专题05 动点与角度56道经典题型专项训练（8大题型）-2026-2027学年北师大版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第05讲 动点与角度56道经典题型专项训练（8大题型） 题型一 与线段动点有关问题 题型二 线段动点中求定值问题 题型三 动角有关问题 题型四 三角板中角度计算问题 题型五 几何图形中角度计算问题 题型六 实际问题中角度计算问题 题型七 角平分线的有关计算 题型八 圆的周长和面积问题 【经典例题一 与线段动点有关问题】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）线段点在线段上，点，分别是和的中点． （1）若点恰好是中点，求的长； （2）若，求的长； （3）若点为线段上的一个动点（点不与，重合），求的长． 【答案】（1）6cm；（2）6cm；（3）6cm 【分析】（1）根据中点的定义，进行计算即可求出答案； （2）由中点的定义，先求出DC和CE的长度，然后求出DE即可； （3）利用中点的定义，即可得到结论． 【详解】解：（1）因为点是中点， 所以． 又因为，分别是和的中点， 所以， 故的长为． （2）因为，， 所以． 因为点，分别是和的中点， 所以，， 所以． （3）因为， 且， 所以． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系进行解题． 2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）如图，数轴上的点，表示的数分别为-10和20，动点从点出发，以2个单位秒的速度沿数轴的正方向运动，点为的中点． （1）点出发多少秒时，； （2）当点在线段上运动时，求的值； （3）若点为的中点，请直接写出的长． 【答案】（1）10s或30s；（2）30；（3）15． 【分析】（1）分两种情况进行讨论：①当点在点B的左侧时，②当点在点B的右侧时，列式计算即可； （2）根据点为的中点，可得，根据线段之间的关系可求得，即可求出结果； （3）利用线段的中点定义，即可得出MN的长． 【详解】解：（1）设点出发时，， ①当点在点B的左侧时： 解得：． ②当点在点B的右侧时： 解得：． ∴当点出发10s或30s时，． （2）∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）∵点为的中点，点为的中点， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题，掌握数轴上点的表示方法以及线段的中点定义是解答此题的关键． 3．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）． （1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值． （2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长． 【答案】（1）2 cm；（2）2.5cm． 【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案； （2）根据题意可知BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM，依此即可求出AM的长． 【详解】解：（1）当点C，D运动了2s时，CM＝2 cm，BD＝6 cm， ∵AB＝10cm，CM＝2cm，BD＝6cm， ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝10﹣2﹣6＝2 cm； （2）∵C，D两点的速度分别为1cm/s，3 cm/s， ∴BD＝3CM． 又∵MD＝3AC， ∴BD+MD＝3CM+3AC，即BM＝3AM， ∴AMAB＝2.5cm． 【点睛】本题考查关于线段的计算等知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答． 4．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位． （1）点A表示的数是：　 　；点B表示的数是：　 　． （2）A，B两点间的距离是　 个单位，线段AB中点表示的数是　 　． （3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数． 【答案】（1）-20，100．（2）120，40；（3）28． 【分析】（1）根据点的位置确定符号和值即可； （2）用两个点表示的数相减即可，求出中点到A的距离，再求中点表示的数； （3）求出相遇的时间，再求出C点与A的距离，即可求出C点表示的数． 【详解】解：（1）∵点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位， ∴点A表示的数是：-20；点B表示的数是：100． 故答案为：-20，100． （2）A，B两点间的距离是100-（-20）=120； 线段AB中点到A的距离是120÷2=60， 线段AB中点表示的数为-20+60=40； 故答案为：120，40； （3）两只电子蚂蚁在数轴上相遇的时间为120÷（4+6）=12（秒） 点C距A的距离为12×4=48， 点C表示的数为-20+48=28． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，解题关键是理解数轴上点表示的数的意义，会求两点间的距离． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=8cm，CB=6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．    （1）当点D在AC上运动时，若DC=BC，则t= ； （2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值． 【答案】(1)3 (2)△ABC中，∠C=90°，CA=8cm，CB=6cm ∴ 当点D与顶点A连线平分△ABC的周长时    ∴AC+DC=AB+BD 即：8+6-BD=10+BD ∴BD=2 t==10 当点D与顶点C连线平分△ABC的周长时    ∴AC+AD=BD+BC 即：8+AD=10-AD+6 ∴AD=4 t==6 当点D与顶点C连线平分△ABC的周长时    ∴BC+CD=AB+AD 即：6+CD=8-CD+10 ∴CD=6 t==3 综上所述，当t=3秒或者6秒或者10秒时，若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长． 【分析】（1）DC=BC=6,便可计算 （2）分类讨论：当点D与顶点A连线平分、当点D与顶点C连线平分、当点D与顶点C连线平分△ABC的周长，从而再去求解． 【详解】解：（1）DC=BC  6=2t  t=3 （2）略 【点睛】本题考查三角形动点知识，关键在于分类讨论求解，分类才是关键． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在射线上有三点A，B，C，满足．点P从点O出发，沿射线方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． （1）运动10s时，点P与点Q的距离为20cm，求点Q的运动速度； （2）当点Q运动速度为3cm/s时，经过多长时间P，Q两点的距离为70cm？ （3）当时，点Q恰巧运动到线段的中点，求点Q的运动速度．    【答案】（1）点Q的运动速度6cm/s；（2）经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）点Q点速度为cm/s或cm/s． 【分析】（1）根据已知条件可得OC点距离为90cm，由点Q运动到点O时停止运动可得P、Q两点在相遇前相距20cm，根据速度=距离÷时间即可得答案； （2）分相遇前相距70cm和点Q到达点O后，点P继续运动，两点相距70cm两种情况，分别求出时间即可； （3）根据点Q为AB中点可求出点Q点运动距离，分点P在线段AB上和在AB的延长线上两种情况，可分别求出点P点运动时间，进而可分别求出点Q点运动速度． 【详解】（1）∵， ∴OC=OA+AB+BC=90cm， ∵运动10s，点P点运动速度为1cm/s， ∴点P运动点距离为10cm， ∵点Q运动到点O时停止运动， ∴P、Q两点在相遇前相距20cm， ∴（90-20-10×1）÷10=6cm/s， 答：点Q的运动速度6cm/s． （2）设运动时间为t秒， ①当P、Q两点在相遇前相距70cm时， ∵P、Q两点的运动速度分别为1cm/s和3cm/s， ∴t+3t=90-70， 解得：t=5， ②当P、Q两点在相遇后相距70cm时， ∴t+3t=90+70， 解得：t=40， ∵点Q运动到O点时停止运动，点Q的速度为3cm/s， ∴点Q最多运动30秒， 当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm， ∴点P继续运动（70-30）÷1=40s， ∴t=30+40=70s， ∴经过5s或70s两点相距70cm． （3）∵点Q恰巧运动到线段的中点， ∴BQ=AB=30cm， ∴CQ=BC+BQ=40cm， ①当点P在线段AB上时， ∵，AB=60cm， ∴AP=40cm， ∴OP=OA+PA=60cm， ∴t=60s， ∴点Q的速度为40÷60=cm/s，    ②如图，当点P在AB延长线时， ∵，AB=60cm， ∴AP=2AB=120cm， ∴OP=OA+AP=140cm， ∴t=140s， ∴点Q速度为40÷140=cm/s，    综上所述：点Q点速度为cm/s或cm/s． 【点睛】本题考查线段的和差关系，熟记距离=速度×时间，灵活运用数形结合点思想时解题关键． 7．（25-26七年级上·江西萍乡·期末）线段AB=60厘米．    （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以6厘米/分的速度运动，求： ①几分钟后，P,Q两点相遇？ ②几分钟后，P,Q两点相距20厘米？ （2）如图2，AO=PO=8厘米，．现将P点绕着点O以20度/分的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若P,Q两点也能相遇，求点Q的速度． 【答案】(1)①6;②4或8;(2)22(厘米/分) 【分析】(1)①算出P,Q总速度,利用总路程除以总速度即可算出相遇所花费的时间; ②先算出两点相距20厘米所需要花费的时间,再在相遇的前后分别讨论出相距20厘米的时间即可． (2)先算出点P在AB线段上所需要的时间,此时AP为18厘米,则PB为44厘米,再利用路程÷时间算出速度即可． 【详解】(1)①60÷(4+6)=60÷10=6(分)． 答:6分钟后,P,Q两点相遇． ②20÷(4+6)=20÷10=2(分)． 6－2=4(分),6+2=8(分) 答:4分钟或8分钟后,P,Q两点相距20厘米． (2)40÷20=2(分),即2分钟后P点在AB直线上． 360÷20=18(分),即P点绕一圈需要花费18分钟． 由以上可知18分钟后运动早已停止,所以P,Q若要相遇只能在2分钟后． 当P点在AB上时,AP=16厘米．PB=60－16=44厘米． 44÷2=22(厘米/分)． 答:点Q的速度为:22(厘米/分)． 【点睛】本题考查线段上的动点问题,关键在于熟用速度公式,分类讨论各种情况． 【经典例题二 线段动点中求定值问题】 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则是否是定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．    【答案】是定值，5 【分析】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可． 【详解】解：是定值．理由：设，则， 所以，所以． 因为点M为线段的中点． 所以， 所以， 所以． 9．（25-26七年级上·广西贵港·阶段检测）如图AB=48，C为线段AB的延长线上一点，M，N分别是AC，BC的中点． （1）若BC=10，求MN的长； （2）若BC的长度为不定值，其它条件不变，MN的长还是定值吗？若是，请求出MN的长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）24；（2）24 【详解】试题分析：（1）根据线段中点的性质，可得CM，CN的长，根据线段的和差，可得答案； （2）根据线段中点的性质，可得CM，CN的长，根据线段的和差，可得答案． 解：（1）由已知得AC=AB+BC=58． 由M，N分别是AC，BC的中点，得 CM=29，NC=5． 由线段的和差，得 MN=CM﹣NC=29+5=24； （2）若BC的长度为不定值，其它条件不变，MN的长是定值． 由M，N分别是AC，BC的中点，得 CM=（AB+BC），CN=BC， MN=CM﹣NC =（AB+BC）﹣BC =AB =24． 考点：两点间的距离． 10．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．    ⑴ ； ⑵求点所表示的数； ⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 4； (2)-8; (3)EF长度不变，EF=2 【分析】(1)根据线段的和差得到AB=4， (2)由AB=4得到AC=24，即可得出：OC=24-16=8．于是得到点C所表示的数为-8; (3)分五种情况:设运动时间为t，用含t的式子表示出AP、BQ、PC、 CQ，根据线段中点的定义得到 画出图形，计算EF，于是得到结论． 【详解】解: (1)∵ OA=16,点B所表示的数为20, ∴OB=20, ∴AB=OB-OA=20-16=4, 故答案为：4 (2)∵AB=4，AC=6AB． ∴AC=24, ∴OC=24- 16=8, ∴点C所表示的数为-8; (3)EF长度不变，EF=2，理由如下： 设运动时间为t， 当 时，点P，Q在点C的右侧，则AP=BQ=2t,    ∵AC=24，BC=28, ∴PC=24-2t， CQ=28- 2t． ∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点, ∴ ∴EF=CF-CE=2: 当t=12时,C、P重合，此时PC=0， CQ=28-24=4．    ∵点F为线段CQ的中点, ∴ ∴ 当12<t<14时，点P，Q在点C的左右，PC=2t-24, CQ=28-2t,    ∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点, ∴ ∴EF=CE+CF=2, 当t=14时,C、Q重合，此时PC=4， CQ=0    ∵点E为线段CP的中点, ∴ ∴ 当t> 14时，点P、Q在点C的左侧，PC=2t-24， CQ=2t-28,    ∴ ∴EF=CE-CF=2． 综上所述，EF长度不变，EF=2． 【点睛】本题考查两点间的距离，数轴，线段中点的定义线段和差，正确的理解题意是解题的关键． 11．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点． (1)若线段，，求的长． (2)若，，由此可以猜想______（用、表示）． (3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数不变，恒为 【分析】（）由线段的和差关系得，由线段中点的定义得，，即得，进而即可求解； （）同理（）解答即可求解； （）由角的和差关系得，由角平分线的定义得，即得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点、点分别是，的中点， ∴，， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵分别是的中点， ∴，， ， ， 故答案为：； （3）解：的度数不变，恒为 ∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴， ， ∴； 综上，的度数不变，恒为． 【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点定义，角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0． 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值； （2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案； ②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0， ∴m－12=0，n－4=0， ∴m=12，n=4； 故答案为：12；4． （2）由题意，①∵AB=12，CD=4， ∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点 ∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD ∴MN=CM+CD+DN =AC +CD+BD =AC +CD+BD+CD =(AC +CD+BD)+CD =(AB +CD) =8； ②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a， 依题意有： 解得：a=2 在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t， ∵E是线段BC的中点 ∴CE= BE=BC=2+t； Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时 F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0 ∴FC-5 DE =0； Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时 FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0； Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时 FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0； 综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析． 13．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知数轴上两点，对应的数分别为，8. （1）如图1，如果点和点分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒6个单位. ①，两点之间的距离为__________. ②当，两点相遇时，点在数轴上对应的数是____________. ③求点出发多少秒后，与点之间相距4个单位长度？ （2）如图2，如果点从点出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点、分别是线段、的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值.如果变化，请说明理由：如果不变，请直接写出线段的长度. 【答案】（1）①两点之间的距离为12，②当，两点相遇时，点在数轴上对应的数是，③2秒或4秒； （2）线段MN的长度不会变化， ∵点M为PA的中点，点N为PB的中点， ∴PM=PA，PN=PB ∴PM+PN=（PA+PB） ∴MN=AB=6 【分析】（1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据相遇时间=路程差÷速度差先求出时间，再根据路程=速度×时间求解即可； ③分两种情况：P，Q两点相遇前；P，Q两点相遇后；进行讨论即可求解； （2）由线段中点的性质可求MN的值不变． 【详解】（1）①A，B两点之间的距离为8-（-4）=12． ②12÷（6-2）=3（秒）， -4-2×3=-10． 故当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是-10． ③P，Q两点相遇前， （12-4）÷（6-2）=2（秒）， P，Q两点相遇后， （12+4）÷（6-2）=4（秒）． 故求点P出发2或4秒后，与点Q之间相距4个单位长度； （2）略． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． 14．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】一、感悟体验： 如图所示：点D即为所求： 二、认识概念：③； 三、运用概念：（1）； （2）证明：∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且 【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键． 一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得， ，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解． 【详解】解：一、感悟体验：略 二、认识概念： ①∵，， ∴ ②∵，， ∴ ∴ ③∵ ∴ 即： 故答案为：③ 三、运用概念： ∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ （1） （2）由以上解析可知， ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升： 设， ∵且， ∴，， ∵点M为的中点， ∴ ∵点N在上且， ∴ ∵ ∴ 整理得： ∴当，即时，可使的长为定值 且 【经典例题三 动角有关问题】 15．（25-26七年级上·江西抚州·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一块直角三角板的直角顶点放在处，一边放在射线上，将直角三角板绕点逆时针方向旋转直至边第一次重合在射线上停止． （1）如图1，边在射线上，则 ； （2）如图2，若恰好平分，则 ； （3）如图3，若，则 ； （4）在旋转过程中，与始终保持的数量关系是 ，并请说明理由． 【答案】（1）30；（2）30；（3）75；（4）∠COE−∠BOD＝30，理由见解析 【分析】（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE−∠BOC，代入求出即可； （2）根据角平分线定义求出∠AOC＝2∠EOC＝120，代入∠BOD＝∠BOE−∠DOE即可求解； （3）根据，先求出∠COD，再利用∠COD+即可求解； （4）根据各图的特点分别求解即可得到结论． 【详解】（1）∠COE＝∠DOE−∠BOC＝90−60＝30， 故答案为：30； （2）∵恰好平分，∠BOC＝60， ∴∠AOC＝2∠EOC＝120，∴∠EOC=60， ∴∠BOE=∠EOC+∠BOC＝120 ∵∠DOE＝90， ∴∠BOD＝∠BOE−∠DOE＝30 故答案为：30； （3）∵， ∴∠COD= ∴∠COD+=75 故答案为：75； （4）∠COE−∠BOD＝30，理由如下： 如图1，∠COE−∠BOD=30-0=30； 如图2，∵∠BOD＋∠COD＝∠BOC＝60，∠COE＋∠COD＝∠DOE＝90， ∴（∠COE＋∠COD）−（∠BOD＋∠COD） ＝∠COE＋∠COD−∠BOD−∠COD ＝∠COE−∠BOD ＝90−60 ＝30； 如图3，∵∠BOD-∠COD＝∠BOC＝60，∠COE-∠COD＝∠DOE＝90， ∴（∠COE-∠COD）−（∠BOD-∠COD） ＝∠COE-∠COD−∠BOD+∠COD ＝∠COE−∠BOD ＝90−60 ＝30； 即∠COE−∠BOD＝30． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． 16．（25-26七年级上·广东广州·期末）司南是我国最早的磁性指向器，方向改变，磁勺就会转动，其勺柄始终指向南方，简易图如图①所示，磁盘上的直线，和磁勺的连接点是点O，且． (1)当磁勺绕点O旋转到如图②所示的位置时，求此时的度数； (2)若在磁勺绕点O从图②位置旋转一周的过程中，当时，求的度数． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查角的计算，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据题意可知，，根据题意求出，即可解答． （2）根据题意求出，，分情况讨论，当磁勺旋转到如图①的位置时，；当磁勺旋转到如图②的位置时，，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 分情况讨论：当磁勺旋转到如图①的位置时，； 当磁勺旋转到如图②的位置时，； 综上所述，满足条件的的度数为或． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE． （1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是　 　． （2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由． （3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．    【答案】（1）35°；（2）∠BOE＝2∠FOH，理由详见解析；（3）45°或135°． 【分析】（1）根据∠AOD＝90，∠DOE＝20得∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110，再根据OH平分∠AOE，即可求解； （2）可以设∠AOH＝x，根据OH平分∠AOE，可得∠HOE＝∠AOH＝x，进而∠FOH＝90﹣∠HOE＝90﹣x，∠BOE＝180﹣∠AOE＝180﹣2x，即可得结论； （3）分两种情况解答：当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内，当OE落在其他位置时，根据OH平分∠AOE，OG平分∠BOF即可求解． 【详解】解：（1）因为∠AOD＝90，∠DOE＝20 所以∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110 因为OH平分∠AOE 所以∠HOE＝AOE＝55 所以∠FOH＝90﹣∠HOE＝35； 故答案为35； （2）∠BOE＝2∠FOH，理由如下： 设∠AOH＝x， 因为OH平分∠AOE 所以∠HOE＝∠AOH＝x 所以∠FOH＝90﹣∠HOE＝90﹣x ∠BOE＝180﹣∠AOE＝180﹣2x 所以∠BOE＝2∠FOH； （3）如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内    因为OH平分∠AOE 所以∠HOE＝∠AOH＝AOE 因为OG平分∠BOF ∠FOG＝∠GOB＝BOF 所以∠GOH＝∠GOF﹣∠FOH ＝BOF﹣（∠AOH﹣∠AOF） ＝（180﹣∠AOF）﹣AOE+∠AOF ＝90﹣AOF﹣（90+∠AOF）+∠AOF ＝90﹣AOF﹣45﹣AOF+∠AOF ＝45； 所以∠GOH的度数为45； 如图4，当OE落在其他位置时    因为OH平分∠AOE 所以∠HOE＝∠AOH＝AOE 因为OG平分∠BOF ∠FOG＝∠GOB＝BOF 所以∠GOH＝∠GOF+∠FOH ＝BOF+∠AOH+∠AOF ＝（180﹣∠AOF）+AOE+∠AOF ＝90﹣AOF+（90﹣∠AOF）+∠AOF ＝90﹣AOF+45﹣AOF+∠AOF ＝135； 所以∠GOH的度数为135； 综上所述：∠GOH的度数为45或135． 【点睛】本题考查了余角和补角、角平分线定义，解决本题的关键是掌握角平分线定义，进行角的和差计算． 18．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 【答案】(1)①； ②；理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)或 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）①根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；②根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （2）分在的内部和在的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，可知：， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）解：①当在的内部时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∴此时重合， ∵是的平分线， ∴； 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ； ②当在的外部时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上：或． 19．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）在一次数学实践探究活动中，同学们将三角尺的直角顶点O放置在直线上，边与重合，如图1，将三角尺绕点O顺时针旋转（不超过），如图2，旋转过程中不与重合，作射线平分． (1)当时，_____（直接写出结果）； (2)若三角尺旋转到如图2所示的位置时，判断与之间的数量关系并说明理由； (3)作射线平分． ①当三角尺旋转到如图2所示的位置时，请补齐图形并求的度数； ②继续将三角尺绕着点O旋转，请直接写出的度数为_____． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (3)①补全图形如下所示： ； ②当旋转角度小于90度时，；当旋转角度大于90度，且小于180度时，；当旋转角度大于180度，且小于270度时，；当旋转角度大于270度，且小于360度时， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，三角板中角度的特点，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再由平角的定义可得答案； （2）同（1）求解即可； （3）①先根据题意补全图形，设，则，，，由角平分线的定义可得，，求出的度数，再根据可得答案；②设旋转角度为，可分四种情况：；； ；；分别画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①设， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ②设旋转角度为， 如图2-1所示，当时，同理可得； 如图2-2所示，当时，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 如图2-3所示，当时，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 如图2-4所示，当时，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，当旋转角度小于90度时，；当旋转角度大于90度，且小于180度时，；当旋转角度大于180度，且小于270度时，；当旋转角度大于270度，且小于360度时，． 20．（25-26七年级上·山西·阶段检测）如图1，线段，，线段在线段上运动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），M，N分别是，的中点． (1)若，则_________． (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长是否会发生变化．如果不变，请求出线段的长；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，求的度数． 【答案】(1)19 (2)线段的长不会发生变化， (3) 【分析】本题考查了线段的和差、线段中点的定义、角度计算问题、角平分线的定义，熟练掌握线段和角的计算问题是解题的关键． （1）利用线段的和差求出，根据线段中点的定义得到，，再利用线段的和差即可求解； （2）根据线段中点的定义得到，，再利用线段的和差求出的长，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义得到，，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】（1）解：，，， ， ，N分别是，的中点， ，， ， 故答案为：19； （2）解：，N分别是，的中点， ，， ， 线段的长不会发生变化，； （3）解：，分别平分和， ，， ． 21．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似地我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条． 例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图，是的三分线，，若，则 ； (2)如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数； (3)如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∴，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵射线、是的两条四分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴ ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 【经典例题四 三角板中角度计算问题】 22．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 【答案】(1)40 (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， ． 【分析】（1）利用角的和差求解即可； （2）由等量代换求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）略． 23．（25-26七年级上·四川雅安·期末）直角三角板的直角顶点C在直线上，平分． (1)在图1中，若，求的度数； (2)在图1中，若，求的度数．（用含的式子表示）； (3)将图1中的三角板绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）平角的定义求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数即可； （2）同（1）法进行求解即可； （3）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由题意，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由题意，， ∴； （3）解：，理由如下： 设，则， ∴，， ∴． 24．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一副直角三角板（其中一个三角板的内角是，另一个是）． (1)如图①放置， _____； (2)在（1）的基础上，再拿一个的直角三角板，如图②放置，将边和边重合，是的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：是的角平分线，理由： ∵， ∴． 又由（1）知， ∴， 即是的角平分线． 【分析】本题考查的是三角形的知识及角的和差计算，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意、结合图形计算即可； （2）证明，根据角平分线的定义解答； 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）略 25．（25-26七年级下·四川达州·期中）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 26．（25-26七年级上·江西吉安·期末）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 操作思考：（1）如图1，边，与直线重合，，，则的度数为______； 操作探究：（2）在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α．如图2，当为直角时，①试说明：平分．②求的度数； 深入再探：（3）在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α．如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，求出旋转角α的度数． 【答案】（1）； （2）①证明：∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②； （3）为或或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （2）①根据平角的定义及角的和差计算出，即可得出平分； ②利用求出的度数即可； （3）分为当平分，当平分，当平分三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】解：（1）如图， ，， ∴， 故答案为： ； （2）①略 ②∵， ∴； （3）①当平分时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当平分时， ∴， ∴； ③当平分时， ∴， ∴； 综上所述：为或或． 27．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）综合与探究 问题情境：如图，将一把含角的直角三角板和一把含角的直角三角板的直角顶点叠放在点处，．两三角板可绕点旋转． 计算与观察： （1）①若，则的度数为___________ ②若，则的度数为___________． 猜想与证明： （2）猜想与有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线平分，且，直接写出的度数． 【答案】（1）①② （2）解：， 理由如下：， ， ； （3） 【分析】本题考查角度的计算，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①由，得出，则即可得出结果；②由，得出，则即可得出结论； （2）由，，即可得出结论； （3）设，则，由（2）知，解方程可求得和，因为射线平分，则可求，进而的度数可求． 【详解】解：（1）①，， ， ； ②，， ， ； 故答案为：，； （2）略 （3）∵， 设，则， 由（2）知 ， ， ∵射线平分， ∴， ∴． 28．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非重合的角，然后研究这些角之间的关系． 【操作发现】 （1）小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含角和另一块含角的顶点重合于点O． ①的度数为______．（用含的代数式表示）； ②小明发现，总是保持不变，这个固定的差值是______． 【问题探究】 （2）小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（），再把另一块三角板的角顶点重合于点O，两块三角板有重合角．这时小芳让这块三角板绕着点O旋转，她发现和仍有一定的固定关系．请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由． 【拓展延伸】 （3）学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含的三角板的任意一角的顶点与等腰直角三角板的直角顶点O重合．当满足时，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或或 【分析】（1）①根据求解即可； ②先写出的度数，再求即可； （2）先写出的度数，再求即可； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）①由题意得，， ∴； ②由题意得，， ∴； （2）总是保持不变，这个固定的差值是，理由如下： 如图，， ∴； ∴总是保持不变，这个固定的差值是； （3）当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 综上，的度数为或或． 【点睛】注意分类讨论思想的应用． 【经典例题五 几何图形中角度计算问题】 29．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】（1）先求的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数，最后根据平角的定义，求出的度数； （2）先根据是的平分线，，推出，同理推出，再求出，最后根据 求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 即． 30．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点重合叠放在一起． (1)如图1若，求的度数；若，求的度数； (2)如图2若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 解：，理由如下， ， ． 【分析】（1）利用角的和差进行求解； （2）利用角的和差进行求解； （3）利用角的和差进行证明． 【详解】（1）解：，，， ； ， ； （2）解：， ； （3）略 31．（25-26七年级下·山东烟台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 32．（25-26七年级上·河南商丘·期末）综合与实践 【课本回顾】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，如图1，射线即是的平分线．    【操作实践】如图2，将长方形纸片沿折叠，点落在点处，设． (1)【初步探究】若，则的度数为___________； (2)【拓广探索】如图3，在图2的基础上，再将长方形纸片沿折叠，点落在点处，在的左侧，若此时平分．求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，平角的定义，角的和差计算，从图形中找出角之间的关系式是解题的关键． （1）由折叠可得，然后利用平角的定义即可解决问题； （2）根据平分，得，结合（1）利用平角的定义即可解决问题； 【详解】（1）解：（1）由折叠可得：， ， ； （2）由折叠可知：， ， 平分， ， ， ． 33．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度； (2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ） 【答案】(1) (2)当是或时，，理由如下： 如图， 根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 如图，               根据题意得：， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，当是或时，； (3)或或或 【分析】（1）根据，即可求解； （2）分两种情况，分别画出图形，即可求解； （3）分四种情况，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； （2）略 （3）解：若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 若， 当位于的左侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 当位于的右侧时，如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 34．（25-26七年级上·广东广州·期末）解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 【答案】(1)、 (2)①；②的度数为或 【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角， ∵，，，，，， ∴还能用一副三角板画出、、、、、的角． （2）解：①∵，，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 35．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末） (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 【答案】(1)150；75；角平分线 (2)解：这些角的度数是的整数倍， 理由：， 是的整数倍； (3) (4) 【分析】（1）结合图形和三角尺每个角的度数计算； （2）按照乘法分配律将变形为即可； （3）先计算，再根据平分得，根据平分得，最后计算即可； （4）将（3）中的改成重新计算即可． 【详解】（1）解：由图得，， ， ， 射线是的角平分线； （2）略 （3）解：，， ， 平分，平分， ，， ； （4）解：，， ， 平分，平分， ，， ． 【经典例题六 实际问题中角度计算问题】 36．（26-27七年级上·全国·随堂练习）如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 【答案】轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 【分析】由于15个齿所对应的中心角的和组成一个周角，而每相邻两齿中心线间的夹角都相等，所以这个夹角的度数为360°÷15，计算即可；同样的方法可计算22个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角． 【详解】解：∵一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷15=24°． ∵一个齿轮有22个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等， ∴这个夹角的度数为360°÷22≈16.36°≈． ∴轮有15个齿时，相邻两齿中心线的夹角是，如果是22个齿的齿轮，这个夹角约为． 【点睛】本题考查了角在实际生活中的运用，理解所有齿所对应的中心角的和组成一个周角是解题关键． 37．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 38．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）100°；（2）22.5° 【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠AOE，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC易得结果； （2）由角平分线定义，设∠COD=∠BOD=x．得∠BOE=45°−x，∠COE=45°+x．∠AOE=∠COE=45°+x再根据题意∠AOC+∠BOC=180°，列方程，求出x，即可得． 【详解】解：（1）因为是的角平分线，， 所以． 因为是的角平分线， 所以． 所以． （2）因为是的角平分线， 所以设． 因为，所以，． 因为是的角平分线，所以 因为，所以， 所以，即． 【点睛】本题考查了角平分线知识，关键是根据题意，由角平分线得定义得出角之间的等量关系，从而根据等量关系求出角的度数． 39．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有关角的计算，明确题意，准得到角与角之间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据题意可得，再由“幸运角”的定义可得，即可求解； （2）根据补角的性质可得：，再由“幸运角”的定义可得，然后根据，可得，即可求解； 【详解】（1）， ， 与互为“幸运角”， ， ， （2）与互补， ， 与互为“幸运角”， ， ， 射线在内部，且满足， ， ， ， 。 40．（25-26七年级上·江苏南通·期末）根据要求画图，并回答问题． 已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB． （1）过点O画直线MN⊥CD； （2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数． 【答案】（1）如图所示见解析；（2）∠EOF的度数为35°或145°． 【分析】（1）根据题意画出直线MN即可； （2）当F在OM上时，根据垂直定义求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠EOF＝∠AOC，即可求出答案；当F在ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB+∠BON即可． 【详解】（1）如图所示： （2）如上图：①当F在OM上时． ∵EO⊥AB，MN⊥CD，∴∠EOB＝∠MOD＝90°，∴∠MOE+∠EOD＝90°，∠EOD+∠BOD＝90°，∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°； ②当F在ON上时，如图在F′点时． ∵MN⊥CD，∴∠MOC＝90°＝∠AOC+∠AOM，∴∠AOM＝90°﹣∠AOC＝55°，∴∠BON＝∠AOM＝55°，∴∠EOF′＝∠EOB+∠BON＝90°+55°＝145°． 答：∠EOF的度数是35°或145°． 【点睛】本题考查了基本作图，角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠AOM和∠EOM的度数，题目较好，难度不大，分类讨论思想的运用． 41．（25-26七年级上·全国·单元测试）王老师到市场买菜，发现如果把10千克的菜放到秤上，指示盘上的指针转了，如图．第二天，王老师就给同学们出了两个问题： (1)如果把千克的菜放在秤上，指针转过多少角度？ (2)如果指针转了，这些菜有多少千克？ 【答案】(1) (2)千克 【分析】此题主要考查了钟面角有关知识，根据已知得出每千克菜放在秤上，指针转过度数是解题关键． （1）根据10把千克的菜放到秤上，指标盘上的指针转了，得出每千克菜放在秤上，指针转过度数，进而得出答案； （2）根据（1）中所求得出菜的质量即可 【详解】（1）解：，， 0.6千克的菜放在秤上，指针转过； （2）（千克）， 这些菜有千克． 42．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图②所示．设∠CAC′＝α(0°＜α≤45°)． （1）当α＝15°时，求证：AB∥CD； （2）连接BD，当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数是否变化，若变化 ，求出变化范围；若不变，求出其度数． 【答案】 （1）证明：∵∠CAC′＝15°， ∴∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°， 又∴∠C＝30°， ∴∠BAC＝∠C， ∴AB∥CD； （2）∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数不变，105°． 【分析】（1）根据三角板的特殊角度值即可求解. （2）作出辅助线,根据三角形内角和即可解题. 【详解】(1)略 （2）解：∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数不变． 如图，连接CC′. ∵∠DBC′＋∠BDC＝∠DCC′＋∠BC′C， ∠CAC′＋∠ACC′＋∠AC′C＝180°， ∴∠CAC′＋∠AC′B＋∠BC′C＋∠ACD＋∠DCC′＝180°， ∵∠AC′B＝45°，∠ACD＝30°， ∴∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC＝180°－45°－30°＝105°. 【点睛】本题考查了特殊的直角三角形和三角形的内角和性质,属于简单题,作出辅助线是解题关键. 【经典例题七 角平分线的有关计算】 43．（25-26七年级下·广西河池·阶段检测）如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 44．（25-26七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知射线、、在内部，平分，平分，且，若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据角平分线的定义求出，再根据可得、的度数，然后根据角平分线的定义求出，最后根据即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 45．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再由角平分线的定义得，从而可求的度数； （2）由题意可得，由角平分线的定义可得，利用邻补角即可求得． 【详解】（1）解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 46．（25-26七年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上（），是射线，且，，并求出的度数（用含α或β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到和的度数，再根据计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，得到，，又根据，可得，利用，求出的度数，即可的度数； （3）分情况画出图形，根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， 则的度数为； （2）解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则的度数为； （3）解：∵和分别平分和， ∴，， 第一种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 第二种情况如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上可知：的度数为． 47．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，点为直线上一点，点在内，点在内，且平分． (1)请按要求进行作图：在内部作射线； (2)小南发现，若为的角平分线，则的大小始终为．请根据他的思路，补全下列解题过程． 解：∵平分， ∴ ①， ∵为的角平分线， ∴ ②， 又∵， ∴ ③④ ． 【答案】(1) 射线，如图所示： ． (2)①；②；③；④90 【分析】本题考查了画射线、角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）根据射线的定义画图即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据和求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：①；②；③；④90． 48．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读材料： 如图，点C为线段上任意一点，，点E、F分别为线段的中点．试求线段的长． 解：∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题解决：（依照上题思路解决下列问题） 已知：内有一条射线，，射线分别平分，求的度数． 【答案】 【分析】类比题干解题思路，利用角平分线的定义以及角度的和差计算即可． 【详解】解：∵射线分别平分， ∴． ∴， ∵， ∴． 49．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在小组讨论中，针对题目：已知点均在直线上，，是的中点，是的中点，求的长． 如图1，∵是的中点，是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 乐乐说：“欣欣的解答不完整．” (1)你同意乐乐的说法吗？如果同意，请将欣欣的解答过程补充完整：如果不同意，请说明理由． (2)我们发现角的很多规律和线段类似，已知，射线平分，射线平分，求的度数． 【答案】(1) 解：同意乐乐的说法， 欣欣的解答过程补充如下： 如图，当点在点左侧时： ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的长是4或8． (2)或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）求出点在点左侧时，的长即可； （2）分射线在的外部和射线在的内部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当射线在的外部时， ∵，平分，射线平分， ∴， ∴； 当射线在的内部时， ∵，平分，射线平分， ∴， ∴． 【经典例题八 圆的周长和面积问题】 50．（25-26七年级上·陕西延安·期末）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，它的一个底面圆的面积是多少？（计算结果保留）    【答案】它的一个底面圆的面积为或 【分析】分两种情况讨论：①底面周长为时；②底面周长为时，根据圆的面积公式分别求出两种情况下底面圆的面积即可． 【详解】①底面周长为时，半径为， 底面圆的面积为； ②底面周长为时，半径为，底面圆的面积为. 故它的一个底面圆的面积为或. 【点睛】本题考查了圆柱底面圆的面积问题，掌握圆的面积公式是解题的关键． 51．（25-26七年级上·全国·课后作业）两个圆的圆心相同，它们的面积分别是25.12和50.24.求圆环的宽度d.(π取3.14，结果保留小数点后两位) 【答案】圆环的宽度d约为1.17. 【详解】试题分析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，根据面积得出方程πR2=50.24，πr2=25.12，求出R=4，r=2，即可得出答案． 试题解析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r， ∵两个圆的圆心相同，它们的面积分别是50.34和25.12， ∴πR2=50.24，πr2=25.12， 解得：R=4，r=2， ∴圆环的宽度d=4-2≈1.17． 52．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）如图，长方形的长是，宽是，分别以、为圆心作扇形，用代数式表示阴影部分的周长和面积（结果中保留）．    【答案】；. 【分析】由已知图知，阴影部分的周长是； 阴影部分的面积为，长方形的面积减去两个圆的面积半圆的面积． 【详解】阴影部分的周长； 阴影部分的面积. 【点睛】此题考查的是列代数式，用到的知识点是半圆的周长和面积的计算方法． 53．（25-26七年级上·山西临汾·期中）在一块长为米、宽为米的小花园内，计划在四个角上空出半径为米的圆，供大家娱乐，其余部分种花草． （1）求花草部分的面积． （2）当，时，花草部分的面积为多少．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分析题意，结合图形信息可得种植花草的面积等于长为米、宽为米的小花园的面积与四个角上空出半径为米的圆的面积之差.（2）将x=15,y=18代入解析式即可解答； 【详解】（1）将所求面积用公式表示出来，四个的扇形即； 花草部分的面积即为. （2）当，时，原式=， 故答案为； 【点睛】此题考查圆面积的计算，解题关键在于掌握圆面积公式即可. 54．（2026七年级上·全国·专题练习）从卫生纸的包装上得到以下资料：两层共300格，每格，如图①.用尺量出整卷卫生纸的半径（）与纸筒内芯的半径（），分别为和，如图②.那么该两层卫生纸的厚度为多少？（取3.14，结果精确到） 【答案】该两层卫生纸的厚度约为 【分析】设该两层卫生纸的厚度为hcm.根据圆柱的体积=长方体的体积,即π(R-r)×11=300×11×11.4h,进行求解 【详解】解：设该两层卫生纸的厚度为hcm根据题意,得 11.4×11×h×300=π(5.8-2.3)×11 37620h=π(33.64-5.29)×11 h≈0.026. 答:两层卫生纸的厚度为0.026cm. 【点睛】此题考查圆柱的计算，解题关键在于设该两层卫生纸的厚度为hcm. 55．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa． 计算：(1)把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长； (2)把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝　 　； (3)把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝　 　； (4)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝　 　． 结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　 　．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系． 【答案】(2)l；(3)l；(4)l； 结论：；面积关系推导： 每个小圆面积＝π＝，而大圆的面积＝π(•a)2＝πa2 即每个小圆的面积是大圆的面积的． 【分析】(2)(3)(4)根据（1）模仿计算解答即可. 结论：根据前期的堆列数据进行分析列式即可解答. 【详解】(2)l； (3)l； (4)l；； 结论：略 【点睛】本题考查线段和圆的关系，解题关键是能够理解题意和学会类推. 56．（25-26七年级上·河北承德·期中）在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14） （1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？ （2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？ （3）在（2）的条件下，求此圆的面积．    【答案】（1）6cm；（2）4cm；（3）50.24（cm2）． 【分析】（1）根据圆和矩形的周长公式即可得到即可； （2）设圆的半径为r，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）拼成的近似长方形的周长比圆的周长多3×2＝6cm； （2）设圆的半径为r， 由题意得，2πr+2r＝33.12， 解得：r＝4， 答：圆的半径为4cm； （3）此圆的面积＝3.14×42＝50.24（cm2）． 【点睛】本题考查了认识平面图形，图形的拼组及圆的面积公式的推导过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 动点与角度56道经典题型专项训练（8大题型） 题型一 与线段动点有关问题 题型二 线段动点中求定值问题 题型三 动角有关问题 题型四 三角板中角度计算问题 题型五 几何图形中角度计算问题 题型六 实际问题中角度计算问题 题型七 角平分线的有关计算 题型八 圆的周长和面积问题 【经典例题一 与线段动点有关问题】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）线段点在线段上，点，分别是和的中点． （1）若点恰好是中点，求的长； （2）若，求的长； （3）若点为线段上的一个动点（点不与，重合），求的长． 2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）如图，数轴上的点，表示的数分别为-10和20，动点从点出发，以2个单位秒的速度沿数轴的正方向运动，点为的中点． （1）点出发多少秒时，； （2）当点在线段上运动时，求的值； （3）若点为的中点，请直接写出的长． 3．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，M是线段AB上一点，且AB=10cm，C、D两点分别从M，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）． （1）当点C， D运动了2s，求这时AC+MD的值． （2） 若点C， D运动时，总有MD=3AC，求AM的长． 4．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位． （1）点A表示的数是：　 　；点B表示的数是：　 　． （2）A，B两点间的距离是　 个单位，线段AB中点表示的数是　 　． （3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=8cm，CB=6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．    （1）当点D在AC上运动时，若DC=BC，则t= ； （2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值．   6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，在射线上有三点A，B，C，满足．点P从点O出发，沿射线方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． （1）运动10s时，点P与点Q的距离为20cm，求点Q的运动速度； （2）当点Q运动速度为3cm/s时，经过多长时间P，Q两点的距离为70cm？ （3）当时，点Q恰巧运动到线段的中点，求点Q的运动速度．    7．（25-26七年级上·江西萍乡·期末）线段AB=60厘米．    （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以6厘米/分的速度运动，求： ①几分钟后，P,Q两点相遇？ ②几分钟后，P,Q两点相距20厘米？ （2）如图2，AO=PO=8厘米，．现将P点绕着点O以20度/分的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若P,Q两点也能相遇，求点Q的速度． 【经典例题二 线段动点中求定值问题】 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则是否是定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．    9．（25-26七年级上·广西贵港·阶段检测）如图AB=48，C为线段AB的延长线上一点，M，N分别是AC，BC的中点． （1）若BC=10，求MN的长； （2）若BC的长度为不定值，其它条件不变，MN的长还是定值吗？若是，请求出MN的长；若不是，请说明理由． 10．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为．    ⑴ ； ⑵求点所表示的数； ⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由． 11．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，线段在线段上运动，点、点分别是、的中点． (1)若线段，，求的长． (2)若，，由此可以猜想______（用、表示）． (3)我们发现角的很多规律和线段一样：如图，在的内部，绕点逆时针旋转（初始位置、重合），、分别平分和，若，，在旋转过程中，的大小是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 13．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知数轴上两点，对应的数分别为，8. （1）如图1，如果点和点分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒6个单位. ①，两点之间的距离为__________. ②当，两点相遇时，点在数轴上对应的数是____________. ③求点出发多少秒后，与点之间相距4个单位长度？ （2）如图2，如果点从点出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点、分别是线段、的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值.如果变化，请说明理由：如果不变，请直接写出线段的长度. 14．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【经典例题三 动角有关问题】 15．（25-26七年级上·江西抚州·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一块直角三角板的直角顶点放在处，一边放在射线上，将直角三角板绕点逆时针方向旋转直至边第一次重合在射线上停止． （1）如图1，边在射线上，则 ； （2）如图2，若恰好平分，则 ； （3）如图3，若，则 ； （4）在旋转过程中，与始终保持的数量关系是 ，并请说明理由． 16．（25-26七年级上·广东广州·期末）司南是我国最早的磁性指向器，方向改变，磁勺就会转动，其勺柄始终指向南方，简易图如图①所示，磁盘上的直线，和磁勺的连接点是点O，且． (1)当磁勺绕点O旋转到如图②所示的位置时，求此时的度数； (2)若在磁勺绕点O从图②位置旋转一周的过程中，当时，求的度数． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE． （1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是　 　． （2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由． （3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．    18．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 19．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）在一次数学实践探究活动中，同学们将三角尺的直角顶点O放置在直线上，边与重合，如图1，将三角尺绕点O顺时针旋转（不超过），如图2，旋转过程中不与重合，作射线平分． (1)当时，_____（直接写出结果）； (2)若三角尺旋转到如图2所示的位置时，判断与之间的数量关系并说明理由； (3)作射线平分． ①当三角尺旋转到如图2所示的位置时，请补齐图形并求的度数； ②继续将三角尺绕着点O旋转，请直接写出的度数为_____． 20．（25-26七年级上·山西·阶段检测）如图1，线段，，线段在线段上运动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），M，N分别是，的中点． (1)若，则_________． (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长是否会发生变化．如果不变，请求出线段的长；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，在内部转动，，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，求的度数． 21．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似地我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条． 例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图，是的三分线，，若，则 ； (2)如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数； (3)如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【经典例题四 三角板中角度计算问题】 22．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 23．（25-26七年级上·四川雅安·期末）直角三角板的直角顶点C在直线上，平分． (1)在图1中，若，求的度数； (2)在图1中，若，求的度数．（用含的式子表示）； (3)将图1中的三角板绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出与的度数之间的关系，并说明理由． 24．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一副直角三角板（其中一个三角板的内角是，另一个是）． (1)如图①放置， _____； (2)在（1）的基础上，再拿一个的直角三角板，如图②放置，将边和边重合，是的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由． 25．（25-26七年级下·四川达州·期中）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 26．（25-26七年级上·江西吉安·期末）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 操作思考：（1）如图1，边，与直线重合，，，则的度数为______； 操作探究：（2）在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α．如图2，当为直角时，①试说明：平分．②求的度数； 深入再探：（3）在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α．如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，求出旋转角α的度数． 27．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）综合与探究 问题情境：如图，将一把含角的直角三角板和一把含角的直角三角板的直角顶点叠放在点处，．两三角板可绕点旋转． 计算与观察： （1）①若，则的度数为___________ ②若，则的度数为___________． 猜想与证明： （2）猜想与有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线平分，且，直接写出的度数． 28．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非重合的角，然后研究这些角之间的关系． 【操作发现】 （1）小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含角和另一块含角的顶点重合于点O． ①的度数为______．（用含的代数式表示）； ②小明发现，总是保持不变，这个固定的差值是______． 【问题探究】 （2）小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（），再把另一块三角板的角顶点重合于点O，两块三角板有重合角．这时小芳让这块三角板绕着点O旋转，她发现和仍有一定的固定关系．请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由． 【拓展延伸】 （3）学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含的三角板的任意一角的顶点与等腰直角三角板的直角顶点O重合．当满足时，求的度数． 【经典例题五 几何图形中角度计算问题】 29．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 30．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图所示，将一副三角板的直角顶点重合叠放在一起． (1)如图1若，求的度数；若，求的度数； (2)如图2若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并结合图1说明理由． 31．（25-26七年级下·山东烟台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 32．（25-26七年级上·河南商丘·期末）综合与实践 【课本回顾】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，如图1，射线即是的平分线．    【操作实践】如图2，将长方形纸片沿折叠，点落在点处，设． (1)【初步探究】若，则的度数为___________； (2)【拓广探索】如图3，在图2的基础上，再将长方形纸片沿折叠，点落在点处，在的左侧，若此时平分．求的度数（用含的式子表示）． 33．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度； (2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ） 34．（25-26七年级上·广东广州·期末）解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 35．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末） (1)【问题情境】 数学活动课上，老师和同学们借助一副三角尺的拼摆来发现问题．先按照图（1）的方式摆放，画出；再按照图（2）的方式在内摆放一副三角尺，画出射线，则___________，___________，射线是的___________； (2)【猜想推广】 智慧小组经过讨论后，设一个角可以由和角分别重复画次和次合并而成（m、n是整数），设这个角的度数为，则，可见借助一副三角尺的拼摆，还能画出很多角．请在智慧小组讨论的基础上回答：这些角的度数是否为的整数倍？并说明理由． (3)【具体问题】 奋进小组提出了一个新问题，如图（3），已知同一平面内，，平分，平分，求的度数； (4)【发现特性】 创新小组在老师的启发下进行了深入探究，在（3）的条件下，如果将题目中的，改成，其他条件不变，他们有了“的度数为定值”的重大发现，这个定值为___________． 【经典例题六 实际问题中角度计算问题】 36．（26-27七年级上·全国·随堂练习）如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 37．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 38．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 39．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 40．（25-26七年级上·江苏南通·期末）根据要求画图，并回答问题． 已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB． （1）过点O画直线MN⊥CD； （2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数． 41．（25-26七年级上·全国·单元测试）王老师到市场买菜，发现如果把10千克的菜放到秤上，指示盘上的指针转了，如图．第二天，王老师就给同学们出了两个问题： (1)如果把千克的菜放在秤上，指针转过多少角度？ (2)如果指针转了，这些菜有多少千克？ 42．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图②所示．设∠CAC′＝α(0°＜α≤45°)． （1）当α＝15°时，求证：AB∥CD； （2）连接BD，当0°＜α≤45°时，∠DBC′＋∠CAC′＋∠BDC的度数是否变化，若变化 ，求出变化范围；若不变，求出其度数． 【经典例题七 角平分线的有关计算】 43．（25-26七年级下·广西河池·阶段检测）如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 44．（25-26七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知射线、、在内部，平分，平分，且，若，求的度数． 45．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 46．（25-26七年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上（），是射线，且，，并求出的度数（用含α或β的式子表示）． 47．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，点为直线上一点，点在内，点在内，且平分． (1)请按要求进行作图：在内部作射线； (2)小南发现，若为的角平分线，则的大小始终为．请根据他的思路，补全下列解题过程． 解：∵平分， ∴ ①， ∵为的角平分线， ∴ ②， 又∵， ∴ ③④ ． 48．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读材料： 如图，点C为线段上任意一点，，点E、F分别为线段的中点．试求线段的长． 解：∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题解决：（依照上题思路解决下列问题） 已知：内有一条射线，，射线分别平分，求的度数． 49．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）在小组讨论中，针对题目：已知点均在直线上，，是的中点，是的中点，求的长． 如图1，∵是的中点，是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 乐乐说：“欣欣的解答不完整．” (1)你同意乐乐的说法吗？如果同意，请将欣欣的解答过程补充完整：如果不同意，请说明理由． (2)我们发现角的很多规律和线段类似，已知，射线平分，射线平分，求的度数． 【经典例题八 圆的周长和面积问题】 50．（25-26七年级上·陕西延安·期末）已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，它的一个底面圆的面积是多少？（计算结果保留）    51．（25-26七年级上·全国·课后作业）两个圆的圆心相同，它们的面积分别是25.12和50.24.求圆环的宽度d.(π取3.14，结果保留小数点后两位) 52．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）如图，长方形的长是，宽是，分别以、为圆心作扇形，用代数式表示阴影部分的周长和面积（结果中保留）．    53．（25-26七年级上·山西临汾·期中）在一块长为米、宽为米的小花园内，计划在四个角上空出半径为米的圆，供大家娱乐，其余部分种花草． （1）求花草部分的面积． （2）当，时，花草部分的面积为多少．（用含的式子表示） 54．（2026七年级上·全国·专题练习）从卫生纸的包装上得到以下资料：两层共300格，每格，如图①.用尺量出整卷卫生纸的半径（）与纸筒内芯的半径（），分别为和，如图②.那么该两层卫生纸的厚度为多少？（取3.14，结果精确到） 55．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa． 计算：(1)把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长； (2)把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝　 　； (3)把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝　 　； (4)把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝　 　． 结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　 　．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系． 56．（25-26七年级上·河北承德·期中）在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14） （1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？ （2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？ （3）在（2）的条件下，求此圆的面积．    学科网（北京）股份有限公司 $