专题02 整式的加减重难点题型专训（2个知识点+12大题型+自我检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 整式的加减重难点题型专训（2个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、同类项的判断 1 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 2 题型三、合并同类项 3 题型四、去括号 4 题型五、添括号 5 题型六、整式的加减运算 6 题型七、整式的加减中的化简求值 7 题型八、整式加减中的无关型问题 8 题型九、整式加减的应用 9 题型十、带有字母的绝对值化简问题 10 题型十一、数字类规律探索 11 题型十二、图形类规律探索 12 第二部分·练提高题型 题型一、合并同类项中的求值计算 1 题型二、整式加减的破损、遮盖问题 2 题型三、杨辉三角问题 3 题型四、整式加减的新定义计算 4 第三部分・自我检测 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）计算的结果正确的是（   ） A．4 B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）的结果为________． 知识点02 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）一个多项式减去等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：_______． 【基础题型一 同类项的判断】 【例1】（26-27七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 1．（25-26七年级上·河南焦作·期末）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海奉贤·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么可以是___________．（只需写出一个即可） 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来． 【基础题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例1】（25-26七年级上·河北·期末）若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）若与是同类项，则______． 1．（25-26七年级上·河北衡水·期末）已知与是同类项，则（    ） A．1 B．2 C．-2 D．4 2．（25-26七年级下·河南郑州·阶段练习）若单项式与的和是单项式，则_______． 3．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【基础题型三 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·天津北辰·二模）计算的结果为________． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：______． 3．（26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 【基础题型四 去括号】 【例1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26七年级上·广东阳江·期末）化简的结果为_______． 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在实数范围内,下列式子一定不可能相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型五 添括号】 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）若代数式的值为，则的值是______． 1．（25-26七年级下·重庆·阶段练习）对代数式任意添加两个不嵌套的括号括号内至少有两个字母并改变括号内的运算符号，然后进行去括号运算，称此为“括号相反操作”．例如：，…，下列说法： ①存在“括号相反操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有2种不同的“括号相反操作”； ③所有的“括号相反操作”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为______． 3．（25-26七年级上·河北张家口·期中）下面是一道关于整式运算的例题及解答过程，其中M，N是两个关于x的二项式． 先去括号，再合并同类项：． 解：原式 请确定，，． 【基础题型六 整式的加减运算】 【例1】（2026·甘肃平凉·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）a，b在数轴上的位置如图所示，化简_____． 1．（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）“○”中的相邻两数相乘，得到“□”中的数，再把两个“□”中的数进行相加得到“结果”，当中间“○”中的数每增加2，且其余“○”内的数保持不变时，“结果”都会（     ） A．减少14 B．增加14 C．减少7 D．增加7 2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）有一道题目是一个多项式减，小马虎误当成了这个多项式加，结果得到，那么这个多项式是______． 3．（25-26七年级下·广西柳州·阶段练习）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了其中一个多项式，形式如下．试问：老师用手捂住的多项式是什么？ 【基础题型七 整式的加减中的化简求值】 【例1】（25-26七年级上·河南开封·期末）已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·山东威海·期末）已知，，则的值为______． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）当，时，代数式的值为____． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 【基础题型八 整式加减中的无关型问题】 【例1】（25-26七年级上·山东济南·期末）若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）多项式的值与x，y的取值无关，则的值为________． 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值是___________． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【基础题型九 整式加减的应用】 【例1】（2026·山西·模拟预测）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 【例2】（25-26七年级上·四川南充·期末）小明在计算一个多项式减去时，误将“减去”抄成了“加上”，结果得到，则正确的结果是____________． 1．（25-26六年级下·全国·单元复习）把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·山东济南·期末）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时， 的值始终保持不变，已知，则_____________________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 【基础题型十 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（26-27七年级上·全国·期中）若，则a的值是（     ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【例2】（25-26七年级上·重庆奉节·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简______． 1．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如：，，则所有的“绝对操作”的运算结果的和为______． 3．（25-26七年级上·四川南充·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【基础题型十一 数字类规律探索】 【例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第2027次输出的结果是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个正整数中，任取两个不同的数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；…．若，则的值为________；若，则的值为________． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，填在各正方形中的四个数中间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是________． 3．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式 ： (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式： (3)请利用上述规律计算：． 【基础题型十二 图形类规律探索】 【例1】 （26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，按此规律排列下去，则第（）个图案中圆圈的个数是______． 1．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，正五边形，有一颗跳棋放在图中的A号位置上，现按顺时针方向，第一次跳三步到D号位置上，第二次跳三步跳到B号位置上，每次跳三步，一直进行下去．第56次跳到（     ）号位置上． A．A B．B C．C D．D 2．（26-27七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，用小棒摆图案，第1个图用9根小棒，第2个图用13根小棒，第3个图用17根小棒，……，按这样的规律继续摆下去，第n个图用( )根小棒．（用含n的式子表示） 3．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 【提高题型一 合并同类项中的求值计算】 【例1】（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 【例2】（26-27七年级上·天津·期中）合并同类项： (1) (2) 1．（2026七年级上·全国·专题练习）先合并同类项，再求式子的值： ，其中． 2．（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知多项式，． (1)求； (2)请结合生活实际设计具体情境，解释代数式的意义． 3．（25-26七年级上·河南三门峡·期末）下面是晓彬同学进行整式加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……………………第一步 …………………．．．第二步 …………………………………………第三步 (1)任务一： ①以上步骤中从第____步开始出现错误，错误的原因是__________； ②请你进行正确化简，并求出当，时式子的值． (2)任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的加减还需要注意的事项给其他同学提出一条建议． 【提高题型二 整式加减的破损、遮盖问题】 【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）以下是嘉淇的计算过程：，已知她的计算结果是正确的，但“”处被墨水弄脏看不清了，“”处应是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·山东威海·期末）小明在做整式运算：时不小心把墨水打翻，整式的一部分被墨水遮住，被墨水遮住部分的整式应是__________． 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和2之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：． 2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）某教辅书中一道整式运算题的参考答案，部分答案在破损处看不见了（○代表破损处），如图： 解：原式 (1)求破损部分的整式； (2)若，，求破损部分整式的值． 3．（25-26七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答下列问题． (1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式； (2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？ 【提高题型三 杨辉三角问题】 【例1】（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·山东济宁·期中）“杨辉三角”是杨辉留给后世宝贵的数学遗产．如图，在“杨辉三角”中，两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．如，．在“杨辉三角”中，若从第三行的“2”开始，按图示箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则在该列数中，第24个数为__________．    1．（25-26七年级上·全国·期末）南宋数学家杨辉在研究展开式系数时，采用了一种特殊到一般的方法，他将，，，，……，展开后的各项系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角．已知，，． (1)按杨辉三角写出的展开式： ． (2)按杨辉三角写出第n行第3个数y与n之间的关系式： ． (3)按杨辉三角，计算：． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作．“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ (1)横着观察，李涵发现了这样的规律． 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排：（ ）＝（ ）＝（ ）． …… 第n排，所有数的和是（ ）个2相乘的积． (2)张明也在积极探索规律，他有了新的发现． 第三排： 第四排： 第五排： 照这样的规律，张明认为第六排的算式的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”．这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法． 3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）我国南末时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． 第一行：     1 第二行：    1    1 第三行：   1    2      1 第四行：  1    3      3     1 第五行： 1    4     6      4   1 第六行：1    5    10     10    5   1 （1）第8行的第4个数为 　 　； （2）观察从第二行起每一行的第2个数的特点写出第n行的第2个数为 　 　（用含有n的式子表示）； （3）观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为 　 　（用含有n的式子表示）． 【提高题型四 整式加减的新定义计算】 【例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义一种新运算符号“”，满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【例2】（2026·广东深圳·模拟预测）定义：任意两个数a、b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若，，并比较b，c的大小，b______c． 1．（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）定义一种新运算，规律如下： (1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示） (2)化简：； (3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ） A．    B．    C．     D． 3．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）类似于运算符号“，，，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算： ；；； ； (1)归纳：用代数式表示的结果为：______． (2)若，请计算的值． 1．（25-26七年级下·甘肃武威·阶段练习）下列各组中的两项，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级上·云南昆明·期末）若代数式的值与的值无关，则的值为（   ） A．5 B．3 C．0 D． 3．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图是某房屋的平面示意图，房屋中有6个正方形房间，若想求出6号正方形房间的边长，只需知道（    ）号正方形房间的边长． A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x，y的整式A，B，用B减去A，得到第1个整式，记作，即；再用减去B，得到第2个整式，记作，即；再用减去，得到第3个整式，记作；……以此类推．现有以下结论：①，（n为正整数）；②若，且是关于x，y的四次三项式，则；③若，则，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）某科技小组找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，在镜片后放置光屏正对镜片，不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑之间的距离 1 按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为，那么估计这副老花镜的度数可能是（     ） A．110度 B．140度 C．160度 D．180度 6．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：______． 7．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若单项式与的和为0，则______． 8．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在如图所示，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，已知，那么_______． 9．（2026·云南昆明·模拟预测）对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”，仿此，的“分裂”中最大的数是______． 10．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 _______ ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ___________ ． 11．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若与是同类项，试求的值． 12．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）化简 (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以下是圆圆化简代数式的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 14．（25-26七年级下·北京房山·期中）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）在数学活动课上，王老师带领学生用等长的火柴棒搭图形．小亮所在的小组按下图中的方式搭图形． 按图示规律填空： 图形标号 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 火柴棒的根数 5 9 13 请根据以上信息，解决下列问题： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，搭第2026个图形需要的火柴棒根数为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的加减重难点题型专训（2个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、同类项的判断 1 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 2 题型三、合并同类项 3 题型四、去括号 4 题型五、添括号 5 题型六、整式的加减运算 6 题型七、整式的加减中的化简求值 7 题型八、整式加减中的无关型问题 8 题型九、整式加减的应用 9 题型十、带有字母的绝对值化简问题 10 题型十一、数字类规律探索 11 题型十二、图形类规律探索 12 第二部分·练提高题型 题型一、合并同类项中的求值计算 1 题型二、整式加减的破损、遮盖问题 2 题型三、杨辉三角问题 3 题型四、整式加减的新定义计算 4 第三部分・自我检测 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）计算的结果正确的是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项的合并，需运用同类项合并法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）的结果为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义及合并同类项的法则是解题的关键． 识别式子中的同类项，通过合并同类项的系数计算结果． 【详解】解： 故答案为：． 知识点02 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）一个多项式减去等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式减法运算，熟练掌握整式减法运算法则是解题的关键． 根据被减多项式等于差加上减多项式，直接计算合并同类项即可． 【详解】解：设这个多项式为，根据题意得， 则， 因此这个多项式是， 故选：A． 2．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：_______． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减运算，需运用分配律去括号，再合并同类项，然后问题可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案为． 【基础题型一 同类项的判断】 【例1】（26-27七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列选项中是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； B、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母均为，且的指数均为1，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，二者不是同类项，故此选项不符合题意． 【例2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了同类项的概念，同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，与是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26七年级上·河南焦作·期末）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义；根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，即可求解． 【详解】解：A、B、D项相同字母指数不相同，故A、B、D不符合题意； 与是同类项的是， 故选：C． 2．（2026·上海奉贤·二模）如果单项式与单项式是同类项，那么可以是___________．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义求解，只需写出满足所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，单项式需满足：所含字母为和，的次数为，的次数为，系数不为， 取系数为，可得符合条件的单项式． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来． 【答案】 【分析】同类项的定义为所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项．根据同类项的定义，逐个对比两个圈中的项，找出同类项配对即可． 【详解】解：与，与，与，与，与是同类项． 【基础题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例1】（25-26七年级上·河北·期末）若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．据此求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，． 【例2】（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）若与是同类项，则______． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：根据同类项的定义可知，两个单项式中相同字母的指数相等，可得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 1．（25-26七年级上·河北衡水·期末）已知与是同类项，则（    ） A．1 B．2 C．-2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项中相同字母的指数相等求出m的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵与是同类项 ∴相同字母的指数相等，即 ∴ ∴ 故选：D． 2．（25-26七年级下·河南郑州·阶段练习）若单项式与的和是单项式，则_______． 【答案】18 【分析】根据合并同类项法则得出且，求出m、n的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴且， 解得：，， ∴． 3．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)21 【详解】（1）解与是同类项， 且 且； （2）解：原式， 将，代入得， 原式． 【基础题型三 合并同类项】 【例1】（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项计算并判断即可． 【详解】解：A选项，，运算错误.； B选项，与不是同类项，无法合并，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 【例2】（2026·天津北辰·二模）计算的结果为________． 【答案】 【详解】解：． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下面运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意； C、，计算错误，故C错误，不符合题意； D、，符合合并同类项法则，计算正确，故D正确，符合题意． 2．（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项的运算，先判断两项为同类项，再根据合并同类项法则，将同类项的系数相加减，字母及其指数保持不变即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据合并同类项法则：同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变， ∴， 故答案为：． 3．（26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 【答案】 【分析】将变为，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【基础题型四 去括号】 【例1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（   ） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据去括号法则逐项判断变形是否正确，统计错误个数即可，用到的去括号法则为，括号前为负号时，去括号后括号内每一项都要变号，括号前有系数时，系数需乘括号内的每一项． 【详解】解：① ∵，与等式右边不相等，∴ ①变形错误； ② ∵，与等式右边不相等，∴ ②变形错误； ③ ∵，与等式右边不相等，∴ ③变形错误； ④ ∵，与等式右边相等，∴ ④变形正确； 综上，错误的变形共有3个． 【例2】（25-26七年级上·广东阳江·期末）化简的结果为_______． 【答案】 【分析】根据去括号的法则和绝对值的化简求解即可． 【详解】解：=3-π-（π-3）=3-π-π+3=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了去括号和绝对值的化简，解题的关键是掌握去括号的法则和绝对值的化简运算． 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）在实数范围内,下列式子一定不可能相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，根据整式的加减运算法则逐项判断即可．熟练掌握整式的加减及乘法分配律是解题的关键． 【详解】解：A、，∴与一定相等； B、∵，∴与一定相等； C、， 当时，即， ∴存在相等的可能； D、，而不可能等于， ∴与一定不可能相等． 故选：D． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【基础题型五 添括号】 【例1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 【例2】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）若代数式的值为，则的值是______． 【答案】9 【分析】本题考查了代数式求值，将原式化成，再整体代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以 ， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·重庆·阶段练习）对代数式任意添加两个不嵌套的括号括号内至少有两个字母并改变括号内的运算符号，然后进行去括号运算，称此为“括号相反操作”．例如：，…，下列说法： ①存在“括号相反操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有2种不同的“括号相反操作”； ③所有的“括号相反操作”共有5种不同运算结果．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先根据题意列出所有符合要求的“括号相反操作”，计算每个操作的结果，再逐一判断三个说法的正误． 【详解】解：∵ 总共有5个字母，每个括号至少2个字母， ∴所有符合要求的括号组合共5种，分别计算结果如下： ， ， ， ， ， ①第1种操作和第3种操作的结果相同，故说法①正确，符合题意； ②第1种操作和第3种操作的结果都是，故说法②正确，符合题意； ③所有的“括号相反操作”共有4种不同运算结果，故说法③错误，不符合题意； 综上所述，正确的个数有2个． 2．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为______． 【答案】3.5 【分析】代数式可变形为，将整体代入后计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3.5． 【点睛】本题考查代数式求值和添括号．掌握整体法代入并能对代数式正确变形是解题关键． 3．（25-26七年级上·河北张家口·期中）下面是一道关于整式运算的例题及解答过程，其中M，N是两个关于x的二项式． 先去括号，再合并同类项：． 解：原式 请确定，，． 【答案】M：；N：；P： 【分析】本题考查合并同类项，添括号，掌握相关知识是解决问题的关键．根据添括号法则，合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 故：；：；：． 【基础题型六 整式的加减运算】 【例1】（2026·甘肃平凉·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）a，b在数轴上的位置如图所示，化简_____． 【答案】 【分析】根据数轴可得，，得出，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ 1．（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）“○”中的相邻两数相乘，得到“□”中的数，再把两个“□”中的数进行相加得到“结果”，当中间“○”中的数每增加2，且其余“○”内的数保持不变时，“结果”都会（     ） A．减少14 B．增加14 C．减少7 D．增加7 【答案】A 【分析】设中间“○”中的数为x，则左边正方形中的数为，右边正方形中的数为，计算两个数相加的结果，再计算当中间“○”中的数每增加2，此时两个数相加的结果，作差解答即可． 【详解】解：设中间“○”中的数为x，则左边“□”中的数为，右边“□”中的数为，两个数相加的结果是， 当中间“○”中的数每增加2，此时两个数相加的结果是， 根据题意，得， 所以结果减少了14． 2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）有一道题目是一个多项式减，小马虎误当成了这个多项式加，结果得到，那么这个多项式是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算是解题的关键． 令原多项式为，先按错误的说法，列出关于的等式，运用去括号，合并同类项即可得到正确的结果． 【详解】解：令原多项式为， 由题意得， 解得 ， 因此， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·广西柳州·阶段练习）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了其中一个多项式，形式如下．试问：老师用手捂住的多项式是什么？ 【答案】 【详解】解：老师用手捂住的多项式是． 【基础题型七 整式的加减中的化简求值】 【例1】（25-26七年级上·河南开封·期末）已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，涉及到合并同类项知识点，注意运算过程中符号的变化．代数式的值与某字母无关，则该字母项的系数之和为0． 根据代数式的值与无关，可得项和项的系数均为0，从而求出和的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：， ∵此代数式的值与字母无关， ∴，； 解得，； ， 当，时，原式， 故选B． 【例2】（25-26六年级上·山东威海·期末）已知，，则的值为______． 【答案】8 【分析】把所求的代数式去括号，合并同类项化简为最简形式，再把给出的代数式代入求值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，先把变形为，再把所求的整式化简然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 原式 ， 故选：． 2．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）当，时，代数式的值为____． 【答案】 【分析】此题考查了整式加减的化简求值，先去括号并合并同类项后，把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 故答案为： 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式； 当时，原式. 【基础题型八 整式加减中的无关型问题】 【例1】（25-26七年级上·山东济南·期末）若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减混合运算，根据多项式与的差与x的取值无关，即整理后含的项，系数为零，据此建立等式求出与的值，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 多项式与的差与x的取值无关， 且， 解得，， ， 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）多项式的值与x，y的取值无关，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值，根据多项式的值与字母取值无关的条件，令含字母项的系数为零，求解参数即可． 【详解】解∶∵多项式的值与x，y的取值无关， ∴和， 解得，， ∴， ∴， 故答案为∶1． 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值是___________． 【答案】 0 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟知整式的加减实质上就是合并同类项．先去括号，再合并同类项，根据代数式的值与x无关，则含x项的系数为零，由此求出a和b的值，再化简所求代数式，a和b的值代入计算． 【详解】解：原式化简为， 由题意得和， 解得，． 则． 故答案为：0． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 【基础题型九 整式加减的应用】 【例1】（2026·山西·模拟预测）用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 【答案】D 【分析】先根据数位表示法写出原两位数，再根据题意写出新数，计算两者的差，整理后可得差是7的倍数，再判断选项中符合的结果即可． 【详解】解：∵原两位数的十位数字为，个位数字为， ∴原两位数可表示为 ，其中，，，均为整数， 由题意得新数为 ， 则新数与原数的差为： ∵，是整数， ∴差一定是的整数倍， 观察选项，只有是的倍数，因此答案选D． 【例2】（25-26七年级上·四川南充·期末）小明在计算一个多项式减去时，误将“减去”抄成了“加上”，结果得到，则正确的结果是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则以及利用错误结果反推原多项式的方法是解题的关键．设原多项式为 ，错误操作是 ，先求出 ，再计算正确结果 【详解】解：设原多项式为， 由错误操作得 ， 正确结果为 ， 故答案为 1．（25-26六年级下·全国·单元复习）把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，根据长方形的周长公式分别列出表示两个阴影周长的代数式，再利用整式加减的运算法则进行计算即可．先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴， 即图②中两块阴影部分的周长和是， 故选：B． 2．（25-26六年级上·山东济南·期末）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时， 的值始终保持不变，已知，则_____________________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减中的无关型问题，理解题意是解题关键． 设，分别表示出、，进而得到，再根据的长发生变化时，的值始终保持不变，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设， 则，， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ， ∵， ， 解得：． 故答案为：8． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 【答案】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，则组成的两位数为． 【分析】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，根据两位数的组成规则列代数式，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】略 【基础题型十 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（26-27七年级上·全国·期中）若，则a的值是（     ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴当，则a的值是任意一个非正数． 【例2】（25-26七年级上·重庆奉节·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简______． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，先推出，据此去绝对值，然后根据整式的加减计算法则化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质、整式的加减、去括号法则及合并同类项，熟练去绝对值化简是解题的关键．先确定的符号，再确定的符号，再化简绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵由数轴得：， ，，， ∴原式 = =． 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如：，，则所有的“绝对操作”的运算结果的和为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，绝对值的性质，根据定义可知有七种情况，分别把每一种情况的结果求出来，再把它们相加即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：有以下七种情况： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ∴所有运算结果的和为， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·四川南充·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查了绝对值的化简求值，解题的关键是掌握绝对值的化简法则． （1）根据绝对值的化简法则进行计算即可； （2）根据绝对值的化简法则进行计算即可； （3）分四种情况进行讨论，然后根据绝对值的化简法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值为2或0或． 【基础题型十一 数字类规律探索】 【例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第2027次输出的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入运算，分析每一步的运算结果找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：第一次输入，则， 第二次输入，则， 第三次输入，则， 第四次输入，， 第五次输入，则， 第六次输入，， ∴在接下来的输入中，奇数次输出的结果为，偶数次的输出结果为， ∵2027为奇数， ∴第2027次输出的结果为． 【例2】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个正整数中，任取两个不同的数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；…．若，则的值为________；若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意列举得到偶数对应取法种数的规律，代入计算即可． 【详解】解：根据题意，任取两个不同的数，不妨设， ∵任取两数之和大于 ∴， ∵所求的和均为偶数， ∴只需探究为偶数时的规律， 当时，； 当时，， 当时，有，，，，，，，和，种取法， ∴当时，， …… ∴当为偶数时，， ∴当时，． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 2．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，填在各正方形中的四个数中间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是________． 【答案】2 【分析】由前三个正方形可看出规律为，从左上到左下再到左上为三个连续奇数，且右上角的数乘以左下角的数减去左上角的数等于右下角的数． 【详解】解：由规律补齐空缺为， 即左下为，右上为， ． 3．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式 ： (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式： (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出第四个等式； （2）根据题目中式子的特点可以写出第n个等式； （3）根据发现的规律，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：第四个等式：； （2）解：第n个等式：（为正整数）； （3）解： ． 【基础题型十二 图形类规律探索】 【例1】 （26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找到方向的变化规律，根据变化规律进行解答即可． 【详解】解：由图形可知：0、4、8、12、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 1、5、9、13、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 2、6、10、14、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 3、7、11、15、…每个点到对应的下一个点的方向相同． ，到的方向与1到2的方向相同，到的方向与2到3的方向相同．由图形可知1到2的方向向右，2到3的方向向下，则到的方向向右，到的方向向下． 【例2】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，第（）个图案中有个圆圈，按此规律排列下去，则第（）个图案中圆圈的个数是______． 【答案】 【分析】观察图形中圆圈数量的变化，发现相邻两个图案圆圈数量之差为定值，据此归纳出第个图案圆圈个数的表达式即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； 第（）个图案中有个圆圈，； ∴第个图案中圆圈的个数为， 当时，圆圈的个数为， ∴第（）个图案中圆圈的个数是． 1．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，正五边形，有一颗跳棋放在图中的A号位置上，现按顺时针方向，第一次跳三步到D号位置上，第二次跳三步跳到B号位置上，每次跳三步，一直进行下去．第56次跳到（     ）号位置上． A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】根据题意，依次求出每次跳动后跳棋所在位置，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给跳动方式可知， 第1次跳到D号位置上，第2次跳到B号位置上，第3次跳到E号位置上，第4次跳到C号位置上，第5次跳到A号位置上，…， 由此可知，从第1次跳动开始，每跳动5次，跳棋所在位置按D，B，E，C，A循环． 因为， 所以第56次跳到D号位置上． 2．（26-27七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，用小棒摆图案，第1个图用9根小棒，第2个图用13根小棒，第3个图用17根小棒，……，按这样的规律继续摆下去，第n个图用( )根小棒．（用含n的式子表示） 【答案】 / 【分析】首先，认真观察图形，对照相邻两个图形之间的差异，然后，找出变化的部分及不变的部分与对应第几个图形之间的关系，最后，归纳总结出规律即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图形所用小棒的根数为：； 第2个图形所用小棒的根数为：； 第3个图形所用小棒的根数为：， 根据此规律可得第n个图形中需要小棒根． 3．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 【答案】(1)； (2)99；101 【分析】（1）观察所给图形及算式可得； （2）利用发现的规律即可求解． 【详解】（1）解：由所给图形及算式可得， 因此，； （2）解：由（1）中发现规律可得： 即． 【提高题型一 合并同类项中的求值计算】 【例1】（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；10 【分析】先去括号，再合并同类项，得到最简表达式后代入数值计算． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 【例2】（26-27七年级上·天津·期中）合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： =； （2）解： = =． 1．（2026七年级上·全国·专题练习）先合并同类项，再求式子的值： ，其中． 【答案】； 【分析】根据合并同类项的法则进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，则原式 ． 2．（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知多项式，． (1)求； (2)请结合生活实际设计具体情境，解释代数式的意义． 【答案】(1) (2) 超市中，一千克的苹果标价为元，一千克桃子的标价为6元，那么购买4千克苹果和1千克桃子的总花费为元（答案不唯一）． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项； （2）根据代数式的意义，解答即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）略 3．（25-26七年级上·河南三门峡·期末）下面是晓彬同学进行整式加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……………………第一步 …………………．．．第二步 …………………………………………第三步 (1)任务一： ①以上步骤中从第____步开始出现错误，错误的原因是__________； ②请你进行正确化简，并求出当，时式子的值． (2)任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的加减还需要注意的事项给其他同学提出一条建议． 【答案】(1)①一，去括号时符号错误；②， (2)合并同类项时，只把系数相加，注意字母和字母的指数不要变 【分析】本题考查了整式的加减运算，合并同类项，去括号，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）①根据晓彬同学的求解过程，找出错误的步骤，并给出错因； ②先去括号，再合并同类项，然后代入求值； （2）根据学习经验解答． 【详解】（1）①解：以上步骤中从第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一，去括号时符号错误； ②解： ． 当，时， 原式 ； （2）解：建议：合并同类项时，只把系数相加，注意字母和字母的指数不要变．（答案不唯一） 【提高题型二 整式加减的破损、遮盖问题】 【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）以下是嘉淇的计算过程：，已知她的计算结果是正确的，但“”处被墨水弄脏看不清了，“”处应是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意进行整式的加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 答案：B． 【例2】（24-25六年级上·山东威海·期末）小明在做整式运算：时不小心把墨水打翻，整式的一部分被墨水遮住，被墨水遮住部分的整式应是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是熟练运用去括号法则进行整式的加减运算．用等式右边的整式减去等式左边的整式计算即可得解． 【详解】解：依题意： ， ∴被墨水遮住部分的整式应是， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和2之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减法运算法则，并能准确计算是解题的关键．和2之间的整数有，0，1，则可求、的值，再化简代数后将、代入即可． 【详解】解：是和2之间的最大整数， ， 是和2之间的最小整数， ， ． 2．（25-26七年级上·吉林松原·期中）某教辅书中一道整式运算题的参考答案，部分答案在破损处看不见了（○代表破损处），如图： 解：原式 (1)求破损部分的整式； (2)若，，求破损部分整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）设破损部分的整式为，由原式确定出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）将与的值，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：设破损部分的整式为，根据题意得： ； （2）解：当，，破损部分整式的值为： ． 3．（25-26七年级上·江西宜春·期末）已知一道整式化简题：■，其中“■”处的系数被墨水污染了．请根据如图所示的对话解答下列问题． (1)请你根据冰墩墩猜的数字化简该式； (2)请你根据雪容融的对话，求出■所表示的数字是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将10代入“■”化简即可； （2）先去括号合并同类项，然后令不含项的系数等于0求解即可． 【详解】（1）根据题意，原式＝ ＝ ＝ ＝ （2）设■所表示的数字是a，则 原式＝ ＝ ＝ 因为化简结果为常数，所以， 所以■所表示的数字是 【点睛】本题考查了整式的加减－－－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 【提高题型三 杨辉三角问题】 【例1】（2026·贵州遵义·二模）杨辉三角是中国古代数学的杰出成果，比欧洲发现此规律早300多年，彰显了中国古代数学的辉煌成就．如图是杨辉三角的前几行．观察数字规律，第9行从左数第3个数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意补全杨辉三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示： 第9行左起第3个数是28. 【例2】（25-26六年级下·山东济宁·期中）“杨辉三角”是杨辉留给后世宝贵的数学遗产．如图，在“杨辉三角”中，两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．如，．在“杨辉三角”中，若从第三行的“2”开始，按图示箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则在该列数中，第24个数为__________．    【答案】 【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得出第24个数在从开始的第行的第个数，观察可得由从开始的第行的数依次为，，，，，，，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 第24个数在从开始的第行的第个数， 观察可得：由从开始的第行的数依次为：，，，，， 由从开始的第行的数依次为：，，，，，， 由从开始的第行的数依次为，，，，，，， 第24个数为， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·期末）南宋数学家杨辉在研究展开式系数时，采用了一种特殊到一般的方法，他将，，，，……，展开后的各项系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角．已知，，． (1)按杨辉三角写出的展开式： ． (2)按杨辉三角写出第n行第3个数y与n之间的关系式： ． (3)按杨辉三角，计算：． 【答案】(1) (2) (3)243 【分析】本题考查了杨辉三角的应用能力，关键是能准确理解并拓展运用杨辉三角的定义和完全平方公式进行计算求解． （1）运用杨辉三角求解此题； （2）通过观察该列数字进行归纳、求解； （3）由题意得该算式是对的求解． 【详解】（1）解：根据杨辉三角的规律可求得， 的各项系数各为：1，4，6，4，1， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，第4行第3个数； 第5行第3个数； 第6行第3个数； … 第n行第3个数， 故答案为：； （3）解：． ． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）杨辉是我国南宋末年著名的数学家，他在计算方面很有研究，“杨辉三角”为其代表作．“杨辉三角”有很多有趣的，规律我们一起来探索吧！ (1)横着观察，李涵发现了这样的规律． 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排：（ ）＝（ ）＝（ ）． …… 第n排，所有数的和是（ ）个2相乘的积． (2)张明也在积极探索规律，他有了新的发现． 第三排： 第四排： 第五排： 照这样的规律，张明认为第六排的算式的积应是八位数“15101051”，但实际计算结果却是六位数“161051”．这里有什么奥秘呢？请结合“杨辉三角”、十进制计数法、估算等，写出你的想法． 【答案】(1)；16；； (2)由于十进制计数法的进位以及估算可知，第六排的积是六位数161051而不是八位数15101051 【分析】本题考查数字规律探究，解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 （1）观察前几排数字和： 第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排数字为1、4、6、4、1，它们的和为． 通过观察可以发现，第n排所有数的和是个2相乘的积．因为从第二排开始，数字和依次是，，，⋯，指数比排数少1．可以发现规律：第n排所有数的和是个2相乘的积． （2）从第三排到第五排，我们看到杨辉三角中的数与11的连乘有这样的对应关系： 第三排： ； 第四排： ； 第五排： ． 按照前面的规律，第六排对应的式子是 ，从杨辉三角看第六排数字是1、5、10、10、5、1 ． 估算方面：11接近10 ， ，是六位数 ，所以的结果应该是六位数． 十进制计数法方面：在杨辉三角中，这些数字相加时，因为满十要进一 ．像第六排的10，在计算时会产生进位．比如个位相加满十向十位进一，十位相加满十向百位进一等等 ，所以实际结果不是简单按照数字排列得到八位数15101051 ，而是六位数161051 ． 【详解】（1）解：第二排： 第三排：． 第四排：． 第五排数字为1、4、6、4、1，它们的和为． 通过观察可以发现，第n排所有数的和是个2相乘的积． （2）解：第六排杨辉三角中的数字包含10和15等超过9的数，十进制中需向高位进位，导致位数合并。例如：1，5，10，10，5，1中，10变为0并向前进1，最终形成161051（六位数）。 因此，实际结果与预期不符是由于进位导致位数减少。 所以第六排的积是六位数161051而不是八位数15101051． 3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）我国南末时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和． 第一行：     1 第二行：    1    1 第三行：   1    2      1 第四行：  1    3      3     1 第五行： 1    4     6      4   1 第六行：1    5    10     10    5   1 （1）第8行的第4个数为 　 　； （2）观察从第二行起每一行的第2个数的特点写出第n行的第2个数为 　 　（用含有n的式子表示）； （3）观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为 　 　（用含有n的式子表示）． 【答案】（1）35；（2）n-1；（3）2n﹣1 【分析】（1）根据题意把第八行的写出，即可求出第8行的第4个数； （2）根据前几行数的规律，后一个数是前一个数加1，即可求得第n行的第2个数； （3）根据前几行数的和的规律，后一个数是前一个数的2倍，即可求得第n行数的和； 【详解】解：（1）由题意得： 第一行：       1 第二行：      1    1 第三行：     1    2      1 第四行：    1    3      3     1 第五行：   1    4     6      4   1 第六行：  1    5    10     10    5   1 第七行： 1    6    15    20    15    6   1 第八行：1    7   21    35   35  21  7    1 所以第8行的第4个数为：35； 故答案为：35． （2）∵第二行数的第2个数为1，第三行数的第2个数为2，第四行数的第2个数为3， 第五行数的第2个数为4，第六行数的第2个数为5，… ∴第n行数的第2个数为n-1． 故答案为：n-1． （3）∵第一行数的和为1＝20，第二行数的和为2＝21，第三行数的和为4＝22， 第四行数的和为8＝23，第五行数的和为16＝24，… ∴第n行数的和为2n﹣1． 故答案为2n﹣1． 【点睛】本题考查了数字的几种变化规律，解题关键是通过规律列出代数式． 【提高题型四 整式加减的新定义计算】 【例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义一种新运算符号“”，满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】按照新运算符号“”的定义进行运算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算、绝对值化简等知识，理解新定义的运算方式并掌握相关计算是解题关键． 【例2】（2026·广东深圳·模拟预测）定义：任意两个数a、b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若，，并比较b，c的大小，b______c． 【答案】 【分析】根据定义用x表示出c，再利用减法比较b、c的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式加减法的应用，解题关键是根据定义求出c，掌握利用减法比较两个数大小． 1．（25-26七年级上·福建漳州·期末）定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 【答案】(1)； (2)的值为常数，与的取值无关． 【分析】本题考查新定义运算的应用以及整式的加减运算． （1）直接根据新运算的定义，将对应数值代入公式计算即可； （2）先利用新运算定义将两个等式展开，得到关于、、的方程，再通过消元法消去，推导出为固定常数，从而说明其与无关． 【详解】（1）解：； （2）解：， ①； ， ②； 将①②得：， 整理化简得：； 的值为常数，与的取值无关． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）定义一种新运算，规律如下： (1)直接写出：______；（用含a、b的代数式表示） (2)化简：； (3)若定义的新运算满足交换律，则a、b的数量关系是（ ） A．    B．    C．     D． 【答案】(1) (2) (3)B 【分析】本题以新运算为载体，主要考查了对运算法则的探求和整式的加减运算． （1）根据题意可得新运算法则为； （2）先计算，再计算，据此计算即可； （3）根据题意，根据新运算法则和整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，且定义的新运算满足交换律， ∴， 整理得， ∴． 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）类似于运算符号“，，，”，新定义一种运算符号“”，观察下列运算： ；；； ； (1)归纳：用代数式表示的结果为：______． (2)若，请计算的值． 【答案】(1) (2)36 【分析】本题考查新定义运算，整式的加减运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察所给式子，找出规律即可求解； （2）根据得出，再利用新定义计算，最后将作为整体代入求值． 【详解】（1）解：由题意知， 故答案为：； （2）解：， ， ， ． 1．（25-26七年级下·甘肃武威·阶段练习）下列各组中的两项，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】含有相同的字母并且相同的字母的指数也相同的项即为同类项，据此即可作答． 【详解】解：A、相同字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意； B、所含的字母不同，不是同类项，故该选项不符合题意； C、相同字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意； D、与属于同类项，故该选项符合题意． 2．（25-26七年级上·云南昆明·期末）若代数式的值与的值无关，则的值为（   ） A．5 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式不含某项的问题，涉及合并同类项，代数式求值等知识，先合并同类项再令项的系数为零，解方程即可得到答案，根据题意列出关于的方程组求解是解决问题的关键． 【详解】解： ∵ 代数式的值与无关， ， 解得， 故选：B． 3．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图是某房屋的平面示意图，房屋中有6个正方形房间，若想求出6号正方形房间的边长，只需知道（    ）号正方形房间的边长． A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形边长的数量关系，熟练掌握通过图形中边长的和差关系推导未知边长是解题的关键．通过设各正方形边长为未知数，利用图形中边长的和差关系建立等式，推导 6 号正方形边长的表达式，从而确定所需已知边长的正方形． 【详解】解：设1号正方形边长为，2号边长为，3号正方形边长为，4号边长为，5号正方形边长为，6号边长为，由图可得， ，，，， ∴， ∴只需知道1号正方形边长，就可以求出6号正方形房间的边长， 故选：A． 4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知关于x，y的整式A，B，用B减去A，得到第1个整式，记作，即；再用减去B，得到第2个整式，记作，即；再用减去，得到第3个整式，记作；……以此类推．现有以下结论：①，（n为正整数）；②若，且是关于x，y的四次三项式，则；③若，则，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查整式加减中的规律计算，根据题目条件逐次计算，找到的规律，再判断即可． 【详解】解：第1个整式，记作，即； 第2个整式，记作，即； 第3个整式，记作，即； 第4个整式，记作，即， 第5个整式，记作，即， 第6个整式，记作，即， 第7个整式，记作，即，与第一个式子重复； ∴以此类推，的值是、、, , , 六个依次出现，每个一个循环，且与互为相反数； ①由规律可得与互为相反数，所以，故①正确； ②∵， ∴， ∵是关于x，y的四次三项式， ∴或， 解得或或或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴或，故②错误； ③∵的值是以、、, , , 六个依次出现，每6个一个循环，且与互为相反数，， ∴，，，， ∴， ∴，故③正确， 故选：C． 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）某科技小组找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，在镜片后放置光屏正对镜片，不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小，此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑之间的距离 1 按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为，那么估计这副老花镜的度数可能是（     ） A．110度 B．140度 C．160度 D．180度 【答案】B 【分析】先观察表格中数据，找出老花镜度数与镜片到光斑的距离之间的规律，再代入计算，得到度数后选择最接近的选项． 【详解】解：计算表格中各组与的乘积可得：，，，，， 可得规律，即， 将代入得：，计算结果最接近140度． 6．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】先根据去括号法则化简，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若单项式与的和为0，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查同类项、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在如图所示，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，已知，那么_______． 【答案】14 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出。进而根据依题意得，由此可得的值． 【详解】解：∵， ∴中间正方形四个顶点上的数字之和为：， 又∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 9．（2026·云南昆明·模拟预测）对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”，仿此，的“分裂”中最大的数是______． 【答案】41 【分析】通过观察，，，等图形的“分裂”结果，归纳出分裂后数的个数、性质（连续奇数）以及和与的关系，利用归纳出的规律建立方程求解即可． 【详解】解：设最大的奇数为n，则 ， 解得：， ∴最大的数为41． 10．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 _______ ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ___________ ． 【答案】 24 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若与是同类项，试求的值． 【答案】 【分析】根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x，y的值，再将整式化简代入即可得到答案． 【详解】解：由与是同类项，知， 可得， 所以当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查同类项的定义和整式的化简，利用相同字母指数相同来求解是解题的关键． 12．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）化简 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了整式的加减，包括合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以下是圆圆化简代数式的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误．见解析 【分析】用完全平方公式、单项式与多项式相乘计算后，合并同类项． 【详解】解：有错，正确的解答过程如下： ． 14．（25-26七年级下·北京房山·期中）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】 解：这三位同学的说法都正确，理由如下： ∵ ， ， ， ∴多项式的结果恒等于2026，与a的取值无关， ∴这三位同学的说法都正确． 【详解】略 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）在数学活动课上，王老师带领学生用等长的火柴棒搭图形．小亮所在的小组按下图中的方式搭图形． 按图示规律填空： 图形标号 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 火柴棒的根数 5 9 13 请根据以上信息，解决下列问题： (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，搭第2026个图形需要的火柴棒根数为________． 【答案】(1)17；21 (2)8105 【分析】（1）观察可知，后一个图形比前一个图形多4根火柴棒，进而求值即可； （2）根据后一个图形比前一个图形多4根火柴棒，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多4根火柴棒， ∴，． （2）解：∵后一个图形比前一个图形多4根火柴棒， ∴搭第n个图形需要火柴棒的根数为， 当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $