专题07 基本平面图形 章末55道压轴题型专训 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

专题07 基本平面图形章末55道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、动角计算问题 1 题型二、三角板中角度计算综合 2 题型三、角的新定义计算 3 题型四、线段动点分类讨论求值问题 4 题型五、方位角与角度和差综合应用题 5 题型六、多边形对角线规律探究题型 6 题型七、线段、角度规律递推归纳题型 7 题型八、尺规作图结合计算探究题型 8 【经典例题一 动角计算问题】 1．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）（1）如图（），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起． ①若，则______；若，则________． ②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由． （2）如图（），两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的度数有何关系？请说明理由． 【答案】 （1）①，60 ②解：与的度数关系为，理由如下： 根据题意，得， ∵， ∴， ∴． （2）解：与的度数关系为：．理由如下： 根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角板有关的角的和差，熟练掌握计算是解题的关键． （1）①根据题意，得，分别代入计算即可． ②根据题意，得，结合，计算得到． （2）根据题意，得，结合，得到，解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴时，； ∴时，， 故答案为：，60． ② 略 （2） 略 2．（2026七年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 (1)的度数为_____，的度数为_____°； 【问题推广】 (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线、，且平分，若，求的度数． 【答案】(1)40，80 (2) (3)或 【分析】（1）根据，结合，进行求解即可； （2）根据角平分线的定义，角的数量关系，以及角的和差关系进行求解即可． （3）分在的内部和的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵平分，， ∴，， ∴； （3）解：当在的内部时， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在的外部时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上：或． 3．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度； (2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ） 【答案】(1) (2)当是或时，，理由如下： 如图， 根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 如图，               根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，当是或时，； (3)或或或 【分析】（1）根据，即可求解； （2）分两种情况，分别画出图形，即可求解； （3）分四种情况，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）略 （3）解：若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）问题情境 为直线上一点，将直角三角板和直角三角板的顶点重合在点处，其中，． 猜想证明 （1）将直角三角板按照如图1所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数． 拓展延伸 （2）如图2，数学小组的小明将三角板绕点顺时针旋转． ①当直角三角板的边与射线重合时，试说明． ②将图2中的直角三角板绕点逆时针转动（），使得，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）①因为，， 所以． 因为， 所以， 所以． ②的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算． （1）根据平角的定义得出，根据角平分线的定义可得，根据进行求解即可； （2）平角的定义，求出，再根据角的和差关系得出； （3）分在的右侧和在的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以． 因为是的平分线， 所以． 因为， 所以． （2）①略 ②的度数为或． 当OD在OC的右侧时，如图1． 设，， 则， 所以， 所以， 所以； 当在的左侧时，如图2． ， 所以． 综上所述，当时，的度数为或． 5．（25-26七年级上·贵州·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，即，直角三角尺可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角尺的所有部分始终保持在直线上方或下方． (1)如图，若直角三角尺的一边放在射线上，则______； (2)如图，将直角三角尺绕点转动后，使其一边在的内部，若恰好平分，求的度数； (3)如图，在直角三角尺绕点转动的过程中，与之间存在一个固定的数量关系，请求出这个数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键． ()根据，求出的度数即可； ()根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出，最后求出结果即可； ()根据题意，分成两种情况进行分析：当在内部时；当在外部时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 当在的内部时，如图所示： ∵， ， ∴， 即； 当在外部时， ∵，， ∴； 综上所述，． 6．（25-26七年级上·福建龙岩·期末）【问题情境】 如图1，若线段，，线段在线段上运动（点C不超过点A，且点D不超过点B），点E和点F分别是，的中点． 【猜想证明】 （1）①若，则_________． ②在线段运动的过程中，试判断线段的长度是否发生变化．如果不变，请求的长；如果变化，请说明理由． 【类比探究】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则_________°． ②请你判断，和三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①8；②不变，； （2）①； ②解：．理由如下： 设． 在内部转动， ，即． ． 射线和射线分别平分和， ， ． ． ． 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算． （1）①先求出，根据中点定义得出，，再求出结果即可； ②设．则，．根据线段中点定义得出，，最后根据线段间的数量关系求出结果即可； （2）先求出，根据角平分线定义得出，，求出，即可求解； ②设．根据在内部转动，得出，根据角平分线定义得出，得出．最后根据角度间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∴点E和点F分别是，的中点， ∴，， ∴； ②不变．理由如下： 设． 线段，，线段在线段上运动（点C不超过点A，且点D不超过点B）， ，． 点E和点F分别是，的中点， ，， ． （2）①∵，， ∴， 射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ； ②略 7．（25-26七年级上·江西吉安·期末）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 操作思考：（1）如图1，边，与直线重合，，，则的度数为______； 操作探究：（2）在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α．如图2，当为直角时，①试说明：平分．②求的度数； 深入再探：（3）在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α．如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，求出旋转角α的度数． 【答案】（1）； （2）①证明：∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②； （3）为或或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （2）①根据平角的定义及角的和差计算出，即可得出平分； ②利用求出的度数即可； （3）分为当平分，当平分，当平分三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】解：（1）如图， ，， ∴， 故答案为： ； （2）①略 ②∵， ∴； （3）①当平分时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当平分时， ∴， ∴； ③当平分时， ∴， ∴； 综上所述：为或或． 【经典例题二 三角板中角度计算综合】 8．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线上，现将含角的三角板绕点逆时针旋转，在这个过程中： (1)如图2，当平分时，试问是否也平分，请说明理由； (2)当所在的直线平分时，求的度数； (3)试探究（小于）与之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分， 理由如下： 如下图， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即平分； (2) (3)或或 理由如下： 设旋转角为，则，可分三种情况讨论： ①当时，在内部，如下图， AI则； ②当时，在外部，且，如下图， 则； ③当时，如下图， AI则， ∴． 综上所述，或或． 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义等知识，理解题意，弄清各角在旋转过程中的数量关系是解题关键． （1）先根据角平分线的定义求出的度数，从而可得的值，再根据互补角的定义可得的度数，由此即可得解； （2）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差即可得答案； （3）设旋转角的度数为，分、和三种情况，分别根据角的和差即可得． 【详解】（1）略 （2）当所在的直线平分时， 可得， ∴； （3） 略 9．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，即，直角三角尺可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角尺的所有部分始终保持在直线上方或下方． (1)如图1，若直角三角尺的一边放在射线上，则______； (2)如图2，将直角三角尺绕点转动后，使其一边在的内部，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，在直角三角尺绕点转动的过程中，与之间存在一个固定的数量关系，请直接写出这个数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，求出的度数即可； （2）根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出，最后求出结果即可； （3）根据题意，分成两种情况进行分析：当在内部时；当在外部时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵据，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 当在的内部时，如图所示： ∵， ， ∴， 即； 当在外部时， ∵，， ∴； 综合上述，则． 【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键． 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）问题呈现 （1）如图1，这是一副三角尺拼成如图所示的图案，求，，的度数． 方法应用 （2）如图2，这是由一副三角尺拼成的图案，，． ①若刚好是的平分线，则的度数是______． ②固定三角尺，把三角尺绕点O旋转（如图3），在旋转过程中，如果保持在的内部，那么的度数是否发生变化？并说明理由． 【答案】（1），，；（2）①；②的度数不发生变化．理由见解析 【分析】本题考查了三角板中角度的计算和角平分线的定义，正确识图进行计算是关键． （1）根据一副三角尺的特征得到，，，利用角的和与差计算即可求解； （2）①根据角平分线的定义得到，根据求解即可； ②由于，计算得到，所以的度数不发生变化． 【详解】解：（1）∵和为一副三角尺， ∴，，， ∴，，； （2）①∵是的平分线， ∴， ∴； （3）的度数不发生变化．理由如下： ∵， ∴ ， ∴的度数不发生变化． 11．（25-26六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了角的计算和角平分线的定义等内容，熟练掌握角的和差计算方式是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，再用即可得解； （2）已知，要求，可以先求，利用已知条件很容易求出，再用即可得解． 【详解】（1）是的角平分线，， ， ． （2）不变，理由如下， ，， ， ，， ，， ， ． 12．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）一副直角三角板（其中一个三角板的内角是，另一个是） (1)如图①放置， _____； (2)在（1）的基础上，再拿一个的直角三角板，如图②放置，将边和边重合，是的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请 说明理由． (3)根据（1）（2）的计算，请解决下列问题： 如图③，将一个直角三角板的一直角边与边重合，锐角顶A与的顶点重合， 是的角平分线吗？如 果是，请加以说明，如果不是，请说明理由 【答案】(1) (2) 解：是的角平分线，理由如下： ∵， ∴． 又由（1）知，， ∴，即是的角平分线； (3) 解：是的角平分线， 理由如下：如图③，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即是的角平分线． 【分析】本题考查的是三角形的知识，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意、结合图形计算即可； （2）证明，根据角平分线的定义解答； （3）根据题意得到，根据，得到，根据角平分线的定义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时，　　； （2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上： ①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是　　； ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是　　． 【答案】（1）；（2）①；②；③ 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论； ②根据角的和差关系进行求解即可； ③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）如图1，的大小不会发生变化，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ； （2）①当点和点在直线的上方时（如图，； ②当点在直线的下方，点仍然在直线的上方时（如图， ，， ； ③当点和点都在直线的下方时（如图， ，， ． 故答案为：45；，，． 14．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末） 课题题目 三角尺中的数学 背景材料 如图，鲁班发明的班尺，能正确画出直角，用于告知工匠哪些尺寸是不规则的，哪些尺寸是规则的． 任务1 如图，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．若，求的度数； 任务2 猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）解：；理由如下； ∵， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由题意知，由，可得 ，整理后作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）略 【经典例题三 角的新定义计算】 15．（25-26六年级下·山东烟台·期中）新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)若，请直接写出的倍角的度数； (2)如图1所示，若，请直接写出图中所有的倍角； (3)如图2所示，若是的倍角，是的倍角，且，求的度数． 【答案】(1) (2)、 (3) 【分析】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意得出即可； （3）设，则，得到；根据，求得，于是结论可得． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ∴图中的所有2倍角有：； （3）∵是的3倍角，是的4倍角， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级上·山东滨州·期末）（1）符号“”表示一种运算，表示在运算作用下的结果，如表示在运算作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，， 利用上述运算定义计算： 求值：______； 化简：；若，试求化简后代数式的值． （2）如图，，平分，平分，求的度数． 【答案】（），，；（）． 【分析】（）通过新定义运算即可求解； 根据新定义运算得，然后通过去括号，合并同类项法则即可求解； （）由角平分线定义即可求解． 【详解】解：（）， 故答案为：； ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ， ； （）∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴的度数为． 17．（25-26七年级上·河南郑州·期末）我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常重要的作用，请根据所学知识进行下列探究： 已知，，，分别平分和． (1)如图①，，在同一直线上，则_________； (2)如图②，在内部，且，则_________； (3)若将（2）中改为，其他条件不变，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，正确找出的不同位置是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义，求得，，即可得到答案； （2）根据角的和差得到，，因此，，从而可的答案； （3）分在右侧和左侧两种情况，根据角的和差分别列方程求解，可分别得到答案． 【详解】（1），分别平分和， ， ， ； 故答案为：． （2）当在内部， ，， 由（1）知，， ； 故答案为：． （3）设，， 当在右侧时，如图②， ， 解得， ； 当在左侧时，如图③， ， 解得， ； 综上所述，的度数为． 18．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 【答案】(1)是 (2)或或； (3) 设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒， 由得到， ， 则， ∴射线为的“欢乐线”． 【分析】（1）由角平分线的定义和“欢乐线”的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“欢乐线”的定义，列出方程可求出的值； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒，由得到，，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“欢乐线”； 故答案为：是； （2）有三种情况：①若时，且， ∴； ②若时，且， ∴； ③若时，且， ∴． 故答案为：或或； （3）略 19．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）【新定义】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． (1)如图1，若中是的“量尺金线”，且，则与的数量关系为 ； (2)如图2，若平分，试说明射线是的“量尺金线”； (3)如图3，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【答案】(1) (2) 证明：∵平分， ∴ ∴射线是的“量尺金线”； (3) 【分析】此题考查了几何图形中角度计算和角平分线的相关计算等知识． （1）根据“量尺金线”定义即可得到答案； （2）由角平分线的定义可以证明； （3）分、、三种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵中是的“量尺金线”，且， ∴， ∴， 故答案为： （2）略 （3）当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 综上可知，的度数为． 20．（25-26七年级上·云南昆明·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条． (1)如图①，已知是的一条三分线，且，若， 　 　； (2)如图②，已知，若，是的两条三分线． ①求的度数； ②在①的基础上，现以O为中心，将顺时针旋转得到．当恰好是的三分线时，求n的值． 【答案】(1) (2)①；②n的值为50或40． 【分析】（1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可； ②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且，， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，，是的两条三分线， ∴； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 综上所述，n的值为50或40． 【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 21．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为t秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）或或或 【分析】本题主要考查角平分线的计算及角的动点问题，熟练掌握角平分线的计算及角之间的和差关系是解题的关键． （1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； （2）根据“幸运线”的定义可得：当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时，在与重合之前，则有，，由是的“幸运线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸运线”可分类进行求解． 【详解】（1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； ∴角平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是 （2）由题意得： ∵，射线为的“幸运线”， ∴①当时，则有； ②当时，则有； ③当时，则有； 综上所述：当射线为的“幸运线”时，的度数为 故答案为： （3）∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时，在与重合之前，如图所示： ，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ① ② ③ 当时，在与重合之后，如图所示： 是的幸运线，则有以下三类情况： ①（不符合题意，舍去） ② ③（不符合题意，舍去） 综上：或或或． 【经典例题四 线段动点分类讨论求值问题】 22．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，小明、小英、小丽和小华的家都在同一条街的同侧居民住宅的一排住宅楼内居住，四个家庭的住址位于同一直线上．小明家到小英家的距离约为480米，小丽家到小英家的距离约为320米，小华家在小明家和小丽家之间线段的中点的位置． 请你通过所学图形知识建立数学模型，画出图形，求出小明家和小华家的距离． 【答案】80m或400m． 【分析】根据题意分类,当小丽家在小英家左侧和小丽家在小英家右侧两种情况讨论,利用线段中点的性质即可解题. 【详解】解：设小明家为点A、小英家为点B、小丽家为点C、小华家为点Q． ∵小明、小英、小丽和小华的家都在同一条街的东侧居民住宅的一排住宅楼内居住，且四个家庭的住址位于同一直线上， 根据题意AB＝480m，BC＝320m， ∵AB＞BC， ∴先确定直线上A、B的位置，AB＝480m，B、C两点位于A点的同侧，C点的位置分两种情况： 第一种情况：当点C在点B的左侧时（如图1）， AB＝480m，BC＝320m， ∴AC＝160m， ∵点Q是AC的中点， ∴AQ＝AC＝80m； 第二种情况：当点C在点B的右侧时（如图2）， ∵AB＝480m，BC＝320m， ∴AC＝800m． ∵点Q是AC的中点， ∴AQ＝AC＝400m． ∴综上所述，小明家和小华家的距离为80m或400m． 【点睛】本题考查了线段中点的实际应用,中等难度,分来讨论作出图形,利用中点的性质建立等量关系是解题关键. 23．（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以每秒2cm的速度往返运动一次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（t不超过10秒）． （1）当t＝2秒时，AB等于多少cm，当t＝8秒时，CD等于多少cm； （2）若BC＝2cm时，求t的值； （3）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）4；3；（2）所求t的值为3或7；（3）EC＝5cm． 【分析】（1）根据速度乘以时间等于路程，可得t＝2秒时，AB的长；根据速度乘以时间等于路程，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得CD的长； （2）分两种情况：①当0＜t≤5时，B点沿A→D运动；②当5＜t≤10时，B点沿A到达D点后，沿D→A运动．分别求出B点运动的路程，再除以速度即可求出t的值；(3)通过已知把EC表示出来，发现总是等于AD的一半，所以其长度不变. 【详解】（1）当t＝2秒时，AB＝2×2＝4（cm）； 当t＝8秒时，BD＝（8﹣5）×2＝6cm， ∵C是线段BD的中点， ∴CD＝BD＝3cm， （2）分两种情况： ①当0＜t≤5时，B点沿A→D运动． ∵BC＝2cm，C是线段BD的中点， ∴BD＝2BC＝4cm． ∵AD＝10cm， ∴AB＝AD﹣BD＝6cm， ∴t＝6÷2＝3； ②当5＜t≤10时，B点沿A到达D点后，沿D→A运动． ∵BC＝2cm，C是线段BD的中点， ∴BD＝2BC＝4cm． ∵AD＝10cm， ∴AD+BD＝14cm， ∴t＝14÷2＝7． 综上，所求t的值为3或7； （3）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长不变，理由如下： ∵AB的中点为E，C是线段BD的中点， ∴EB＝AB，BC＝BD， ∴EC＝EB+BC＝AB+BD＝AD＝5cm． 【点睛】本题考查了行程问题的基本关系，两点间的距离，线段中点的定义，以及线段的和差，弄清B点运动的时间与方向是解题的关键． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知直线l上有一点O，点A、B同时从O出发，在直线l上分别向左、向右作匀速运动，且A、B的速度比为1：2，设运动时间为ts． （1）当t=2s时，AB=12cm．此时， ①在直线l上画出A、B两点运动2秒时的位置，并回答点A运动的速度是 cm/s； 点B运动的速度是 cm/s． ②若点P为直线l上一点，且PA﹣PB=OP，求的值； （2）在（1）的条件下，若A、B同时按原速向左运动，再经过几秒，OA=2OB． 【答案】（1）①2，4；②或1（2）或 【详解】试题分析：（1）①设A的速度为xcm/s，B的速度为2xcm/s，根据2s相距的距离为12建立方程求出其解即可； ②分情况讨论如图2，如图3，建立方程求出OP的值就可以求出结论； （2）设A、B同时按原速向左运动，再经过几a秒OA=2OB，根据追击问题的数量关系建立方程求出其解即可． 解：（1）①设A的速度为xcm/s，B的速度为2xcm/s，由题意，得 2x+4x=12， 解得：x=2， ∴B的速度为4cm/s； 故答案为2，4 ②如图2，当P在AB之间时， ∵PA﹣OA=OP，PA﹣PB=OP， ∴PA﹣OA=PA﹣PB， ∴OA=PB=4， ∴OP=4． ∴． 如图3，当P在AB的右侧时， ∵PA﹣OA=OP，PA﹣PB=OP， ∴PA﹣OA=PA﹣PB， ∴OA=PB=4， ∴OP=12． ∴ 答：=或1； （2）设A、B同时按原速向左运动，再经过几a秒OA=2OB，由题意，得 2a+4=2（8﹣4a）或2a+4=2（4a﹣8） 解得：a=或 答：再经过或秒时OA=2OB． 考点：一元一次方程的应用；两点间的距离． 25．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，. 【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置； （2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值. （3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值. 【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则， 由得，即 ，，，即 所以点P在线段AB的处； （2）①如图，当点Q在线段AB上时， 由可知， ②如图，当点Q在线段AB的延长线上时， ， 综合上述，的值为或； （3）②的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 如图，当点M、N在点P异侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 所以②的值不变正确，. 【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键. 26．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律． (1)【特例感知】若数轴上点，点表示的数分别为8，，则两点之间的距离为_____________，线段的中点表示的数为_____________； (2)若数轴上点，点表示的数分别为，． 【分类讨论】若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：_____________； 【类比探究】线段的中点表示的数为_____________； (3)【综合运用】若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中， 两点之间的距离为_____________；（用含的代数式表示） 若点为的中点，点为的中点，线段的长度为_____________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10,3 (2)， (3)， 【分析】（1）根据两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答即可； （2）根据两点间的距离公式的计算方法解答；根据线段中点的计算方法解答； （3）根据和两点间的距离公式得到，先利用中点坐标公式求出的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：若数轴上点，点表示的数分别为8，，则则两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为：， 故答案为：10，3； （2）解：若数轴上点，点表示的数分别为，， 若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：,， 故答案为：； 线段的中点表示的数为：， 故答案为：； （3）解：若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中， 两点之间的距离为：， 故答案为：； 点为的中点，点为的中点， 表示的数为：，表示的数为：， 线段的长度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清楚点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 27．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解； （）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，， ∴； 线段的中点表示的数为； 故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴点表示的数是， 故答案为：； 当点为中点时，则， 解得，不合，舍去； 当点为中点时，则， 解得； 当点为中点时，则， 解得； ∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时， ∴， 此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 【经典例题五 方位角与角度和差综合应用题】 28．（25-26七年级上·云南红河·期末）如图，某轮船上午8时在A处，测得灯塔S在北偏东60°的方向上，向东行驶至中午11时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西30°的方向上（自己完成图形），已知轮船行驶速度为每小时60千米，求∠ASB的度数及AB的长． 【答案】∠ASB=90°，AB=180千米． 【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图： 由图可知∠SAB＝90°﹣∠DAS＝90°﹣60°＝30°，∠ABS＝90°﹣∠SBC＝90°﹣30°＝60°， 在△ABS中，∠SAB＝30°，∠ABS＝60°， ∴∠ASB＝180°﹣∠ABS﹣∠SAB＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 60×（11﹣8）＝180（千米）． 即AB长为180千米． 【点睛】本题主要考查了方位角，正确画出方位角，再结合三角形的内角和是解题的关键. 29．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，处在处南偏西方向，处在处南偏东方向，处在处的北偏东方向，求的度数． 【答案】82° 【分析】根据题意和图形，正确画出方向角，根据平行线的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意得，∠EAB=39°，∠EAC=20°， 则∠BAC=59°， ∵BD∥AE， ∴∠DBA=∠EAB=39°， 又∵∠DBC=78°， ∴∠ABC=39°， ∴∠ACB=180°-59°-39°=82°． 【点睛】此题考查方向角，正确画出方向角是解题的关键，画方位角时，以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 30．（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图,若在飞机飞行时，用AN(南北线）与飞行线之间顺时针方向的夹角作为飞行方 位角，从A 到B的飞行方位角为35°，即，从A到D的飞行方位角是从A到B的飞行方位角的4倍少，从A到C的飞行线恰好是从A到D的飞行方位角的角平分线，，求的度数． 【答案】25° 【分析】根据方向角的表示方法，可得每个角的度数，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：由题意得： ∵，∠NAD是∠NAB4倍少10° ∴∠NAD=4×-10°=130° ∵AC平分∠NAD ∴∠NAC=∠DAC=65° ∵∠EAD=90° ∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=90°-65°=25° 【点睛】本题考查方向角，解题关键是方向角的表示方法，角的和差． 31．（25-26七年级上·江西上饶·期末）如图，射线OA的方向是北偏东20º，射线OB的方向是北偏西40º，OD是OB的反向延长线，OC是∠AOD的平分线． （1）求∠BOC的度数； （2）求出射线OC的方向． 【答案】（1）120º；（2）北偏东80º 【分析】先求出∠AOB=60°，再求得∠AOD的度数，由角平分线得出∠AOC的度数，得出∠BOC和∠DOC的度数，即可确定OC的方向． 【详解】解：∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东20°， ∴∠AOB=40°+20°=60°， ∴∠AOD=180°-60°=120°， ∵OC是∠AOD的平分线， ∴∠AOC=60°， ∴∠BOC=60°+60°=120°； ∵20°+60°=80°， ∴射线OC的方向是北偏东80°； 故答案为120，北偏东80°． 【点睛】本题考查方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 32．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的方向是北偏东，的方向时北偏西．      （1）若，则的方向是 ； （2）是的反方向延长线，的方向是 ； （3）若，请用方位角表示的方向是 ； （4）在（1）（2）（3）的条件下，则 ． 【答案】（1）北偏东；（2）南偏东；（3）南偏西或北偏东；（4）或 【分析】（1）利用方位角先求出∠AOB的度数，然后确定OC的方向； （2）直接由OB的方向得到OD的方向； （3）根据题意，OE的方向有两种情况，分别求出两种情况的方向角即可； （4）由（3）可知OE的方向，结合方位角的运算，即可求出的度数. 【详解】解：（1）∵的方向是北偏东，的方向时北偏西． ∴， ∴， ∴， ∴的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵的方向时北偏西，且是的反方向延长线， ∴的方向是南偏东40°； 故答案为：南偏东40°； （3）根据题意，如图：      ∵， ∴点E的位置有两种情况： 当OE在东北夹角时，有 ， ∴OE的方向为：北偏东50°； 当OE在西南夹角时，有 ， ∴OE的方向为：南偏西50°； 故答案为：北偏东50°或南偏西50°； （4）由（3）可知， 当OE为北偏东50°时， ； 当OE为南偏西50°时， . 故答案为：或. 【点睛】本题考查了方位角的运算，解题的关键是熟练掌握方位角，正确求出线段的方向. 33．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，一艘货轮位于O地，发现灯塔A在它的正北方向上，这艘货轮沿正东方向航行50千米，到达B地，此时用雷达测得灯塔A与货轮的距离为100千米. (1)在图中作出灯塔A的位置，并作射线BA； (2)以正北，正南方向为基准，借助量角器，描述灯塔A在B地的什么方向上(精确到1°) 【答案】(1)见解析；(2)灯塔A在B地的北偏西30°方向. 【分析】(1)任作射线BM，然后在BM上依次截取BC=CD=OB，然后以点B为圆心，以BD长为半径画弧，交ON于点A，然后作射线BA即可； (2)利用量角器量得∠BAO＝30°，由此即可得到灯塔A在B地的北偏西30°方向. 【详解】(1)如图所示； (2)利用量角器量得∠BAO=30°， ∴灯塔A在B地的北偏西30°方向. 【点睛】本题考查了尺规作图，作一条线段等于已知线段的2倍，正确分析并准确作图是解（1）的关键，正确使用量角器是解（2）的关键. 34．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，一渔在海上点E开始绕点O航行，开始时E点在O点的东偏北46°20′，然后绕O点航行到C，测得∠COE=2∠AOE继续绕行，最后到达D点且OD=3海里，∠COD=∠COB． （1）求∠BOC的度数； （2）说明渔船最后到达的D点在什么位置. 【答案】（1）∠BOC=49°；（2）D点在O点的北偏西73°30′且距离3海里的位置 【分析】（1）根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出∠BOD的度数，则点D的位置即可判断. 【详解】（1）∵开始时E点在O点的东偏北46°20′、 ∴, ∴, ∴. （2）, ∴, ∴D点在O点的北偏西73°30′且距离3海里的位置. 【点睛】本题考查的是与方位角有关的计算，解题的关键是熟练掌握象限角之间的大小关系. 【经典例题六 多边形对角线规律探究题型】 35．（25-26七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对角线的条数与多边形的边数的关系，理解题意、得出对角线的条数与多边形的边数的关系是解题的关键． （1）根据“一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线”，得出答案即可； （2）根据“n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次”，得出答案即可； （3）把代入，计算得出答案即可． 【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线， ∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为， 故答案为：； （2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次， ∴n边形所有对角线的条数为； （3）解：把代入，得， ∴一个十边形的对角线的条数为． 36．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）某中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导老师，为了加强同学们之间的合作，学校要求各班每两人之间（包括指导老师）每周至少通一次电话.现在该校七年级一班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少共通多少次电话？ 为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S间的关系用下列模型表示，如图所示. 请你根据这个模型解决上面的问题. ______           ……                                                     【答案】1378次 【分析】根据模型得到n个同学之间共通话次，代入n=50求解即可． 【详解】观察图形发现第n个图案中s=， 将七年级一班师生53人看做53边形的53个顶点，则通话次数为s==1378次， 所以53个同学和老师至少通话1378次． 【点睛】考查了规律探究型问题，解题的关键是能够找到规律，难度不大． 38．（25-26七年级下·山东淄博·期中）探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【分析】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 39．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2)一个十二边形总共有54条对角线 (3) 解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016． 【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． （1）由表格中的数据探求得出最终结果； （2）把代入求值即可； （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：由表格中的数据得： 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条， 多边形对角线的总条数为：条； 故答案为：，； （2）解：把代入计算得：. 故一个十二边形总共有54条对角线； （3）略 40．（24-25七年级上·全国·课后作业）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． 41．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1) 如图， (2)， (3)场 【分析】本题主要考查了列代数式，总结图形规律，有理数的混合运算，正确理解题意，总结图形规律是解题的关键． （1）根据所给材料作图即可； （2）先总结规律，进而即可得解； （3）把代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； …… ∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场） ∴总共要比赛场． 【经典例题七 线段、角度规律递推归纳题型】 42．（25-26七年级上·河南许昌·期末）观察下列直线相交的情况： (1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)三条直线相交，最多有3个交点 (2)四条直线相交，最多有6个交点 (3)n条直线相交，最多有个交点 【分析】本题考查的是直线两两相交的交点数量的探究． （1）结合图形，根据直线两两相交且交点不重合时最多分析求解，即可解题； （2）结合图形，根据直线两两相交且交点不重合时最多分析求解，即可解题； （3）先分别找出两条直线，三条直线，四条直线的最多交点数量规律，再总结归纳得出n条直线相交，最多有交点个数的规律，即可解题． 【详解】（1）解：如题图，三条直线相交，最多有3个交点； （2）解：如题图，四条直线相交，最多有6个交点； （3）解：两条直线相交，有1个交点； 三条直线相交，最多有个交点； 四条直线相交，最多有个交点； 依次类推， 写出n条直线相交，最多有个交点． 43．（25-26七年级上·北京怀柔·期末）如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点. （1）当AC=10，BC=8时，求线段DE的长度； （2）当AC=m，BC=n（m>n）时，求线段DE的长度； （3）从（1）（2）的结果中，你发现了什么规律？请直接写出来. 【答案】（1）4；（2）.（3）DE的长等于AC的长． 【分析】（1）先求出AC长，再根据线段的中点求出AD和BE长，即可求出答案； （2）先求出AC长，再根据线段的中点求出AD和BE长，即可求出答案； （3）根据（1）和（2）中的结果得出即可． 【详解】解：（1）∵AC=8，BC=6， ∴AB=14， ∵点D是线段AB的中点， ∴ ∵BC=6，点E是线段BC的中点． ∴ ∴DE=14﹣7﹣3=4； （2）∵AC=m，BC=n， ∴AB=m+n． ∵点D是线段AB的中点， ∴ ∵BC=n，点E是线段BC的中点． ∴ ∴ （3）规律：DE的长等于AC的长． 【点睛】本题考查了求两点之间的距离，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 44．（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不与点重合，点不与点重合），点，分别是，的中点． （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化．如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，则______． 【答案】（1）12；（2）线段EF的长度不会发生变化，一直是12 cm；（3） 【分析】（1）先求得BD=15cm，再利用线段中点定义分别求得EC=2.5cm，FB=7.5cm，即可求解； （2）先求得AC+ BD =20cm，同（1）的方法利用线段中点定义即可求解； （3）利用角平分线的定义求得∠EOF=(∠AOB+∠COD)，结合已知即可求解． 【详解】（1）∵，，， ∴BD=AB-AC-CD=22-5-2=15(cm)， ∵点E，F分别是AC，BD的中点， ∴AE=EC=2.5(cm)，DF=FB=7.5(cm)， ∴EF= EC+ CD+ DF=2.5+2+7.5=12(cm)； 故答案为：12； （2）不变，EF=12cm， 理由如下： ∵，， ∴AC+ BD=22-2=20(cm)， ∵点E，F分别是AC，BD的中点， ∴AE=EC=AC，DF=FB=DB， ∴EF= EC+ CD+ DF =AC+2+DB =AC+2+DB =(AC+ DB)+2 =10+2 =12； ∴线段EF的长度不会发生变化，一直是12 cm； （3）∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOD的平分线， ∴∠AOE=∠EOC=∠AOC，∠BOF=∠DOF=∠BOD， ∴∠EOF=∠EOC+∠DOF+∠COD =∠AOC +∠BOD+∠COD =(∠AOC+∠BOD)+∠COD =(∠AOB-∠COD)+∠COD =∠AOB-∠COD+∠COD =∠AOB+∠COD =(∠AOB+∠COD)， ∴∠AOB+∠COD=2∠EOF， ∴∠AOB=2∠EOF-∠COD=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，角平分线的定义以及线段的和差关系的运用，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定义． 45．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 46．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①36；②216 【分析】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，找到一般规律，并能应用规律是解题的关键 （1）通过观察所给的式子，求解即可； （2）通过计算，探索出一般规律即可； （3）通过计算，探索出一般规律即可； （4）①根据（1）的方法，类比求解即可；②根据以上解题的方法，类比求解即可， 【详解】解: （1）， 故答案为：； （2）内有1条射线，共有个角， 内有2条射线，共有个角， 内有3条射线，共有个角， 内有条射线，共有个角， 2 故答案为： （3）线段上有1个点，共有个三角形， 线段上有2个点，共有个三角形， 线段上有3个点，共有个三角形， 线段上有n个点，共有个三角形， 当时，共有个三角形； 故答案为：2035153； （4）①有个长方形， 故答案为：36； ②有个长方形， 故答案为：216. 47．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）【问题初探】 （1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线； ②作直线、交于点M； ③连接、交于点O． （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出______条直线：经过不在同一直线上的5个点，最多能画出______直线； 【类比分析】 （3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】 （4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 【答案】 （1）①作射线，如图所示； ②作直线、交于点M，如图所示； ③连接、交于点O，如图所示． （2）6，10（3）190条（4）①28②10种，20种 【分析】本题考查画直线，射线，线段，直线，线段的数量问题． （1）根据要求作图即可； （2）直接数出直线的条数即可； （3）根据每两个点确定一条线段，所以每一个点与剩下的19个点都能构成一条线段，重复计算2次，除以2，进行求解即可． （4）①根据每个队都要跟剩余的7个队踢一场比赛，重复计算2次，除以2即可； ②同①法，求出需要多少种不同的票价，再根据从到和从到需要2套票，乘以2即可． 理解直线，射线，线段的定义，是解题的关键． 【详解】解：（1）略． （2）图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出6条直线，图中的不在同一直线上的5个点，最多能画出10条直线； 故答案为：6，10； （3）∵每两个点确定一条线段， ∴每个点都能跟剩余的的点组成一条线段， ∴可以画出：条线段； （4）①∵每个队都要跟剩余的7个队踢一场比赛，且每两个队只比赛一次， ∴需要进行场比赛； ②由题意，得从到共有5个站点，每两个站点之间票价不同， ∴共有：种不同的票价； ∵从到和从到的票的种类不一样， ∴需要种车票． 48．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）将一副三角尺（分别为含，，和，，的角的两个三角尺）叠放在量角器上，，分别平分和． (1)特例感知：如图1，若点A，O，D在同一直线上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，则__________； (2)规律探究：如图2，当两个三角尺有重叠时， ①当时，则__________； ②当时，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)90 (2)①；② 【分析】本题考查三角板中的角度计算问题，角平分线的定义，角的和差关系： （1）根据角平分线的定义及角的和差关系求解； （2）①根据求解；②根据求解． 【详解】（1）解：，分别平分和， ，， ， 故答案为：90； （2）解：①同（1）可得，， 当时， ； ②当时， ． 【经典例题八 尺规作图结合计算探究题型】 49．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，在同一平面内有三点．请按下面要求尺规作图．不写画法，保留作图痕迹． (1)画射线，画直线； (2)连接，并在线段上作线段，使； (3)点和同时从点以相同的速度出发，均向终点运动，点运动路线，则先到达点（填点或点）．理由是__________． 【答案】(1) 如图所示， (2) 如图所示， (3)，两点之间线段最短 【分析】本题考查基本作图—作一条线段等于已知线段，两点之间线段最短， （1）直接利用直线、射线的定义画出图形即可； （2）以点为圆心，以为半径画弧交于点即可； （3）根据“两点之间线段最短”可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由图形可知：，则先到达点，理由是两点之间线段最短． 故答案为：，两点之间线段最短． 50．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列要求作图．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ①在线段上取一点，使； ②延长到点，使． (2)已知，，，求线段的长． 【答案】(1) ①如图，点即为所求； ②如图，点即为所求； (2)． 【分析】本题考查了尺规作图作线段，线段的和差． （1）①以A为圆心，a为半径作弧，交线段于C即可； ②延长，以B为圆心，b为半径作弧，交延长线于D即可； （2）先求出的值，进而计算线段的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 51．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图，已知线段a，b和． (1)用直尺和圆规在的一边上作线段，在另一边上作线段，并作直线． (2)根据（1）中作出的图形，解答下列问题： ①用大写字母表示所有的线段：____________．     ②以点A为端点的射线共有____________条． 【答案】(1) 解：根据题意得图： (2)①,,② 【分析】（1）分析题意，利用尺规作一条线段等于已知线段的方法； （2）根据线段与射线的定义以及表示方法来解答即可. 本题主要考查了线段、直线和射线的作法及线段、射线的表示方法.作图的关键是掌握线段、直线、射线的定义． 【详解】（1）略 （2）①用大写字母表示所有的线段：，， ②可以用字母表示的，以点为端点的射线有射线，，，共条 故答案为：①，，；②． 52．（25-26七年级上·江西赣州·期末）（1）尺规作图：如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于 (保留作图痕迹，不写作法)；                                                   （2）仅用无刻度的直尺作图：如图，在四边形内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和最小．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】 （1）线段即为所求； （2）如图，点O即为所求． 【分析】本题主要考查了尺规作图，两点之间，线段最短： （1）在射线上作，则线段即为所求； （2）连接交于点O，即可． 【详解】（1）略 （2）略 53．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）按要求完成下列各小题． (1)如图1，小明用若干个三角形和长方形拼成了一个三棱柱的表面展开图，拼完后，小明发现拼图存在问题，若有多余的，请你把图中多余部分涂黑；若还缺少，请你直接在原图中补全； (2)如图2，已知线段，，用尺规作一条线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) 多余，如图1所示，黑色或红色中的其中一个均可． (2) 如图所示，线段即为所求． 【分析】此题主要考查了棱柱的展开图，尺规作线段的和差，正确识别棱柱的展开图以及作出射线进而截取得出是解题关键． （1）根据棱柱的展开图即可得出结论； （2）首先作射线，再截取，进而截取，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 54．（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，过，两点作直线，并连接，． (1)尺规作图；①延长至，使得点为的中点； ②作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） (2)若，，求的长． 小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空． 解：（2）因为点为的中点， 所以______， 因为， 所以______， 因为， 所以， 因为， 所以______， 所以______＝______． 【答案】(1) ①如图，点即为所求． ②如图，即为所求． (2)，5，10，，5， 【分析】本题考查的是线段的长度计算问题，尺规作图，对线段进行和、差、倍、分的计算是解决本题的关键． （1）在线段的延长线上截取即可； （2）在线段的延长线上截取即可． 【详解】（1）略 （2）略 55．（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题呈现】 如图1，已知线段，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （1）延长线段到点，使；延长线段到点，使． 【问题初探】 （2）在（1）中所作的图中，若，则________，________（用含的代数式表示） 【问题探究】 如图2，已知线段． （3）①在直线上是否存在点，使？为什么？ ②在直线上是否存在点，使？如果存在，请直接写出点的位置及点的数量；如果不存在，请说明理由． 【答案】 （1）如图所示为所求： （2），； （3）①不存在， 理由：对于直线上的任意点P，恒有，当且仅当点P在线段上时取等号； 因此的最小值为，不可能等于； ②存在，点的位置在除线段外的直线上，点的数量有无数个 【分析】本题考查尺规作图，作线段，两点间的距离，线段和差的运算． （1）根据题意作图即可； （2）根据图形，利用线段间的关系及线段的和差即可求解； （3）①不存在，求得，不可能等于；②存在，点的位置在除线段外的直线上，这样的点有无数个． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）①略 ②存在这样的点P， 点P的位置：点的位置在除线段外的直线上， 则点的数量有无数个． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 基本平面图形章末55道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、动角计算问题 1 题型二、三角板中角度计算综合 2 题型三、角的新定义计算 3 题型四、线段动点分类讨论求值问题 4 题型五、方位角与角度和差综合应用题 5 题型六、多边形对角线规律探究题型 6 题型七、线段、角度规律递推归纳题型 7 题型八、尺规作图结合计算探究题型 8 【经典例题一 动角计算问题】 1．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）（1）如图（），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起． ①若，则______；若，则________． ②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由． （2）如图（），两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的度数有何关系？请说明理由． 2．（2026七年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 (1)的度数为_____，的度数为_____°； 【问题推广】 (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线、，且平分，若，求的度数． 3．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度； (2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ） 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）问题情境 为直线上一点，将直角三角板和直角三角板的顶点重合在点处，其中，． 猜想证明 （1）将直角三角板按照如图1所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数． 拓展延伸 （2）如图2，数学小组的小明将三角板绕点顺时针旋转． ①当直角三角板的边与射线重合时，试说明． ②将图2中的直角三角板绕点逆时针转动（），使得，直接写出的度数． 5．（25-26七年级上·贵州·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，即，直角三角尺可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角尺的所有部分始终保持在直线上方或下方． (1)如图，若直角三角尺的一边放在射线上，则______； (2)如图，将直角三角尺绕点转动后，使其一边在的内部，若恰好平分，求的度数； (3)如图，在直角三角尺绕点转动的过程中，与之间存在一个固定的数量关系，请求出这个数量关系． 6．（25-26七年级上·福建龙岩·期末）【问题情境】 如图1，若线段，，线段在线段上运动（点C不超过点A，且点D不超过点B），点E和点F分别是，的中点． 【猜想证明】 （1）①若，则_________． ②在线段运动的过程中，试判断线段的长度是否发生变化．如果不变，请求的长；如果变化，请说明理由． 【类比探究】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则_________°． ②请你判断，和三个角之间的数量关系，并说明理由． 7．（25-26七年级上·江西吉安·期末）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 操作思考：（1）如图1，边，与直线重合，，，则的度数为______； 操作探究：（2）在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α．如图2，当为直角时，①试说明：平分．②求的度数； 深入再探：（3）在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α．如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，求出旋转角α的度数． 【经典例题二 三角板中角度计算综合】 8．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，将一副三角板按照如图1所示的位置放置在直线上，现将含角的三角板绕点逆时针旋转，在这个过程中： (1)如图2，当平分时，试问是否也平分，请说明理由； (2)当所在的直线平分时，求的度数； (3)试探究（小于）与之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 9．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将 一个直角三角尺的直角顶点放在点处，即，直角三角尺可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角尺的所有部分始终保持在直线上方或下方． (1)如图1，若直角三角尺的一边放在射线上，则______； (2)如图2，将直角三角尺绕点转动后，使其一边在的内部，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，在直角三角尺绕点转动的过程中，与之间存在一个固定的数量关系，请直接写出这个数量关系． 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）问题呈现 （1）如图1，这是一副三角尺拼成如图所示的图案，求，，的度数． 方法应用 （2）如图2，这是由一副三角尺拼成的图案，，． ①若刚好是的平分线，则的度数是______． ②固定三角尺，把三角尺绕点O旋转（如图3），在旋转过程中，如果保持在的内部，那么的度数是否发生变化？并说明理由． 11．（25-26六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 12．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）一副直角三角板（其中一个三角板的内角是，另一个是） (1)如图①放置， _____； (2)在（1）的基础上，再拿一个的直角三角板，如图②放置，将边和边重合，是的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请 说明理由． (3)根据（1）（2）的计算，请解决下列问题： 如图③，将一个直角三角板的一直角边与边重合，锐角顶A与的顶点重合， 是的角平分线吗？如 果是，请加以说明，如果不是，请说明理由 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时，　　； （2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上： ①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是　　； ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是　　． 14．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末） 课题题目 三角尺中的数学 背景材料 如图，鲁班发明的班尺，能正确画出直角，用于告知工匠哪些尺寸是不规则的，哪些尺寸是规则的． 任务1 如图，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起．若，求的度数； 任务2 猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由． 【经典例题三 角的新定义计算】 15．（25-26六年级下·山东烟台·期中）新定义：若的度数是的度数的倍，则叫做的倍角． (1)若，请直接写出的倍角的度数； (2)如图1所示，若，请直接写出图中所有的倍角； (3)如图2所示，若是的倍角，是的倍角，且，求的度数． 16．（25-26七年级上·山东滨州·期末）（1）符号“”表示一种运算，表示在运算作用下的结果，如表示在运算作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，， 利用上述运算定义计算： 求值：______； 化简：；若，试求化简后代数式的值． （2）如图，，平分，平分，求的度数． 17．（25-26七年级上·河南郑州·期末）我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常重要的作用，请根据所学知识进行下列探究： 已知，，，分别平分和． (1)如图①，，在同一直线上，则_________； (2)如图②，在内部，且，则_________； (3)若将（2）中改为，其他条件不变，请求出的度数． 18．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 19．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）【新定义】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． (1)如图1，若中是的“量尺金线”，且，则与的数量关系为 ； (2)如图2，若平分，试说明射线是的“量尺金线”； (3)如图3，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 20．（25-26七年级上·云南昆明·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条． (1)如图①，已知是的一条三分线，且，若， 　 　； (2)如图②，已知，若，是的两条三分线． ①求的度数； ②在①的基础上，现以O为中心，将顺时针旋转得到．当恰好是的三分线时，求n的值． 21．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为t秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 【经典例题四 线段动点分类讨论求值问题】 22．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，小明、小英、小丽和小华的家都在同一条街的同侧居民住宅的一排住宅楼内居住，四个家庭的住址位于同一直线上．小明家到小英家的距离约为480米，小丽家到小英家的距离约为320米，小华家在小明家和小丽家之间线段的中点的位置． 请你通过所学图形知识建立数学模型，画出图形，求出小明家和小华家的距离． 23．（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以每秒2cm的速度往返运动一次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（t不超过10秒）． （1）当t＝2秒时，AB等于多少cm，当t＝8秒时，CD等于多少cm； （2）若BC＝2cm时，求t的值； （3）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 24．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知直线l上有一点O，点A、B同时从O出发，在直线l上分别向左、向右作匀速运动，且A、B的速度比为1：2，设运动时间为ts． （1）当t=2s时，AB=12cm．此时， ①在直线l上画出A、B两点运动2秒时的位置，并回答点A运动的速度是 cm/s； 点B运动的速度是 cm/s． ②若点P为直线l上一点，且PA﹣PB=OP，求的值； （2）在（1）的条件下，若A、B同时按原速向左运动，再经过几秒，OA=2OB． 25．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 26．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律． (1)【特例感知】若数轴上点，点表示的数分别为8，，则两点之间的距离为_____________，线段的中点表示的数为_____________； (2)若数轴上点，点表示的数分别为，． 【分类讨论】若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：；若，则两点之间的距离为：_____________； 【类比探究】线段的中点表示的数为_____________； (3)【综合运用】若数轴上点，点表示的数分别为8，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当相遇时，停止运动，设运动时间为秒（），点在运动过程中， 两点之间的距离为_____________；（用含的代数式表示） 若点为的中点，点为的中点，线段的长度为_____________．（用含的代数式表示） 27．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 方位角与角度和差综合应用题】 28．（25-26七年级上·云南红河·期末）如图，某轮船上午8时在A处，测得灯塔S在北偏东60°的方向上，向东行驶至中午11时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西30°的方向上（自己完成图形），已知轮船行驶速度为每小时60千米，求∠ASB的度数及AB的长． 29．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，处在处南偏西方向，处在处南偏东方向，处在处的北偏东方向，求的度数． 30．（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图,若在飞机飞行时，用AN(南北线）与飞行线之间顺时针方向的夹角作为飞行方 位角，从A 到B的飞行方位角为35°，即，从A到D的飞行方位角是从A到B的飞行方位角的4倍少，从A到C的飞行线恰好是从A到D的飞行方位角的角平分线，，求的度数． 31．（25-26七年级上·江西上饶·期末）如图，射线OA的方向是北偏东20º，射线OB的方向是北偏西40º，OD是OB的反向延长线，OC是∠AOD的平分线． （1）求∠BOC的度数； （2）求出射线OC的方向． 32．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的方向是北偏东，的方向时北偏西．      （1）若，则的方向是 ； （2）是的反方向延长线，的方向是 ； （3）若，请用方位角表示的方向是 ； （4）在（1）（2）（3）的条件下，则 ． 33．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，一艘货轮位于O地，发现灯塔A在它的正北方向上，这艘货轮沿正东方向航行50千米，到达B地，此时用雷达测得灯塔A与货轮的距离为100千米. (1)在图中作出灯塔A的位置，并作射线BA； (2)以正北，正南方向为基准，借助量角器，描述灯塔A在B地的什么方向上(精确到1°) 34．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，一渔在海上点E开始绕点O航行，开始时E点在O点的东偏北46°20′，然后绕O点航行到C，测得∠COE=2∠AOE继续绕行，最后到达D点且OD=3海里，∠COD=∠COB． （1）求∠BOC的度数； （2）说明渔船最后到达的D点在什么位置. 【经典例题六 多边形对角线规律探究题型】 35．（25-26七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 36．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 37．（25-26七年级上·全国·课后作业）某中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导老师，为了加强同学们之间的合作，学校要求各班每两人之间（包括指导老师）每周至少通一次电话.现在该校七年级一班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少共通多少次电话？ 为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S间的关系用下列模型表示，如图所示. 请你根据这个模型解决上面的问题. ______           ……                                                     38．（25-26七年级下·山东淄博·期中）探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 39．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 40．（24-25七年级上·全国·课后作业）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 41．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【经典例题七 线段、角度规律递推归纳题型】 42．（25-26七年级上·河南许昌·期末）观察下列直线相交的情况： (1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）． 43．（25-26七年级上·北京怀柔·期末）如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点. （1）当AC=10，BC=8时，求线段DE的长度； （2）当AC=m，BC=n（m>n）时，求线段DE的长度； （3）从（1）（2）的结果中，你发现了什么规律？请直接写出来. 44．（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不与点重合，点不与点重合），点，分别是，的中点． （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化．如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，则______． 45．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 46．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 47．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）【问题初探】 （1）如图，平面上有四个点T、Y、R、S，根据下列语句画图： ①作射线； ②作直线、交于点M； ③连接、交于点O． （2）我们还可以观察到，经过图中的不在同一直线上的4个点，最多能画出______条直线：经过不在同一直线上的5个点，最多能画出______直线； 【类比分析】 （3）如果在同一平面里，有不在同一条直线上的20个点，你能算出共有多少条线段吗？ 【学以致用】 （4）按照这个规律回答下列问题： ①2022年卡塔尔世界杯足球赛进入8强赛（即有8个队参加比赛）时，如果进行的是单循环赛（每两个队只比赛一次），则需要进行多少场比赛？ ②某球迷乘火车从A站出发，沿途经过3个站后到达B站，那么在A、B两站之间需要多少种不同的票价？需要多少种车票？ 48．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）将一副三角尺（分别为含，，和，，的角的两个三角尺）叠放在量角器上，，分别平分和． (1)特例感知：如图1，若点A，O，D在同一直线上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，则__________； (2)规律探究：如图2，当两个三角尺有重叠时， ①当时，则__________； ②当时，求的度数（用含的式子表示）． 【经典例题八 尺规作图结合计算探究题型】 49．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，在同一平面内有三点．请按下面要求尺规作图．不写画法，保留作图痕迹． (1)画射线，画直线； (2)连接，并在线段上作线段，使； (3)点和同时从点以相同的速度出发，均向终点运动，点运动路线，则先到达点（填点或点）．理由是__________． 50．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如图，已知线段． (1)请用尺规按下列要求作图．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ①在线段上取一点，使； ②延长到点，使． (2)已知，，，求线段的长． 51．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图，已知线段a，b和． (1)用直尺和圆规在的一边上作线段，在另一边上作线段，并作直线． (2)根据（1）中作出的图形，解答下列问题： ①用大写字母表示所有的线段：____________．     ②以点A为端点的射线共有____________条． 52．（25-26七年级上·江西赣州·期末）（1）尺规作图：如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于 (保留作图痕迹，不写作法)；                                                   （2）仅用无刻度的直尺作图：如图，在四边形内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和最小．(保留作图痕迹，不写作法) 53．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）按要求完成下列各小题． (1)如图1，小明用若干个三角形和长方形拼成了一个三棱柱的表面展开图，拼完后，小明发现拼图存在问题，若有多余的，请你把图中多余部分涂黑；若还缺少，请你直接在原图中补全； (2)如图2，已知线段，，用尺规作一条线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 54．（25-26七年级上·广东茂名·阶段检测）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，过，两点作直线，并连接，． (1)尺规作图；①延长至，使得点为的中点； ②作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） (2)若，，求的长． 小明同学写出解答的部分过程，请你帮忙完成填空． 解：（2）因为点为的中点， 所以______， 因为， 所以______， 因为， 所以， 因为， 所以______， 所以______＝______． 55．（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【问题呈现】 如图1，已知线段，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （1）延长线段到点，使；延长线段到点，使． 【问题初探】 （2）在（1）中所作的图中，若，则________，________（用含的代数式表示） 【问题探究】 如图2，已知线段． （3）①在直线上是否存在点，使？为什么？ ②在直线上是否存在点，使？如果存在，请直接写出点的位置及点的数量；如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $