第5章 二次函数（单元自测）2026-2027学年数学新教材青岛版九年级下册

第5章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】直接将点的横坐标代入抛物线解析式，得到与的表达式，即可比较大小． 【解析】点和点都在抛物线上， 将代入解析式得； 将代入解析式得； ， ． 故选． 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据二次函数的图象得出，，，，从而得出，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解析】由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点， ，，，， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、三象限， 在抛物线中，当时，， 反比例函数经过第一、三象限， 故选A． 3．已知二次函数（a为常数且）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称性，利用对称性求出对称轴，然后解出a的值，代入解题即可． 【解析】∵二次函数的图象经过和， ∴抛物线的对称轴为，即， 解得：，（不符合题意的根舍去） ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， 故选B． 4．抛物线（a、c是常数且，）经过点．下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．抛物线一定经过 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性及性质可进行排除选项． 【解析】由抛物线可知：对称轴为直线，且抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另外一个交点横坐标为，即坐标为，故D正确； ∴，故C错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴，故A正确； 故选C． 5．如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点，判断，即可判断①，抛物线与轴分别交于点，，得，，，从而可得，，即可判断②，根据图象可得与有2个交点，即可判断③，把方程可化为，得，解得，即可判断④． 【解析】①∵抛物线开口向上，则， ∵抛物线与轴交于点，， ∴对称轴为直线，则， ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故①不正确； ②∵抛物线与轴分别交于点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵，抛物线与轴交于点，且， ∴抛物线与有2个交点， 即方程有两个不相等的实数根；故③正确； ④∵，， ∴方程可化为， ∴， 解得，；故④不正确． 故选B． 6．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象与y轴的交点可判断A；根据图象与x轴的交点可判断B、D；根据图象的开口方向、对称轴以及时的函数值可判断C，进而可得答案． 【解析】∵该函数图象与y轴负半轴相交， ∴，故选项A结论错误，不符合题意； ∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，故选项B结论错误，不符合题意； ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， ∵当时，， ∴，即，故选项C结论正确，符合题意； ∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线， ∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间， ∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意； 故选C． 7．规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．有下列结论：（1）函数与互为“兄弟函数”；（2）函数与互为“兄弟函数”；（3）函数与互为“兄弟函数”；（4）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，则实数a的值为2．其中正确的是（ ） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【答案】D 【分析】本题考查了在新定义下的一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，图像交点与一元二次方程的关系，公式法解一元二次方程，理解“兄弟点”的定义，采用数形结合的思想，是解此题的关键．前三个结论画出函数图像，由函数图像及“兄弟点”的定义即可得到答案；（4）把代入，求出“兄弟点”的坐标，把“兄弟点”的坐标代入求解即可． 【解析】（1）．画图，如下，   ， 观察图像可知：函数与图像只有两个交点，故不是“兄弟函数”； （2）．画图，如下，   ， 观察图像可知：函数与图像只有三个交点，故是“兄弟函数”； （3）．画图，如下， ， 观察图像可知：函数与图像只有两个交点，故不是“兄弟函数”； （4）．把代入，得， ∴“兄弟点”的坐标为， 把代入，得， 解得，故选项（4）正确， 故选D． 8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③；④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．由图象得 ，，由对称轴为直线得，可得，；抛物线与x轴的一个交点，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知． 【解析】∵抛物线开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，， 对称轴为直线，， ∴，故①符合题意； 故②符合题意； 抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为直线， 故知另一个交点在，之间，故时， ∴，得，故③符合题意； 由，，知， ∵，为方程的两个根， ∴， ∴，故④符合题意； 故选D 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是．故选C． 10．二次函数，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【解析】 ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是．故选D． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 11．抛物线的对称轴是________． 【答案】直线 【分析】将抛物线的表达式化为顶点式，即可得出答案． 【解析】抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线．故答案为直线． 12．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有________． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数图象的性质，对选项逐一进行判断即可． 【解析】根据图象可知，开口向上， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴负半轴， ，故①正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为， 将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即， ∴无论取何值时，总是大于或等于 即，故③正确，符合题意； 根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大，故④正确，符合题意． 故答案为①②③④． 13．规定．例如：，．则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、二次函数的最值，先判断出，结合题意得出，再由二次函数的性质求解即可． 【解析】， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 14．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为________． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【解析】依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为． 15．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为________．    【答案】（或24米） 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【解析】依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故答案为． 16．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为________元． 【答案】75 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价． 【解析】设降价x元，利润为W， 由题意得：， 整理得：， ∴当时，可获得最大利润， 此时每顶头盔的售价为：（元）， 故答案为75． 17．曲线，如图所示，且曲线是轴对称图形，其对称轴为．直线交曲线于点，且．则的值为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、一次函数与二次函数交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据曲线的对称轴为，可得，再求得点坐标，进而可得，然后计算的值即可． 【解析】∵曲线是轴对称图形，其对称轴为， ∴可有， ∴， 将代入直线， 可得， ∴， 将点代入曲线， 可得， ∴， ∴或， ∵， ∴或． 故答案为或． 18．对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为________． 【答案】 【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的、的值，由得，解出再代入，即可求解． 【解析】抛物线，，， ，， ， 解得：或， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，新定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 19．若二次函数的解是全体实数，求实数的取值范围________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法解不等式，根据题意，得到抛物线的顶点的纵坐标大于等于0，列出不等式进行求解即可． 【解析】∵二次函数的解是全体实数， ∴抛物线的顶点的纵坐标大于等于0，即：， 即：， 设， 当时，， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，，即：； ∴； 故答案为． 20．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【解析】∵抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 60 分） 21．（7分）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 （2）略 22．（7分）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【答案】 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 【解析】联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 23．（7分）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3）存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【解析】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 24．（7分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．    （1）求b的值； （2）请求出四边形的面积； （3）直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点． ①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由； ②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2）15 （3）①不变化，；② 【分析】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的判定和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据题意可得到对称轴为直线，即可求出b的值； （2）连接，求出，根据即可求出答案； （3）①证明，同理得到，得到，求出，即可得到； ②由①知，为等腰直角三角形，则，当时，最短，此时取得最小值，求出，根据得到，即可得到答案． 【解析】（1）解：∵当， ∴此抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， （2）连接， 由（1）得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点D的坐标为， 令，则， 解之得：， ∴ 令，则 ∴点B的坐标为， 则 ∴ ∴四边形的面积为15. （3）①不变化，理由： ∵于点E，点M为线段的中点， ∴ ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即在旋转的过程中，的大小不变，其度数为； ②∵由①知，为等腰直角三角形， ∴ 当时，最短，此时取得最小值， ∵， ， ∴， 解得 ∴ 即线段的最小值为． 25．（8分）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 （1）在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． （2）在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． （3）已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 【答案】（1） （2） （3）道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为 【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可． 【解析】（1）解：设菜地的宽为米， ∵长、宽比为的长方形菜地， ∴菜地的长为米， ∴小路面积S关于的函数表达式为； （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）得：菜地面积关于的函数表达式， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为． 26．（8分）如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； （3）动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所求二次函数的解析式为，再把，，代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接，交对称轴于P，P即为使的值最小，设直线的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令时，即可求得P的坐标． （3）先分析出四边形ACMB面积，结合是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答． 【解析】（1）解：设所求二次函数的解析式为， 把，，代入得 ， 解得， ∴这个二次函数的解析式是：． （2）解：∴， ∴抛物线的对称轴为， 连接，如图所示： 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ， ∴P点的坐标为； （3）解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示： 则四边形ACMB面积， ∵是一个定值， ∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大， 设， 则， ∴． 则 ∵ ∴开口向下，当时，有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大， 此时把代入， 得， ∴． 27．（8分）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． （1）求该抛物线的对称轴及函数解析式； （2）①当，最大值与最小值的差是5，则t值为＿＿＿＿＿； ②若点为抛物线上一点，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）对称轴为：，抛物线的解析式为 （2）①；②或 【分析】（1）根据对称轴公式代入计算即可，求出C点的坐标，根据，得到B点的坐标，再代入解析式计算即可求解； （2）①先求出抛物线的顶点坐标，得到最大值，再根据抛物线的性质及当时，，得到t在对称轴右侧，且此时函数值为时，最大值与最小值的差为5，将代入，求解即可；②将代入，求解方程，再结合抛物线图象即可求解． 【解析】（1）解：∵抛物线为， ∴对称轴为：，即． 将代入，得． ∴点C的坐标为． ∴． ∴点B的坐标为． 将代入，得． ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①， ∴抛物线的顶点坐标为． 当时，． 如图所示， 当时，，此时最大值与最小值的差为4， 故t在对称轴右侧，且此时函数值为时，最大值与最小值的差为5， 将代入， 得，（舍）． 故t的值为， 故答案为； ②点为抛物线上一点，且， 将代入， 得，． ∴当时，由图知m的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质是解题的关键． 28．（8分）如图，抛物线与轴相交于两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BD翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D的坐标； （3）在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点(点P与点Q不重合)，且，请求出所有满足条件的点P的横坐标． 【答案】（1） (2)， （3）当点P的横坐标为3或或时， 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）设对称轴与的交点为E，先求出点C，点E坐标，可求，，由折叠的性质可得的长，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）根据平行线间的距离相等，分两种情况讨论，若点Q，点P在的同侧时，若点P与点Q在的两侧时，结合图象及题意分别求解即可． 【解析】（1）解：将代入中， 可得， ∴， ∴； （2）如图，设对称轴与的交点为E， ∵，， ∴对称轴为直线， ∴， ∵点D在抛物线的对称轴上， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点； （3）如图，设交y轴于点F， ∵点，点， 设直线的解析式为， 代入得：， 解得： ∴直线解析式为：， 当时， ∴点， ∵抛物线的解析式为：与y轴交于点Q， ∴点， 直线经过点，， 设直线的解析式为， 代入得：， 解得： ∴直线解析式为：， 当时， ∴， 若点Q，点P在的同侧时， ∵， ∴点P与点Q到直线BD的距离相等，即， ∴设直线解析式为：， ∵点， ∴直线解析式为：， ∴， ∴（与点Q重合，舍去），（与点C重合，符合题意）， ∴点P的横坐标为3； 若点P与点Q在的两侧时， ∵， ∴点P与点Q到直线的距离相等， ∵点，点， ∴， 在y轴上截取，过点H作的平行线交抛物线于点和， ∴， ∴ ∴点H坐标， ∴直线解析式为：， ∴， ∴， 综上所述：当点P的横坐标为3或或时，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质及平行线间的距离相等等知识，综合性较强，有一定的难度． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（a为常数且）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线（a、c是常数且，）经过点．下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．抛物线一定经过 5．如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．当时， 7．规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．有下列结论：（1）函数与互为“兄弟函数”；（2）函数与互为“兄弟函数”；（3）函数与互为“兄弟函数”；（4）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，则实数a的值为2．其中正确的是（ ） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③；④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 10．二次函数，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 11．抛物线的对称轴是________． 12．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则； 其中正确的结论有________． 13．规定．例如：，．则的最小值为________． 14．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为________． 15．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为________．    16．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为________元． 17．曲线，如图所示，且曲线是轴对称图形，其对称轴为．直线交曲线于点，且．则的值为________． 18．对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为________． 19．若二次函数的解是全体实数，求实数的取值范围________． 20．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________ ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 60 分） 21．（7分）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 22．（7分）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 23．（7分）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 24．（7分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．    （1）求b的值； （2）请求出四边形的面积； （3）直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点． ①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由； ②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值． 25．（8分）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 （1）在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． （2）在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． （3）已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 26．（8分）如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； （3）动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 27．（8分）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． （1）求该抛物线的对称轴及函数解析式； （2）①当，最大值与最小值的差是5，则t值为＿＿＿＿＿； ②若点为抛物线上一点，当时，求m的取值范围． 28．（8分）如图，抛物线与轴相交于两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BD翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D的坐标； （3）在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点(点P与点Q不重合)，且，请求出所有满足条件的点P的横坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $