第5章 二次函数（复习课件）数学新教材青岛版九年级下册

第5章 二次函数 复习课件 青岛版·九年级数学下册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解二次函数的概念，掌握二次函数三种解析式（一般式、顶点式、交点式）的形式、适用条件，能根据条件灵活选择表达式求函数解析式； 02 基本技能 掌握抛物线图像与性质，会判断开口、对称轴、顶点、增减性、最值； 深化理解 理解二次函数和一元二次方程的关系，会利用图像解决相关问题；能建立二次函数模型解决实际最值问题； 思想与应用 体会数形结合、分类讨论思想，提升综合解题能力，数学建模思想应用的重要体现。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 理解二次函数和一元二次方程的关系，会利用图象解决相关问题；能建立二次函数模型解决实际最值问题；体会数形结合、分类讨论思想，提升综合解题能力。 （1）二次函数的概念； （2）二次函数图像与性质； （3）待定系数法求解析式； （4）二次函数实际应用。 4 知识图谱 二次函数 概念 y=ax2(a≠0)的图象和性质 一般形式 y=ax2＋bx＋c (a,b,c是常数,a≠0) 图象及性质 y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 解析式的确定 三点法、顶点法、两交点法 二次函数与 一元二次方程 一元二次方程与二次函数的关系 利用二次函数的图象解一元二次方程 实际问题与 二次函数 最值问题 其他实际问题 5 考点串讲 ——1：二次函数的概念 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫作二次函数,其中a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 6 考点串讲 ——1：二次函数的概念 理解二次函数概念注意的问题： 1. 等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； 2. a,b,c为常数，且a≠0； 3. 分等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数 项，但不能没有二次项； 4. x的取值范围是任意实数.对实际问题，自变量的取值范围 还需使实际问题有意义． 7 考点串讲 ——2：二次函数的图象和性质： （一）二次函数y=ax2（a≠0）的图象和性质 1.图象：二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条________． 抛物线 2.性质： （1）抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是 ,顶点是 。 （2）当a>0时,抛物线开口向 ,顶点是最 点; 当x<0时,y随x的增大而 ; 当x>0时,y随x的增大而 。 y轴 原点 上 低 减小 增大 8 考点串讲 ——2：二次函数的图象和性质： 当a<0时,抛物线开口向 ,顶点是最 点。 当x<0时,y随x的增大而 ; 当x>0时,y随x的增大而 。 下 高 增大 减小 9 考点串讲 ——2：二次函数的图象和性质： 不同 平移 相同 （二）二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质 1．图象： 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象形状________， 位置________，可通过将y=ax2的图象进行________得到， 平移方向和距离由的值决定． h和k 平移规律： 。 左加右减，上加下减 10 考点串讲 ——2：二次函数的图象和性质： 2．性质 （1）y=a(x-h)2+k对称轴是．顶点坐标是 x=h (h,k) （2）当a>0时，抛物线开口向____，顶点是最 点； 上 低 当x<h时,y随x的增大而 ; 当x>h时,y随x的增大而 ; 当x=h时,y取得最 值，是 。 x y O (a>0) x=h 减小 增大 小 k 11 考点串讲 ——2：二次函数的图象和性质： 当a<0时,抛物线开口向 ,顶点是最 点。 当x<h时,y随x的增大而 ; 当x>h时,y随x的增大而 。 当x=h时,y取得最 值，是 。 下 高 增大 减小 x y O (a<0) x=h 大 k 12 考点串讲 ——2：二次函数的图象和性质： （三）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1．图象：二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条________， 可通过配方转化为 的形式， 从而将其与 的图象和性质联系起来． 抛物线 y=a(x + )2 + y=a(x-h)2+k 13 考点串讲 ——2：二次函数的图象和性质： 2．性质：（1）二次函数y=ax2+bx+c对称轴是 ， 顶点坐标是 ． x =- （-， ） （2）当a>0时，抛物线开口向____，顶点是最 点； 上 低 当x<- 时,y随x的增大而 ; 当x>- 时,y随x的增大而 ; 当x=-时,y取得最 值，是 。 x y O (a>0) x=- 减小 增大 小 14 考点串讲 ——2：二次函数的图象和性质： 当a<0时,抛物线开口向 ,顶点是最 点。 当x<-时,y随x的增大而 ; 当x>-时,y随x的增大而 。 当x=-时,y取得最 值，是 。 下 高 增大 减小 x y O (a<0) x=- 大 15 考点串讲 ——3：用待定系数法求二次函数的解析式 1．顶点式： ， y=a(x-h)2+k (a≠0) 若已知二次函数的________坐标或对称轴方程与最____值或最____值，则设顶点式： y=a(x-h)2+k 的形式，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式． (h,k) 大 小 16 考点串讲 ——3：用待定系数法求二次函数的解析式 2．一般式： ． 若已知条件是图象上_____个点的坐标，则设一般式 y＝ax2+bx+c (a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值． y＝ax2+bx+c (a≠0) 三 17 考点串讲 ——3：用待定系数法求二次函数的解析式 3．两交点式：y＝______________(a≠0)． 当已知抛物线与x轴得两个交点为（x1，0），（x2，0）求解析式时，可选择交点式y=a(x-x1)(x-x2)的形式。将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式． a(x-x1)(x-x2) 18 考点串讲 ——4：二次函数与一元二次方程 1.二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的关系： 如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有公共点,那么公共点的 就是一元二次方程ax2+bx+c=0的 。 横坐标 实数根 19 考点串讲 ——4：二次函数与一元二次方程 2.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点情况： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的三种位置关系: 有 。 它们分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0根的三种情况: 有两个 的实数根、有两个 的实数根、 实数根。 两个公共点、有一个公共点、没有公共点 不相等 相等 没有 20 考点串讲 ——4：二次函数与一元二次方程 3．利用二次函数图象求一元二次方程的根： 由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根一般是______的．可以通过不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根． 近似 21 考点串讲 ——5：实际问题与二次函数 求最值问题： 在实际生活中，许多问题可以转化为求二次函数的________问题． 最值 （1）求最大利润问题的方法： ①列出利润与价格之间的函数关系式； ②结合实际意义，确定自变量的取值范围； ③利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 22 考点串讲 ——5：实际问题与二次函数 （2）求图形面积最大问题的方法： 在日常生活中，经常遇到求某种图形的面积最大等问题,这类问题可以利用二次函数图象和性质进行解决。也就是把面积最大问题转化为二次函数的最大值问题。 ①利用相关的图象面积公式,列出函数关系式; ②结合实际意义，确定自变量的取值范围； ③利用函数的最值解决面积最值问题。 23 考点串讲 ——5：实际问题与二次函数 （3）利用二次函数解决抛物线形问题： 在实际问题中，有许多问题(卫星轨道、乔洞等),都可以通过构建二次函数解析式来解决。解决这类问题的一般思路是： ①建立适当的平面直角坐标系； ②根据题意找出已知点的坐标; ③求出抛物线解析式; ④再由二次函数的性质去分析解决问题。 24 考点串讲 ——6：求二次函数最值的方法 （1） 配方法（最基础） y＝ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0) 自变量可取全体实数时：在 x=h 处取得最值k。 （2） 公式法 y＝ax2+bx+c (a≠0) 自变量可取全体实数时：把a,b,c代入得最值。 25 考点串讲 ——6：求二次函数最值的方法 （4） 图像法： （3）代入求值法： 自变量可取全体实数时：把x =-代入y＝ax2+bx+c (a≠0)计算出最值。 画出二次函数图像，看顶点纵坐标就是最值。 x无范围（全体实数）：配方法/公式法/代入法，最值在顶点； x有取值范围：判断区间单调性，确定最值是否在两个端点上。 26 考点串讲 -7：二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 (1)a决定抛物线的开口方向； (2)b联合a决定对称轴的位置； 当b与a同号，即＜0时，对称轴在y轴左侧； 当b与a异号，即＞0时，对称轴在y轴右侧； 记忆口诀： 左同右异 (3) c决定抛物线与y轴的交点位置，上正下负，c为0时过原点。 当b=0时，对称轴是y轴。 27 考点串讲 -7：二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 （4）与x轴的交点个数由Δ=b2-4ac的符号定： 两个公共点 b2-4ac >0 一个公共点 b2-4ac =0 没有公共点 b2-4ac <0 28 题型全解 题型01 二次函数概念的应用 例1、下列函数:（1）y=3x2;（2）y=(m-2)x2(m为常数); （3）y=(x-1)2;（4）x2+y-1=0;（5）y=-(a2+1)x2(a为常数);（6）y=-2x2+2x(x-1)，其中y是x的二次函数的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 解析：（1），（3），（4），（5）都是二次函数； （2）当m=2时，m-2=0,∴y=0不是二次函数； （6）化简得y=-2x不是二次函数。所以正确的有四个。 29 题型全解 题型01 二次函数概念的应用 例2、已知函数y=(m+4)|m|-2-mx+2是关于x的二次函数， 试求m的值。 解:由题意，得|m|-2=2,解得m1=4,m2=-4； ∴所以m=4时，原函数是二次函数。 当m=4时,m+4=8≠0;当m=-4时，m+4=0， 30 题型全解 二次函数的判断方法总结 条件 1：自变量的次数 二次函数是关于自变量的整式且自变量的最高次数是2. 条件 2：二次项系数 当二次项系数是含字母的代数式时必须保证二次项系数不为0。 题型01 二次函数概念的应用 题型全解 题型02 二次函数y=ax2的图象与性质 例3、二次函数y=ax2经过点(一,1)。 (1)求这个二次函数的解析式; (2)画出这个二次函数的图象，从图象可看出对称轴左侧部分,y随x的 增大而怎样变化?对称轴右侧又是怎样变化? (3)A(-，y1),B(1,y2),C(,y3)都在这个二次函数的图象，比较 y1,y2,y3的大小; (4)图象有最高点还是最低点?函数值有最大值还是最小值?是多少? 32 题型全解 题型02 二次函数y=ax2的图象与性质 解：(1)∵二次函数y=ax2经过点(-,1)， ∴a×（-）2=1， 解得a= （2）y=x2图象如图所示 ∴y=x2 由图象可知对称轴左侧部分,y随x的增大而减小， 对称轴右侧y随x的增大而增大; 33 题型全解 题型02 二次函数y=ax2的图象与性质 (3)由图象的直观性可知 y2＜y1＜,y3; (4)二次函数开口向上，图象有最低点， 函数有最小值为0. A B C 34 题型全解 判断函数值大小方法总结 1.图形的直观性 （1） 在函数图象上描出各点； （2） 有个点的高低可以比较函数值的大小，位置越高代表函数值越大。 2.计算法 如果各点的横坐标是具体数，可以代入解析式计算出相应的函数值。  题型02 二次函数y=ax2的图象与性质 3.利用对称性 当点在对称轴的两侧时，比较各点到对称轴的距离大小来比较函数值的大小。开口向上时到对称轴的距离越大，函数值越大；开口向下时，到对称轴的距离越大函数值越小。 题型全解 题型03 二次函数y=a（x--h)2+k的图象与性质 例3、抛物线y=-(x-2)2+1经过平移后与抛物线y=-(x+1)2-2重合, 那么移的方法可以是( )。 A.向左平移3个单位再向下平移3个单位 B.向左平移3个单位再向上平移3个单位 C.向右平移3个单位再向下平移3个单位 D.向右平移3个单位再向上平移3个单位 [解析]:抛物线y=-(x-2)2+1的顶点坐标为(2,1),抛物线y=-(x+1)2-2的顶点坐标为(-1，-2)，顶点由(2,1)到(-1,-2)需要向左平移3个单位再向下平移3个单位。故选A。 A 36 题型全解 题型03 二次函数y=a（x--h)2+k的图象与性质 解析:①∵a=-<0，∴抛物线的开口向下，①正确;②对称轴为直线x=-1，故本小题错误;③顶点坐标为(-1,3),③正确;④x>-1时，y随x的增大而减小，∴x>1时，yl的增大而减小一定正确;综上所述，结论正确的个数是①③④共3个。故选C。 例4、对于抛物线y=-(x+1)2+3，下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④x>1时,y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 C 37 题型全解 题型03 二次函数y=a（x--h)2+k的图象与性质 例5、已知函数y=ax和y=a(x+m)2+n,且a>0,m<0,n<0,则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是( ) [解析]由解析式y=a(x+m)2十n可知,a>0,图象开口向上,其顶点坐标为(一m,n),又因为m<0,n<0;所以顶点坐标在第四象限,排除A,D;C中,由二次函数图象可知a<0,而由一次函数的图象可知a>0,两者相矛盾，排除C;选项B正确。故选B。 B 题型全解 判断函数图象位置的方法总结 方法1.判断具有某种联系的两种函数图象在同一平面直角坐标系中的位置，可以根据已知条件或图象上的信息进行判断。 题型03 二次函数y=a（x--h)2+k的图象与性质 方法2.假设其中一种图象位置正确，用另一种图象的位置进行验证，从而得出正确的结论． 题型全解 题型04 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 例6、已知关于x已知二次函数y=-x2-4x-3。 (1)用配方法将y=-x2-4x-3化成y=a(x-h)2+k的形式; (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象; (3)写出当x为何值时，y>0; (4)当x为何值时，y随x的增大而减小; (5)当-3<x<0时，求y的取值范围。 40 题型全解 题型04 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 解：(1)y=-x2-4x-3=-(x2+4x+4-1)=-(x+2)2+1; (2)令x=0,得 y=-3,令y=0,-x2-4x-3=0解得x=-1或x=-3, ∴抛物线与x轴的交点为:(-3,0)，(-1,0) 由(1)题得:对称轴为x=-2, 顶点坐标为(-2,1)， 开口向下，图象如图所示; 41 题型全解 题型04 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 (3)观察图象得:当-3<x<-1时，y>0; (4)当x＞2时，y随x的增大而减小; (5)∵当x=-3时，y=0, 当x=0时，y=-3, ∴当-3<x<0时-3<y≤1。 42 题型全解 题型05 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与系数的关系 例7、如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，顶点P的坐标为(1,n)下列结论： ①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm-a-b≥0；③3b＜2c； ④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且PAB是等边三角形，则n=-．其中所有正确结论的序号是（  ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 43 解析：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①符合题意； 题型全解 题型05 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与系数的关系 ∵顶点P的坐标为(1,n)， ∴当x=1时，n=a+b+c最大， 当x=m时，y=am2+bm+c，∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴am2+bm-a-b≤0，故②不符合题意； ∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，∴a-b+c＞0；∵对称轴为直线x=1，∴=1，∴a=-，∴--b+c＞0，∴3b＜2c，故③符合题意； 44 设A,B的横坐标分别为，∴， ∴， 题型全解 题型05 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与系数的关系 如图，∵PAB为等边三角形， ∴PA=PB=AB，PH⊥AB，HA=HB，∠PAB=60， 当，则 ， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴，故④符合题意 ∴D为正确答案 45 题型全解 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与系数的关系方法总结 1.推断 a，b，c 的符号： 图象开口向上，则 a＞0； 开口向下，则 a＜0； b 的符号由对称轴的位置确定“左同右异”； c 的符号由抛物线与 y 轴交点位确定“上正下负”。 题型05 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与系数的关系 2. b2－4ac 的值： 抛物线与 x 轴的交点个数确定b2－4ac 的值： 两个交点时，b2－4ac＞0； 有唯一的交点时，b2－4ac＝0； 没有交点时，b2－4ac＜0． 3.特殊代数式 的值： “a＋b＋c”“a－b＋c”“4a＋2b＋c”“4a－2b＋c”等式子的正负可以分别令 x＝1，－1，2，－2时计算相应的函数值。 题型全解 题型06 用待定系数法求二次函数解析式 例8、求符合条件的二次函数解析式: (1)二次函数图象经过点(-1,0)、(1,2)、(0,3)； (2)二次函数图象的顶点坐标为(-3,6),且经过点(-2,10)；(3)二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0)、 (3,0),与y轴交点的纵坐标为9. 解:(1)设二次函数解析式为y=ax2+bx+c, 根据题意得 47 题型全解 题型06 用待定系数法求二次函数解析式 所以二次函数解析式为y=-2x2+x+3; a=-2 b=1 c=3 a-b+c=0 a+b+c=2 c=3 解得 (2)设二次函数解析式为y=a(x+3)2+6, 把(-2,10)代入得a(-2+3)2+6=10，解得a=4, 所以二次函数解析式为y=4(x+3)2+6， 即y=4x2+24x+42; 48 题型全解 题型06 用待定系数法求二次函数解析式 (3)设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3), 即y=-3x2+6x+9; 把(0,9)代入得a×1×(-3)=9， 所以二次函数解析式为y=-3(x+1)(x-3)， 解得a=-3, 49 题型全解 用待定系数法求二次函数解析式的方法总结 1.一般式 已知三点坐标时可设一般式y=ax2+bx+c， 把三点坐标分别代入得方程组，解方程组，再代入解析式即可； 题型06 用待定系数法求二次函数解析式 2.顶点式 已知抛物线得顶点坐标(h,k)时可设顶点式y=a（x-h)2+k， 把另一点得坐标代入解得a；再代入解析式即可； 3.交点式 已知抛物线与x轴得交点坐标（x1,0）（x2,0）时可设交点式y=a(x-x1)(x-x1)， 把第三点代入解得a，再代入解析式即可。 题型全解 题型07 二次函数与一元二次方程 例9、已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数)。 (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点; (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?有两个公共点？ (1)证明:∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0, ∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解， 即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点。 51 题型全解 题型07 二次函数与一元二次方程 (2)解:y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3, 因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点， 把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下移3个单位长度后， 得到函数y=(x-m)2的图象，它的顶点坐标是(m,0)， 所以，把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个 单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点。 向下平移大于3个单位长度后，得到的函数图象与x轴有两个公共点 52 题型全解 二次函数与一元二次方程的方法总结 解决二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交的问题可转化为判断方程ax2+bx+c=0根的情况，关键是计算b2－4ac的值，判断它的符号。 当b2－4ac＞0时，有两个交点； 当b2－4ac=0时，有一个交点； 当b2－4ac＜0时，有无交点。 题型07 二次函数与一元二次方程 题型全解 题型08 二次函数的最值问题 例10、某体育用品专卖店以每个60元的价格购进一批排球。如果按每个售价80元销售,则每月可售出300个;在此基础上售价每提高1元,每月的销售量会相应减少10个。 (1)写出销售这种排球每月的利润y(单位:元)与售价x(单位:元)之间的函数表达式,并求x的取值范围; (2)售价越高利润越大吗? 为了获得更大利润,你有什么建议? 解析：第(1)问根据利润的计算公式，结合已知条件列出函数表达式，再根据销售量不能为负数确定x的取值范围。第(2)问通过分析二次函数的性质，判断利润与售价的关系，进而给出建议。 54 题型全解 解:(1)由题意得 y=(x-60)[300-10(x-80)] 题型08 二次函数的最值问题 =(x-60)(300-10x+800)=(x-60)(1100-10x) =-10x2+1700x-66 000, 即y=-10x2+1700x-66000(80≤x≤110）。 55 题型全解 (2)y=-10x2+1700x-66 000=-10(x-85)2+6250. 题型08 二次函数的最值问题 因为a=-10<0，所以当x=85时，y有最大值，最大值为6250. 即当单价定为85元/件时，每月销售该商品的利润最大， 最大利润为6250元. 56 题型全解 在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤： (1)列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； 题型08 二次函数的最值问题 (2)在自变量的取值范围内，运用顶点公式或配方法求出二次函数的最大值. 注意：当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，需根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值. 题型全解 题型08 二次函数的最值问题 例11.如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地(单位:m)，现在其中修建一条观花道(阴影所示)，供游人赏花，设改造后观花道的面积为ym2. (1)求y与x的函数关系式; (2)若改造后观花道的面积为13m2,求x的值; (3)若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值. 58 题型全解 题型08 二次函数的最值问题 解:(1)y=6×8-2×(6-x)(8-x)=-x2+14x (0<x<6) ; （2)当y=13时，-x2+14x=13, 解得x=1或x=13,∵0<x<6,∴x=1; (3)设油菜花地占地面积为w， 则w=48-y=x2-14x+48= (x-7)2-1, ∵当x<7时，w随x的增大而减小，又0.6≤x≤1, ∴当x=0.6时，w取得最大值，最大值为39.96， 答:改造后油菜花地所占面积的最大值为39.96m2 59 题型全解 题型09 二次函数与平行四边形 例12、如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B,点M是抛物线的顶点,直线AM与y轴相交于点D. (1)求该抛物线的表达式; (2)若点P是抛物线上一动点，在对称轴上 是否存在点Q,使得以点D,M,P,Q为顶点的 四边形是平行四边形?若存在，请直接写 出点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 60 题型全解 题型09 二次函数与平行四边形 解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点， -1-b+c=0 c=3 ∴ b=2 c=3 ∴ ∴该抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴M(1,4). 设直线AM的表达式为y=kx+d.将点A(-1,0),M(1,4)分别代入得 (2)对称轴上存在点Q，使得以点D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形. 61 题型全解 题型09 二次函数与平行四边形 ∴直线AM的表达式为y=2x+2.当x=0时,y=2,∴D(0,2). -k+d=0 k+d=4 k=2 d=2 ∴ 设P(m,-m2+2m+3).易得抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1,∴设Q(1,n). 当DM和PQ为平行四边形的对角线时， 解得 :Q(1,3). m+1=0+1 2+4=-m2+2m+3+n m=0 n=3 ∴ 62 题型全解 题型09 二次函数与平行四边形 当DP为平行四边形的对角线时， 综上所述，对称轴上存在点Q，使得以点D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为(1,3)或(1,1)或(1,5). m+0=1+1 n+4=-m2+2m+3+2 m=2 n=1 ∴ 解得 :Q(1,1). 当DQ为平行四边形的对角线时，则 m+1=0+1 n+2=-m2+2m+3+4 m=0 n=5 ∴ 解得 :Q(1,5). 63 题型全解 判断平行四边形的存在问题的方法总结 依据：平行四边形的判定:对角线中点重合(或对边行且相等)。分三种对角线情况讨论； 题型09 二次函数与平行四边形 设出动点坐标，明确对角线，根据中点坐标公式得到方程组，解方程组； 综合以上三种情况，写出动点坐标。 针对训练 1.若y=(m+1)x|m+3|-3x+1是关于x的二次函数，则m的值为 。 解析:∵y=(m+1)x|m+3|-3x+1是关于x的二次函数， ∴m+1≠0且|m+3|=2 ∴m=-5. -5 针对训练 B 2.已知二次函数y=a(x-1)2+k(a>0),M(-2,y1),N(-1,y2), K(8,y3)也在此二次函数图象上，则下列结论中正确的是( ) A. y1<y2<y3 B. y2 < y1< y3 C. y3<y2<y1 D. y1<y3< y2 解析:∵二次函数y=a(x-1)2+k(a>0), ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1， ∵M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3),∴|8-1|>|-2-1|>|-1-1|, ∵K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，且距离对称轴越远，函数值越大，∴y2<y1<y3. 针对训练 3.若b<0，则一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c在同一直角坐标系中的图像可能是( ) 解析:一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点是同一点(0,c)，故选项D错误;∵b<0，若a>0，则抛物线开口向上，对称轴x=->0，对称轴在y轴右侧，一次函数图象过第一、三象限，因此，选项A错误；选项C正确;若a<0抛物线的开口向下，对称轴x=-<0，对称轴在y轴左侧，因此，选项B错误. C 针对训练 4.将抛物线y=x2+x向下平移3个单位再向右平移2个单位，所得抛物线的表达式是 . 解::y=x2+x=(x+)2-, 将抛物线向下平移3个单位可得y=(x+)2--3=(x+)2-， 再向右平移2个单位可得y=(x+-2)2-(x-)2-, 即y=x2-3x-1. 故答案为y=x2-3x-1. y=x2-3x-1 针对训练 5.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，直 线x=-1是抛物线的对称轴，下列结论不正确的是（ ） A. abc> 0 2 B. 4a+2b+c<0 C.函数的最大值为a-b+c D.关于x的方程ax2+bx+c-4=0没有实数根 解析:抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-=-1，与y轴交于正半轴，∴a<0,b=2a<0,c>0,∴abc>0;当x=-1时，函数有最大值为: a-b+c;故A，C选项正确，不符合题意;∵对称轴为直线x=-1，∴x=2和x=-4的函数值相等，均为4a+2b+c由图象可知:4a+2b+c<0，故B选项正确，不符合题意; 由图象可知，抛物线和直线y=4有2个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c-4=0有2个实数根;故D选项错误，符合题意;故选D. D 针对训练 6.如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接 MA,MC,AC，则当MAC的周长最小时，点M的坐标是 . (2,1) 解析:根据“将军饮马”模型，先求出 A(1,0),B(3,0),C(0,3)，由二次函数对称性，A,B关于对称轴对称，从而CMAC=CA+CM+MA=CA+ CM+MB，AC==，则MAC周长的最小值就是CM+MB的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点共线时线段CB长，再求出直线BC的解析式，即可得到答案. 针对训练 7.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为每件120元时，每天可售出20件.经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元. (1)每天可销售 件，每件盈利 元(用含x的代数式填空)； (2)设每天的销售利润为y元.当每件童装降价多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (20＋2x)　 (40-x)　 (2)解：由题意，得y＝(20＋2x)(40-x)＝-2x2＋60x＋800 =-2(x-15)2＋1 250. ∴当x＝15时，y有最大值，最大值为1250. ∴当每件童装降价15元时，每天获得的利润最大，最大利润是1250元. 针对训练 8.某条隧道已经在2025年顺利通车，如今它是全球最长的交通要道， 沿线出行因它更为顺畅，沿线经济也被带动起来.下图是该隧道断面 的示意图,截面轮廓大致可看成一段抛物线弧. 若隧道下方的宽度为12米，高为8米，按照图中方式建好坐标系. (1)求出该抛物线的关系式； (2)隧道为双车道，车子的顶部到隧道顶面的竖直距离至少有0.5米；同时两辆车在洞中并排走时，要分处中线两侧，彼此间隔不少于2米（中线宽度本身不计).若车宽为3米、车高3.5米的两车并行通过，能否顺利通行？请给出依据. 针对训练 解:(1)由题意，得顶点为(，8)，即(6,8). 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0).代入点(12,0)， 得a(12-6)2+8=0，解得a=-。 (2)能安全通过，理由如下: ∵抛物线的解析式为y=-(x-6)2+8(0<x<12). 如图，由题意，得x=2. 将x=2代入y=-(x-6)2+8, 得y=-×(2-6)2+8 ∵ −3.5=＞0.5， ∴ 能安全通过. 单元总结/思想方法归纳 ·数形结合思想 本章中涉及的数形结合思想（核心）：解析式与抛物线图像相互转化；转化化归思想：一般式配方变顶点式，复杂问题转化简单问题 ·分类讨论思想 在本章中，开口方向；给定自变量取值范围求最值；顶点是否在取值区间内，分情况讨论。 ·建模思想 把生活实际问题（利润、面积、拱桥、投篮）抽象，建立二次函数模型，利用函数求最值，再回到实际检验，舍去不符合实际的解。 74 青岛版·九年级数学下册（新教材） 谢谢聆听 $