第6章 二次函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材苏科版九年级下册

2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第6章 二次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A D B C A A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9． 10．5 11． 12． 13． 14．6 15．直线 16． 17．/4104676 18．②③ 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分） 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得；（3分） （2）解：由（1）可得，， ∴顶点为,开口向下， ∵， ∴当时，y随x增大而减小．（6分） 20．（6分） 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得；（3分） （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，得， 解得， 当时，， 当时，， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或．（6分） 21．（6分） 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为；（2分） （2）解：二次函数的解析式为， 该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为；（4分） （3）解：二次函数的解析式为，且， 该二次函数在时取最小值，离对称轴越远值越大，在这个范围内， 时，取最小值， 又 ， 时，取最大值为， 故当时，的取值范围为．（6分） 22．（7分） 【详解】（1）解：根据题意，得降价后每件商品的实际利润为元，实际的销售量为件， 故， 且， 故．（3分） （2）解：根据题意，得 ，（5分） ， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为1800元． 故每件商品降价20元时，商场每天销售这种商品的利润最大，最大利润是1800元．（7分） 23．（7分） 【详解】（1）解： ∵ 抛物线与轴交点为，，且，， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴ ；（2分） （2）∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ， ∴ ， 分情况讨论： ① 当，即时， ∵ 在范围内，随的增大而减小， ∴ （时取得），（时取得）， ∵ 最大值与最小值的差为， ∴ ， 解得， ∵ ，与矛盾， ∴ 该情况舍去；（4分） ② 当，即时， ∵ 抛物线开口向上， ∴ 最小值在对称轴处取得，， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 整理得， 解得，； ∵ ， ∴ 符合条件，（6分） 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 解得， ∵ ， ∴ 符合条件；（7分） 综上所述，的值为或 24．（8分） 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴． ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴． ∵二次函数（）的图象过点，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为；（3分） （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为（6分） （3）解：如图， 设直线 ∵， ∴ 解得 ∴直线 与抛物线表达式联立可得， 解得或（点横坐标） 即 ∴．（8分） 25．（7分） 【详解】（1）解：当时，， 故；（1分） 补图如下： （3分） （2）解：当时，，对称轴； 当时，，对称轴，当时，y随x的增大而增大，不符合要求． ∴，随增大而减小．（5分） （3）解：当时，，对称轴； 当时，函数的最大值为1， 当或时，函数的最小值为0， 当时，， 解得，． ∴取值范围．（7分） 26．（8分） 【详解】（1）解：，顶点坐标为， ，， “影差”；（2分） （2）解：“影差”为0，即，则， 点在抛物线上：， 代入，则， 整理得， 解得，，对应点为和， 答：存在，点的坐标为和；（5分） （3）解：设图象上点为，则， “影差”为， 这是开口向上的二次函数，最小值在顶点处， ∴， 解得或．（8分） 27．（9分） 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∴ ∴，，即 将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为；（2分） （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴的周长 （4分） ∵， ∴可得所在直线的表达式为 设，则 ∴ ∵ ∴当时，取得最大值2，L的最大值为， ∴将代入得，；（6分） （3）解：设， ∵，，平行四边形的对角线互相平分， ∴当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或（此时点G和点B重合，舍去） ∴点G的坐标为；（7分） 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为；（8分） 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为或；（9分） 综上所述，点G的坐标为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第6章 二次函数·能力提升 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象顶点在轴下方，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 8．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（     ） A． B．点的纵坐标为204 C． D．点在该函数图象上 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______． 10．二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 11．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________ 12．飞机着陆后，滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）满足函数表达式，则飞机在着陆滑行中，最后滑行的距离是__________． 13．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接，则的面积为________． 14．如图，关于的二次函数的图象为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则________． 15．抛物线和与平行于x轴的直线l分别交于A，C和B，D四点，如图所示，且，． 则抛物线的对称轴是________________． 16．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且，当的值最小时，点的坐标为________． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等腰直角三角形，其中，则的面积为______． 18．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”．例如“三倍函数”，其“三倍点”为．下列说法正确的序号为________． ①函数，，都不是“三倍函数”； ②在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围为； ③若函数的图象上存在“三倍点”，设其横坐标为，令，则t的最小值为． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标．当x取何值时，y随x的增大而减小？ 20．（6分）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 21．（6分）二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数解析式． (2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (3)当时，求的取值范围． 22．（7分）商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，商品单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场每天销售这种商品的利润是y元． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)每件商品降价多少元时，商场每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 23．（7分）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 24．（8分）如图，二次函数的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于x轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t．连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交x轴于点，直接写出的面积_______． 25．（7分）某数学兴趣小组研究函数的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当时，；当时，．然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图（1）所示．类似地，研究函数的图象时，他们已经画出了时的图象． (1)当时，函数解析式是________；请补全此函数的大致图象； (2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小； (3)当时，的最大值是1，最小值是0，请你直接写出的取值范围． 26．（8分）定义：在平面直角坐标系中，对于一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． (1)二次函数图象顶点的“影差”为 ． (2)已知二次函数，探究该二次函数图象上是否存在“影差”为0的点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. (3)若二次函数的图象上点的“影差”的最小值为，求b的值． 27．（9分）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第6章 二次函数·能力提升 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：的右边含分式，不是二次函数； B选项：化简得，符合二次函数定义； C选项：化简得，是一次函数，不是二次函数； D选项：当时，函数解析式为，是一次函数，故该函数不一定是二次函数． 2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数由一次项系数判断增减性，二次函数结合开口方向、对称轴与的位置关系判断增减性． 【详解】解：∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而增大，故选项A不符合题意． ∵二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下， 又∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵满足，故选项B符合题意． ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故选项C不符合题意． ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意． 3．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线， ∵抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． 4．（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）二次函数的图象顶点在轴下方，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将二次函数配方为顶点式，根据顶点在轴下方的条件列不等式求解． 【详解】解：， ∵顶点在轴下方， ∴，解得． 5．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即 万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 6．（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题围绕二次函数的图像和性质，结合开口方向、对称轴、特殊点的函数值逐一判断选项正误． 【详解】解：A选项：抛物线开口向下，对称轴，抛物线与轴交于正半轴， ，，， ， ，选项错误； B选项：由移项得且，故，选项错误； C选项：对称轴， 与时的函数值相等， 由抛物线图像得，当时，， 当，，选项正确； D选项：由抛物线图像得，当，， 将代入得，化简得，选项错误． 7．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】根据题意对的正负进行讨论，得到的方程，从而求得的值． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线． 当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 当时，当时，；当时，． ，解得． 当时，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 当时，当时，；当时，． ，解得． 综上所述，的值为或． 8．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（     ） A． B．点的纵坐标为204 C． D．点在该函数图象上 【答案】A 【分析】过点作于点，先结合函数图象可得，，，，且，再在中，利用勾股定理可得的值；根据对称性可得的值；然后求出的值，据此即可得点的纵坐标；最后设，求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，，（理由是垂线段最短），且， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去），则选项C错误； 由对称性可知，，即， 解得，则选项A正确； 在中，， ∵点的横坐标为0，表示的是，此时点与点重合， ∴此时，即点的纵坐标为205，则选项B错误； 如图，设，则， 在中，， ∴当时，， 即点在该函数图象上，而点不在该函数图象上，则选项D错误． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．（26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______． 【答案】 【分析】根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为． 10．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 【答案】5 【分析】求出二次函数，当时x的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 或， ， 线段长为． 11．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________ 【答案】 【分析】可将三个点的横坐标代入解析式求出对应函数值再比较大小，也可利用二次函数的性质比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）飞机着陆后，滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）满足函数表达式，则飞机在着陆滑行中，最后滑行的距离是__________． 【答案】 【分析】先求出飞机停止滑行时的总时间和总滑行距离，再计算总时间时的滑行距离，总距离减去该距离即可得到最后滑行的距离 【详解】解：先对函数表达式配方得： ， ∵二次函数开口向下，顶点处取得最大值， ∴当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行后停止，总滑行距离为， 计算时的滑行距离： 因此最后滑行的距离为 13．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标，然后通过解析式求出点坐标，求出相关线段的长度，最后利用三角形的面积公式进行求解． 【详解】解：由得， 顶点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴； ∴， ∴的面积为． 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，关于的二次函数的图象为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则________． 【答案】 【分析】先配方求出抛物线顶点坐标，确定直线的解析式，从而表示出的长；利用抛物线的对称性表示出的长；根据正方形的性质列出关于的方程求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， ∵直线过顶点且平行于轴， ∴直线的解析式为， ∵，在直线上，且四边形为正方形， ∴，， 当时，，解得，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，解得或， ∵当时，，重合，不能构成正方形， ∴舍去， ∴． 15．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）抛物线和与平行于x轴的直线l分别交于A，C和B，D四点，如图所示，且，． 则抛物线的对称轴是________________． 【答案】直线 【分析】根据抛物线解析式确定的对称轴，利用抛物线的轴对称性质可知A，C关于对称轴对称，B，D关于对称轴对称；结合线段，的长度，利用中点坐标公式计算两对称轴之间的距离，从而求出的对称轴． 【详解】解：由抛物线可知，其对称轴为直线． 设抛物线的对称轴为直线． ∵点A，C在抛物线上，且直线l平行于x轴， ∴点A，C关于直线对称， ∴线段的中点横坐标为，即． ∵点B，D在抛物线上，且直线l平行于x轴， ∴点B，D关于直线对称， ∴线段的中点横坐标为m，即． ∴． ∵A，B，C，D从左到右排列，且， ∴，． ∴． ∴． ∴抛物线的对称轴是直线． 16．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且，当的值最小时，点的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出，，作点关于的对称点，将点向上平移2个单位得，连接，，，则，，，证明四边形是平行四边形，得到，则当三点共线时最小，再求出直线的解析式为，先求出，最后把向下移动两个单位长度得到． 【详解】解：令，解得，则； 令，得，则； 的对称轴为直线； 作点关于的对称点，将点向上平移2个单位得，连接，，，则，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小； 设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，即， ∴向下移动两个单位长度得到． 17．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等腰直角三角形，其中，则的面积为______． 【答案】/4104676 【分析】先构造垂直于y轴的辅助线，利用等腰直角三角形性质设点坐标，代入抛物线解析式求出前几个点坐标，归纳底边长度的通项公式，最后用三角形面积公式求出面积． 【详解】解：作轴于C，轴于D，如图， 设， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 把代入得，解得：（舍去），， ∴， 设， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 把代入得，解得（舍去），， ∴， ∴线段的长为4， 同理可得，， ∴的面积． ∴当时，的面积． 故答案为：． 18．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”．例如“三倍函数”，其“三倍点”为．下列说法正确的序号为________． ①函数，，都不是“三倍函数”； ②在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围为； ③若函数的图象上存在“三倍点”，设其横坐标为，令，则t的最小值为． 【答案】②③ 【分析】令三个函数的函数值都为，进而建立方程，看方程是否有解即可；由题意得，“三倍点”所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值的大小关系即可求出c的取值范围；由定义可得，再由判别式，求出，根据根与系数的关系可得，当时，有最小值； 【详解】解：在中，当时，则，此时方程无解， ∴函数不是“三倍函数”； 在中，当时，则，即，此时方程无实数根， ∴函数不是“三倍函数”； 在中，当时，则，即， 此时，原方程有两个相等的实数根， ∴函数是“三倍函数”，故①错误； 在中，当时，则， ∴， ∵在的范围内，函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴方程有实数根， ∴， ∴； ∵要满足在的范围内，函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴要满足当时，或当时， ∴或， ∴或， 综上所述，，故②正确； 在中，当时， 则， ∵函数的图象上存在“三倍点”， ∴， ∴； 由一元二次方程根与系数的关系可知： ， ∴ ， ∵ ∴当时，随的增大而减小； ∴当时，有最小值； 此时，，故③正确； 综上所述，正确的有②③． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标．当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)顶点，当时，y随x增大而减小 【分析】（1）根据二次函数的定义求解即可； （2）将函数变为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∴顶点为,开口向下， ∵， ∴当时，y随x增大而减小． 20．（6分）（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，得， 解得， 当时，， 当时，， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 21．（6分）（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数解析式． (2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将二次函数的解析式化为顶点式即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：二次函数的解析式为， 该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：二次函数的解析式为，且， 该二次函数在时取最小值，离对称轴越远值越大，在这个范围内， 时，取最小值， 又 ， 时，取最大值为， 故当时，的取值范围为． 22．（7分）（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，商品单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场每天销售这种商品的利润是y元． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)每件商品降价多少元时，商场每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件商品降价20元时，商场每天销售这种商品的利润最大，最大利润是1800元 【分析】（1）根据题意，得降价后每件商品的实际利润为元，实际的销售量为件，根据总利润=每件的利润乘以销售的总件数，解答即可． （2）根据题意，得，利用二次函数的性质 解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得降价后每件商品的实际利润为元，实际的销售量为件， 故， 且， 故． （2）解：根据题意，得 ， ， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为1800元． 故每件商品降价20元时，商场每天销售这种商品的利润最大，最大利润是1800元． 23．（7分）（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积直接计算的值； （2）根据抛物线开口向上且对称轴在轴右侧的性质，分类讨论对称轴与区间的位置关系，结合最值差列方程求解，舍去不符合范围的解即可． 【详解】（1）解： ∵ 抛物线与轴交点为，，且，， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴ ； （2）∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ， ∴ ， 分情况讨论： ① 当，即时， ∵ 在范围内，随的增大而减小， ∴ （时取得），（时取得）， ∵ 最大值与最小值的差为， ∴ ， 解得， ∵ ，与矛盾， ∴ 该情况舍去； ② 当，即时， ∵ 抛物线开口向上， ∴ 最小值在对称轴处取得，， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 整理得， 解得，； ∵ ， ∴ 符合条件， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 解得， ∵ ， ∴ 符合条件； 综上所述，的值为或 24．（8分）（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于x轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t．连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交x轴于点，直接写出的面积_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解交点的横坐标，再代入（2）中的函数关系式求解面积即可． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴． ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴． ∵二次函数（）的图象过点，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为 （3）解：如图， 设直线 ∵， ∴ 解得 ∴直线 与抛物线表达式联立可得， 解得或（点横坐标） 即 ∴． 25．（7分）（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）某数学兴趣小组研究函数的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当时，；当时，．然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图（1）所示．类似地，研究函数的图象时，他们已经画出了时的图象． (1)当时，函数解析式是________；请补全此函数的大致图象； (2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小； (3)当时，的最大值是1，最小值是0，请你直接写出的取值范围． 【答案】(1)解：，补图如下： (2) (3) 【分析】根据，，计算求解即可； 根据图像，结合抛物线的性质，解答即可； 利用数形结合思想，根据抛物线的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故； 画图象略； （2）解：当时，，对称轴； 当时，，对称轴，当时，y随x的增大而增大，不符合要求． ∴，随增大而减小． （3）解：当时，，对称轴； 当时，函数的最大值为1， 当或时，函数的最小值为0， 当时，， 解得，． ∴取值范围． 26．（8分）（26-27九年级上·广东中山·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，对于一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． (1)二次函数图象顶点的“影差”为 ． (2)已知二次函数，探究该二次函数图象上是否存在“影差”为0的点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. (3)若二次函数的图象上点的“影差”的最小值为，求b的值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为和 (3)的值为或 【详解】（1）解：，顶点坐标为， ，， “影差”； （2）解：“影差”为0，即，则， 点在抛物线上：， 代入，则， 整理得， 解得，，对应点为和， 答：存在，点的坐标为和； （3）解：设图象上点为，则， “影差”为， 这是开口向上的二次函数，最小值在顶点处， ∴， 解得或． 27．（9分）（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，L的最大值为 (3)点G的坐标为或或或 【分析】（1）首先求出，得到，然后求出，，然后利用待定系数法求解； （2）根据题意证明出是等腰直角三角形，表示出，然后得到，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据题意分三种情况讨论，分别利用平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∴ ∴，，即 将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴的周长 ∵， ∴可得所在直线的表达式为 设，则 ∴ ∵ ∴当时，取得最大值2，L的最大值为， ∴将代入得，； （3）解：设， ∵，，平行四边形的对角线互相平分， ∴当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或（此时点G和点B重合，舍去） ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为或； 综上所述，点G的坐标为或或或． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第6章 二次函数·能力提升 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．二次函数的图象顶点在轴下方，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 8．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（     ） A． B．点的纵坐标为204 C． D．点在该函数图象上 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______． 10．二次函数的图像与轴的交点为，两点，则线段长为________． 11．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________ 12．飞机着陆后，滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）满足函数表达式，则飞机在着陆滑行中，最后滑行的距离是__________． 13．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接，则的面积为________． 14．如图，关于的二次函数的图象为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则________． 15．抛物线和与平行于x轴的直线l分别交于A，C和B，D四点，如图所示，且，． 则抛物线的对称轴是________________． 16．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且，当的值最小时，点的坐标为________． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等腰直角三角形，其中，则的面积为______． 18．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”．例如“三倍函数”，其“三倍点”为．下列说法正确的序号为________． ①函数，，都不是“三倍函数”； ②在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围为； ③若函数的图象上存在“三倍点”，设其横坐标为，令，则t的最小值为． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标．当x取何值时，y随x的增大而减小？ 20．（6分）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 21．（6分）二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数解析式． (2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (3)当时，求的取值范围． 22．（7分）商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，商品单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场每天销售这种商品的利润是y元． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)每件商品降价多少元时，商场每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 23．（7分）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 24．（8分）如图，二次函数的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于x轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t．连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交x轴于点，直接写出的面积_______． 25．（7分）某数学兴趣小组研究函数的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当时，；当时，．然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图（1）所示．类似地，研究函数的图象时，他们已经画出了时的图象． (1)当时，函数解析式是________；请补全此函数的大致图象； (2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小； (3)当时，的最大值是1，最小值是0，请你直接写出的取值范围． 26．（8分）定义：在平面直角坐标系中，对于一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． (1)二次函数图象顶点的“影差”为 ． (2)已知二次函数，探究该二次函数图象上是否存在“影差”为0的点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. (3)若二次函数的图象上点的“影差”的最小值为，求b的值． 27．（9分）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $