专题02 角的有关计算问题（专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

专题02 角的有关计算问题 常考题型·精准突破 题型1 钟面角（重） 题型2 与方位角有关的计算题 题型3 角平分线的有关计算（高频） 题型4 三角板中角度计算问题（高频） 题型5 角n等分线的有关计算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 钟面角 1． 2．45 3． ◆题型2 与方位角有关的计算题 4．/80度 5．北偏东 6． 【答案】(1) (2)东北（或东偏北） 【分析】（1）根据角的和差关系进行计算，即可得出从看台P看教学楼和体育馆的方位角（即）的度数； （2）依据角平分线的定义进行计算，即可得到的度数，再根据求解． 【详解】（1）解：如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上， ∴，， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， ∴． ∴实验楼在看台的东北（或东偏北）方向上． ◆题型3 角平分线的有关计算 7． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 8． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】（1）先求的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数，最后根据平角的定义，求出的度数； （2）先根据是的平分线，，推出，同理推出，再求出，最后根据 求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 即． 9． 【答案】(1) (2)①； ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴。 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）①根据, 计算求解即可；②由题意可得，由平分，可得，求出的值，然后可求与的数量关系. 【详解】（1）解：∵，， ∴ 。 （2）解：①∵，，， ∴ ； ② 略 ◆题型4 三角板中角度计算问题 10． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）首先求出，结合角平分线求出的度数； （2）首先表示出，，然后由角平分线表示出，，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴． 11． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 12． 【答案】（1）； （2）①因为，， 所以． 因为， 所以， 所以． ②的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算． （1）根据平角的定义得出，根据角平分线的定义可得，根据进行求解即可； （2）平角的定义，求出，再根据角的和差关系得出； （3）分在的右侧和在的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以． 因为是的平分线， 所以． 因为， 所以． （2）①略 ②的度数为或． 当OD在OC的右侧时，如图1． 设，， 则， 所以， 所以， 所以； 当在的左侧时，如图2． ， 所以． 综上所述，当时，的度数为或． ◆题型5 角n等分线的有关计算 13． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 14． 【答案】(1)①； ②，理由如下： ， ； (2) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的概念，解题的关键是找到角的和差关系． （1）① 由，，可得，由平分，平分，可得，，最后根据角的和差即可求解； ②，结合平分，平分，即可求解； （2）由，，，，可推出，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：①，， ， 平分，平分， ，， ； ②略 （2），， ， 即， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 15． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．B 2．B 3．B 4．B 5．C 二、填空题 6． 7 8．或 9．或 10．或或 三、解答题 11． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义的运用，能理解角平分线定义和角与角之间的关系是解此题的关键． （1）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出的度数，再求的度数； （2）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出的度数，再根据比多求的度数． 【详解】（1）解：如图，因为平分， 所以， 又因为平分． 所以． 所以， 因为， 所以． （2）解：由（1）可知，． 因为比多， 所以，① 因为，② 由① +②得：， 所以． 12． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，互余，角的和差关系． （1）根据平角定义求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可； （2）根据互余的两个角和为90度求出，根据角平分线的定义求出的度数，根据角的和差关系求出即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 13． 【答案】(1) (2)①作图见解析；② 【分析】本题考查几何图形角度的计算，尺规作一个角等于已知角， （1）设，根据题意可得，解方程，即可求解； （2）①根据题意，作，即可求解； ②由（1）得因为，可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：设 因为所以 解得：所以． （2）①如图所示 ②由（1）得因为所以 所以． 14． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 15． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 16． 【答案】(1)120，150 (2) (3)30 (4)与的数量关系有三种或或 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）由，，可得，，然后作差即可； （4）分三种情况：当在内部，在下方时，当都在内部时，当在内部，在内部时，分别结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：， ， 又平分， ， ， ； （3）解：，理由如下： ，， 、， ， 即； 故答案为：； （4）当在内部，在下方时，如图， ， 即， ； 当都在内部时，如图： ，即， ； 当在内部，在内部时，如图所示： ∴， ． 综上：或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02角的有关计算问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1钟面角（重） 题型2与方位角有关的计算题 题型3角平分线的有关计算（高频） 题型4三角板中角度计算问题（高频） 题型5角n等分线的有关计算（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1钟面角 1.(25-26七年级上广东·阶段检测)下午3点30分时，时针与分针的夹角是 0 2.(25-26六年级下山东泰安阶段检测)如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为 3.(25-26七年级上·河南南阳期末)颈椎不适的症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上 抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解此症状.这里的10点10分处指的是时钟在10点 10分时，时针和分针的夹角（如图所示)，则此时时针与分针的夹角是 ◇ì1 10 2 3 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2与方位角有关的计算题 4.(25-26七年级上广东湛江期末)如图，射线0A的方向是南偏东60°，射线0B的方向是北偏东40°， 则∠AOB的大小是 北 西0 东 南 5.(25-26七年级上广东河源期末)如图，0A的方向是北偏东20°，0C的方向是北偏西40°，若0A平 分∠BOC,则OB的方向是 北 B 西 东 6.(26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测)学校运动会期间，小凯坐在看台点P处观看比赛.如图，教学 楼A在看台P的西偏北70°方向上，体育馆B在看台P的东偏南20°方向上. 北 西 东 B 南 (1)求从看台P看教学楼和体育馆的视角（即∠APB)的度数； (2)实验楼C在∠APB的平分线上，则实验楼C在看台P的， 方向上. ◆题型3角平分线的有关计算 7.(25-26七年级下广东中山期末)如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,OF平分 ∠BOC. 2/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠B0D=40°，求∠A0F的度数： (2)若∠AOC:∠AOE=1:2,求∠COF的度数. 8.(25-26七年级上·湖南岳阳期未)如图，己知点0为直线AB上一点，∠COD=90°，OE是∠A0D的 平分线 D E 图1 图2 (1)如图1，若∠COE=55°，求∠B0D的度数： (2)如图2，OF是∠BOC的平分线，求∠EOF的度数. 9.(25-26七年级上四川乐山阶段检测)己知∠A0B=120°，过点0作射线0C,设∠A0C=a,将射 线OC逆时针旋转一定的角度得到射线OD 0 图1 图2 (1)如图1，若∠COD=60°，0°<a<60°，求∠AOD+∠BOC的度数； (2)如图2，若∠C0D=60,60°<a<120° ①求∠BOD的度数（用含u的式子表示）： ②若OE平分∠BOC,试探究∠DOE与∠AOC的数量关系，并说明理由. ◆题型4三角板中角度计算问题 10.(25-26七年级上·安徽六安期末)【问题背景】已知一副三角尺，在三角尺ABC中，∠BAC=90°， ∠ABC=∠C=45°；在三角尺ADE中，∠E=90°，∠DAE=30°，∠D=60°；已知两个三角尺有一个顶点 A重合. (I)【初步感知】如图1，若AB与AE重合，AP,AQ分别是∠CAE,∠BAD的平分线，则∠CAD的度 3/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数为 ∠PAQ的度数为 (2)【拓展探究】将三角尺按照图2方式摆放，AP,AQ分别是∠CAE,∠BAD的平分线，若 ∠BAE=a,求∠PA0的度数. D 图1 图2 11.(25-26七年级下·四川达州期中)【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副 直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C 图1 图2 【问题发现】 (I)①填空：如图1，若∠ACB=145°，则∠ACE的度数是一，∠DCB的度数一，∠ECD的度数是 ②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发 现的结论， 【类比探究】 (2)如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由. 12.(25-26七年级上山西吕梁期末)问题情境 O为直线AB上一点，将直角三角板DOE和直角三角板COF的顶点重合在点O处，其中∠AOC=120°， ∠D0E=∠C=90° 猜想证明 (1)将直角三角板DOE按照如图1所示的方式放置，此时OC恰好是∠BOE的平分线，求∠COD的度数， 拓展延伸 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B D A B 图1 图2 备用图 (2)如图2，数学小组的小明将三角板DOE绕点O顺时针旋转， ①当直角三角板DOE的边OD与射线OB重合时，试说明∠COD=2∠COE ②将图2中的直角三角板DOE绕点O逆时针转动x°(x<90)，使得∠AOE=3∠COD,直接写出∠COD 的度数. ◆题型5角n等分线的有关计算 13.(25-26七年级上·全国课后作业)如下图，已知∠A0B内部有三条射线，OE平分∠B0C,OF平分 ∠AOC」 E F A (①)若∠AOB=90°，求∠EOF的度数： ②若将条件中的05平分∠B0C0P平分∠AOC“改为“∠B0B=写B0C,LC0F=号A0C~,且 3 3 ∠AOB=a,求∠EOF的度数. 14.(25-26七年级上湖北孝感期末)从直线1上一点0在I同侧顺次引射线OA,OM,OB,ON,OC, 其中点A在直线I上. M N 图1 图2 (I)如图1，若OM平分∠AOC,ON平分LBOC ①当∠A0B=120°，∠B0C=30°时，求∠MON的度数： ②当∠AOB与∠BOC的大小都发生变化时，试探究∠MON与∠AOB间的数量关系，并说明理由： ②如图2，若OM为∠AOC的-条n等分线，且∠40M-∠A0C,ON为∠BOC的一条n等分线， n ∠B0N=片∠B0C,当∠AMON=90时，此时∠40B=130,试直接写出n的值. n 5/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26七年级上江苏无锡期末)我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线， 叫做这个角的平分线.类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为：2的两 个角的射线，叫做这个角的三分线：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为：3的两个角的射线，叫做 这个角的四分线.显然，一个角的三分线、四分线都有两条.例如：如图1，若∠BOC=2∠AOB,则OB 是∠AOC的一条三分线；若∠AOD=2∠COD,则OD是∠AOC的另一条三分线 D 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，OB是∠AOC的三分线，∠BOC>∠AOB,若∠AOC=60°，则∠AOB=_ (2)如图3，∠DOF=120°，OE是∠DOF的四分线，∠DOE>∠EOF,过点O作射线OG,当OG刚好为 ∠DOE的三分线时，求∠GOF的度数； (3)如图4，∠AOD=120°，射线OB、OC是∠AOD的两条三分线，将射线OBOC同时绕点O沿顺时针方 向旋转α(0°≤a≤180)，在旋转的过程中，若射线OB、OC、OD中恰好有一条射线是其它两条射线组成 夹角的四分线，请直接写出“的值. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.钟面上的时间为下午2：30，此时时针与分针的夹角的度数是（) A.150° B.105o C.162° D.165 2.如图，两个直角三角形如图所示摆放，∠C=∠DFE=90°，点F在AC上.若∠1=25°，则∠2的度数 为() A.60° B.65 C.55 D.45° 6/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知∠AOB=110°，OC平分∠AOB,过点O作射线OD,使得∠COD=30°，则∠AOD度数是(). A.90° B.85°或25° C.90°或20° D.90°或30 4,湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店.如图，若把湘绣手工店记作点A,在A处观察体验工坊 (记作点B)时，点B在点A的北偏西4018方向上，在A处观察奶茶店（记作点C)时，∠BAC=90°， 则奶茶店在湘绣手工店的() 北 →东 y A.南偏东49°42'方向上 B.北偏东49°42'方向上 C.东偏北49°42'方向上 D.北偏东4018方向上 5.把一副直角三角尺如图摆放，∠C=∠DFE=90°，∠CAB=60°，∠FDE=45°，斜边AB、DE在直线L 上，△ABC保持不动，△DEF在直线I上平移，当以点AE、F三点为顶点的三角形是直角三角形时，则 ∠CAF的度数是() A.15° B.25° C.15°或30° D.25°或30° 二、填空题 6.如图，一倒直角三角板的顶点重合在一起，若∠BCD写ACE,则乙ACD的度数为 B 7.△ABC是边长为6cm的等边三角形，△AB'C是△ABC绕C点逆时针旋转后得到的（如图）·那么，这 个三角形旋转了_度.A'点位于C点西偏北 度的方向，距离C点6cm, 北 B 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，点O为量角器中心，射线OC与射线OD经过的刻度分别为70°和135°，从点O引一条射线OP, 使∠COP=∠BOD,则∠DOP的度数为 D ,已知∠AOB是直角，在∠AOB的内部有一条射线OC,满足∠A0C-∠COB,在∠A0B所在平面上 另有一条射线OD,满足∠BOD=3∠A0C,则∠COD的度数为 10.定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫 做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线， 设∠MOQ=x,则LMON用含x的代数式表示为一 三、解答题 11.如图，点A,O,B在同一条直线上，OD平分∠AOC,OE平分∠BOC. E B (1)若∠B0D=160°，求∠BOE的度数： (2)若∠C0E比∠C0D多60°，求∠COE的度数. 12.如图，已知点0为直线AB上一点，∠B0C=110°，∠COD=90°，0M平分∠AOC】 M B D (①)求∠AOD的度数： (2)若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数. 1B.知图，已知∠40B=120,0C是∠40B内部的-条射线，且∠40C-写<B0C. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 A (1)求∠BOC的度数： (2)①尺规作图：在∠AOB内部，过点O作射线OD,使∠AOD=2∠AOC(保留作图痕迹，不要求写作 法)； ②在①的条件下，求∠BOD的度数. 14.已知O为直线AB上的一点，∠COE=90°，AB⊥MN. 北 A 东 B B 图① 图② 图③ (1)如图①，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方，若∠CON=17°，则射线OE的方 向是_；若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM.若 ∠EOF=20°，求∠AOF的度数；， (2)若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线OF仍然平分∠COM,∠CON与∠AOF 之间存在怎样的数量关系？请说明理由. 15.如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O处.（∠D0E=90°） E D >D A O DB ① ② ③ 备用图 (I)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=_°； (2)如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度 数 (3)如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎 9/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 样的数量关系？并说明理由： (4)将直角三角板DOE绕点O转动一周，如果OD在∠BOC的外部，且∠BOD=80°，请直接写出∠COE的 度数 16.如图1，点O为直线AB上一点：OC在直线AB的上方，∠A0C=60°.一直角三角板的直角顶点放在 点O处，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. 一B M 图1 图2 图3 (I)在图1的时刻，∠BOC的度数为_°，∠CON的度数为_°； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分∠BOC时，求∠BON的度数： (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在∠AOC的内部时，∠AOM-∠CON度数为°； (4)在三角板绕点O逆时针旋转180°的过程中，直接写出∠COM与∠AON的数量关系. 10/10 专题02 角的有关计算问题 常考题型·精准突破 题型1 钟面角（重） 题型2 与方位角有关的计算题 题型3 角平分线的有关计算（高频） 题型4 三角板中角度计算问题（高频） 题型5 角n等分线的有关计算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 钟面角 1．（25-26七年级上·广东·阶段检测）下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面角的定义，分别计算时针和分针的位置，再求其夹角的度数，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题的关键． 【详解】解：点分，时针在与正中间，即； 分针在，即； 夹角． 2．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为 _______ ． 【答案】45 【分析】由时针一小时走一大格，那个半小时走半个大格，然后根据时钟上一大格是，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：． 3．（25-26七年级上·河南南阳·期末）颈椎不适的症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解此症状．这里的10点10分处指的是时钟在10点10分时，时针和分针的夹角（如图所示），则此时时针与分针的夹角是________． 【答案】 【分析】本题考查钟面角的计算，核心知识点是钟面每大格对应，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 【详解】解：∵钟面一圈为，平均分成个大格， ∴每个大格的度数为；时针每分钟转动的角度为， ∴数字与数字2的夹角为，时针分钟转动的角度为=5°， ∴点分时，时针和分针的夹角为． 故答案为：． ◆题型2 与方位角有关的计算题 4．（25-26七年级上·广东湛江·期末）如图，射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，则的大小是______． 【答案】/80度 【详解】解：由题意得：． 5．（25-26七年级上·广东河源·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若平分，则的方向是_________． 【答案】北偏东 【分析】根据方位角的定义，求得，由角平分线的定义，求得，最后由方位角的定义得出答案． 【详解】解：∵的方向是北偏东的方向是北偏西， ， 平分， ， ， ， ∴的方向是北偏东． 6．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）学校运动会期间，小凯坐在看台点处观看比赛．如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上． (1)求从看台看教学楼和体育馆的视角（即）的度数； (2)实验楼在的平分线上，则实验楼在看台的________方向上． 【答案】(1) (2)东北（或东偏北） 【分析】（1）根据角的和差关系进行计算，即可得出从看台P看教学楼和体育馆的方位角（即）的度数； （2）依据角平分线的定义进行计算，即可得到的度数，再根据求解． 【详解】（1）解：如图，教学楼在看台的西偏北方向上，体育馆在看台的东偏南方向上， ∴，， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， ∴． ∴实验楼在看台的东北（或东偏北）方向上． ◆题型3 角平分线的有关计算 7．（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 8．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】（1）先求的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数，最后根据平角的定义，求出的度数； （2）先根据是的平分线，，推出，同理推出，再求出，最后根据 求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 即． 9．（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）已知，过点O作射线，设，将射线逆时针旋转一定的角度得到射线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数（用含α的式子表示）； ②若平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴。 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）①根据, 计算求解即可；②由题意可得，由平分，可得，求出的值，然后可求与的数量关系. 【详解】（1）解：∵，， ∴ 。 （2）解：①∵，，， ∴ ； ② 略 ◆题型4 三角板中角度计算问题 10．（25-26七年级上·安徽六安·期末）【问题背景】已知一副三角尺，在三角尺中，，；在三角尺中，，，；已知两个三角尺有一个顶点A重合． （1）【初步感知】如图1，若与重合，，分别是，的平分线，则的度数为________；的度数为________． （2）【拓展探究】将三角尺按照图2方式摆放，，分别是，的平分线，若，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）首先求出，结合角平分线求出的度数； （2）首先表示出，，然后由角平分线表示出，，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·四川达州·期中）【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 12．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）问题情境 为直线上一点，将直角三角板和直角三角板的顶点重合在点处，其中，． 猜想证明 （1）将直角三角板按照如图1所示的方式放置，此时恰好是的平分线，求的度数． 拓展延伸 （2）如图2，数学小组的小明将三角板绕点顺时针旋转． ①当直角三角板的边与射线重合时，试说明． ②将图2中的直角三角板绕点逆时针转动（），使得，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）①因为，， 所以． 因为， 所以， 所以． ②的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算． （1）根据平角的定义得出，根据角平分线的定义可得，根据进行求解即可； （2）平角的定义，求出，再根据角的和差关系得出； （3）分在的右侧和在的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以． 因为是的平分线， 所以． 因为， 所以． （2）①略 ②的度数为或． 当OD在OC的右侧时，如图1． 设，， 则， 所以， 所以， 所以； 当在的左侧时，如图2． ， 所以． 综上所述，当时，的度数为或． ◆题型5 角n等分线的有关计算 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 14．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 【答案】(1)①； ②，理由如下： ， ； (2) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的概念，解题的关键是找到角的和差关系． （1）① 由，，可得，由平分，平分，可得，，最后根据角的和差即可求解； ②，结合平分，平分，即可求解； （2）由，，，，可推出，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：①，， ， 平分，平分， ，， ； ②略 （2），， ， 即， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．钟面上的时间为下午，此时时针与分针的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定时针和分针在下午2:30时的位置，分别计算它们与12点位置的夹角，再求两者的夹角．本题主要考查了钟面角的计算，熟练掌握时针和分针的转动速度是解题的关键． 【详解】解：∵分针60分钟转一圈，即， ∴分针每分钟转， ∴分针转过的角度为； ∵时针每小时转，每分钟转， ∴时针转过的角度为； ∴时针与分针的夹角为 故选：B． 2．如图，两个直角三角形如图所示摆放，，点在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据平角的定义可得，代入已知角的度数计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点在上 ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3．已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差关系．分两种情况考虑：①射线在内；②射线在内，再根据角的和差求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ①当射线在内时，如图， ； ②当射线在内时，如图， ； ∴度数是或． 故选：B． 4．湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点，在处观察体验工坊（记作点）时，点在点的北偏西方向上，在处观察奶茶店（记作点）时，，则奶茶店在湘绣手工店的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方位角的定义，角度的运算，掌握方位角的定义是解题的关键．结合图形，根据方位角的意义，求得的度数即可求解． 【详解】解：如图， ∵点在点的北偏西40°18'方向上， ∴， ∵， ∴， ∴奶茶店在湘绣手工店的北偏东方向上． 故选：B． 5．把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，直角三角形的性质. 分两种情况进行讨论：①当点D运动到与A重合时；②当点D运动到A是中点时；分别画出相应的图形进行求解即可． 【详解】解：当点D运动到与A重合时，是直角三角形，此时， 当点D运动到A是中点时，是直角三角形，此时， ∴的度数为或， 故答案为：或． 二、填空题 6．如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键． 由题意可知，，则，，即①，②，再根据，可得，代入②可得：③，①③可得：，即可得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：一副三角板的顶点重合在一起， ． ，， ①，②， ， ， ③， ①③，得， ， ． 故答案为：． 7．是边长为的等边三角形，是绕C点逆时针旋转后得到的（如图）．那么，这个三角形旋转了 度．点位于C点西偏北 度的方向，距离C点． 【答案】 【分析】本题考查方向角． 根据方向角和等边三角形的知识，结合角之间的关系计算即可． 【详解】解：， ∴这个三角形旋转了， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴点位于C点西偏北的方向． 故答案为：，． 8．如图，点O为量角器中心，射线与射线经过的刻度分别为和，从点O引一条射线，使，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算，分情况讨论的方法是解答本题的关键．先求得，，再分射线在内部和射线在内部两种情况讨论，利用角的和与差求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当射线在内部时，； 当射线在内部时，； 故答案为：或． 9．已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，关键是分两种情况讨论进行求值．先根据题意求出，，，再分两种情况进行分析，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 当射线在的内部时，如图： 此时， 当射线在的外部时，如图： 此时． 故答案为：或． 10．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若比多，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义的运用，能理解角平分线定义和角与角之间的关系是解此题的关键． （1）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出的度数，再求的度数； （2）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出的度数，再根据比多求的度数． 【详解】（1）解：如图，因为平分， 所以， 又因为平分． 所以． 所以， 因为， 所以． （2）解：由（1）可知，． 因为比多， 所以，① 因为，② 由① +②得：， 所以． 12．如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，互余，角的和差关系． （1）根据平角定义求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可； （2）根据互余的两个角和为90度求出，根据角平分线的定义求出的度数，根据角的和差关系求出即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 13．如图，已知是内部的一条射线，且． (1)求的度数； (2)①尺规作图：在内部，过点作射线，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，求的度数． 【答案】(1) (2)①作图见解析；② 【分析】本题考查几何图形角度的计算，尺规作一个角等于已知角， （1）设，根据题意可得，解方程，即可求解； （2）①根据题意，作，即可求解； ②由（1）得因为，可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：设 因为所以 解得：所以． （2）①如图所示 ②由（1）得因为所以 所以． 14．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 16．如图1，点为直线上一点；在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点旋转至一边在的内部时，度数为 　 　°； (4)在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2) (3)30 (4)与的数量关系有三种或或 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）由，，可得，，然后作差即可； （4）分三种情况：当在内部，在下方时，当都在内部时，当在内部，在内部时，分别结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：， ， 又平分， ， ， ； （3）解：，理由如下： ，， 、， ， 即； 故答案为：； （4）当在内部，在下方时，如图， ， 即， ； 当都在内部时，如图： ，即， ； 当在内部，在内部时，如图所示： ∴， ． 综上：或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $