专题04 多边形和圆的初步认识 重难点题型专训 -2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题04 多边形和圆的初步认识重难点题型专训（2个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、多边形的概念与分类 1 题型二、多边形的周长 2 题型三、网格中多边形面积比较 3 题型四、圆的基本概念辨析 4 题型五、圆的周长和面积问题 5 题型六、圆心角概念辨析及简单运算 6 题型七、平面图形形状的识别 7 题型八、用七巧板拼图形 8 题型九、多边形对角线的条数问题 9 题型十、对角线分成的三角形个数问题 10 题型十一、平面镶嵌 11 第二部分·练提高题型 题型一、多边形对角线条数计算题型 1 第三部分・自我检测 知识点01 多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 【即时训练】 1．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）个六边形、个五边形共有___________条边． 【答案】 【分析】由六边形有六条边，五边形有五条边，即可计算． 【详解】解：∵个六边形有条边，个五边形有条边， ∴个六边形、个五边形共有条边， 故答案为：. 【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握n边形有n条边． 知识点02 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 【答案】A 【分析】首先求得小丽用圆规画的圆的周长，再与相比较，即可判定． 【详解】解：小丽用圆规画的圆的半径为， 小丽用圆规画的圆的周长为：， 小丽与小杰所得的圆一样大， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟练掌握和运用圆的周长公式是解决本题的关键． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）一个圆形花坛的半径是米，直径是________米，它的面积是________平方米，绕花坛走一圈，走了________米． 【答案】 【分析】根据圆的基础知识即可求解． 【详解】解：圆形花坛的半径是米， ∴直径是（米）， ∴面积为（平方米），周长为（米）， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的半径与直径的数量关系，圆面积的计算公式，圆周长的计算公式是解题的关键． 【基础题型一 多边形的概念与分类】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元复习）如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 【答案】看图中有无直角 【分析】本题考查了多边形的概念与分类，根据题意，得出③④都是有直角的，①②都是无直角的，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵题干的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②， ∴该分类的标准是看图中有无直角， 故答案为：看图中有无直角 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，由_____________图形叫多边形．组成多边形的线段叫做__________，相邻两边的公共端点叫多边形的__________．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做__________．多边形__________叫做它的内角，多边形的边与它邻边__________组成的角叫多边形的外角．连接多边形__________的线段叫做多边形的对角线． 【答案】 不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的 多边形的边 顶点 n边形 相邻两边组成的角 延长线 不相邻两个顶点 【分析】利用多边形定义、多边形内角、多边形外角及多边形对角线定义填空即可． 【详解】在同一平面内，由不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形． 组成多边形的线段叫做多边形的边， 相邻两边的公共端点叫多边形的顶点． 如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做n边形． 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角， 多边形的边与它邻边延长线组成的角叫多边形的外角． 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 故答案为：不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点；n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点． 【点睛】本题主要考查多边形的定义，属于基础题，熟练掌握多边形的定义是解题关键． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，求多边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了求多边形的面积，根据题意可得多边形由梯形和长方形构成，即可得；掌握多边形由梯形和长方形构成是解题的关键 【详解】解：有图象可得： 答：多边形的面积为． 【基础题型二 多边形的周长】 【例1】（25-26七年级上·四川眉山·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是______． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的周长，根据正多边形的每条边都相等，求出正六边形的周长即可． 【详解】解：正六边形的边长是1， 这个正六边形的周长是：， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·阶段检测）如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）现有个大小一样的正六边形纸片，可按下列方式进行拼接： 方式1：如图1；方式2：如图2； （1）若用六个边长为a的正六边形纸片，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是________（用a表示）． （2）用m个边长均为1的正六边形纸片，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得到图案的外轮廓的周长为18，则m的最大值为________． 【答案】 7 【分析】（1）通过观察方式1的拼接图形，找出正六边形个数与外轮廓周长之间的数量关系，从而即可得出结果； （2）分析两种拼接方式，再结合总损耗，得出总损耗越大，越大，由此画出图形，结合图形分析即可得出结果． 【详解】解：（1）用一个边长为a的正六边形纸片时，周长为， 用两个边长为a的正六边形纸片时，周长为， 用三个边长为a的正六边形纸片时，周长为， …， ∴用六个边长为a的正六边形纸片，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是； （2）方式1：每新增个正六边形，外轮廓总周长仅比前序增加，共享条边共损耗； 方式2：个正六边形拼接时，共享条边，共损耗，总外轮廓周长为，平均每个正六边形的周长损耗更大，能在更短的外轮廓周长下容纳更多正六边形， 为了让尽可能大，且所有正六边形的总周长减去拼接时的总损耗等于周长，即总损耗， ∴总损耗越大，越大， 用m个边长均为1的正六边形纸片，优先使用高损耗的方式进行拼接，如图所示： 此时图案的外轮廓的周长为18， m的值最大为． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点. 【基础题型三 网格中多边形面积比较】 【例1】（25-26七年级上·重庆合川·期中）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　） A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 【答案】B 【详解】试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答． 试题解析：如图： 小方格都是边长为1的正方形， ∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25 S△AED=DE•AE=×1×2=1， S△DCH=•CH•DH=×2×4=4， S△BCG=BG•GC=×2×3=3， S△AFB=FB•AF=×3×3=4．5． S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5． 故选B． 考点：三角形的面积． 【例2】（2026·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 1．（25-26七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 2．（25-26七年级上·北京·期中）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 3．（25-26七年级上·广西桂林·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智游戏，如图在的正方形网格中式一幅由，，，，，，七块拼好的七巧板. （1）图中与D块周长相等的是哪一块.   （2）若正方形网格的每一小格的边长为a，求D块与F块的面积（用含a的代数式表示），写出必要的解题过程. 【答案】（1）C； （2）D块的面积为，F块的面积为4a2,解题过程： 方法一：块的面积为 块的面积为 方法二：块的面积为 块的面积为 【分析】（1）根据网格图性质数边长即可解题,（2）方法一,利用面积公式求解,方法二,利用割补法求解即可. 【详解】（1） （2）略 【点睛】本题考查了网格图求图形面积,属于简单题,熟悉面积公式是解题关键. 【基础题型四 圆的基本概念辨析】 【例1】（26-27七年级上·全国·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．过圆心的线段是直径 D．等圆的半径不一定相等 【答案】B 【详解】解：A、 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的特殊弦，弦不一定是直径，错误； B、半圆是直径的两个端点分圆所得的弧，属于弧的一种，正确； C、过圆心且两端都在圆上的线段才是直径，仅过圆心的线段不一定是直径，错误； D、等圆是能够完全重合的圆，半径一定相等，错误． 【例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的半径为______厘米． 【答案】3 【分析】圆规画圆时，两脚间的距离就是所画圆的半径，结合已知条件可直接得到结果． 【详解】解：根据用圆规画圆的规则可知，圆规两脚分开的距离就是所画出圆的半径， 已知题目中两脚间的距离是厘米， 因此这个圆的半径为厘米． 1．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（     ） A．水平直线 B．倾斜直线 C．两条线段组成的折线 D．圆弧 【答案】D 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以O为圆心，为半径的一段圆弧． 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，圆的四条半径OA，OB，OC，OD把圆分为四部分，图中有________条弧． 【答案】12 【分析】本题侧重考查圆弧的条数，了解圆弧的定义是解题关键． 圆弧是圆上任意两点间的部分，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧；本题要求的弧没有规定是优弧还是劣弧，所以两种都可以考虑，据此解答． 【详解】解：由于题目没有明确限定是优弧还是劣弧，，，，，，，优弧，优弧，优弧，优弧，优弧，优弧，共有12条弧． 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知线段的长是，试用阴影部分表示到点的距离不小于且到点的距离小于的点的集合． 【答案】 如图，阴影部分即为所求． 【分析】本题考查了圆的定义，正确理解圆的定义是解题关键． 以为圆心，长为半径作；以为圆心，长为半径作．阴影部分应是外且内的部分． 【详解】解：到点的距离不小于的点应在以点为圆心，长为半径的上或外． 而到点的距离小于的点应在以点为圆心，长为半径的内． 【基础题型五 圆的周长和面积问题】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）明明用圆规画一个周长是31.4的圆，圆规两脚间的距离是（   ）． A． B．5 C．10 D．1 【答案】B 【分析】本题考查圆的周长公式，圆规两脚间的距离是半径，根据周长公式即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【例2】（2026·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的基础知识，根据正方形的边长可得正方形的周长，结合圆的周长计算，即可求解，掌握圆的基础知识是解题的关键． 【详解】解：的周长为：，正方形的周长为：， ∴自身转动的圈数是， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【详解】解：因为四边形内角和为， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 2．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜_____平方米． 【答案】 【分析】本题考查了半圆和半圆柱侧面积的求解，求出半圆的半径是解决本题的关键． 根据题意可得半圆的半径米，暖房的长度为b米，再根据面积公式进行求解即可． 【详解】解：根据图片可得面积由两部分组成为半个圆柱的侧面积和一个半圆的面积， ∵半圆的直径为a米，暖房的长度为b米， ∴半径米， ∴半个圆柱的侧面积， ∴代入得，， ∵半圆面积公式， ∴代入得，， ∴所需塑料薄膜的总面积为． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合．    (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示－2的点与点B重合，数轴上表示－3的点与点C重合……），那么数轴上表示－2023的点与圆周上哪个点重合？ 【答案】(1)4个单位长度 (2)7 (3)点C 【分析】（1）根据圆的周长公式直接求解即可得到答案； （2）根据圆的周长得到点A滚动的长度，结合数轴上两点间距离即可得到答案； （3）根据A，B，C，D是圆的四等分点得到数字与字母重合的规律，直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵圆的半径为个单位长度， ∴； （2）解：∵圆在数轴上向右滚动2周， ∴A点移动距离为：， ∴与点A重合的点表示的数为：； （3）解：A，B，C，D是圆的四等分点， ∴数字与点数4个一循环， ∵， ∴表示的点是第个循环组的第3个点，与点C重合； 【点睛】本题考查数轴上两点间距离关系及图形规律，解题的关键是熟练掌握两点间距离等于两数之差的绝对值及找到循环规律． 【基础题型六 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 【例2】（25-26七年级上·福建漳州·课后作业）如图所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，则∠DOE=__________. 【答案】36° 【详解】试题解析：设∠AOE=2x，则∠BOC=∠COD=∠DOE=x， ∵∠AOB是平角， ∴∠BOC+∠COD+∠DOE+∠AOE=180°， ∴x+x+x+2x=180°， ∴x=36°, ∴∠DOE=36°. 故答案为36°. 1．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角平均分成份后每份的角度，即可得出的度数为． 【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分， ． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 【基础题型七 平面图形形状的识别】 【例1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形的定义 ，立体图形的定义，理解平面图形和立体图形的定义是解题的关键．根据平面图形的定义回答即可． 【详解】解：选项A是长方形，长方形是平面图形； 选项B是球体，球是立体图形； 选项C是长方体，长方体是立体图形； 选项D是三棱柱，三棱柱是立体图形； 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）用、、、各代表四种简单几何图形（线段、等边三角形、正方形、圆）中的一种．图1至图4是由、、、中两种图形组合而成的（组合用“”表示），表示的有①~④4个组合图形可以供选择，其中正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了通过观察、分析识别图形，通过观察图形，确定各代表什么图形是解题的关键． 根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得到答案． 【详解】解：结合图形中的4个图形，我们不难看出代表正方形，代表三角形，代表圆，代表线段， ∴组合的图形是圆加线段。 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有________． 【答案】等腰直角三角形、平行四边形、正方形. 【分析】本题考查了七巧板，认识平面图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据图形判断即可． 【详解】解：如图：这个图形由5个等腰直角三角形，1个正方形，1个平行四边形组成． 故答案为：等腰直角三角形，平行四边形，正方形． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）请以给定的图形“”（两个圆、两个三角形、两条平行线段）为构件，尽可能多地构思独特且有意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词．如图就是符合要求的两个图形．你还能构思出其他图形吗？比一比，看谁构思得多． 【答案】 以下给出几种符合要求的构思示例（答案不唯一，合理构思即可）． 【分析】仅需用完所有给定构件，图形构思符合常识，解说词贴切即可； 【详解】略 【基础题型八 用七巧板拼图形】 【例1】（2026·浙江温州·二模）七巧板被誉为“东方魔板”，小丽利用七巧板（如图甲）中的各板块拼成一个“轮船”（如图乙），则“轮船”的长与高比值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据七巧板特点，设，，用的代数式表示出 “轮船”的长与高，再根据求出、的关系，即可求“轮船”的长与高比值. 【详解】解：如图， 根据七巧板特点得：，， 设，，则： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴“轮船”的长与高比值为2. 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】7 【分析】此题考查了求阴影面积，首先求出正方形的面积，然后依次求出的面积，的面积，平行四边形的面积，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为 ∴的面积为， ∴的面积为，平行四边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：7． 1．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第①块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第③块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第①块的倍，选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，选项不符合题意； 第③块的面积是整个面积的，选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，选项不符合题意， 故选∶． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查七巧板各个图形面积之间的关系，熟练掌握七巧板各个图形之间的关系是解题的关键． 根据七巧板的面积为8，得知七巧板分割成的大三角形的面积为2，小三角形的面积为，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：如图，∵正方形的两条对角线分正方形为4等份， ∴三角形①面积等于七巧板面积的， ∴， ∵三角形②的面积等于三角形①的面积的， ∴三角形②的面积为：， ∴阴影的面积为：． 故答案为：2.5． 3．（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键． （1）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的面积为2，由此可得到剪拼方法； （2）可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】（1）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线剪刀，再将剪下的①②部分拼到如图①②的位置，得到一个正方形； （2）由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此按如图虚线各剪刀，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形． 【基础题型九 多边形对角线的条数问题】 【例1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， …， ∴n边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）过某多边形的一个顶点可以引2024条对角线，则这个多边形的边数是______条 【答案】2027 【分析】本题可根据多边形对角线的相关性质来求解多边形的边数，即根据过边形的一个顶点可引出条对角线这一关系建立方程求解．本题主要考查了多边形对角线的性质，熟练掌握过边形一个顶点可引出条对角线是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为． ∵ 过边形的一个顶点可以引条对角线，且过该多边形的一个顶点可以引条对角线 ∴ ∴ 故答案为：． 1．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如下图，圆形扇面中间的图案是正多边形，那么该正多边形的对角线条数共有（     ） A．6条 B．9条 C．12条 D．18条 【答案】B 【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据正多边形的对角线条数为 ， 代入计算即可． 【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数， 根据正多边形的对角线条数，得 （条）． 2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查了图论基础知识，具体涉及完全图的边数计算和去重思想．题目中传感器均匀分布在正八边形顶点上，相当于一个8个顶点的图，每个顶点需要与其他所有顶点连接，但相邻顶点之间已有连接（即正八边形的边），需要计算额外添加的连接通道数．掌握完全图边数公式和去重原理是解题的关键． 【详解】解：∵对于每个核心传感器，除去相邻传感器，还需要连5个传感器，故需额外建立5条连接通道， ∴一共需要额外建立的连接通道数量为（条）． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 【基础题型十 对角线分成的三角形个数问题】 【例1】（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，如图，按照这样的方法，八边形可以剖分出的三角形的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】通过观察已知图形中边数与三角形个数之间的数量关系，归纳出通项公式或规律，并应用到八边形的情况中即可． 【详解】解：观察图形可知： 四边形，连接1组不相邻顶点，剖分为2个三角形，对应计算：； 五边形，连接不相邻顶点，剖分为3个三角形，对应计算：； 六边形，连接不相邻顶点，剖分为4个三角形，对应计算：； 总结通用规律：任意n边形进行三角剖分后，得到的三角形个数为． 计算八边形的剖分结果：八边形的边数为8，代入规律计算：． 【例2】（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个五边形进行三角剖分，能剖分出______个三角形，有______种方法． 【答案】 3 5 【分析】本题考查多边形的剖分，对于一个n边形，三角剖分后得到个三角形，据此求解即可． 【详解】解：五边形三角剖分后，三角形个数为个， ∵五边形有5个顶点， ∴五边形的三角剖分有5种方法． 故答案为：3和5． 1．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】本题考查多边形的剖分，根据题意画出图形，得到a，b，c的值，即可解答． 【详解】解：如图1，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为4个三角形， 如图2，从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为5个三角形； 如图3，从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为6个三角形， ∴，，， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查多边形的性质，由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答． 【详解】解：由图中可以看出： 四边形被分为个三角形， 五边形被分为个三角形， 六边形被分为个三角形， 那么边形被分为个三角形． 当时，即八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为， 故答案为：6． 3．（25-26七年级上·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 【基础题型十一 平面镶嵌】 【例1】（24-25七年级上·山西阳泉·期中）从数学角度看，用多边形覆盖平面（平面镶嵌）的问题就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌．下面全等形不能镶嵌成一个平面图案的是（   ） A．全等的三角形 B．全等的四边形 C．全等的五边形 D．全等的正六边形 【答案】C 【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌． 本题主要考查了镶嵌的条件，正多边形能否镶嵌只需验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可． 【详解】解：根据题意，得三角形的内角和为，， 故全等的三角形能镶嵌，不符合题意； 四边形的内角和为，， 故全等的四边形能镶嵌，不符合题意； 正六边形的每个内角为，， 故全等的正六边形能镶嵌，不符合题意； 五边形的内角和为，，不是整数倍， 故全等的五边形不能镶嵌，符合题意； 故选：C 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用某种大小相同的正多边形地砖密铺地面时，下列条件：①边数是3的整数倍；②围绕一点拼在一起的几个内角加在一起组成一个周角；③内角的度数都是整数；④内角能整除，其中需要具备的条件有________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了正多边形的密铺，用一种大小相同的正多边形能密铺的条件是任一顶点处的内角的和是，即内角能整除，除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面，据此来判断即可． 【详解】解：①例如正九边形就不能密铺，故不符合条件； ②能组成周角符合密铺的条件，符合题意； ③正五边形的内角和也是整数，但不能密铺，故不符合题意； ④符合密铺的条件，符合题意； 故答案是：②④． 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，有两块形状大小完全相同的三角板，把它们相等的边靠在一起，可以拼出许多图形，其中形状不同的四边形的种数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的拼接，把相等的边重合，然后进行不同的排列拼出图形即可得解． 【详解】解：如图所示，把它们相等的边靠在一起拼成形状不同的四边形共有4种可能， 故选：B． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为________． 【答案】/120度 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理，求出每个内角度数，然后根据周角求出答案．几何图形镶嵌成平面的关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】解：正六边形内角和 ， 所以每个内角度数， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·阶段检测）下面是小明设计的由大小相同的正六边形、正方形、正三角形三种地砖铺满小路地面的图案，请观察图案，根据你发现的规律解答下列问题：    (1)第6个图案中有正六边形 个，正方形 个，正三角形 个． (2)若铺设这条小路用去n块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为 ，正三角形地砖的数量为 ．（用含n的代数式表示） (3)若这条小路计划铺2021块正方形地砖，问该小路需要铺正六边形地砖和正三角形地砖各多少块？ 【答案】(1)6；31；26 (2)； (3)该小路需要铺正六边形地砖和正三角形地砖各404块，1618块 【分析】（1）根据图形规律可得答案； （2）由（1）的规律可得答案； （3）由（1）（2）的规律代入数值计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知：第1个图案有：正六边形地砖有1个，正方形地砖有6个，正三角形 有 6个， 第2个图案有：正六边形地砖有2个，正方形地砖有（个），正三角形 有（个）， 第3个图案有：正六边形地砖有3个，正方形地砖有（个），正三角形 有（个）， 第4个图案有：正六边形地砖有4个，正方形地砖有（个），正三角形 有（个）， 第6个图案有：正六边形地砖有6个，正方形地砖有（个），正三角形 有（个）， 故答案为： 6，31，26； （2）由（1）可得：若铺设这条小路用去n块正六边形地砖，则是第n个图案， 第n个图案有：正六边形地砖有n个，正方形地砖有块，正三角形有块， 若铺设这条小路用去n块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为 ，正三角形地砖的数量为； 故答案为：，； （3）根据题意得，解得， 小路需要铺正六边形地砖404块， ， 小路需要铺正三角形地砖1618块， 该小路需要铺正六边形地砖和正三角形地砖各404块，1618块． 【点睛】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律． 【提高题型一 多边形对角线条数计算题型】 【例1】（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（   ）场比赛． A．30 B．45 C．105 D．210 【答案】C 【分析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m-1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛 m（m-1）． 【详解】解：15支球队举行单循环比赛，比赛的总场数为：×15×（15-1）=105． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的对角线的知识，解题的关键是读懂题意，明确单循环赛制的含义，利用多边形的对角线条数的知识进行解答． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【答案】 十三 11 【分析】（1）依据n边形从一个顶点出发可引条对角线的性质列方程求解， （2）依据n边形从一个顶点出发作对角线可分成个三角形的性质列方程求解 【详解】（1）设这个多边形是边形， 根据边形从一个顶点出发最多可引条对角线，可得， 得， 即这个多边形是十三边形． （2）根据边形从一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形， 可得， 得， 即等于11． 1．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）若一个对变形的内角和比它的外角的3倍大180°，则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是(    ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】首先求出这个多边形的内角和，进而求出这个多边形的边数，再求对角线的条数. 【详解】∵内角和比它的外角的三倍大180°， ∴内角和=360°3+180°=1260°， ∴多边形的边数为+2=9， ∴对角线的条数为6， 故选A. 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，多边形的对角线公式，熟记多边形的相关公式是解题的关键. 2．（25-26七年级上·全国·课堂例题）填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将四边形分成________个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将五边形分成________个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将六边形分成________个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引________条对角形，将边形分成________个三角形． 【答案】 1 2 2 3 3 4 【分析】本题考查多边形的对角线，从一点引对角线的数量，可以考虑一共几个顶点，它本身没有，与它相邻的没有，通过作出图形，对图形中对角线条数和分成的三角形个数进行分析，找出规律，引申归纳出边形中的情况，即可解题． 【详解】（1）解：如图： 从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形， 故答案为：1，2． （2）解：如图： 从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形， 故答案为：2，3． （3）解：如图： 从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形， 故答案为：3，4． （4）解：由前面的规律可知，从多边形的一个顶点出发，可以引对角线的条数为边数减3，可分成三角形个数为边数减2． 从边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将边形分成个三角形． 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 1．（25-26六年级下·山东泰安·期中）下列语句中： ①两点确定一条直线； ②圆上任意两点、间的部分叫做圆弧； ③两点之间直线最短； ④三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据直线公理、圆弧的定义、线段公理、多边形的定义，分别进行分析，即可得出结论． 【详解】解：①根据直线公理：过两点有且只有一条直线，故该项正确； ②根据圆弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，故该项正确； ③根据线段公理：两点之间，线段最短，故该项错误； ④根据多边形的定义：在平面内，有一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形，故三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，故该项正确． 综上可得：①、②、④正确． 故选：C 【点睛】本题考查了直线公理、圆弧的定义、线段公理、多边形的定义，解本题的关键在熟练掌握相关的公理和定义． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少需要绳子（    ）cm．（π取3.14）    A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325 【答案】B 【分析】根据一圈绳子长=一个圆周长+一个正方形周长，列出算式，进而即可求解． 【详解】解：一圈的长度为：（cm）， 5圈的长度为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查几何图形的周长问题，掌握圆周长公式是关键． 3．（25-26七年级上·湖南永州·阶段检测）一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 【答案】C 【分析】分情况讨论分别去掉A、B、C三处的钉子时，组成长方形的长和宽各是多少，再根据长方形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：当去掉A处的钉子时：这时长方形的长为4，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉B处的钉子时：这时长方形的长为7，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉C处的钉子时：这时长方形的长为5，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面图形的认识与计算，利用分类讨论的思想是解题的关键． 4．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 【答案】B 【分析】根据题意，电脑主板是一个多边形，由周长的定义可知，周长是求围成图形一周的长度之和，计算周长只需要把横着的和竖着的所有线段加起来即可． 【详解】由图形可得出： 该主板的周长是：24+24+16+16+4×4＝96（mm）， 故该主板的周长是96mm， 故选：B． 【点睛】本题考查了不规则多边形周长的求解方法，理解周长的定义是求解的关键． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，画出n的值为5时对应的图形并数出对应的三角形个数，据此可得t的值等于2倍的m的值加上n的值减2． 【详解】解：如图所示，当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，． 故选：A． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）多边形_________组成的角叫做多边形的内角. 【答案】相邻两边 【详解】相邻两边组成的角叫多边形的角叫多边形的内角.故答案为相邻两边. 7．（2026·浙江·模拟预测）一个圆环的外圆半径是3厘米，内圆半径是2厘米，这个圆环的面积是（取）_____． 【答案】 【分析】根据题意，圆环的面积为外圆面积与内圆面积的差，列式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意知，圆环的面积为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的面积公式的运用，掌握圆环面积为外圆面积与内圆面积的差，准确列式求解是解决问题的关键． 8．（25-26七年级上·山西·阶段检测）如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是_______． 【答案】12 【分析】四边形的面积等于正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 【详解】解：如图， 小方格都是边长为l的正方形， 四边形EFGH是正方形，S正方形EFGH， ， ， ， ， S四边形ABCD= S正方形EFGH． 故答案为：12． 【点睛】本题考查不规则图形的面积计算，求出此大正方形的面积和三角形的面积是解题的关键． 9．（2025·福建南平·模拟预测）如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有________种． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键．可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】解： 由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此各剪刀都得到边长为的边，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形． 在每个图形上各剪一刀，如图所示：   拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 共3种方法， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河北保定·期中）阅读材料：连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了个、个、个小三角形． （1）请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数为_______个、_______个，_______个 （2）当多边形为边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的个数为_______个、_______个，_______个． 【答案】 4 5 6 【分析】（1）根据题中方法进行分割，然后可得答案； （2）观察图1和图2所作图形，进而得出规律即可． 【详解】解：（1）如图，每种方法所得到的小三角形的个数分别为：4个，5个，6个； 故答案为：4，5，6 （2）观察图1和图2所作图形可得： 第一种分割方法把n边形分割成了（n-2）个三角形； 第二种分割方法把n边形分割成了（n-1）个三角形； 第三种分割方法把n边形分割成了n个三角形， 故答案为（n-2），（n-1），n 【点睛】本题考查了多边形的相关问题，要能够从特殊中发现规律，进而推广到一般情况． 11．（25-26七年级上·吉林长春·期中）现有两块可以重叠的三角板，在相等长的两边重合时，能拼出多少种不同的三角形？画图说明． 【答案】见解析 【分析】分类考虑，一类整体来拼图认识有两边相等的三角形是等腰三角形，一类部分来拼图，认识有一个角为直角的三角形为直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形 【详解】解：如图所示： 从整体看两个直角三角形拼成的图形是两种等腰三角形 从部分看拼成①是直角三角形，②是钝角三角形，③是锐角三角形三类 【点睛】本题考查平面图形的认识，两块相同的三角板拼图，掌握部分看直角三角形，钝角三角形，锐角三角形，整体看等腰三角形是解题关键 ， 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】本题考查圆的概念及特点，熟练掌握相关知识点并看懂图形中的等量关系是解题的关键．根据图形可知，大圆的直径＋小圆的直径＝长方形的长，大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的长－长方形的宽，求出小圆的直径，再除以2，即可求出小圆的半径，据此解答． 【详解】 （厘米） 答：小圆的半径是1厘米． 13．（25-26七年级上·河北承德·期中）在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14） （1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？ （2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？ （3）在（2）的条件下，求此圆的面积．    【答案】（1）6cm；（2）4cm；（3）50.24（cm2）． 【分析】（1）根据圆和矩形的周长公式即可得到即可； （2）设圆的半径为r，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）拼成的近似长方形的周长比圆的周长多3×2＝6cm； （2）设圆的半径为r， 由题意得，2πr+2r＝33.12， 解得：r＝4， 答：圆的半径为4cm； （3）此圆的面积＝3.14×42＝50.24（cm2）． 【点睛】本题考查了认识平面图形，图形的拼组及圆的面积公式的推导过程． 14．（25-26七年级下·河南新乡·期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 【答案】 【分析】根据图形分别确定出四边形、五边形、六边形可以被分成的三角形的个数，然后归纳总结即可解答． 【详解】解：三角形时，,有2个三角形， 四边形时，有3个三角形， 五边形时，有4个三角形， …… n边形时，有个三角形． 故答案为． 【点睛】本题考查了多边形内角和，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键． 15．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 【答案】(1) (2)一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形；十． 【分析】（）求出正多边形的内角，再用除以内角度数 ，根据结果是否为整数，逐项判断即可； （）设在平面镶嵌时，围绕在某一点有个正三角形和 个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有，进而判断出情况； 设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌，则，得出，由，为正整数，进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）正三角形的内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正方形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 正五边形内角为，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌； 正六边形内角为，，结果是整数，可以进行平面镶嵌； 故选：； （2）设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形， 根据题意得：， ∴， ∵，为正整数， ∴或， 答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形； 由于正五边形内角为，设用边长相同的个正五边形和个正边形进行镶嵌， 则， 整理得：， ∵，，为正整数， ∴应为正整数， 则或， 当时，，此时，无正整数解， 当时，，解得正整数解为：， 故答案为：十． 【点睛】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 多边形和圆的初步认识重难点题型专训（2个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、多边形的概念与分类 1 题型二、多边形的周长 2 题型三、网格中多边形面积比较 3 题型四、圆的基本概念辨析 4 题型五、圆的周长和面积问题 5 题型六、圆心角概念辨析及简单运算 6 题型七、平面图形形状的识别 7 题型八、用七巧板拼图形 8 题型九、多边形对角线的条数问题 9 题型十、对角线分成的三角形个数问题 10 题型十一、平面镶嵌 11 第二部分·练提高题型 题型一、多边形对角线条数计算题型 1 第三部分・自我检测 知识点01 多边形 1. 多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【补充】 1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 【即时训练】 1．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）个六边形、个五边形共有___________条边． 知识点02 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：或 【即时训练】 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）一个圆形花坛的半径是米，直径是________米，它的面积是________平方米，绕花坛走一圈，走了________米． 【基础题型一 多边形的概念与分类】 【例1】（24-25七年级上·全国·单元复习）如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，由_____________图形叫多边形．组成多边形的线段叫做__________，相邻两边的公共端点叫多边形的__________．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做__________．多边形__________叫做它的内角，多边形的边与它邻边__________组成的角叫多边形的外角．连接多边形__________的线段叫做多边形的对角线． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，求多边形的面积． 【基础题型二 多边形的周长】 【例1】（25-26七年级上·四川眉山·期末）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是______． 1．（25-26七年级下·全国·阶段检测）如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）现有个大小一样的正六边形纸片，可按下列方式进行拼接： 方式1：如图1；方式2：如图2； （1）若用六个边长为a的正六边形纸片，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是________（用a表示）． （2）用m个边长均为1的正六边形纸片，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得到图案的外轮廓的周长为18，则m的最大值为________． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【基础题型三 网格中多边形面积比较】 【例1】（25-26七年级上·重庆合川·期中）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　） A．25 B．12.5 C．9 D．8.5 【例2】（2026·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 1．（25-26七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 2．（25-26七年级上·北京·期中）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 3．（25-26七年级上·广西桂林·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智游戏，如图在的正方形网格中式一幅由，，，，，，七块拼好的七巧板. （1）图中与D块周长相等的是哪一块.   （2）若正方形网格的每一小格的边长为a，求D块与F块的面积（用含a的代数式表示），写出必要的解题过程. 【基础题型四 圆的基本概念辨析】 【例1】（26-27七年级上·全国·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．过圆心的线段是直径 D．等圆的半径不一定相等 【例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的半径为______厘米． 1．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（     ） A．水平直线 B．倾斜直线 C．两条线段组成的折线 D．圆弧 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，圆的四条半径OA，OB，OC，OD把圆分为四部分，图中有________条弧． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知线段的长是，试用阴影部分表示到点的距离不小于且到点的距离小于的点的集合． 【基础题型五 圆的周长和面积问题】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）明明用圆规画一个周长是31.4的圆，圆规两脚间的距离是（   ）． A． B．5 C．10 D．1 【例2】（2026·江苏镇江·模拟预测）如图，半径为的沿着边长为的正方形的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，自身转动的圈数是 ____________．（用含的代数式表示） 1．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 2．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜_____平方米． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合．    (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示－2的点与点B重合，数轴上表示－3的点与点C重合……），那么数轴上表示－2023的点与圆周上哪个点重合？ 【基础题型六 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·福建漳州·课后作业）如图所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，则∠DOE=__________. 1．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【基础题型七 平面图形形状的识别】 【例1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）用、、、各代表四种简单几何图形（线段、等边三角形、正方形、圆）中的一种．图1至图4是由、、、中两种图形组合而成的（组合用“”表示），表示的有①~④4个组合图形可以供选择，其中正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的是由一副七巧板组成的一个“狐狸”，组成这个图案的平面图形有________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）请以给定的图形“”（两个圆、两个三角形、两条平行线段）为构件，尽可能多地构思独特且有意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词．如图就是符合要求的两个图形．你还能构思出其他图形吗？比一比，看谁构思得多． 【基础题型八 用七巧板拼图形】 【例1】（2026·浙江温州·二模）七巧板被誉为“东方魔板”，小丽利用七巧板（如图甲）中的各板块拼成一个“轮船”（如图乙），则“轮船”的长与高比值为（     ） A．2 B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 1．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第①块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第③块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 3．（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以、为圆心，以1为半径作圆，剪去图1中阴影部分，得到图2． (1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形： (2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）． 【基础题型九 多边形对角线的条数问题】 【例1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【例2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）过某多边形的一个顶点可以引2024条对角线，则这个多边形的边数是______条 1．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如下图，圆形扇面中间的图案是正多边形，那么该正多边形的对角线条数共有（     ） A．6条 B．9条 C．12条 D．18条 2．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某新款自动驾驶汽车的环视感知系统，其八个核心传感器均匀分布在一个圆形支架上（可视为正八边形顶点）.该系统内部信号连接时，若每两个传感器均需建立独立通道（相邻传感器间已由支架直连），则需要额外建立的连接通道数量为______条． 3．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【基础题型十 对角线分成的三角形个数问题】 【例1】（26-27七年级上·河南信阳·阶段检测）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，如图，按照这样的方法，八边形可以剖分出的三角形的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个五边形进行三角剖分，能剖分出______个三角形，有______种方法． 1．（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知一个正六边形，选任意一个顶点，连接不相邻的各顶点，将六边形分割为a个三角形；从其任意一条边上的一点（不与该边的端点重合），连接六边形中的其它顶点，可将此六边形分割为b个三角形；从六边形内任意一点，连接六边形的所有顶点，可将此六边形分割为c个三角形，则的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 2．（25-26七年级上·广东深圳·期中）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为______． 3．（25-26七年级上·全国·周测）【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【基础题型十一 平面镶嵌】 【例1】（24-25七年级上·山西阳泉·期中）从数学角度看，用多边形覆盖平面（平面镶嵌）的问题就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌．下面全等形不能镶嵌成一个平面图案的是（   ） A．全等的三角形 B．全等的四边形 C．全等的五边形 D．全等的正六边形 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用某种大小相同的正多边形地砖密铺地面时，下列条件：①边数是3的整数倍；②围绕一点拼在一起的几个内角加在一起组成一个周角；③内角的度数都是整数；④内角能整除，其中需要具备的条件有________（填序号）． 1．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，有两块形状大小完全相同的三角板，把它们相等的边靠在一起，可以拼出许多图形，其中形状不同的四边形的种数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为________． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·阶段检测）下面是小明设计的由大小相同的正六边形、正方形、正三角形三种地砖铺满小路地面的图案，请观察图案，根据你发现的规律解答下列问题：    (1)第6个图案中有正六边形 个，正方形 个，正三角形 个． (2)若铺设这条小路用去n块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为 ，正三角形地砖的数量为 ．（用含n的代数式表示） (3)若这条小路计划铺2021块正方形地砖，问该小路需要铺正六边形地砖和正三角形地砖各多少块？ 【提高题型一 多边形对角线条数计算题型】 【例1】（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）为了丰富同学们的课余生活，东辰学校初二年级计划举行一次篮球比赛，从3个分部中选出15支队伍参加比赛，比赛采用单循环制（即每个队与其他各队比赛一场），则这次联赛共有（   ）场比赛． A．30 B．45 C．105 D．210 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 1．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）若一个对变形的内角和比它的外角的3倍大180°，则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是(    ) A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26七年级上·全国·课堂例题）填空： （1）从四边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将四边形分成________个三角形； （2）从五边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将五边形分成________个三角形； （3）从六边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将六边形分成________个三角形； （4）从边形的一个顶点出发，可以引________条对角形，将边形分成________个三角形． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 1．（25-26六年级下·山东泰安·期中）下列语句中： ①两点确定一条直线； ②圆上任意两点、间的部分叫做圆弧； ③两点之间直线最短； ④三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形． 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少需要绳子（    ）cm．（π取3.14）    A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325 3．（25-26七年级上·湖南永州·阶段检测）一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 4．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（　　） A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）． 如图2，当正五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当正五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．受此启发，小广提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存的数量关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）多边形_________组成的角叫做多边形的内角. 7．（2026·浙江·模拟预测）一个圆环的外圆半径是3厘米，内圆半径是2厘米，这个圆环的面积是（取）_____． 8．（25-26七年级上·山西·阶段检测）如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是_______． 9．（2025·福建南平·模拟预测）如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有________种． 10．（25-26七年级上·河北保定·期中）阅读材料：连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了个、个、个小三角形． （1）请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数为_______个、_______个，_______个 （2）当多边形为边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的个数为_______个、_______个，_______个． 11．（25-26七年级上·吉林长春·期中）现有两块可以重叠的三角板，在相等长的两边重合时，能拼出多少种不同的三角形？画图说明． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 13．（25-26七年级上·河北承德·期中）在推导圆的面积计算公式时，是将一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的长方形，如图2所示．（注：本题中的π取3.14） （1）若圆的半径为3cm，则拼成的近似长方形的周长比圆的周长多多少厘米？ （2）若拼成的近似长方形的周长为33.12cm，则圆的半径为多少？ （3）在（2）的条件下，求此圆的面积．    14．（25-26七年级下·河南新乡·期中）课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 15．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图，就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为（注：若不能等于，则不能镶嵌）．    (1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是______．（填序号） 正三角形；正方形；正五边形；正六边形． (2)为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有个正三角形和个正方形． 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形； 我们也可以用边长相同的正五边形和正______边形进行镶嵌． 学科网（北京）股份有限公司 $