5.5 二次函数与实际问题（第2课时 利润最值、抛物线型问题）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.5 二次函数与实际问题 第2课时 利润最值、抛物线型问题 学 习 目 标 1 2 3 能根据销售问题中的数量关系建立二次函数模型，由实际问题中的自变量取值范围，熟练运用二次函数性质求解利润的最值． 掌握抛物线型实际问题的解题步骤，能根据实际场景合理建立平面直角坐标系，准确求出二次函数解析式;熟练利用二次函数的图象和性质，求解轨迹类问题中的高度、跨度、最值等实际问题. 经历"实际问题---抽象建模---函数求解---回归实际"的完整探究过程，提升数形结合分析问题、将生活问题转化为数学函数问题的能力，熟练掌握建模解题的通用方法. 知识回顾 1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤： 审→设→列→解→答 公式法：顶点坐标 配方法：y=a（x-h）2+k 求最值时还要确定自变量的取值范围。 2.销售问题中有关利润的公式： （1）利润=售价－进价 （2）总利润=单件利润×销售量 知识回顾 例1、某公司投入10万元研发一种科技玩具,生产成本为16元/件,预计销售量y(单位:万件)与售价x(单位:元/件)之间满足关系式y=-x+30。当售价定为每件多少元时预计总利润最大? 最大值是多少? 分析：玩具的售价 元/件，销售量 万件，生产成本 为 元/件,投入10万元是 。每件的利润是 元 总利润= 。 x y 16 成本 （x-16） y（x-16）-10 典例讲解 解:根据题意,当售价为x元/件时,每件玩具的利润为 (x-16)元,预计总利润W(单位:万元)为 W =y(x-16)-10 =(-x+30)(x-16)-10 =-x2+46x+490， =-(x-23)2+39。 所以当x=23时,W取得最大值,最大值为39。 所以,售价定为每件23元时,预计总利润最大,最大值为39万元。 需要换算单位吗？ 自变量x的取值范围是什么？ 典例讲解 1.某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=−2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件． (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式； (2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ 解：(1)由题意可得w=(x−50)(−2x+180)=−2x2+280x−9000. 跟踪练习 (2)w=−2x2+280x−9000=−2(x−70)2+800， ∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件， ∴75≤x≤90. 由题意确定自变量x的取值范围 ∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元． 注意：需根据函数的增减性确定自变量取何值时函数有最值，而非在顶点处取最值。 跟踪练习 求解最大利润问题的一般步骤： （1）建立利润与价格之间的函数关系式： “总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 跟踪练习 例2、某快餐店新推出一种套餐,每份的成本为12元,售价不低于18元。试卖后发现, 每份售价为20元时,每天可卖出120份,在此基础上,售价每下降1元,每天可多卖出40份;售价每上涨1元,每天就少卖出40份。该套餐每份售价为多少元时, 每天的销售利润最大? 最大利润是多少 分析：本题中涉及降价和涨价两种情况，所以要分降价和涨价 两种情况讨论： 典例讲解 ①每件降价x元，则每天售出商品的利润y元，填空： （1）降价销售 单件利润（元） 销售量（件） 每天的利润（元） 正常销售 降价销售 8 120 960 (8−x) (120+40x) (8−x)(120+40x) 建立函数关系式：y=(8−x)(120+40x)， 即y=−40x2+200x+960. 典例讲解 ②自变量x的取值范围如何确定？ ∵售价不低于18元， ∴20-x≥18 且x ≥0 ∴0≤x≤2. ③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 对称轴x=- =2.5, y=−40x2+200x+960. ∴当x=2时，即售价是18元利润最大,最大利润是1200元. 典例讲解 ①每件涨价x元，则每天售出商品的利润y元，填空： （2）涨价销售 单件利润（元） 销售量（件） 每天的利润（元） 正常销售 涨价销售 8 120 960 (8+x) (120-40x) (8+x)(120-40x) 建立函数关系式：y=(8+x)(120-40x)， 即y=−40x2-200x+960. 典例讲解 ②自变量x的取值范围如何确定？ ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 对称轴x=- =-2.5, y=−40x2-200x+960. ∴当x=0时即售价是20元时，利润最大,最大利润是960元. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以， 故120 −40x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤3. ∵1200＞800， ∴当售价18元时利润最大，最大利润是1200元。 还要其他解法吗？ 典例讲解 解:设每份套餐售价为x元(x≥18)，每天的销售利润为y元。 销售量为120-40(x-20)=920-40x， 利润函数为y=(x-12)(920-40x)。 整理得:y =-40x2+1400x-11040 二次函数开口向下，顶点横坐标为=-=-=17.5 ∵x≥18，故当x=18时，y取得最大值: y=(18-12)(920-4018)=6200 答:该套餐每份售价为18元时，每天的销售利润最大， 最大利润是1200元。 典例讲解 2.“健益"超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克。由销售经验知，每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(x>30)存在如图所示的一次函数关系式。 (1)试求y与x的函数关系式; 解:(1)设y=kx+b,由图象可知， 30k+b=400, 40k+b=200, y=-20x+1000; 解得 k=-20, b=1000 跟踪练习 (2)设"健益"超市销售该绿色食品每天获得利润P元， 当销售单价为何值时，每天可获得最大利润?最大利润是多少? (2)由题意得P=(x-20)(-20x+1000)=-20x2+1400x-20000 跟踪练习 ∵a=-20<0,∴P有最大值. 当x=-=-=35时， P最大值=4500. 即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元。 (3)根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(直接写出答案)。 (3)31≤x≤34,或36≤ x≤39. 当P=4480时,4480=-20x2+1400x-20000,解得x1=34,x2=36, 当P=4180时,4180=-20x2+1400x-20000,解得x1=31,x2=39, ∵4180≤P≤4480 跟踪练习 ∴绿色食品销售单价31≤x≤34,36≤ x≤39的范围时符合要求. 典例讲解 例3、如图,某公园要建造圆形喷水池,在喷水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 点在水面中心,OA 的高度为1.25m。柱子顶端A 处的喷头向四周喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,其中一股水流在点C 处落入水池。为使水流形状更为美观,要求这股水流在水平方向 距离直线OA 为1m的点B 处达到最大高度。 (1)若点B 距离喷水池水面的高度为2.25m,要使水流不落到池外,喷水池的半径至少为多少? (2)若喷水池的半径为3m,要使水流恰好落在水池内边缘,水流的最大高度应为多少(结果精确到0.1m)? 本题是二次函数的实际应用问题，建立合适的直角坐标系，核心是利用二次函数顶点式求解抛物线的解析式，再结合实际场景的约束条件得到对应结果。 典例讲解 典例讲解 解:如图,以点O为原点,直线OC为x轴,直线OA 为y轴建立平面直角坐标系。 (1)根据题意A(0,1.25),B(1,2.25), 点B 为抛物线的顶点。 设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-1)2+2.25。 将点A(0,1.25)代入,得1.25=a(0-1)2+2.25 解得 a=-1。 y=-(x-1)2+2.25。 当y=0时,得-(x-1)2+2.25=0 解方程,得 x=2.5或x=-0.5(舍去)。 所以,要使水流不落到池外,喷水池的半径至少为2.5m。 典例讲解 将A(0,1.25),C(3,0)分别代入,得 1.25=a+k, 0=4a+k。 解得 a=-, k= 因为≈1.7,所以水流的最大高度大约为1.7m。 (2)根据题意得A(0,1.25),C(3,0)。 设点B的坐标为(1,k),抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-1)2+k 典例讲解 3.图②为图①中悬索桥的示意图。已知缆索(桥上方的曲线)的形状是抛物线,两端的索塔AB 和CD 的高度相同,且均与桥面AC 垂直。主桥AC 的长为600m,引桥CE 的长为168m。缆索最低处的吊杆MN 的长为4m,桥面上与吊杆MN 相距100m处的吊杆PQ 的长为9m。若从索塔顶端D 到锚点E 再连接一条缆索(图②中的线段DE),求该缆索的长。 跟踪练习 解：以点M为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. x y 依题意可知 AC=600m,MP=100m,PQ=9m, MN=4m,MN⊥AC,PQ⊥AC. ∴M(0,0)，N(0,4),Q(100,9),C(300,0).点N为抛物线的顶点。 设抛物线对应的函数表达式为 y=ax2+4。 跟踪练习 x y 将点Q(100,9)代入,得9=a×1002+4 解得 a=。 y=x2+4 当x=300时,得y=×3002+4=49 ∴CD=49 ∵CD⊥AC,CE=168 ∴DE= =175(m). ∴缆索的长175m. 跟踪练习 例4、某段护栏由50段形状相同的拱形钢管与若干不锈钢管立柱连接而成,每一段拱形钢管为抛物线的一部分,并按间距0.4m加设不锈钢管立柱(图①)。为计算所需不锈钢管的总长度,设计人员建立了如图②所示的平面直角坐标系。 求图②中抛物线对应的函数表达式, 并计算所需不锈钢管的总长度。 解析：本题围绕抛物线的实际应用展开，解题的关键点是利用抛物线的轴对称性简化函数表达式的求解，结合立柱的间距确定对应横坐标，代入解析式计算每根立柱的高度，最终求出所有立柱的总长度。 典例讲解 解：由坐标系和图中尺寸可知，抛物线顶点坐标为 B(0,0.5)，与x轴的交点为A(-1,0)、 C(1,0)， 设抛物线解析式为y=ax2+0.5， 将C(1,0)代入得: a×12+0.5=0 解得a=-0.5 因此抛物线对应的函数表达式为 y=-0.5x2+0.5(-1≤x≤1). 典例讲解 由题可设C3(0.2,y1)，C4(0.6,y2) 当x=0.2时, 得y1=-0.5×0.22+0.5=0.48 当x=0.6时,得y2=-0.5×0.62+0.5=0.32 由抛物线对称性单段拱形的立柱总长度为: 0.32+0.48+0.48+0.32=1.6 （m） ∴50段护栏的不锈钢管总长度1.6×50=80（m） 典例讲解 4.如图,排球运动员在底线处发球,排球发出后向前上方行进,其距离地面的高度y(单位:m)与水平行进距离x(单位:m)之间的函数表达式是y=-x2+x+。已知球网到底线的距离为9m,网高为2.43m。 (1)排球能否过网? (2)当排球行进的水平距离 是多少时,排球距离地面的高度达到最大值? (3)若排球能过网,排球将落在界内还是界外? 跟踪练习 解：(1)把x=9代入函数表达式计算: y=-×92+ ×9+ = -2.7+ 5.5= 2.8 ∵2.8>2.43，∴排球能过网。 (2)对于二次函数y=-x2+ x+ 当x=-=-=5 ∴当排球行进的水平距离是5m时，排球距离地面的高度 达到最大值。 跟踪练习 (3)排球落地时高度y=0，得: x2-10x-75=0 解得正根x=15(负根x=-5不符合实际舍去)， ∵对方底线距离发球底线的总长度为9+9=18m，15<18， -x2+ x+ =0 ∴排球将落在界内。 跟踪练习 B 当堂检测 1.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件商品的售价应为( ) A.24元 B.25元 C.28元 D.30元 2. 如图，小王掷出铅球，球在飞起来后的高度y(米）和横坐标x(米）之间的函数关系式是y=-x2+x+ ，此时铅球在整个飞行时的最高位置距地面有 米. x y O 2 当堂检测 3.某条隧道已经在2025年顺利通车，如今它是全球最长的交通要道，沿线出行因它更为顺畅，沿线经济也被带动起来.下图是该隧道断面的示意图,截面轮廓大致可看成一段抛物线弧.若隧道下方的宽度为12米，高为8米，按照图中方式建好坐标系. (1)求出该抛物线的关系式； (2)隧道为双车道，车子的顶部到隧道顶面的竖直距 离至少有0.5米；同时两辆车在洞中并排走时，要分 处中线两侧，彼此间隔不少于2米（中线宽度本身不计).若车宽为3米、车高3.5米的两车并行通过，能否顺利通行？请给出依据. 当堂检测 解：（1）由题意，得顶点为（，8），即(6,8). 设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+8(a≠0). 代入点(12,0)，得a(12−6)2+8=0，解得a= − . ∴ 抛物线的解析式为 y=− (x−6)2+8(0<x<12). (2) 能安全通过，理由如下： 如图 ，由题意，得 xA​= − − 3=2. 将 x=2 代入 y= − (x−6)2+8， 得y= −× (2−6)2+8=. −3.5=＞0.5， ∴ 能安全通过. 当堂检测 课堂小结 实际问题 数学模型 转化 回归 （利润最大，抛物线型） （二次函数及其图象性质） 最大利润问题 抛物线形运动问题 建立函数关系式 确定自变量取值范围 确定最 大利润 选好合适的坐标系 能把题目里的距离准确化为点坐标； 挑选计算简便的方法 实际问题 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $