专题6.5 二次函数与一元二次方程（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题6.5 二次函数与一元二次方程 1.理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根；掌握交点个数与判别式∆=b2-4ac的对应关系。 2.能利用判别式，不画图象直接判断抛物线与x轴的交点个数；已知抛物线与x轴交点情况，求参数取值。 3.会借助二次函数图象估算一元二次方程的近似根；能看懂图象，初步写出ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0对应的自变量取值范围。 4.知道交点式y=a(x-x1)(x-x2) 的由来，能由方程的根直接写出抛物线与x轴交点坐标。 5.经历 “函数图象 — 交点横坐标 — 方程的根” 的转化探究，体会函数与方程、数形结合、转化思想，学会用函数视角看方程。 6.在图象识图、估算近似根的活动中，感受近似求解的思路，发展几何直观。 7.体会代数知识内在的关联性，感受数形转化的价值；发展几何直观、推理能力、运算能力，养成看图说理的习惯。 1．二次函数图象与轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数(a≠0)图象与x轴的交点坐标，即令y＝0，求中x的值的问题。 因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表（以为例）： 判 别 式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 函数与x轴相交，两点， 且， 方程有两个不相等的实数根， 即 △＝0 函数与x轴交于一点， 且 方程有两个相等的实数根， 即 △＜0 函数与x轴无交点 方程在实数范围内无解（无实根） 2．二次函数图象与不等式（拓展） 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 3.利用二次函数的图象解决一元二次方程的近似根 1）构造函数：设二次函数y=ax²+bx+c； 2）画图象：画出这个二次函数的图象； 3）定位区间：观察函数与x轴交点，确定交点横坐标在哪两个数之间（两个自变量对应的函数值一正一负）； 4）列表试值（逼近）：在这个区间内依次取x值，计算对应的函数值y，不断缩小根所在范围； 5）确定近似根：对比函数值，y最接近0对应的x，就是一元二次方程的近似根，按题目要求保留精度。 题型01 抛物线与坐标轴的交点问题 【典例】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：是二次函数，二次项系数， 二次函数的图像与轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ，综上，的取值范围是且． 【变式1】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，∴，解得． 【变式2】（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，，∴抛物线与y轴的交点坐标为． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 【答案】0或 【详解】解：当时，，此时函数为一次函数， 当时，，解得，故此时函数与x轴有一个交点， 当时，，此时函数与y轴有一个交点，∴此时原函数与坐标轴有两个交点，符合题意； 当时，原函数是二次函数，当时，，即该函数与y轴交于点 ∵二次函数与y轴必然有一个交点， ∴当函数的图象与坐标轴有两个交点时该函数与x轴只有一个交点， ∴，解得；综上所述，k的值为0或． 【变式4】（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得当时，此时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为零，当时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为正，故答案为：； 【变式5】（26-27九年级上·四川自贡·阶段检测）二次函数的图像如图所示，根据图像填空：(1)方程的两个根为____；(2)若方程只有一个实数根，求的值_____； (3)若方程有两个不相等的实数根，的取值范围为________． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与轴的交点坐标为和，即方程的两个根为，； （2）解：∵方程只有一个交点，∴二次函数与直线只有一个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为，则，即方程只有一个交点，的值为2； （3）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴方程有两个不相等的实数根，即二次函数与直线有两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为，则，∴， 即方程有两个不相等的实数根，的取值范围为． 题型02 利用二次函数的图象确定方程根的情况 【典例】（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴一元二次方程的解为，． 【变式1】（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：由图可得，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，即为一元二次方程的解．故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图是函数的图像．则方程的解是___________． 【答案】 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的两个交点坐标为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴函数与函数关于y轴对称， ∴函数与x轴的两个交点坐标为， ∴方程的解是，故答案为：． 【变式3】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称．∴点、到对称轴的距离相等． ∵点到对称轴的距离为．∴点的横坐标为．∴点的坐标为． 题型03 抛物线与x轴的截线长 【典例】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是__________． 【答案】2 【详解】解：将代入，，得， 抛物线解析式为．令，，， 解得，． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于点，点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：∵与x轴相交于点，点，∴对称轴为：， ∵与 y轴相交于点C，点D在抛物线上，轴， ∴点C的横坐标为0，∴点D的横坐标为6，∴． 【变式2】（26-27九年级上·广东·单元复习）已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数经过点，， ∴，解得，，∴二次函数解析式为， 当时，，解得，， ∵点坐标为，∴另一个交点坐标为，∴的长为． 【变式3】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根. 由根与系数的关系，得，，∵，∴， ∵，∴，整理得，解得，， ∵恒成立，∴的值为或． 【变式4】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 【答案】 【详解】解：过作轴于点．由题意可知， ，∴由勾股定理得，， 设，则，，抛物线解析式为， 把代入得：，解得：，故答案为：． 题型04 图象法确定一元二次方程的近似解 【典例】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下表是的自变量x与函数值y的部分对应关系，则方程的一个近似根x的值为（     ） x 1 1.1 1.2 1.3 y 0.04 0.59 A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 【答案】C 【详解】解：由表可得，当时，，最接近于， 故方程的一个近似根x的值为1.2． 【变式1】（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 关于x的方程的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：分析表格中函数值的变化： 当时，； 当时，；当时，；当时，； 可知x在1.1到1.4之间逐渐增大时，y的值也逐渐增大，函数呈递增趋势；因此当函数值从2.29上升到3.76的过程中，必然存在一个x使得，该x的取值在1.3和1.4之间． 【变式2】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（     ） A．3.67 B．3.56 C．3.39 D．3.26 【答案】D 【详解】解：由题意可得：当时，，当时，， 当时，，选项D符合． 【变式3】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，．故答案为：，． 【变式4】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数图象的对称轴为，若它与x轴的一个交点横坐标约为，则方程的另一个根的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设方程的另一根为，已知其中一根约为． ∵二次函数的图象对称轴为，与轴的两交点关于对称轴对称． ∴两根横坐标的中点为对称轴与x轴的交点，即． 解得． ∵，∴． 题型05 图象法解一元二次不等式 【典例】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】或 【详解】解：由图象知，二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴另一交点为， ∴不等式的解集为或． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·广东·期末）二次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．    【答案】 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，函数图象在轴的下方（包括交点）， ∴函数的图象与轴的交点为，，（把作为一个整体，代入上面的函数中，）∴不等式的解集为，故答案为：． 【变式3】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数． (1)分别求出该函数图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)利用函数图象回答：①当时，的取值范围是②当时，的取值范围是 ③若方程有实数根，则的取值范围是④若不等式无解，则的取值范围是⑤写出不等式的解集：． 【答案】(1)与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为 (2)①；②；③；④；⑤或 【详解】（1）解：令，则，解得，， 该函数图象与轴的交点坐标为，， 将代入，得，与轴的交点坐标为， x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 画出这个函数的图象略； （2）①由图象可知，当时，x的取值范围是． ②观察图象得：二次函数的图象的顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 将代入，得，当时，y的取值范围是． ③∵方程有实数根， ∴二次函数的图象与直线有交点，∴t的取值范围是； ④∵不等式无解， ∴二次函数的图象与直线无交点，∴n的取值范围是． ⑤∵，∴此时二次函数的图象位于直线的下方， 观察图象得：此时或，即不等式的解集为或． 题型06 根据两函数交点确定不等式的解集 【典例】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【详解】解：令，可得，，令，可得，解得，， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 【变式1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知，当或时， 函数在的图象的上方，∴，故选：C． 【变式2】（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【答案】或 【详解】解：不等式表示抛物线在直线上方（含交点）的部分对应的的取值．已知两函数交点坐标为和，结合图象可知，此时或．故答案为：或． 【变式4】（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线顶点坐标为，直线的解析式为． (1)利用图象的特点填空：①当________时，；②不等式的解集为________ (2)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)①或；②或(2) 【详解】（1）解：已知抛物线顶点，设抛物线解析式为， 把代入：，解得，． ①求时的值：，，，解得：． ②不等式，即抛物线在轴下方部分对应的取值． 解方程：，根为． 抛物线开口向下，图象在轴下方时：或． （2）解：，表示抛物线图象在直线上方（含交点）． 直线与抛物线交于、，由图象得：． 题型07 抛物线与x轴交点上的四点比较大小 【典例】（25-26九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线，抛物线与轴交于两点()，则，，的大小关系是___________． 【答案】 【详解】解：设抛物线的解析式为，则、是函数和轴的交点的横坐标， 而， 即函数向下平移个单位得到函数， 则两个函数的图像如图所示（省略了轴）， 由图像可得:，故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知抛物线的图象与轴的两交点的横坐标分别，，一元二次方程的两根为，，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴函数的图象与轴的两个交点的横坐标为，， ∵的图象是由向下平移5个单位所得，如图， ∴，选项A符合题意，故选：A． 【变式2】已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵a=1>0∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是、 又∵的两根是抛物线与直线y=2的交点横坐标，且 ∴抛物线的图象如图，由图象可知： 故选：B．    【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向下平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（       ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【答案】C 【详解】解：当时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线，∴，且； 当时，如图所示：∵抛物线的对称轴为直线，∴，且．故选：C． 题型08 二次函数中参数问题（公共点、交点问题） 【典例】若二次函数（为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】 二次函数的图像在的部分与x轴有两个交点 当 x=和x=5时，得 解得 此不等式的解集为 故选B． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点，∴点与点关于直线对称， ∵，即点在与之间，点在与之间，，故选：C． 【变式2】（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知抛物线（m为常数），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．（1）A、B两点之间的距离为_______； （2）若该抛物线在的范围内与x轴有且只有一个交点，则m的取值范围是________． 【答案】 2 或 【详解】解：（1）令，则，∴，即，∴， 解得，∴，∴； （2）①当点A在区间内，点B在区间外时，； ②当点B在区间内，点A在区间外时，； 综上所述，m的取值范围为或． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵的坐标为，线段平行于轴，，故点的坐标为， 若线段的端点在抛物线上， 联立方程组，得，整理得，解得，， 即当、时，线段的端点在抛物线上， 当时，点的坐标为，令，此时， 即当时，线段的端点在抛物线上， 此时线段与抛物线有两个交点，故． 当时，点的坐标为，令，此时， 即当时，线段与抛物线有一个交点． 若线段的端点在抛物线上， 即，整理，得，解得，（舍去）； 即当时，线段与抛物线有一个交点．结合函数图象可得， 当时，线段端点在抛物线上， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段与抛物线有两个交点， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段的端点在抛物线上， 综上，的取值范围为或．故选：D． 【巩固训练】 1.（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3，∴点的纵坐标为3，∴， ∵轴，∴，把，，代入，得 ，解得，∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即；综上：只有选项D错误. 2.（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）一个解可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是.∴C符合题意. 3.（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（     ） A．6 B．8 C．9 D．18 【答案】A 【详解】解：令，得，解得，， ∴，两点的坐标为和，∴线段的长为． 4.（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：当时，，可得函数的对称轴为，且开口向下， 所以二次函数的图象的对称轴为，且开口向下，故B、C、D选项错误；故选：A． 5.（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为2，则的值为________． 【答案】3 【详解】解：设二次函数图象与轴两交点的横坐标分别为，， 则，为方程的两个解，∴，， 则：二次函数与轴两交点的距离，即：，解得：． 6.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 【答案】3 【详解】解：在中，当时，，则，∴； 当时，，解得或， ∴，∴，∴． 7.（26-27重庆九年级一模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 【答案】， 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∵当时，，∴关于的一元二次方程的根为，． 8.（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）将二次函数的图象向上平移a个单位长度，当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时，a的值为________． 【答案】3或7 【详解】解：∵将二次函数的图像向上平移a个单位长度得， ∴抛物线的开口向上， 当抛物线与y有一个交点，则抛物线与x轴只有一个交点， 即，解得； 当抛物线与x轴有两个交点，且有一个交点为原点时，∴，解得. 当抛物线与两坐标轴有且只有2个交点时，a的值为3或7.故答案为：3或7. 9.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为，∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是．故答案为：． 10.（25-26九年级上·重庆·专题练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)当为何值时，？ 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点， 设二次函数的交点式为， 将点代入解析式得：，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：二次函数的图像经过点和，且二次项系数， 可知抛物线开口向上，要使，即抛物线在轴的上方，对应的取值范围是或． 11．（25-26九年级上·天津静海·期中）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根；(2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为，即或时，， 关于x的一元二次方程的两个根为； （2）∵当或时，，关于x的不等式的解集为或； （3）∵抛物线顶点的纵坐标为2，直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线与抛物线有两个交点， 即时，关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，的取值范围为 【强化训练】 1.（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【详解】解：A选项，二次函数，令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数，对称轴为， 将代入函数解析式可得，∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为，在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误．故选：C ． 2．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数的图象全部在x轴的上方，那下列判断中正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的图象全部在x轴的上方， ∴抛物线开口向上，抛物线与轴没有交点，与轴的交点在正半轴， ∴，，，故选项D正确． 3．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：，解得或， ∴，，∴， ∵与关于轴对称，∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，，∴，， ∵，∴，∴，∴． 4.（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 【答案】 1 【详解】解：对于，，有， ，，，； ， ，，抛物线开口向下， 若，对于，都有，离对称轴的距离大于， 则与的中点在对称轴的右侧， ，即，故答案为：1；． 5.（2026滕州市模拟）如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 【答案】 【详解】解：∵，∴．设 ∵比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∴比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，∵当时，， ∴关于x的不等式  的解集是．故答案为：． 6.（2026·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【详解】解：由图象可知，图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①．故答案为：①． 7．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知函数（k是常数，），（a是常数，），则函数与x轴的交点坐标为______；若在同一平面直角坐标系中，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 或 【详解】解：∵，∴函数(是常数，)的图象过定点 ∵，∴函数是常数，与轴的交点为， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点，∴满足题意； 当时，∵无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即，解得，∴满足题意； ∴无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是或． 8．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集； (3)若方程有一正一负两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)方程的两个根为 ，(2)不等式的解集为 (3)的取值范围为 【详解】（1）解： 二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的实数根．从图中可以直接读出抛物线与 轴交于 和 ， ∴方程的两个根为 ，． （2）解：不等式的几何意义是：找函数值对应的的范围。 图中抛物线开口向上，在两个与轴交点之间的部分图象位于轴下方（即），∴解集是． （3）解：方程可变形为，它的实根的几何意义是抛物线与直线的交点横坐标： 从图中可得抛物线与轴交于，顶点纵坐标为，且对称轴为； 要求方程的两个根一正一负，即抛物线和直线的两个交点的横坐标一个为正、一个为负： 结合图象，当直线位于点上方时，直线和抛物线的左交点横坐标小于0、右交点横坐标大于0，同时保证有两个不相等的实根；因此的取值范围是． 9.（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点，所以函数的最小值小于， 则，即，解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以，又因为，所以，解得． （3）证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 10.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】解：当时， 当时， ．x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 【答案】(1)，3，1，，1(2)，， 【详解】（1）解：当时，， 当时，．．x的近似值可能为1或2 当时， ．（精确到1）． 故答案为：，3，1，，1． （2）解：由（1）可知． 当时，， 当时，．． 取中间值，当时，， 当时 ，，． ．精确到0.1，． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 二次函数与一元二次方程 1.理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标，就是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根；掌握交点个数与判别式∆=b2-4ac的对应关系。 2.能利用判别式，不画图象直接判断抛物线与x轴的交点个数；已知抛物线与x轴交点情况，求参数取值。 3.会借助二次函数图象估算一元二次方程的近似根；能看懂图象，初步写出ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0对应的自变量取值范围。 4.知道交点式y=a(x-x1)(x-x2) 的由来，能由方程的根直接写出抛物线与x轴交点坐标。 5.经历 “函数图象 — 交点横坐标 — 方程的根” 的转化探究，体会函数与方程、数形结合、转化思想，学会用函数视角看方程。 6.在图象识图、估算近似根的活动中，感受近似求解的思路，发展几何直观。 7.体会代数知识内在的关联性，感受数形转化的价值；发展几何直观、推理能力、运算能力，养成看图说理的习惯。 1．二次函数图象与轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数(a≠0)图象与x轴的交点坐标，即令y＝0，求中x的值的问题。 因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表（以为例）： 判 别 式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 函数与x轴相交，两点， 且， 方程有两个不相等的实数根， 即 △＝0 函数与x轴交于一点， 且 方程有两个相等的实数根， 即 △＜0 函数与x轴无交点 方程在实数范围内无解（无实根） 2．二次函数图象与不等式（拓展） 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 3.利用二次函数的图象解决一元二次方程的近似根 1）构造函数：设二次函数y=ax²+bx+c； 2）画图象：画出这个二次函数的图象； 3）定位区间：观察函数与x轴交点，确定交点横坐标在哪两个数之间（两个自变量对应的函数值一正一负）； 4）列表试值（逼近）：在这个区间内依次取x值，计算对应的函数值y，不断缩小根所在范围； 5）确定近似根：对比函数值，y最接近0对应的x，就是一元二次方程的近似根，按题目要求保留精度。 题型01 抛物线与坐标轴的交点问题 【典例】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知二次函数的图像与轴有两个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若抛物线与轴只有一个交点，则的值为___________． 【变式2】（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 【变式4】（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【变式5】（26-27九年级上·四川自贡·阶段检测）二次函数的图像如图所示，根据图像填空：(1)方程的两个根为____；(2)若方程只有一个实数根，求的值_____； (3)若方程有两个不相等的实数根，的取值范围为________． 题型02 利用二次函数的图象确定方程根的情况 【典例】（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图是函数的图像．则方程的解是___________． 【变式3】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 题型03 抛物线与x轴的截线长 【典例】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是__________． 【变式1】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于点，点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（26-27九年级上·广东·单元复习）已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为________． 【变式3】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式4】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 题型04 图象法确定一元二次方程的近似解 【典例】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下表是的自变量x与函数值y的部分对应关系，则方程的一个近似根x的值为（     ） x 1 1.1 1.2 1.3 y 0.04 0.59 A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 【变式1】（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 关于x的方程的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（     ） A．3.67 B．3.56 C．3.39 D．3.26 【变式3】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【变式4】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数图象的对称轴为，若它与x轴的一个交点横坐标约为，则方程的另一个根的大致范围是（     ） A． B． C． D． 题型05 图象法解一元二次不等式 【典例】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为________． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26九年级上·广东·期末）二次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．    【变式3】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数． (1)分别求出该函数图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)利用函数图象回答：①当时，的取值范围是 ②当时，的取值范围是 ③若方程有实数根，则的取值范围是 ④若不等式无解，则的取值范围是 ⑤写出不等式的解集： ． 题型06 根据两函数交点确定不等式的解集 【典例】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【变式1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【变式2】（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【变式3】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【变式4】（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线顶点坐标为，直线的解析式为． (1)利用图象的特点填空：①当________时，；②不等式的解集为________ (2)当时，的取值范围是__________． 题型07 抛物线与x轴交点上的四点比较大小 【典例】（25-26九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线，抛物线与轴交于两点()，则，，的大小关系是___________． 【变式1】（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知抛物线的图象与轴的两交点的横坐标分别，，一元二次方程的两根为，，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向下平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（       ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 题型08 二次函数中参数问题（公共点、交点问题） 【典例】若二次函数（为常数）的图象在的部分与轴有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知抛物线（m为常数），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．（1）A、B两点之间的距离为_______； （2）若该抛物线在的范围内与x轴有且只有一个交点，则m的取值范围是________． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【巩固训练】 1.（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 2.（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）一个解可能是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（     ） A．6 B．8 C．9 D．18 4.（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A．B．C．D． 5.（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为2，则的值为________． 6.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 7.（26-27重庆九年级一模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 8.（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）将二次函数的图象向上平移a个单位长度，当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时，a的值为________． 9.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 10.（25-26九年级上·重庆·专题练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)当为何值时，？ 11．（25-26九年级上·天津静海·期中）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根；(2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【强化训练】 1.（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）已知二次函数的图象全部在x轴的上方，那下列判断中正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 4.（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 5.（2026滕州市模拟）如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 6.（2026·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 7．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知函数（k是常数，），（a是常数，），则函数与x轴的交点坐标为______；若在同一平面直角坐标系中，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是______． 8．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集； (3)若方程有一正一负两个不相等的实数根，求的取值范围． 9.（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 10.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】解：当时， 当时， ．x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $