相交于点，且，，，则称六边形为中心六边形，点称为中心．与，与，与叫作中心六边形的对边；与，与，与叫作中心六边形的对角；，，叫作中心六边形的正对角线． 对于几何图形，定义揭示了图形的本质属性，所以定义往往既可作为性质使用，也可作为判定使用．由此可得： （1）六边形为中心六边形， ，，． （2）在六边形中，，，相交于点 ，，， 六边形为中心六边形． 2．性质：如图1，从整体上看，中心六边形是中心对称图形，它的对称中心是中心．由此，可以猜想得到中心六边形组成元素的性质： …… 从“对角线”的角度，可以发现中心六边形的正对角线互相平分． 3．判定：…… 【任务】 （1）结合图1，写出中心六边形的对边或对角的1条性质，并证明； （2）如图2，某公园计划修建一块中心六边形花坛．测得，，，，花坛的面积为，则该花坛的周长为_____________m． 22. 如图，在菱形中，，，是对角线上两点，且． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并证明． 23. 大泽山葡萄是中国国家地理标志产品，有“西有吐鲁番，东有大泽山”的美誉．随着电商助农不断推进，大泽山葡萄借助线上渠道销往全国各地．某助农服务站点8月份葡萄礼盒的销售量为6400盒，10月份的销量为10000盒． （1）求该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率； （2）已知每盒葡萄礼盒的成本为55元，经市场调研：当每盒礼盒的售价定为65元时，每日可以销售320盒．售价每上调1元，平均每日的销售量就会减少4盒．若要使葡萄礼盒每日销售的利润达到4500元，且尽可能让利于顾客，每盒葡萄的售价应定为多少元？ 24. 如图，在梯形中，，，，，，为边上一点，．动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动；动点同时从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，连接．设运动时间为（）．解答下列问题： （1）求的长； （2）当时，求的值； （3）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使，，在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．该零件的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】主视图是从题目标注的正面方向观察零件得到的视图，首先该零件从正面看，外轮廓是下方带矩形底座、上方为直边加顶部半圆的形状；同时孔洞是前后贯通的，从正面可以直接看到这个圆形孔洞，可见的轮廓线需要画为实线，符合要求的是选项A ． 2. 如图，正方形绕着它的对称中心点旋转，旋转后与原正方形重合，则旋转的度数最少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质，正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，两对角线相互垂直，再根据旋转的特征解答即可． 【详解】解：， 所以一个正方形，绕着它的中心点O，至少旋转与原正方形重合． 3. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】∵ 移项得 提取公因式得 ∴或 解得． 4. 摄影三分法是一种应用广泛的构图方法，其原理源于黄金分割．已知黄金比，某幅竖版油画的总高度为，画中主体景物所占高度与整幅油画总高度的比值恰好为黄金比，则这幅油画中主体景物所占高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得，主体景物高度为． 5. 四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 6. 太阳光下，身高165 cm的小亮竖直站立在水平地面上，其影长为；同一时刻，他把手臂竖直举起，身体保持直立，此时影长为，由此可得小亮手臂竖直举起时，指尖超出头顶的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设小亮手臂竖直举起时指尖超出头顶的高度为，根据同一时刻竖直物体的高度与影长的比值相等列式求解即可． 【详解】解：设小亮手臂竖直举起时指尖超出头顶的高度为， ∵同一时刻竖直物体的高度与影长的比值相等， ∴， 化简得，， 解得． 7. 如图，某农场计划搭建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边紧靠墙体（墙长），其余边界全部用木栏围建．若使用木栏的总长度为，鸡舍的面积为，设的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的长为，则的长为，根据“鸡舍的面积为”列出方程即可． 【详解】解：设的长为，则的长为，根据题意，得 ． 8. 如图，在四边形中，，，，，分别是，的中点，则的长为（ ） A. 2 B. 2．5 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，由直角三角形斜边上中线的性质得到，再由等腰三角形的“三线合一”得到，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，点E是的中点， ∴，， ∴， ∵点F是的中点， ∴，， ∴在中，． 9. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点是上一点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，确定，，三点共线，且，同时得到，可证和，由相似三角形的对应边成比例的性质求出，，结合已知条件可得，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形和四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，，三点共线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得． 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，直接代入法求代数式的值．根据比例的性质设，，代入计算即可求解． 【详解】解：设，， 则． 故答案为：． 11. 已知一元二次方程的一个根是3，则它的另一个根是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根为3，可通过根与系数的关系中两根乘积的等量关系直接求解另一根． 【详解】解：设该方程的另一个根为， ∵方程的二次项系数，常数项，其中一个根为， ∴， ∴． 12. 如图是某几何体的三视图，该几何体是_____． 【答案】圆柱 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故答案为：圆柱． 【点睛】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积是矩形的9倍，则点的坐标为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据位似图形是特殊的相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，可得对应边的比，再找到位似中心，根据位似变换的性质求解即可． 【详解】∵在矩形中， ∴原矩形长为3、宽为2，面积为， ∵位似图形是特殊的相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，且新矩形面积是原矩形的9倍 ∴面积比为， ∴相似比（即位似比）为， ∵位似中心是原点， ∴平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，位似比为时， 原坐标对应的位似点坐标为或， 当位似图形和原图形在原点同侧时，坐标为； 当位似图形和原图形在原点异侧时，坐标为． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点．分别取菱形各边的中点，，，，依次连接得到四边形．若菱形的周长为20，对角线，则四边形的面积为_____________． 【答案】12 【解析】 【分析】求出，结合中位线定理证明四边形是平行四边形，进而证明是矩形，从而求出面积． 【详解】解：∵菱形的周长为20，对角线， ， ∴， ∴， ∵菱形各边的中点，，，， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴， ∴是矩形， ∴四边形的面积为． 15. 如图，在正方形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④．正确的是_____________．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合等腰三角形的性质可得出判断①正确；证明，得出，即，求出，判断②正确；证明，得出，求出，根据，求出，即可判断③错误；根据②可得：，求出，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ， ， ，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，故③错误； 根据②可得：， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的有①②④． 三、作图题（本题满分4分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 当一个菱形的四个顶点分别在已知矩形的四条边上时，我们称这个菱形为矩形的内接菱形．如图，已知矩形，请用尺规作出它的一个内接菱形． 【答案】如图所示，四边形即为所求 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线分别交于点H，F，作线段的垂直平分线分别交于点E，G，则分别是的中点，可证明，则，即四边形是菱形． 【详解】略 四、解答题（本大题共8小题，共71分） 17. 解答下列各题． （1）用配方法解方程：； （2）解方程：； （3）解方程：； （4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，，， ， ， ，； 【小问3详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 18. 江西省于都县东门渡口是中央红军二万五千里长征的起点，被誉为“长征第一渡口”．为纪念这一伟大历史时刻，渡口旁的纪念园内矗立着雄伟的中央红军长征出发纪念碑．某校数学兴趣小组决定利用相似三角形的相关知识来测量中央红军长征出发纪念碑的高度．如图，他们在点处垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退到点处，调整高度使眼睛恰好通过标杆顶端看到纪念碑的顶部．经测量，，，，，求纪念碑的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，交于点，交于点，证明四边形和四边形是矩形，再证明，求出米，进而求出结论． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， 由题意可得，，， ，， 四边形和四边形是矩形， 米，米，米， 米， ，， ， 即，， 解得， 米． 答：纪念碑的高度为米． 19. 某学校广场水平地面上竖直栽种着三棵高度各不相同的小树，，，它们的树干底部（与地面接触点）分别为，，（，，在同一条直线上）．小树，的影子分别为，． （1）反映平行投影的情形是_____________，反映中心投影的情形是_____________；（填“图1”或“图2”） （2）结合图2中的影子，，画出小树的影子； （3）在（2）中，小颖从点向左沿直线走到点，在小颖运动的过程中，影长的变化情况大致为_____________．（填写序号） ①持续变长；②持续变短；③先变长再变短；④先变短再变长． 【答案】（1）图1；图2 （2）即为所求作 （3）④ 【解析】 【分析】（1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用中心投影的特征判断即可． 【小问1详解】 解：反映平行投影的情形是图1，反映中心投影的情形是图2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在（2）中，小颖从点向左沿直线走到点，在小颖运动的过程中，影长的变化情况大致为④先变短再变长． 20. 如图，在中，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出，设，则，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 设， 则， 在中，由内角和定理得：， 即， 解得： ． 21. 下面是小明同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 2026年11月3日 探索中心六边形的性质 对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，且都是从图形的组成元素及相关元素之间的关系展开．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如中心六边形． 1．定义：如图1，在六边形中，若三条对角线，，相交于点，且，，，则称六边形为中心六边形，点称为中心．与，与，与叫作中心六边形的对边；与，与，与叫作中心六边形的对角；，，叫作中心六边形的正对角线． 对于几何图形，定义揭示了图形的本质属性，所以定义往往既可作为性质使用，也可作为判定使用．由此可得： （1）六边形为中心六边形， ，，． （2）在六边形中，，，相交于点 ，，， 六边形为中心六边形． 2．性质：如图1，从整体上看，中心六边形是中心对称图形，它的对称中心是中心．由此，可以猜想得到中心六边形组成元素的性质： …… 从“对角线”的角度，可以发现中心六边形的正对角线互相平分． 3．判定：…… 【任务】 （1）结合图1，写出中心六边形的对边或对角的1条性质，并证明； （2）如图2，某公园计划修建一块中心六边形花坛．测得，，，，花坛的面积为，则该花坛的周长为_____________m． 【答案】（1）解：中心六边形的对边相等且平行，对角相等，证明如下： 如图1所示， ∵六边形为中心六边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， 同理可得，， ∴中心六边形的对边相等且平行，对角相等； （2） 【解析】 【分析】（1）如图1所示，可证明，得到，则，同理可证明，则可证明，据此可得结论； （2）连接，可证明四边形是矩形，利用勾股定理求出的长，由（1）的结论求出的面积，根据花坛的面积求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵六边形是中心六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 在中，，，， ∴； 由（1）得，， ∴， 同理， ∵花坛的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该花坛的周长为． 22. 如图，在菱形中，，，是对角线上两点，且． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， 又， ， ， ， ． （2）四边形是正方形，理由如下： ， ， 又， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， ∵， ， ，， 平行四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 菱形是正方形． 【解析】 【分析】（1）结合菱形性质证明，即可证明结论； （2）结合菱形性质证明，再证明平行四边形是菱形，证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 大泽山葡萄是中国国家地理标志产品，有“西有吐鲁番，东有大泽山”的美誉．随着电商助农不断推进，大泽山葡萄借助线上渠道销往全国各地．某助农服务站点8月份葡萄礼盒的销售量为6400盒，10月份的销量为10000盒． （1）求该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率； （2）已知每盒葡萄礼盒的成本为55元，经市场调研：当每盒礼盒的售价定为65元时，每日可以销售320盒．售价每上调1元，平均每日的销售量就会减少4盒．若要使葡萄礼盒每日销售的利润达到4500元，且尽可能让利于顾客，每盒葡萄的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）70元 【解析】 【分析】（1）设该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率为，根据8月份葡萄礼盒的销售量为6400盒，10月份的销量为10000盒，列出方程，解方程即可； （2）设每盒葡萄应涨价元，根据葡萄礼盒每日销售的利润达到4500元，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍）， 该助农服务站点8月份至10月份葡萄礼盒销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每盒葡萄应涨价元，由题意得： ， 解得，， 因为尽可能让利于顾客，所以售价应最低，故舍去， （元）， 每盒葡萄的售价应定为70元． 24. 如图，在梯形中，，，，，，为边上一点，．动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动；动点同时从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，连接．设运动时间为（）．解答下列问题： （1）求的长； （2）当时，求的值； （3）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使，，在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，，理由如下： 假设存在合题意的，使，，在同一条直线上， 延长交于点，则，四边形是矩形， ，， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ，， ， 即， 整理得， 解得，（舍） 当为时，，，在同一条直线上． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明四边形是矩形，求出，即可求出结论； （2）证明，得出，即可求出结论； （3）过点作于点，证明，得出，，，即可求出结论； （4）假设存在合题意的，使，，在同一条直线上，延长交于点，则，，证明，得出，求出即可； 【小问1详解】 解：过点作于点，则， ，， ， 四边形是矩形， ，， ． 在中，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∵， ∴， 即． 解得； 【小问3详解】 解：过点作于点，则 ， ， ， ， 即， ，， ， ， 即． 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $