第6章 二次函数（重难点单元自测）数学新教材苏科版九年级下册

第6章 二次函数 章末检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（26-27重庆九年级一模）对于二次函数的描述正确的是（     ） A．抛物线开口向下 B．函数有最大值是2 C．对称轴为直线 D．顶点坐标为 2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）若点，，都在抛物线上，则（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，然后关于轴对称，所得新抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 9．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 10．（2025·山东聊城·二模）如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 12．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是__________ 13．（26-27九年级上·成都·单元复习）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 14．（2026·贵州遵义·校考一模）若一个函数的图象关于轴对称，则称这个函数为偶函数，如二次函数是偶函数．若二次函数是偶函数，则的值为___________． 15．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，分别过点（、2、…、）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为__________． 16．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于两点，点C是抛物线上的点，若三角形的面积为8，则点C的坐标为____________． 17．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则m的取值范围为________． 18．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点．（1）B点纵坐标的最小值为___________．（2）线段长度的最小值是___________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数． (1)若此二次函数图象的对称轴为直线，①求二次函数的表达式；②直接写出二次函数的最小值； (2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围． 20．（2025·江西吉安·一模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式；(2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由；(3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 21．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象．(1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 22．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … (1)求二次函数的表达式，在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (2)当时分别求出函数的最大值和最小值．(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为．请直接写出的值． 23.（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】(1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 24．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）定义：用抛物线与x轴的两个公共点分别作为两条新抛物线的顶点，且新抛物线经过原抛物线的顶点，则称这两条新抛物线为一组“衍生对称抛物线”．如图1，抛物线，为抛物线C的“衍生对称抛物线”． (1)已知原抛物线的解析式为，请直接写出该抛物线的一组“衍生对称抛物线”． (2)若和为某抛物线的一组“衍生对称抛物线”，求证：． (3)如图2，抛物线与x轴的负半轴交于点A，抛物线是以A为顶点的抛物线L的“衍生对称抛物线”，B为抛物线上对称轴左侧的一点，过点B作轴，BE与抛物线L，抛物线从左往右依次交于点C，D，E，若，求点E的横坐标． 25．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式；(2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 26．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方；①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 二次函数 章末检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（26-27重庆九年级一模）对于二次函数的描述正确的是（     ） A．抛物线开口向下 B．函数有最大值是2 C．对称轴为直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【详解】解：∵二次函数，，∴抛物线开口向上，A错误； 函数有最小值是2，B错误；对称轴为直线，C正确；顶点坐标为，D错误. 2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的图象过，两点， ∴设其解析式为；将代入解析式，得，解得 ∴；当时，． 3．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）若点，，都在抛物线上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， 当时，，当时，，∵，∴ ． 4．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，然后关于轴对称，所得新抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到的抛物线的表达式为：，此时抛物线的顶点坐标为， 再关于轴对称，可得新抛物线的顶点坐标为． 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为，，得， 即y与x之间的函数表达式是； 由题意可得，， 即W与x之间的函数表达式是．故选：B． 6．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线；∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是．故选：B 7．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴直线为，即对称轴在轴左侧，故C不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，即对称轴在轴右侧，故A符合题意，B、D不符合题意； 8．（2026·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若抛物线y＝向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的值不可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【详解】解：设平移后的解析式为y＝﹣m， 将B点坐标代入，得4﹣m＝2，解得m＝2，将D点坐标代入，得9﹣m＝1，解得m＝8， ∴y＝向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，观察选项，只有选项A符合题意．故选：A． 9．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，∴，， ∵二次函数的对称轴为直线，∴，∴，∴，则结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有，即，则结论②正确； 由二次函数的图象可知，当时，，∴，又∵，∴，则结论③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点，∴点、关于这个二次函数的对称轴对称， ∴，∴，则结论④错误；综上，正确的结论有②③． 10．（2025·山东聊城·二模）如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，，，， ∵，∴，∵E以每秒1个单位长度的速度沿运动，∴， 当时，此时F在上运动，在直线右侧部分为， 过F作轴，∴ ∵，∴，∴， ∵点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动， 均以每秒1个单位长度的速度移动，∴，， ∴∴；， ∴一个二次函数，二次项系数，图象开口向上． 当时，此时F在上运动，在直线右侧部分为四边形 ∴点F运动的距离为t，，∴，， 过F作轴，∴；∵，∴， ∴， ，，． 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下． 综合以上两种情况，函数图象先为开口向上的二次函数，再为开口向下的二次函数． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 【答案】1 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且，解得：或且，∴． 12．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是__________ 【答案】或 【详解】解：∵对称轴为直线，且该抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线与轴的另一个交点为， ∵函数图象开口向下，∴不等式的解集是或． 13．（26-27九年级上·成都·单元复习）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在轴上；乙：当时，随的增大而减小；丙：该函数图象的形状与函数的图象相同．已知这三名同学的描述都正确，请你写出一个满足上述所有性质的二次函数表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵函数图象的顶点在轴上，∴设二次函数的解析式为， ∵该函数图象的形状与的图象相同，∴， ∵当时，随的增大而减小，∴抛物线开口向上，∴，∴，且对称轴， ∴取，可得满足所有性质的二次函数为． 14．（2026·贵州遵义·校考一模）若一个函数的图象关于轴对称，则称这个函数为偶函数，如二次函数是偶函数．若二次函数是偶函数，则的值为___________． 【答案】3 【详解】∵二次函数是偶函数，∴二次函数的对称轴为轴， ∴，即：，即有：，故答案为：3． 15．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，分别过点（、2、…、）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为__________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：，， ． 16．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于两点，点C是抛物线上的点，若三角形的面积为8，则点C的坐标为____________． 【答案】或或 【详解】解：把点代入得，解得， ∴抛物线的解析式为，设点C的坐标为， ∵，，三角形的面积为8，∴， 当时，解得：，此时点C的坐标为； 当时，解得：； 此时点C的坐标为或； 综上所述，点C的坐标为或或． 17．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则m的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：根据题意，当时，，且的取值范围为或， ∴点为抛物线上的点，且该抛物线开口向上， ∴抛物线对称轴为直线，且，∴，即， ∴，∴，∴该抛物线的顶点坐标为， ∵该抛物线开口向上，且该抛物线与直线有两个交点，∴顶点纵坐标，∴， 将点代入抛物线解析式，可得，∴． 18．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点．（1）B点纵坐标的最小值为___________．（2）线段长度的最小值是___________． 【答案】 【详解】解：①B点纵坐标为， 配方： ，抛物线开口向上， 当时，． ②的运动轨迹是，当时，，当时，， ∴直线与y轴交点为，与x轴交点为， ，，作直线的平行线， 当与抛物线只有一个交点B时作于A，两平行线间的距离即为线段长度的最小值， 联立，整理得， 与抛物线只有一个交点，，解得， 此时，即，， ∴直线与抛物线的切点坐标为．∴．． 由可知是等腰直角三角形，， ∵，∴是等腰直角三角形，， ∵，∴，∴．即线段长度的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数． (1)若此二次函数图象的对称轴为直线， ①求二次函数的表达式；②直接写出二次函数的最小值； (2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）解：①因为二次函数图象的对称轴为直线， 所以，解得，所以二次函数的表达式为． ②因为，所以当时，二次函数的最小值为； （2）解：因为抛物线的对称轴为直线，且当时，随增大而减小， 所以，解得，所以k的取值范围是：． 20．（2025·江西吉安·一模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 【答案】(1) (2)解：不能，理由：由题意得，点F的横坐标为， 当时，，故校车不能完全停到车棚内； (3)米 【详解】（1）解：把点和点代入得， ，解得，则抛物线的表达式为：； （2）略 （3）解：根据题意得：新抛物线的表达式为：， 由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为， 当时，，则，故米， 21．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 【答案】(1)，， (2)，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；(3)向下平移个单位． 【详解】（1）解：由题意得，∴，，； （2）解：二次函数， 即的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：设平移后二次函数为， 把代入得，解得， ∴二次函数的图象向下平移个单位会经过点． 22．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … … … … (1)求二次函数的表达式，在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (2)当时分别求出函数的最大值和最小值． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为．请直接写出的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为，图象如下所示． (2)当时，函数的最大值和最小值分别为和．(3)或． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式得： ，解得，二次函数的表达式为，图象略． （2）解：，当时，；当时，；当时，； 当时，函数的最大值和最小值分别为和． （3）解：将二次函数的图象向右平移个单位长度后的新抛物线解析式为，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为，对分类如下： ①当时，函数的最小值在时取得，即为，函数的最大值在时取得，即为，有，解得，舍去； ②当时，函数的最小值在时取得，即为，函数的最大值在时取得，即为，有，解得或（舍去）； ③当时，函数的最小值在时取得，即为，函数的最大值在时取得，即为，有，解得或（舍去）； ④当时，函数的最小值在时取得，即为，函数的最大值在时取得，即为，有，解得（舍去）； 综上，或． 23.（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】(1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 【答案】(1)解：描点、连线，图象如图所示： ①一次；；②二次； (2)①不会超出该路面范围；② 【详解】（1）解：①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示， 设，将点与点代入函数关系式中， 可得，解得，∴， ∴v与t的函数关系式为． ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数，设， 将点，点，点代入函数关系式中， 可得，解得，∴， ∴y与t之间的函数关系式为． （2）解：①不会超出该路面范围， ∵当新能源汽车完全停车时，∴，即， ∴新能源汽车行走的最大距离为， ∵，∴不会超过路面范围； ②∵，设，由题意，得：，∴， ∴当时，d最大为；∴最小为． 24．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）定义：用抛物线与x轴的两个公共点分别作为两条新抛物线的顶点，且新抛物线经过原抛物线的顶点，则称这两条新抛物线为一组“衍生对称抛物线”．如图1，抛物线，为抛物线C的“衍生对称抛物线”． (1)已知原抛物线的解析式为，请直接写出该抛物线的一组“衍生对称抛物线”． (2)若和为某抛物线的一组“衍生对称抛物线”，求证：． (3)如图2，抛物线与x轴的负半轴交于点A，抛物线是以A为顶点的抛物线L的“衍生对称抛物线”，B为抛物线上对称轴左侧的一点，过点B作轴，BE与抛物线L，抛物线从左往右依次交于点C，D，E，若，求点E的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线，求出与轴的交点坐标， 以及顶点坐标， 再以为顶点坐标，设抛物线解析式为，代入顶点坐标， 得到方程，解得，∴第一条衍生抛物线解析式： ， 再以为顶点坐标，设抛物线解析式为，代入顶点坐标， 得到方程，解得，∴第二条衍生抛物线解析式： ． (2)证明：由题意可知，， ． 每组“衍生对称抛物线”的顶点都在x轴上， ，，，． （3）解：如图所示，易求得点A的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 抛物线L，的对称轴分别为直线，直线． 抛物线L的顶点坐标为，易求得抛物线的解析式为． 设点B的横坐标为，则点D的横坐标为，． ，，点C的横坐标为． 点B与点C的纵坐标相同，， 整理得，解得或（舍去）， 点C的横坐标为，点E的横坐标为． 25．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式；(2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)(2)，线段的最大值为(3)或 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得，该抛物线的表达式为； （2）解：由（1）得，当时，，， 设直线的解析式为， ，，解得，直线的解析式为， 轴，，， ，，，当且仅当时等号成立，线段的最大值为； （3）解：如图，设，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接， ，，，，，，，， ，，， 令，，，解得或，，， 在和中，，，， ，，点为符合题意的点， 设直线的解析式为，，， ，解得，直线的解析式为， 令，整理得，两边同时乘得， 解得或， ，，即， 在和中，，，， ，，点为符合题意的点， ，，综上所述，点P的坐标为或． 26．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方；①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称，∴． ∴将点，代入抛物线，得 ，解得，∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则，∴． ∵抛物线，∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，，∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则，连接，，则，且轴， ∵在x轴上，且，∴，，∴四边形是平行四边形，∴． 作点关于x轴的对称点，连接，，则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，，∴． ∴最小值为．设直线的函数解析式为， ∵直线过点，，∴，解得， ∴直线的函数解析式为，令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中；由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形，∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得，解得， ∵，，∵，即，∴，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或，如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得，解得，∴，， 同理，∴，解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得，解得：， ∴，，同理，，∴， 解得，∴，符合题意，∴， 综上，点Q的坐标为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $