专题11 线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题11 线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 题型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：无图条件下点或射线的位置不确定，或涉及动点、旋转导致多解。 - 解题方法：核心是分类讨论，按位置关系逐一画图求解；辅以方程思想，设未知数表示线段或角度列式。- 易错提醒：分类标准须统一、不重不漏，避免漏解；计算中注意线段中点与角平分线的对应，防止混淆。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 典例1 （25-26六年级下·全国·单元复习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】4或24 【分析】根据题意，分情况求出的长度即可． 【详解】解：①如图，当点在线段上时， ∵点D是折线的“折中点”， ∴． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段上时， ∵点D是折线的“折中点”， ∴． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为4或24． 题型模版 1.特征：点的位置或线段关系不确定，需按不同情形分别计算。 2.方法：先确定分类标准，逐类画图计算，最后综合各情形结果。 变式1-1（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）已知点为直线上的一点，且，，其中点为的中点，点为中点，则线段的长为____________________． 【答案】3或6/6或3 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分两种情况，点C在线段上和点C在线段的延长线上，根据线段中点的定义得到，再根据线段的和差关系即可得到答案． 【详解】解：当点C在线段上时， ∵，，点D为的中点，E为的中点， ∴， ∴； 当点C在线段的延长线上时， ∵，，点D为的中点，E为的中点， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或6， 故答案为：3或6． 变式1-2（25-26七年级上·江西吉安·期末）若在数轴上表示的数分别为、3、，当一个点是另外两个点的中点时，则的值为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查数轴上的距离相等关系，关键是分三种情况讨论哪个点是另外两点的中点，利用中点到两个端点距离的相等关系列方程求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①若点是点、的中点，则，解得； ②若点是点、的中点，则，解得； ③若点是点、的中点，则，解得； 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 变式1-3（25-26七年级上·广西河池·期末）规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线段的中点，我们则称这三点形成“美丽组”．已知，数轴上点P所表示的数是，点Q表示的数是2，数轴上另有一点N，若要使P，Q，N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为_______． 【答案】或或8 【分析】分三种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 综上：则点N表示的数为或或8. 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 典例2 （25-26六年级下·山东威海·期末）已知在同一平面内，，，是的平分线，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】分在内部和在外部两种情况讨论，先根据角的和差求出的度数，再根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：如图所示，当在的外部时， 则， 为的平分线， ； 如图所示，当在的内部时， 则， 为的平分线， ， 综上所述，的度数为或． 题型模版 1.特征：角的终边位置或射线位置不确定，需分情形讨论。 2.方法：按位置关系分类，逐类画图计算，最后综合各结果。 变式2-1（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，画射线，使，平分，平分，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在内和射线在外两种情况求解即可． 【详解】解：当射线在内时， ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ． ∴． 当射线在外时， 则：， ． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：或 变式2-2（25-26七年级上·江西萍乡·期末）在同一平面内，射线在外，且，射线以每秒的速度绕着点O按顺时针转动，旋转一周则停止，当其中一条射线是另外两条射线组成的角的平分线时，旋转时间为______秒． 【答案】6或或 【分析】本题考查角平分线，角度的计算，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 考虑三种情况：设运动后的射线为，当是∠AOB的平分线时，当是的平分线时，当是的平分线时，分别求出射线转过的角度，然后除以旋转速度即可求旋转时间． 【详解】解：由题意，在运动之前如图所示， 设运动后的射线为， 情况1：当是∠AOB的平分线时， ∵∠AOB=80°， ∴， ∴， ∵射线以每秒的速度绕着点O按顺时针转动， ∴用时为：秒； 情况2：当是的平分线时， 此时， ∴， ∠BOA=80°，故∠BOC=160°， ∵射线以每秒的速度绕着点O按顺时针转动， ∴用时为：秒； 情况3：当是的平分线时， 此时， ∴， ∵射线以每秒的速度绕着点O按顺时针转动， ∴转过的角度为图中阴影角： ∴用时为：秒； 综上，旋转时间为6秒或秒或秒． 故答案为：6或或． 变式2-3（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 题型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 典例3 （25-26七年级上·山东日照·期末）如图，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②线段的长度不变， 【分析】本题考查线段的和差运算，掌握线段的和差运算是解题的关键． （1）根据题意求出，根据线段的和与差求出，再由中点的意义可求出； （2）①由中点意义可求出，由线段的和与差求出，由中点意义可求出； ②不会发生变化，根据，代入相关数据计算可得结论． 【详解】（1）解：当时， 所以 因为点是线段的中点， 所以； （2）解：①由题意得， 因为点是线段的中点， 所以， 因为点是线段的中点， 所以； ②线段的长度不变， 由①得； 所以 所以线段的长度不变， 题型模版 1.特征：线段和差含可变位置，整体关系不变，可由特殊情形归纳。 2.方法：先取特殊点探求规律，再用整体代换或字母表示一般情形。 变式3-1（25-26六年级上·上海·期末）综合与探究 问题情境： (1)已知：M，N分别是线段的中点． ①如图1，点C在线段上，且，求线段的长． ②若C为线段上任意一点，且，则线段的长为 （用含有a、b的代数式表示）． (2)如图2，已知C，D为线段上顺次两点，M，N分别是的中点． ①若，求的长． ②若，则线段的长为 （用含有x，y的代数式表示）． 【答案】(1)①线段的长度为7.5；② (2)①；② 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． （1）①根据“点M、N分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度；②当C为线段上一点，且M，N分别是、的中点，则，进一步可得答案； （2）①由题意得，求出，再根据线段和差得到，即可求解；②同理①求解即可． 【详解】（1）解：①，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为7.5． ②∵点C为线段上一点，点，分别是线段，的中点， ，， ； 故答案为：； （2）解：①点是的中点，点是的中点， ， ， ， ∴， ； ②同理①得，， ． 故答案为：． 变式3-2（25-26七年级上·河北衡水·期末）综合与实践 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似看作三条线段（线段、线段和线段），长分别为，设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠． 问题探究：如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，． （1）自拍杆延伸至最长状态时，__________．（填“”“”或“”） （2）求自拍杆延伸至最长状态时的总长度（的长）． 问题拓展： （3）如图3，固定第一段不动，收缩自拍杆第二段和第三段，使其总长度为55，此时点恰好为中点，求的长． 【答案】（1）；（2）66；（3）5 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 对于（1），根据，可得，即可得出答案； 对于（2），先求出，同理可得，然后根据得出答案； 对于（3），先根据中点的定义得，再求出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：（1）． 因为， 所以， 即． 故答案为：； （2）因为， 所以， 同理可得， 所以． （3）因为为中点， 所以， 所以， 所以， 所以． 变式3-3（25-26七年级上·湖南怀化·期末）如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)当秒时，为定值，定值为 【分析】本题考查数轴中线段的动态问题．熟悉利用绝对值与平方的非负性、线段中点的性质进行计算，动点问题根据线段移动的距离结合线段的和差关系分析位置变化，利用分类讨论思想解决问题，是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得到答案． （2）设直线为数轴，根据运动前后点、点和点、点的位置变化，确定线段长度的变化关系，根据运动后的长度，得到运动后的长度． （3）根据题意得到运动秒后和的长度，根据不同时间段分类讨论得到结果． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，； （2）解：设直线为数轴， ，， ， 设点表示的数为，点表示的数为， 点分别为的中点， 点表示的数是，点表示的数是， 运动后点表示的数是， 点表示的数是， ， ， 解得或， 运动后， 运动后或； 的长为或； （3）解：，，，，， ，， 线段固定不动，线段以每秒个单位速度向左运动， 运动秒后，，， 当秒时，， 当秒时，， 当秒时， ∴当秒时，为定值，定值为． 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 典例4 （2026七年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 (1)的度数为_____，的度数为_____°； 【问题推广】 (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线、，且平分，若，求的度数． 【答案】(1)40，80 (2) (3)或 【分析】（1）根据，结合，进行求解即可； （2）根据角平分线的定义，角的数量关系，以及角的和差关系进行求解即可． （3）分在的内部和的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵平分，， ∴，， ∴； （3）解：当在的内部时， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在的外部时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上：或． 题型模版 1.特征：角有和差关系，部分角未知但整体可求，需发现一般规律。 2.方法：把相关角视为整体代换，先从特殊情形探规律再推广。 变式4-1（25-26七年级上·河南漯河·期末）【综合与探究】 (1)如图1，已知，，，分别平分和，求的度数； (2)①如图1，若，其他条件不变，求的度数； ②如图2，若，其他条件不变，求的度数； ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线定义， （1）先求出，再根据角平分线定义求出，然后根据得出答案； （2）①，先表示出，再根据角平分线定义得，即可得出； ②由已知得，结合角平分线定义得，然后根据得出答案； ③先表示出，再根据角平分线定义得，然后根据得出答案 【详解】（1）解：， ． ∵分别平分和， ， ； （2）解：①若，其他条件不变， ， ， 分别平分和， ， ； ②若，其他条件不变， 分别平分和， ， ， ； ③通过①、②可以得到； 若其他条件不变， ， 分别平分和， ， ． 变式4-2（2026七年级上·全国·专题练习）【问题解决】 (1)如图1，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． ①直接写出线段_________， _________； ②求线段的长． 【类比探究】 (2)如图2，已知，、均为内的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①直接写出_________，_________； ②求的度数． 【答案】(1)①5；4；② (2)①24；30；② 【分析】（1）①根据即可求解； ②根据线段的和与差求出，，再由中点的定义求出，，最后由即可求解； （2）①根据即可求解， ②根据角的和与差求出，，再由角平分线的定义求出，，最后由即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∴，． ②∵，，， ∴，． ∵点M是线段的中点， ∴， ∴． ∵点N是线段中点， ∴， ∴． （2）解：①∵，， ∴，． ②∵，，， ∴， ． ∵射线平分， ∴， ∴； ∵射线平分， ∴， ∴． 变式4-3（25-26七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 【背景知识】 （1）如图1，线段，点C在上，，P是的中点，Q是中点，则___． （2）如图2，线段，，点C、D在线段上，且点C在点D的左侧，，P是的中点，Q是的中点，则_________． 【知识探究】 （3）对于图1，若C是上的动点，其他条件不变，的长度是否发生改变？请说明理由． （4）对于图2，若线段在线段上运动，其他条件不变，的长是多少？ 【类比探究】 （5）对于角，也有和线段类似的规律．如图3，已知在内部转动，射线在的左侧，，分别平分和，且，． ①若，，则的度数是__________． ②试判断：若在内部转动，的大小是否发生变化？如果不变，请直接写出的大小（用含α和β的式子表示），如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）； （3）的长度不发生改变，理由如下： ∵P是的中点，Q是中点， ∴，， ∴， ∴的长度不发生改变； （4）；（5）①；②不发生变化， 【分析】（1）先求出，然后根据线段中点定义求出，，最后根据线段间数量关系，求出结果即可； （2）先求出，然后求出，再根据线段中点定义得出，，最后根据线段间数量关系求出结果即可； （3）根据，，从而得出，即可得出答案； （4）先求出，根据线段中点定义求出，，根据求出结果即可； （5）①先求出，根据角平分线定义得出，，根据求出结果即可； ②先求出，根据角平分线定义得出，，根据求出结果即可； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵P是的中点，Q是中点， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴； （3）略 （4）∵，， ∴， ∵P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴ ； （5）①∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ； ②大小不变， ∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）线段是直线上的一点，，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，解题的关键是对点的位置进行分类讨论，避免漏解． 分两种情况讨论，当点在线段的延长线上时，；当点在线段的延长线上时，，分别代入数值计算即可． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，， ②当点在线段的延长线上时，． 综上所述,的长度为或． 故选：． 2.（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，点在线段上，图中共有3条线段，分别为和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点为线段的“二倍点”．若线段，点是线段的“二倍点”，则线段的长为（   ） A．4或6 B．4或8 C．6或8 D．4或6或8 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差计算及新定义“二倍点”的应用，关键是根据“二倍点”的定义分三种情况讨论：①；②；③，分别计算的长度． 【详解】解：已知，点是线段的“二倍点”，分三种情况分析： 当时， ， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ，此时，满足，符合“二倍点”的定义； 综上，线段的长为4或6或8， 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）已知平分，，则的度数为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的相关计算和角的和差等知识，分情况讨论是关键． 分两种情况画出图形，根据角平分线的定义结合图形计算的度数即可． 【详解】解：∵，平分 ∴． 情况1：当在外部时，如图， ∵ ∴． 情况2：当在内部时 ∵ ∴． 综上，的度数为或， 故选：D． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）已知，平分，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算．熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，根据题意画出图形，分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论，①在的外部，②在的内部，然后根据角平分线的定义分别运算即可得出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， 当在的外部时，如图所示： ∵， ∴； 当在的内部时，如图所示： ∴． 综上所述，的度数为或． 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）点，，在同一条直线上，，，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系．分情况讨论点在点左侧和右侧两种情况讨论，利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点在点左侧时，； 当点在点右侧时，， 综上，的长为或， 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知线段，点C是直线上一点，且，则线段的长等于______ 【答案】4或12 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段的和与差，两点间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 点C在直线上，可能位于线段上或的延长线上，根据，分两种情况讨论． 【详解】解：设，则， 当点C在线段上时，， 即， 解得：， 所以； 当点C在的延长线上时，， 即， 解得：， 所以， 综上所述，的长为4或12， 故答案为：4或12． 7．（25-26七年级上·山西临汾·期末）已知，，那么____________． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．分的边在的内部和外部两种情况作出图形并讨论求解即可． 【详解】如图1，的边在的内部时， ； 如图2，的边在的外部时， ， 综上所述，等于或． 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，画射线，使，平分，平分，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在内和射线在外两种情况求解即可． 【详解】解：当射线在内时， ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ． ∴． 当射线在外时， 则：， ． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：或 三、解答题 9．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)； (2)；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末） (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 【答案】(1)150；75；角平分线 (2)解：这些角的度数是的整数倍， 理由：， 是的整数倍； (3) (4) 【分析】（1）结合图形和三角尺每个角的度数计算； （2）按照乘法分配律将变形为即可； （3）先计算，再根据平分得，根据平分得，最后计算即可； （4）将（3）中的改成重新计算即可． 【详解】（1）解：由图得，， ， ， 射线是的角平分线； （2）略 （3）解：，， ， 平分，平分， ，， ； （4）解：，， ， 平分，平分， ，， ． 11．（25-26七年级上·山西朔州·期末）综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题．下面我们继续由特殊到一般类比探究以下问题： 已知点，在线段上，，分别是，的中点． (1)特例感知：如图①，点在点的左侧，如果，，那么 ①线段的长为__________； ②若，求线段的长； (2)规律探索：如果，，则线段的长为__________；（用含，的代数式表示，结果最简） (3)迁移应用：已知，射线在内部． ①如图②，如果，那么为____________________； ②如果射线也在内部，，射线在内部，且，射线在内部，且，请你直接写出的度数． 【答案】(1)①6；②5 (2) (3)①23；36；②的度数为或. 【分析】（1）①根据线段的和差关系进行求解即可；②根据线段的和差关系结合线段中点的定义，进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （3）①根据角的和差关系进行求解即可；②分射线在内部和射线在内部两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②由①知：， ∵， ∴， ∵，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①，射线在内部，， ∴； ②解：设，则； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 当射线在内部时，则， ∵，， ∴，， ∴； 综上：的度数为或. 12．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变， 的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 【答案】(1)①6；②，． (2) 小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．理由： 分别是、的中点， ，， ， ，不变， 的长不变； (3) 【分析】此题考查了线段中点的相关计算、角平分线的相关计算、几何图形中相关角度的计算等知识． （1）①根据线段中点的定义得到，，得到，即可求出答案；②按照①的步骤即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据，，得到，则，即可得到结论； 【详解】（1）解：①∵线段，，点、分别是、的中点． ∴，， ∴ ， 故答案为；； ②略 （2）解：， 理由如下： ∵和分别平分和， ∴， ∴ ； （3）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 题型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：无图条件下点或射线的位置不确定，或涉及动点、旋转导致多解。 解题方法：核心是分类讨论，按位置关系逐一画图求解：辅以方程思想，设未知数表示线段或角度列 式。·易错提醒：分类标准须统一、不重不漏，避免漏解，计算中注意线段中点与角平分线的对应，防止 混淆。 ◆◆ 》● 刁题型归纳一精讲典型题法，寿尖解题根基 题型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 典例1(25-26六年级下·全国单元复习)如图，有公共端点P的两条线段MP，P组成一条折线 M-P-N,若该折线M-P-N上一点O把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线 的“折中点”.己知点D是折线A-C-B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=5,CE=7,则线 段BC的长为一 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ○ 题型模版 1.特征：点的位置或线段关系不确定，需按不同情形分别计算。 2方法：先确定分类标准，逐类画图计算，最后综合各情形结果。 变式1-1(2026七年级上江苏准安·专题练习)已知点C为直线AB上的一点，且AB=9,BC=3,其中点 D为AB的中点，点E为BC中点，则线段DE的长为 变式1-2(25-26七年级上江西吉安期末)若A、BC在数轴上表示的数分别为-1、3、x,当A、BC 一个点是另外两个点的中点时，则x的值为· 变式1-3(25-26七年级上·广西河池期末)规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成 的线段的中点，我们则称这三点形成“美丽组”，己知，数轴上点P所表示的数是一4，点O表示的数是 2,数轴上另有一点N,若要使P,O,N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为 题型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 典例2(25-26六年级下山东威海期末)己知在同一平面内，∠A0B=60°，∠B0C=20°，OM是 ∠AOC的平分线，则∠AOM的度数为 题型模版 1特征：角的终边位置或射线位置不确定，需分情形讨论。 2方法：按位置关系分类，逐类画图计算，最后综合各结果。 变式2-1(25-26七年级上四川达州期末)已知∠A0B=48°，画线0C,使∠A0C:∠B0C=7:5,0M 平分∠AOB,ON平分∠BOC,则∠MON=」 变式2-2(25-26七年级上江西萍乡~期末)在同一平面内，射线0C在∠A0B外，且∠40B=80,∠B0C=20°， 射线OC以每秒10°的速度绕着点O按顺时针转动，旋转一周则停止，当其中一条射线是另外两条射线组 成的角的平分线时，旋转时间为秒。 变式2-3(25-26七年级下黑龙江大庆·期末)如图，在同一平面内，已知直角三角板一边CD在直线AB上， 另外两边在直线B上方，且∠DCB=60°，∠B=90.过点C作射线C吓，使得∠BCF=4DCE,再过 2/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C作射线CM、CN，,使得∠FCM=9O°，CN平分∠DCM,则∠BCN的度数为 D 题型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 典例3(25-26七年级上山东日照期末)如图，动点C从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿着线段 AB向点B运动，当点C到达点B时停止运动.已知AB=60,点D是线段BC的中点，设点C的运动时间 为t秒. D B (I)当t=5时，求线段AC,BD的长. (2)在运动过程中，若AC的中点为E. ①用含t的代数式表示线段AE,BD的长. ②请问线段DE的长度是否变化？若不变，求线段DE的长；若变化，说明理由， 题型模版 1.特征：线段和差含可变位置，整体关系不变，可由特殊情形归纳。 2方法：先取特殊点探求规律，再用整体代换或字母表示一般情形。 变式3-1(25-26六年级上：上海期末)综合与探究 A M CN BA M C D N B 图1 图2 问题情境： ()已知：M,N分别是线段AC,BC的中点. ①如图1，点C在线段AB上，且AC=9,BC=6,求线段MN的长. ②若C为线段AB上任意一点，且AC=a,CB=b,则线段MN的长为（用含有a、b的代数式表示）. 3/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图2，己知C,D为线段AB上顺次两点，M,N分别是AC,BD的中点. ①若AB=24,CD=10,求MN的长. ②若AB=x,CD=y,则线段MN的长为（用含有x,y的代数式表示）· 变式3-2(25-26七年级上河北衡水·期末)综合与实践 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似看作三条线段（线段AB、线段CD和线 段EF),长分别为AB=30,CD=20,EF=20,设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠. CB ED 图1 图2 问题探究：如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，BC=DE=2, (1)自拍杆延伸至最长状态时，CE BD.(填“<”“=”或“>”) (2)求自拍杆延伸至最长状态时的总长度(AF的长). 问题拓展： (3)如图3，固定第一段AB不动，收缩自拍杆第二段CD和第三段EF,使其总长度为55，此时点D恰 好为EF中点，求BC的长. A C BE D F 图3 变式3-3(25-26七年级上·湖南怀化期末)如图，己知直线I上有两条可以左右移动的线段：AB=m, CD=n,且m,n满是m-8+(a-16=0,点M,N分别为B,CD中点. AMB C N DI (1)求线段AB,CD的长； (2)线段AB以每秒8个单位长度向右运动，同时线段CD以每秒2个单位长度也向右运动.若运动6秒后， MN=8,求此时线段BC的长： (3)若BC=48,将线段AB固定不动，线段CD以每秒4个单位长度向左运动，在线段CD向左运动的某一 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个时间段t内，是否存在MN+AD的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内： 如果不存在，请说明理由. 题型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 典例4(2026七年级上全国专题练习)【问题背景】 如图，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC:∠BOC=1:2, N 备用图 【问题再现】 (1)∠A0C的度数为°，∠BOC的度数为： 【问题推广】 (2)作射线OM平分∠AOC,在∠BOC内作射线ON,使得∠CON:∠BON=1:3,求∠MON的度数： 【拓展提升】 (3)过点O作射线OD、OE,且OE平分∠BOD,若2∠AOD=3∠BOD,求∠COE的度数. 题型模版 1.特征：角有和差关系，部分角未知但整体可求，需发现一般规律。 2方法：把相关角视为整体代换，先从特殊情形探规律再推广。 变式4-1(25-26七年级上河南漯河期末)【综合与探究】 B B 图1 图2 (1)如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=90°，OD,OE分别平分∠AOB和∠AOC,求∠DOE的度数： (2)①如图1，若∠AOB=a,其他条件不变，求∠DOE的度数： ②如图2，若∠BOC=P,其他条件不变，求∠DOE的度数： 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③通过①、②你能得到什么结论？请直接写出. 变式42(2026七年级上全国·专题练习)【问题解决】 D M 图1 图2 ()如图1，己知线段AB=20cm,点C、D为线段AB上两点，且AB=4AD=5BC,点M和点N分别是线 段AC和BD的中点. ①直接写出线段AD= cm,BC= cm; ②求线段MW的长， 【类比探究】 (2)如图2，已知∠AOB=120°，OC、OD均为∠AOB内的两条射线，且∠AOB=4∠AOD=5∠BOC,射线 OM和射线ON分别平分∠AOC、∠BOD ①直接写出∠BOC=_°，∠AOD= ②求∠MON的度数. 变式43(25-26七年级上河南平顶山期末)综合与探究 【背景知识】 (1)如图1，线段AB=20cm,点C在AB上，AC=12cm,P是AC的中点，9是BC中点，则PQ= cm P C 图1 (2)如图2，线段AB=20cm,AC=12cm,点C、D在线段AB上，且点C在点D的左侧，CD=4cm, P是AC的中点，O是BD的中点，则PQ= cm】 6/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q C D B 【知识探究】 图2 (3)对于图1，若C是AB上的动点，其他条件不变，PQ的长度是否发生改变？请说明理由， (4)对于图2，若线段CD在线段AB上运动，其他条件不变，PQ的长是多少？ 【类比探究】 (5)对于角，也有和线段类似的规律.如图3，已知∠COD在∠AOB内部转动，射线OC在OD的左侧， OP,OQ分别平分∠AOC和∠BOD,且∠AOB=a,∠COD=B. 0 B 图3 ①若∠AOB=a=150°，∠C0D=B=30°，则∠P00的度数是 ②试判断：若∠COD在∠AOB内部转动，∠POQ的大小是否发生变化？如果不变，请直接写出∠POQ的 大小（用含（和B的式子表示），如果变化，请说明理由. ◆◆ 同压轴挑战一支克离难压轴，突破忌维上保 一、单选题 1.(25-26七年级上河北邯郸期末)线段AB=3cm,C是直线AB上的一点，BC=5cm,则AC的长度为 () A.2cm B.8cm C.2cm或8cm D.以上都不对 2.(25-26七年级上湖南娄底期末)如图，点C在线段AB上，图中共有3条线段，分别为AB,AC和BC 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C为线段AB的“二倍点”，若线段AB=12, 点C是线段AB的“二倍点”，则线段AC的长为() 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.4或6 B.4或8 C.6或8 D.4或6或8 3.(25-26七年级上江苏镇江期末)已知∠AOB=30°，OD平分∠AOB,∠B0C=80°，则∠DOC的度 数为() A.110° B.50°或110° C.95° D.95°或65 4.(25-26七年级上河北石家庄期末)己知∠A0B=40°，OD平分∠A0B,∠B0C=60°，则∠D0C的 度数为() A.20° B.80° C.40°或80° D.35°或65 二、填空题 5.(25-26七年级上湖北襄阳期末)点M,N,P在同一条直线上，MN=5，NP=3,则MP的长为 6.(25-26七年级上湖南长沙期末)已知线段AB=6,点C是直线AB上一点，且AC=2BC,则线段 AC的长等于 7.(25-26七年级上山西临汾期末)已知∠A0B=35°，∠B0C=58°，那么∠A0C= 8.(25-26七年级上四川达州期末)已知∠AOB=48°，画射线OC,使∠A0C:∠BOC=7:5,OM平分 ∠AOB,ON平分∠BOC,则∠MON= 三、解答题 9.(25-26七年级上辽宁锦州期末)小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=12,AC=8,求MN的长. A M CN B ()根据题意，小明求得MN=一： ②小明在求解9 的过程中，发现MW的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始 深入探究， 设AB=a,C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答. ①，1MN,AC BC MN= 如图，“，分别是，的中点，则 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图2：M·N分别是AC,BC的三等分点，即M-号4C,BN-号BC,求MN的长： 3 A M NB@若M,N分别是4C,BC的”等分点，即 AM=4C,BN=BC,则MN= n 10.(25-26七年级上甘肃甘南·期末) 图(1) 图(2) 图(3) (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题.先按照图(1)的方式摆放，画出 ∠AOB;再按照图(2)的方式在∠AOB内摆放一副三角尺，画出射线OC,则∠AOB= ∠AOC= °，射线OC是∠AOB的： (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由30°和45°角分别重复画m次和n次合并而成(m、n是整数)，设 这个角的度数为°，则a=30m+45n,可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角.请在智慧小组讨 论的基础上回答：这些角的度数是否为15°的整数倍？并说明理由. (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图(3)，已知同一平面内∠AOB=90°，∠A0C=60°，OD平分∠B0C, OE平分∠AOC,求∠DOE的度数： (④)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在(3)的条件下，如果将题目中的∠A0C=60°，改成 ∠A0C=2a(a<45o ,其他条件不变，他们有了“∠D0E的度数为定值”的重大发现，这个定值为 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26七年级上山西朔州期末)综合与实践 在第六章《几何图形初步》的学习中，我们类比线段的研究内容和方法研究了角的有关问题.下面我们继 续由特殊到一般类比探究以下问题： 己知点C,D在线段AB上，M,N分别是AC,BD的中点. A M C D N B B 图① 图② (I)特例感知：如图①，点C在点D的左侧，如果AB=9,AC=3,那么 ①线段BC的长为， ； ②若CD=1,求线段MN的长： (2)规律探索：如果AB=a,CD=b,则线段MN的长为 (用含a,b的代数式表示，结果最 简) (3)迁移应用：已知∠AOB=5712',射线OC在∠AOB内部 ①如图②，如果∠A0C=3336,那么∠B0C为， ②如架射线0D也在∠40B内部，∠COD=120,射线0B在∠AOC内部，且∠B0C= =3A0C,射线0F 在∠BOD内部，且∠P0D-写B0D,请你直接写出∠BOF的度数. 12.(25-26七年级上山西吕梁期末)问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题， 同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力. (1)【特例感知】 如图l,已知线段CD在线段AB上运动，线段AB=10cm,CD=2cm,点E、F分别是AC、BD的中点. 解答下列问题： ①在如图1中，若AC=3cm,则EF的长= cm;(直接写出结果) ②小聪发现：保持线段CD在线段AB上运动，其他条件不变，则EF的长保持不变.小聪理由如下 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .E,F AC BD 分别是、 的中点， ∴.EC= AC,DF=DB, ∴.EF=EC+CD+DF =LAC+CD+1DB 2 (CD)CD -(4B-CD)+CD -(B+CD) AB=10cm, CD=2cm不变， ∴EF的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知∠COD在∠AOB内部转动，OE和OF分别平分∠AOC和 ∠BOD,则∠EOF与∠AOB、∠COD有一定的数量关系，说明理由， (3)【知识迁移】 如图3，己已知∠COD在∠AOB内部转动，将OE和OF分别平分∠AOC和∠BOD改为分别作出射线OE,OF, 若∠AOE=n∠EOC,∠BOF=n∠DOF,直接写出∠EOF与∠AOB、∠COD的数量关系. D 0 图1 图2 图3 11/11