第6章 二次函数中的角度问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数中的角度问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 复习导航 先看清角的顶点与两边方向，再用等腰、相似、角平分线、旋转或圆周角把角度条件化成坐标关系。求出的点还要符合题目规定的位置。 题目中的角条件 常用转化方法 与水平或竖直方向成已知角 作垂线，利用直角三角形的边比 同一三角形中两个角相等 等角对等边，再求垂直平分线或边长 直角或两个角互余 勾股定理及其逆定理，或直角三角形相似 角平分线或到两直线距离相等 等腰三角形三线合一，角平分线的边比 与斜射线成45°或出现二倍角 旋转、取中点、作轴对称或构造等腰三角形 角顶点移动或含参数求点数 圆周角定理，联立后检查位置和方向 内容目录 一、利用锐角三角函数求点 2 二、等角对等边 4 三、直角与勾股定理 7 四、角平分线 9 五、旋转构造45°角 12 六、二倍角问题 16 七、利用交点个数确定参数 19 八、圆周角定理 22 A 基础通关 25 B 难点突破 29 C 综合进阶 35 D 中考真题精选 42 一、利用锐角三角函数求点 【适用条件】已知或能作出直角三角形，且所求角是锐角时，可用锐角三角函数。先找准角的顶点和两边，再判断对边、邻边，不能一律把“纵坐标除以横坐标”当作正切。 【看图列式】左图中水平，所以右图中竖直，所以此时分子是水平长度。坐标中的长度应由相应坐标差的绝对值表示。再把边比关系与抛物线表达式联立求点。 【角的方向】可把转为两条直角边相等。所求角是钝角时，先找与它互补的锐角，再检查点在角顶点的哪一侧；同一直线上反方向的射线不能混用。 微例：过作水平直线，过作该直线的垂线，垂足为则若改从竖直向上的射线量角，所得锐角的正切为 例1、为坐标原点，点在抛物线上，且在第一象限。若求所有符合条件的的坐标。 【解析】过作轴于在第一象限，所以即且 联立得解得或两根均正，故或两点的横、纵坐标均相等且为正，所成角确为 变式1-1、为坐标原点，点在抛物线上，若求所有符合条件的的坐标。 【解析】抛物线在轴上方或与轴相交。要求在左上方，所以过作轴的垂线，得到一个直角三角形，因此 联立得两根均负。故或两点均在左上方，均满足 变式1-2、点在抛物线上，且若则的坐标为____。 【解析】设在右上方。过向直线作垂线，水平长度为竖直长度为 角从竖直边量起，所以得故 变式1-3、为坐标原点，抛物线在第一象限内恰有一个点满足求的值及此时的坐标。 【解析】角条件给且故两根的积为有实根时，两个根同号，不会恰好一正一负。 恰有一个正根，需两个根重合且为正。由得或时重根时重根不在第一象限。 所以 二、等角对等边 【适用条件】两个相等的角属于同一个三角形时，可用“等角对等边”。左图中得到右图中得到先找各角正对的边，不能见到等角就认定 【看图求点】若点在线段的垂直平分线上。水平时，倾斜时，可用勾股定理分别表示再令两式相等。 【代回检查】把得到的直线与抛物线联立，求出候选点。若落在直线上，三点不能组成三角形，应排除；还要保留原题给定的象限或位置范围。 微例：在轴上方，且则例如时，两个底角确实相等。 例2、点在抛物线上，且在轴上方。若求的坐标。 【解析】在中，等角对等边，故在的垂直平分线上，而中点为所以 代入抛物线得故此点在轴上方且到距离相等，两底角确实相等。 变式2-1、抛物线与直线交于在轴上方。若求的值。 【解析】且的对边是的对边是因此 由勾股定理得故所以此时所对应的两个角相等。 变式2-2、点在抛物线上，且能组成三角形。若求所有符合条件的的坐标。 【解析】由等角对等边，设用勾股定理表示两段长度的平方：整理得 与联立，得时是的中点，三点在同一直线上，不合题意；时不在所在直线上。 所以 变式2-3、点在抛物线上，且在轴上方。若则____。 【解析】由两底角相等，所以在上。设 由得即将代入得所以 三、直角与勾股定理 【直角在动点】左图中所以反过来，三点能组成三角形且满足这个等式时，由勾股定理的逆定理得到若只说三角形是直角三角形，应分别检查直角在的情况。 【与斜线垂直】右图中作水平、竖直辅助线，利用锐角互余，可得到两个小直角三角形相似。图中向右3、向上1，向右1、向下3；横、竖长度的比例要与点的方向一起确定。 【互余关系】同一三角形的两个内角之和为时，第三个角是直角。先认清这两个角是否属于同一三角形，再使用勾股定理；不凭图形“看起来垂直”列式。 微例：由勾股定理算得而因此即 例3、点在抛物线上，且在轴上方。若求的坐标。 【解析】设由勾股定理，整理得 代入得即时不在轴上方；只取 故代回得确有 变式3-1、点在抛物线上，且在轴上方。若是直角三角形，求所有符合条件的的坐标。 【解析】若直角在故若直角在故 若直角在设由勾股定理得令得其判别式为没有实数解。 所以或两点均在轴上方，且分别使处为直角。 变式3-2、点在抛物线上，点不与点重合，且则的坐标为____。 【解析】从到向右个单位、向上个单位。补水平线和竖直线，由两个直角三角形相似可知，过的垂线每向右个单位就向下个单位，所以所在直线为 联立得或时，点与点重合，应排除；时故 变式3-3、为坐标原点，抛物线与直线交于且求所有符合条件的的值。 【解析】由勾股定理，即得 所以或对应两点均不在上，且均满足勾股逆定理，故两个都符合条件。 四、角平分线 【等腰三角形】如左图，在角的两边上取使再取的中点由等腰三角形的“三线合一”，射线平分求出的坐标后，就能确定角平分射线的方向。 【分对边成比例】如右图，在线段内部，射线平分则理由是到的距离相等，按这两边作底得到的面积比为按作底时，两三角形共高，面积比为 【射线与整线】角的内部到两边距离相等的点在角平分线上；若改成“到两条相交直线的距离相等”，点可在两条互相垂直的角平分线上。求内角平分射线上的点时，还要检查方向，不能把其反向射线一并收入。 微例：在中，射线平分在上。由及得 例4、为坐标原点，点在抛物线上，点不与点重合。若射线平分求的坐标。 【解析】由勾股定理，在轴正半轴上取则设中点为得等腰的顶角平分线经过底边中点，所以与同向。 因此在的射线上。联立得或排除得 变式4-1、点在抛物线上，且在内部。若射线平分求的坐标。 【解析】设角平分线交于由角平分线定理，故的表达式为 联立得负根不在三角形内部。正根满足此时在线段内部。 所以 变式4-2、为坐标原点，点在抛物线上，到直线与轴的距离相等，则符合条件的点有（　）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】到两条相交直线距离相等的点，在它们所成角的两条角平分线上。取中点为故其中一条直线为另一条与它垂直，为 分别与抛物线联立，得以及重复出现，只算一个点，所以共有个，选 变式4-3、为坐标原点。分别在抛物线的第一、第四象限，轴正半轴平分求直线与轴所成锐角的正切。 【解析】设由象限知过分别作轴的垂线。轴正半轴平分两直角三角形中靠近的锐角相等，所以对应边比相等。 于是即得 两端纵坐标之差除以横坐标之差，等于从左向右下降，所成锐角的正切取竖直长度与水平长度之比，故为 五、旋转构造45°角 【适用条件】角的一边是固定斜射线，直接求方向不方便时，可先作旋转。左图将绕逆时针旋转得到取的中点因为所以射线平分直角， 【另一侧也要检查】右图改为顺时针旋转，得到取的中点又有两条射线分处两侧；它们所在直线的反向射线与成不是 【确定坐标】旋转时，先用全等的直角三角形确定横向、竖向长度，再根据旋转方向判断正负。求出中点后写直线表达式，与抛物线联立，最后检查所求点是否在正确的射线上。 微例：逆时针旋转后故顺时针旋转后故两条射线分别为和均取 例5、为坐标原点，点在抛物线上，点不与点重合，且求所有符合条件的的坐标。 【解析】将绕逆时针、顺时针各旋转分别得补水平线、竖直线得到的直角三角形全等，能确定这两个旋转点的坐标。 因为取的中点分别与成所以所求两条射线为和 分别联立得和排除得到或两点都在相应射线的正确方向上。 变式5-1、为坐标原点，抛物线上恰有一个点满足求的取值范围。 【解析】将绕向两侧各旋转并取所成等腰直角三角形斜边中点，可得两条射线为和 第一支联立得除外仅当时有一个点。第二支得除外仅当时有一个点。 时两点；时只有第一支上的一点；时没有点。因此所求范围为 变式5-2、为坐标原点，点在抛物线上，若 则的坐标为____。 【解析】与成的两条射线分别在上，且都向右。对应它们的反向射线，因此应取这两条直线上的部分。 第一条联立得非零根方向不符。第二条联立得取得 故 变式5-3、为坐标原点，点在抛物线的第二象限部分，且求的坐标。 【解析】设直线的表达式为在轴上的交点高于因都向右，在的上方。 将绕逆时针旋转得由两个辅助直角三角形全等，向右向上取中点则平分且从向右竖直变化为 与同向，所以化简得即只取 故此时水平向右，向右下，两方向的横、竖长度相等，确有 六、二倍角问题 【先用角度和】遇到先看两角是否互余或互补。若直接得到若没有这样的关系，再考虑构造等腰三角形或作轴对称。 【轴对称构造】如图，且把关于直线对称到则所以过作是的中点，可由相似关系求再求 【等腰构造与范围】若一个外角是某个内角的二倍，可用“三角形外角等于两个不相邻内角之和”推出两个内角相等，再得到对应边相等。构造倍角后，应检查目标角的两边、点的方向和位置范围，不能只因两个数值成二倍就选点。 微例：图中设到轴的垂足为由两个小直角三角形相似得结合得故射线给出 例6、为坐标原点，在抛物线上且点不与点重合，求的坐标。 【解析】设由知取两个直角三角形与的对应直角边分别相等，所以全等，得到 将关于直线翻折为设垂足为在上，设过补水平线和竖直线，由两个小直角三角形相似可知：向左的水平距离与向上的竖直距离之比为所以解得 为的中点，所以翻折使和在两侧各成因此射线的表达式为 没有被限制在轴上方，所以关于轴对称的射线也要考虑。两条反向射线与所成的角大于不符合 分别联立和除外，得或对应纵坐标或 因此或两点分别在上述正确方向的射线上，均满足原角条件。 变式6-1、点在抛物线上，且在的右上方。若求的坐标。 【解析】且在两射线之间，所以设得 设过作的垂线，由直角三角形的边比，得 所以 变式6-2、为坐标原点，是抛物线的顶点，且在第一象限。若则____。 【解析】将关于所在直线翻折为设垂足为过补水平、竖直线，由相似直角三角形得为中点，所以 翻折前后关于对称，故在第一象限，应在射线上，其竖直长度与水平长度之比为 于是得 变式6-3、点在抛物线上，且在轴上方。若求及的坐标。 【解析】设由三角形内角和，得 过作于设由两个特殊直角三角形的边比，联立得所以 将代入得 七、利用交点个数确定参数 【先把角转成射线】固定角的顶点和一边后，先用前面的方法确定另一边所在的射线，再研究它与抛物线的交点。图中仅保留从原点出发、向右上方的射线；不能把整条直线上的交点都计入。 【判别式与范围】把直线表达式代入抛物线，若得到且则可判断实根个数：无实根，有两个相等实根，有两个不相等实根。但还要按射线方向及题设范围筛选，实根个数未必就是所求点数。 【最后数不同的点】两个相等的根只对应一个交点；点与角顶点重合时，不能组成题目要求的角；两条射线若有共同候选点，只能计一次。含参数时，先找点数发生变化时的参数值，再分段计数。例如且时，使两根相等，使一根到达0，这两个参数值应单独检查。 微例：抛物线与射线（联立，得到两个相等的根只对应一个交点不能算作两个点。 例7、为坐标原点，抛物线上恰有三个不同的点满足求的值。 【解析】将向两侧各旋转并取等腰直角三角形斜边中点，可得两条射线和 第一支对应两个根的积为存在正实根需且即时一个点，时两个点。 第二支对应同理，时没有正根；时一个点；时两个点。 两射线只在相交，抛物线不经过不会重复计点。时个，时个，时个，时个，时个。因此 变式7-1、为坐标原点，点在抛物线上，横坐标满足随着的变化，满足的点分别有多少个？写出相应的的取值范围。 【解析】角条件确定两条射线和第一支联立得排除后，还须即在这个范围内有一个点。 第二支联立得排除后，还须即在这个范围内有一个点。 这两个的范围不重叠，所以或时有个点，其余没有符合条件的点。不存在同时有两个点的情况。 变式7-2、为坐标原点，点在抛物线上，且直线与直线所成的锐角为若符合条件的恰有三个，求的值。 【解析】两条直线所成的锐角为时，可以在的两个方向上，不再限制抛物线不经过两支交点不会重复。 第一条直线对应判别式为第二条对应判别式为 总共个交点，只能是一条直线有一个交点、另一条有两个。第一判别式为时或时第二判别式大于符合；时第二判别式小于不符合。 第二判别式为时或时第一判别式小于时第一判别式大于故或 变式7-3、为坐标原点，抛物线上恰有两个不同的点满足且这两点横坐标之和为求及这两点的坐标。 【解析】两条射线为和第一支有正实根的条件为第二支为等号时各只有一个点，其余大于时各有两个。 因此恰有两个点需且两点都在上。它们的横坐标是的两根，由求根公式可得两根和为 得确在所需范围内。方程变为两根均正。故两点为 八、圆周角定理 【适用条件】角的两边经过两个固定点动顶点在同一个圆上时，可使用圆周角定理。同弧所对的圆周角相等，并等于这条弧所对圆心角的一半；直径所对的圆周角为 【固定弦，同侧动点】设动点在轴上方。若过的圆中，不含的弧为因此圆心为在大弧上。若不含的弧为因此圆心为在小弧上。两圆半径均为 【检查是否找全】不共线的三点确定一个圆。圆心在的垂直平分线上，小圆心角为由等腰直角三角形可知圆心到的距离为再按动点所在的一侧确定圆心在上方还是下方。反过来，指定圆弧上的点分别满足所以只需将相应圆弧与抛物线联立，求出全部交点。 【勾股列式】不必另学圆方程公式。用“动点到圆心的距离等于半径”，把横向、竖向距离组成直角三角形，便可列式。解出坐标后，还要排除弦的端点，并检查点在指定圆弧上。 微例：两圆半径均为左图大弧上的满足右图小弧上的满足两点都在轴上方，却不在同一个圆上。 例8、点在抛物线上，且在轴上方。若求所有符合条件的的坐标。 【解析】过作圆。由不含的弧所对圆心角为圆心在的垂直平分线上；结合在上方，由等腰直角三角形可得圆心半径反过来，此圆上位于上方的点所对的下方弧为圆周角均为因此所求恰在这段上方圆弧上。 设由得代入得或 由取再得所以或两点均在所取圆的上方弧上，原角均为 变式8-1、点在抛物线上，且在轴上方。若则的纵坐标为____。 【解析】过作圆。圆周角所对的不含的大弧为另一段小弧为在上方，故圆心应在下方；由等腰直角三角形得圆心半径反过来，这个圆的上方小弧所对的大弧为圆周角正是 设由得化为取正根 两个对应点都在该圆的上方小弧上，因此所求纵坐标为 变式8-2、为抛物线的顶点。若求的值。 【解析】在上方。取所求位于以为圆心、为半径的圆的上方弧。 与纵坐标相同，故由得所以或对应两点都在上方，满足原角条件。 变式8-3、其中点在抛物线上，纵坐标为且求及所有符合条件的的坐标。 【解析】由先得或两点都在上方。 取则角条件要求在此圆的上方弧，由勾股定理得 化简为由只取对应两点均在所取圆的上方弧，所以两点都符合条件。 A 基础通关 A1、点在抛物线上，且在第一象限。若射线为轴正半轴，则符合条件的点有（　）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】设第一象限纵坐标始终正。从向轴作垂线，正切为故即均正。两点纵坐标分别均符合题意。 A2、点在抛物线上。若则的坐标是（　）。 A． B． C． D． 【解析】要求在左上方，作垂线得的直角三角形，联立得或为角无定义；得只给 A3、点在抛物线上且若 则的坐标为____。 【解析】在右上方；向直线作垂线，不可误用因为顶点为 代入抛物线得所以 A4、为坐标原点，点在抛物线上且点不与点重合。若与直线垂直，则的坐标为____。 【解析】直线每向右上升作水平、竖直辅助线，由两个小直角三角形相似可知其垂线每向右下降故过的这条垂线为联立或舍去两轴均非这条垂线，无遗漏。 将代入得所以 A5、是抛物线上位于轴上方的一点。若求的坐标。 【解析】等角对等边，所以在的垂直平分线上。代入得反之且三点不在同一直线上，两底角确相等，故唯一。 A6、为坐标原点，抛物线与直线交于且在轴上方。若求 【解析】由勾股定理，即得取反代两边平方和等于且不在上，勾股逆定理保证角不符合位置条件。 A7、为坐标原点，为抛物线的顶点，在第一象限，且则的值为（　）。 A． B． C． D． 【解析】配方得所以在第一象限且纵坐标等于横坐标，故选 A8、点在抛物线上，且在的右上方。若 则的坐标为____。 【解析】和右上方条件给即且联立得 只有大于因此 B 难点突破 B1、为原点，点在抛物线上且点不与点重合，射线平分则的坐标是（　）。 A． B． C． D． 【解析】向右、向下，内角平分射线向右下，方程联立得或排另一条线不是该内角平分射线，不能混入 B2、为坐标原点，分别为轴、轴正半轴。在抛物线的第一象限部分，且则的坐标是（　）。 A． B． C． D． 【解析】两角互余，设有直角三角形的边比给且得无需二倍角公式。 B3、为坐标原点，在抛物线上且点不与点重合。若射线平分则的坐标为____。 【解析】取中点等腰三角形顶角中线也是角平分线，故所求射线为联立得排在内。 B4、在抛物线上且在轴上方。若 则的坐标为____。 【解析】第三角设由勾股得化为设得时，点与点或点重合，不在轴上方，应排除；得两点，代回均为直角。 由得或 B5、点在抛物线上，点不与点重合。若求的坐标。 【解析】将绕逆时针旋转得顺时针旋转得坐标由补水平、竖直线得到的两直角三角形全等确定。中点中点所以分别为两侧的射线。 所在直线且射线要求所在直线且射线要求 前一支联立得除取后一支得取两点分别落在正确射线上，故均符合题意；反向射线给不另收点。 B6、在抛物线上且在内部。若射线平分求的坐标。 【解析】设角平分线交于由角平分线边比得故联立得负根不在三角形内。正根满足（，故在内部；反代在内角平分线、且在三角形内部，唯一。 B7、点在抛物线上，且则符合条件的有（　）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】所以始终在轴上方，能组成三角形。是的反向射线，是在处的外角。 外角等于与它不相邻的两个内角之和，即不可能相等。所以没有符合条件的选 B8、为坐标原点，抛物线上满足的点共有____个。 【解析】通过旋转再取斜边中点，可得两条射线为和 第一支对应判别式根和根积所以有两个不同的正根。第二支对应判别式根和根积也有两个不同的正根。 抛物线不经过两支没有重复点，故共有个。 C 综合进阶 C1、为原点，在抛物线上，到直线与轴的距离相等，则符合条件的点有（　）。 A．个 B．个 C．个 D．个 【解析】到两条相交直线距离相等的点，位于这两条直线所成各角的角平分线上。这些射线组成两条互相垂直的直线。取中点为故一条角平分线为另一条与它垂直，为它们不是只取第一象限的射线。 分别联立得判别式均正，各有两个不同交点。两条线仅在相交，而抛物线不经过所以共点。 C2、点在抛物线上且在轴上方。若则的纵坐标是（　）。 A． B． C． D． 【解析】对位于上方的圆周角，所对固定弦的圆心为半径这由中点与圆心角形成的等腰直角三角形得到。满足条件的在该圆的上方弧上，故代得因取两横坐标均符合题意。 若误用另一圆心会得到该圆上上方的小弧点所对的是的另一段弧，不是必须回到弧所在侧，不只验圆的代数方程。 C3、为坐标原点，抛物线上恰有三个不同的点满足则的值为____。 【解析】将绕分别旋转得到与所成等腰直角三角形斜边中点分别两条射线为以及 第一射线的交点由给出。由求根公式得两根和为积为负实根要求且合得因此符合题意的负根的个数是：时个，时个，时个（其余实根若有也是正根，不在该射线上）。 第二射线由给出。由求根公式，正根要求且合得因此符合题意的正根个数：为为为 合并：有点；有点；有点；有点；有点。两射线除无交点，且曲线不经过所以无需跨支去重。故或 C4、为坐标原点。分别在抛物线的第一、第四象限，轴正半轴平分直线与轴交于 （求的取值范围；（若求的坐标。 【解析】设其中由角平分线两侧的直角三角形相似，得即 （1）的表达式为因此故反过来，任取由可得所以范围内每个都能取得。 （的水平距离为竖直距离为由勾股定理故与联立得 所以符合相应象限和角平分条件。 C5、是抛物线上位于轴上方的一点。若射线平分求的坐标。 【解析】在线段内部，内角平分线定理给设 整理利用得于是均在 反向核验：两点均有非重合或共线，而内角平分线与唯一交点按该比恰为所以确为内角平分线。这里平方前两边均为正长度，无正负伪解；对应轴上的三点共线的情形，已排。 C6、为坐标原点，在抛物线上，在第一象限，在第二象限，且 （当时，求的坐标。 （设随着的变化，符合条件的点分别有多少个？请写出相应的的取值范围。 【解析】设射线向右下，也向右。直线为在轴处的交点高于因为因此在的逆时针一侧。 将绕逆时针旋转得补水平、竖直线，由两个直角三角形全等：向右向下故向右向上得到 取的中点由且知是从逆时针转的射线。向右竖直变化量为 若则与同向，所以即整理得 反之，若满足此方程，则与纵横变化比相同，且两射线均向右，故方向相同而不是相反。因此不混入的情形。 （代入得由取故 （判别式由得当且仅当等号时只有重根对应个点。 当时，有两个不同实根。由求根公式可得两根和为积为若两根均负，有个点；若根为和时，点与原点重合，角没有定义，排除后有个点；若两根异号，仅负根符合题意，有个点。 综上，时无解；或时恰有点；时恰有点。分居左右，始终不重合，所有分母亦非零。 C7、点在抛物线上，且在轴上方。随着的变化，满足的点分别有多少个？写出相应的的取值范围。 【解析】设由勾股定理，得代入得 当时，会使不可能，所以没有点。 当时，该方程的常数项为两根异号，只有一个正根还需若由可知得到两个相反的非零横坐标。 若将代入左式得到因在时随增大而增大，时正根仍有两个点；时只有时正根不能得到实数 综上，时有个点，时有个点，或时没有点。时轴上的不能作为 C8、为坐标原点，分别在抛物线的第一、第二象限，且设 （用含的式子表示的坐标；（求的最小值及此时的坐标。 【解析】（设分别从作轴的垂线。垂直，两个直角三角形在处的锐角互余，所以其中一角与另一三角形的另一锐角相等，两个直角三角形相似。 于是即因此 （不小于两点的水平距离，所以由且得因此 时，两点同高度，且所以最小值为此时 D 中考真题精选 D1、（2025年重庆中考第24题（3）节选，前问结论已给）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于与轴交于已知是该抛物线上的点。将此抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线点为点的对应点，点为抛物线上的一动点。若请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程。 【解析】由与水平线成沿射线平移即向左、向下各平移故新抛物线为 过作水平向左的射线则由的位置，故 从到的水平距离为竖直距离为利用直角三角形相似，满足该锐角条件的只能在的右侧，且到的竖直距离∶水平距离∶因此分上、下两条射线：, , 上方射线与新抛物线联立：即负号解小于不在所需射线上，正号解对应 下方射线联立：即不在所需射线上；对应 目标角为锐角，向右，故只能是上述两条右向射线；把整条直线上的另外两个交点纳入答案会产生与原角不符的钝角情形。 D2、（2025年山东威海中考第24题（3）原填空节选）已知抛物线交轴于点点交轴于点点向右平移个单位长度，得到点点在该抛物线上。点在该抛物线的对称轴上，若则点的坐标为____。 【解析】向右平移得到将代入得解得故对称轴为 取则射线位于与之间，所以所求条件等价于 过作垂足由于的直线方程为而过的垂线方程为所以 先设在轴上方，令由直角三角形相似，故 当在轴下方时，关于轴的对称不改变得到位于轴时角为不满足条件；在直线的上下半直线上各只有一个相应射线交点，故答案完整。 D3、（2025年四川广安中考第27题（1）（2）节选）如图，二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点连接 （求抛物线的解析式； （点为抛物线上的动点，连接当时，求点的坐标。 【解析】（1）将代入，得 （2）设由知过作向右水平射线，与的夹角也是故它就是下方满足条件的射线。令得自身不能定义故得 上方满足条件的射线交轴于在线段上。故设则解得 直线为与抛物线联立得即除去得 绕固定射线两侧各只有一条与它成的射线；上述两个交点均在各自向右的射线上，方向也符合题意。 D4、（2025年四川遂宁中考第25题（1）（2）节选，问法调整）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于对称轴为直线 （求二次函数的表达式； （连接点在抛物线上，且求所有符合条件的点的坐标。 【解析】（1）由对称轴和得另一交点故 （2）令为关于抛物线对称轴的对称点，故在抛物线上。为等腰直角三角形，又直角三角形与相似，故于是可为 另一条满足条件的射线是关于的对称射线。将关于对称得到的方程为中点在上，与垂直，所以该对称关系成立。注意只用于确定射线，并不在抛物线上。 直线的方程为射线范围为联立得除去得 第一条射线的方程为联立得除只剩两条等角射线已穷尽，且所得两点都在相应射线上。 D5、（2025年天津中考第25题（Ⅱ）节选）已知抛物线（为常数，，与轴交于两点，与轴交于 ①当时，点在抛物线上，且求点的坐标； ②若以为边的平行四边形的顶点在抛物线的对称轴上。当取得最小值为时，求顶点的坐标。 【解析】①由在抛物线上得以为直角等腰三角形的一腰，时，利用两个直角三角形全等可得两个候选坐标及后一点横坐标小于而开口向下的抛物线在左交点左方纵坐标为负，故排除。 将代入得故由取得 ②由得由两根和知设则在轴上左侧取使连接为等腰三角形且故得到 设则且由和勾股定理，有得因此 抛物线对称轴是的垂直平分线，故在上时由平行四边形得所以等号当且仅当在线段上。与交点确在线段内，故最小值为 勾股定理得与联立得由取于是对称轴方程最值时 平行四边形中可看作平移得到：到向右向上将同样平移得 D6、（2025年四川成都中考第26题（1）（3）节选，问法调整）如图，抛物线经过点且对称轴为直线直线与抛物线交于两点，与轴交于过点且垂直于的直线交抛物线于两点，分别为的中点。 （求抛物线的表达式； （当在满足上述作图条件的范围内变化时，求对称轴上使射线始终平分的定点的坐标。 【解析】（1）由对称轴得代入得解得所以上述作图要求 （3）设的横坐标为则两式相减，再除以非零的得所以中点 过的垂线由辅助直角三角形相似得设的横坐标为两点代入后相减，得所以 先用确定定点的位置：此时设若射线平分必须都在上方或都在下方，否则两角不能相等。由两直角三角形相似，解得因此所求定点只能是 再检验任意过分别作垂直于直线对有所以 在对称轴两侧，且均在上方。两直角三角形相似，得射线又在两射线之间，故它确是内角平分线。因此定点为 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数中的角度问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 复习导航 先看清角的顶点与两边方向，再用等腰、相似、角平分线、旋转或圆周角把角度条件化成坐标关系。求出的点还要符合题目规定的位置。 题目中的角条件 常用转化方法 与水平或竖直方向成已知角 作垂线，利用直角三角形的边比 同一三角形中两个角相等 等角对等边，再求垂直平分线或边长 直角或两个角互余 勾股定理及其逆定理，或直角三角形相似 角平分线或到两直线距离相等 等腰三角形三线合一，角平分线的边比 与斜射线成45°或出现二倍角 旋转、取中点、作轴对称或构造等腰三角形 角顶点移动或含参数求点数 圆周角定理，联立后检查位置和方向 内容目录 一、利用锐角三角函数求点 2 二、等角对等边 4 三、直角与勾股定理 7 四、角平分线 9 五、旋转构造45°角 12 六、二倍角问题 14 七、利用交点个数确定参数 17 八、圆周角定理 19 A 基础通关 22 B 难点突破 25 C 综合进阶 28 D 中考真题精选 32 一、利用锐角三角函数求点 【适用条件】已知或能作出直角三角形，且所求角是锐角时，可用锐角三角函数。先找准角的顶点和两边，再判断对边、邻边，不能一律把“纵坐标除以横坐标”当作正切。 【看图列式】左图中水平，所以右图中竖直，所以此时分子是水平长度。坐标中的长度应由相应坐标差的绝对值表示。再把边比关系与抛物线表达式联立求点。 【角的方向】可把转为两条直角边相等。所求角是钝角时，先找与它互补的锐角，再检查点在角顶点的哪一侧；同一直线上反方向的射线不能混用。 微例：过作水平直线，过作该直线的垂线，垂足为则若改从竖直向上的射线量角，所得锐角的正切为 例1、为坐标原点，点在抛物线上，且在第一象限。若求所有符合条件的的坐标。 变式1-1、为坐标原点，点在抛物线上，若求所有符合条件的的坐标。 变式1-2、点在抛物线上，且若则的坐标为____。 变式1-3、为坐标原点，抛物线在第一象限内恰有一个点满足求的值及此时的坐标。 二、等角对等边 【适用条件】两个相等的角属于同一个三角形时，可用“等角对等边”。左图中得到右图中得到先找各角正对的边，不能见到等角就认定 【看图求点】若点在线段的垂直平分线上。水平时，倾斜时，可用勾股定理分别表示再令两式相等。 【代回检查】把得到的直线与抛物线联立，求出候选点。若落在直线上，三点不能组成三角形，应排除；还要保留原题给定的象限或位置范围。 微例：在轴上方，且则例如时，两个底角确实相等。 例2、点在抛物线上，且在轴上方。若求的坐标。 变式2-1、抛物线与直线交于在轴上方。若求的值。 变式2-2、点在抛物线上，且能组成三角形。若求所有符合条件的的坐标。 变式2-3、点在抛物线上，且在轴上方。若则____。 三、直角与勾股定理 【直角在动点】左图中所以反过来，三点能组成三角形且满足这个等式时，由勾股定理的逆定理得到若只说三角形是直角三角形，应分别检查直角在的情况。 【与斜线垂直】右图中作水平、竖直辅助线，利用锐角互余，可得到两个小直角三角形相似。图中向右3、向上1，向右1、向下3；横、竖长度的比例要与点的方向一起确定。 【互余关系】同一三角形的两个内角之和为时，第三个角是直角。先认清这两个角是否属于同一三角形，再使用勾股定理；不凭图形“看起来垂直”列式。 微例：由勾股定理算得而因此即 例3、点在抛物线上，且在轴上方。若求的坐标。 变式3-1、点在抛物线上，且在轴上方。若是直角三角形，求所有符合条件的的坐标。 变式3-2、点在抛物线上，点不与点重合，且则的坐标为____。 变式3-3、为坐标原点，抛物线与直线交于且求所有符合条件的的值。 四、角平分线 【等腰三角形】如左图，在角的两边上取使再取的中点由等腰三角形的“三线合一”，射线平分求出的坐标后，就能确定角平分射线的方向。 【分对边成比例】如右图，在线段内部，射线平分则理由是到的距离相等，按这两边作底得到的面积比为按作底时，两三角形共高，面积比为 【射线与整线】角的内部到两边距离相等的点在角平分线上；若改成“到两条相交直线的距离相等”，点可在两条互相垂直的角平分线上。求内角平分射线上的点时，还要检查方向，不能把其反向射线一并收入。 微例：在中，射线平分在上。由及得 例4、为坐标原点，点在抛物线上，点不与点重合。若射线平分求的坐标。 变式4-1、点在抛物线上，且在内部。若射线平分求的坐标。 变式4-2、为坐标原点，点在抛物线上，到直线与轴的距离相等，则符合条件的点有（　）。 A．个 B．个 C．个 D．个 变式4-3、为坐标原点。分别在抛物线的第一、第四象限，轴正半轴平分求直线与轴所成锐角的正切。 五、旋转构造45°角 【适用条件】角的一边是固定斜射线，直接求方向不方便时，可先作旋转。左图将绕逆时针旋转得到取的中点因为所以射线平分直角， 【另一侧也要检查】右图改为顺时针旋转，得到取的中点又有两条射线分处两侧；它们所在直线的反向射线与成不是 【确定坐标】旋转时，先用全等的直角三角形确定横向、竖向长度，再根据旋转方向判断正负。求出中点后写直线表达式，与抛物线联立，最后检查所求点是否在正确的射线上。 微例：逆时针旋转后故顺时针旋转后故两条射线分别为和均取 例5、为坐标原点，点在抛物线上，点不与点重合，且求所有符合条件的的坐标。 变式5-1、为坐标原点，抛物线上恰有一个点满足求的取值范围。 变式5-2、为坐标原点，点在抛物线上，若 则的坐标为____。 变式5-3、为坐标原点，点在抛物线的第二象限部分，且求的坐标。 六、二倍角问题 【先用角度和】遇到先看两角是否互余或互补。若直接得到若没有这样的关系，再考虑构造等腰三角形或作轴对称。 【轴对称构造】如图，且把关于直线对称到则所以过作是的中点，可由相似关系求再求 【等腰构造与范围】若一个外角是某个内角的二倍，可用“三角形外角等于两个不相邻内角之和”推出两个内角相等，再得到对应边相等。构造倍角后，应检查目标角的两边、点的方向和位置范围，不能只因两个数值成二倍就选点。 微例：图中设到轴的垂足为由两个小直角三角形相似得结合得故射线给出 例6、为坐标原点，在抛物线上且点不与点重合，求的坐标。 变式6-1、点在抛物线上，且在的右上方。若求的坐标。 变式6-2、为坐标原点，是抛物线的顶点，且在第一象限。若则____。 变式6-3、点在抛物线上，且在轴上方。若求及的坐标。 七、利用交点个数确定参数 【先把角转成射线】固定角的顶点和一边后，先用前面的方法确定另一边所在的射线，再研究它与抛物线的交点。图中仅保留从原点出发、向右上方的射线；不能把整条直线上的交点都计入。 【判别式与范围】把直线表达式代入抛物线，若得到且则可判断实根个数：无实根，有两个相等实根，有两个不相等实根。但还要按射线方向及题设范围筛选，实根个数未必就是所求点数。 【最后数不同的点】两个相等的根只对应一个交点；点与角顶点重合时，不能组成题目要求的角；两条射线若有共同候选点，只能计一次。含参数时，先找点数发生变化时的参数值，再分段计数。例如且时，使两根相等，使一根到达0，这两个参数值应单独检查。 微例：抛物线与射线（联立，得到两个相等的根只对应一个交点不能算作两个点。 例7、为坐标原点，抛物线上恰有三个不同的点满足求的值。 变式7-1、为坐标原点，点在抛物线上，横坐标满足随着的变化，满足的点分别有多少个？写出相应的的取值范围。 变式7-2、为坐标原点，点在抛物线上，且直线与直线所成的锐角为若符合条件的恰有三个，求的值。 变式7-3、为坐标原点，抛物线上恰有两个不同的点满足且这两点横坐标之和为求及这两点的坐标。 八、圆周角定理 【适用条件】角的两边经过两个固定点动顶点在同一个圆上时，可使用圆周角定理。同弧所对的圆周角相等，并等于这条弧所对圆心角的一半；直径所对的圆周角为 【固定弦，同侧动点】设动点在轴上方。若过的圆中，不含的弧为因此圆心为在大弧上。若不含的弧为因此圆心为在小弧上。两圆半径均为 【检查是否找全】不共线的三点确定一个圆。圆心在的垂直平分线上，小圆心角为由等腰直角三角形可知圆心到的距离为再按动点所在的一侧确定圆心在上方还是下方。反过来，指定圆弧上的点分别满足所以只需将相应圆弧与抛物线联立，求出全部交点。 【勾股列式】不必另学圆方程公式。用“动点到圆心的距离等于半径”，把横向、竖向距离组成直角三角形，便可列式。解出坐标后，还要排除弦的端点，并检查点在指定圆弧上。 微例：两圆半径均为左图大弧上的满足右图小弧上的满足两点都在轴上方，却不在同一个圆上。 例8、点在抛物线上，且在轴上方。若求所有符合条件的的坐标。 变式8-1、点在抛物线上，且在轴上方。若则的纵坐标为____。 变式8-2、为抛物线的顶点。若求的值。 变式8-3、其中点在抛物线上，纵坐标为且求及所有符合条件的的坐标。 A 基础通关 A1、点在抛物线上，且在第一象限。若射线为轴正半轴，则符合条件的点有（　）。 A．个 B．个 C．个 D．个 A2、点在抛物线上。若则的坐标是（　）。 A． B． C． D． A3、点在抛物线上且若 则的坐标为____。 A4、为坐标原点，点在抛物线上且点不与点重合。若与直线垂直，则的坐标为____。 A5、是抛物线上位于轴上方的一点。若求的坐标。 A6、为坐标原点，抛物线与直线交于且在轴上方。若求 A7、为坐标原点，为抛物线的顶点，在第一象限，且则的值为（　）。 A． B． C． D． A8、点在抛物线上，且在的右上方。若 则的坐标为____。 B 难点突破 B1、为原点，点在抛物线上且点不与点重合，射线平分则的坐标是（　）。 A． B． C． D． B2、为坐标原点，分别为轴、轴正半轴。在抛物线的第一象限部分，且则的坐标是（　）。 A． B． C． D． B3、为坐标原点，在抛物线上且点不与点重合。若射线平分则的坐标为____。 B4、在抛物线上且在轴上方。若 则的坐标为____。 B5、点在抛物线上，点不与点重合。若求的坐标。 B6、在抛物线上且在内部。若射线平分求的坐标。 B7、点在抛物线上，且则符合条件的有（　）。 A．个 B．个 C．个 D．个 B8、为坐标原点，抛物线上满足的点共有____个。 C 综合进阶 C1、为原点，在抛物线上，到直线与轴的距离相等，则符合条件的点有（　）。 A．个 B．个 C．个 D．个 C2、点在抛物线上且在轴上方。若则的纵坐标是（　）。 A． B． C． D． C3、为坐标原点，抛物线上恰有三个不同的点满足则的值为____。 C4、为坐标原点。分别在抛物线的第一、第四象限，轴正半轴平分直线与轴交于 （求的取值范围；（若求的坐标。 C5、是抛物线上位于轴上方的一点。若射线平分求的坐标。 C6、为坐标原点，在抛物线上，在第一象限，在第二象限，且 （当时，求的坐标。 （设随着的变化，符合条件的点分别有多少个？请写出相应的的取值范围。 C7、点在抛物线上，且在轴上方。随着的变化，满足的点分别有多少个？写出相应的的取值范围。 C8、为坐标原点，分别在抛物线的第一、第二象限，且设 （用含的式子表示的坐标；（求的最小值及此时的坐标。 D 中考真题精选 D1、（2025年重庆中考第24题（3）节选，前问结论已给）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于与轴交于已知是该抛物线上的点。将此抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线点为点的对应点，点为抛物线上的一动点。若请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程。 D2、（2025年山东威海中考第24题（3）原填空节选）已知抛物线交轴于点点交轴于点点向右平移个单位长度，得到点点在该抛物线上。点在该抛物线的对称轴上，若则点的坐标为____。 D3、（2025年四川广安中考第27题（1）（2）节选）如图，二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点连接 （求抛物线的解析式； （点为抛物线上的动点，连接当时，求点的坐标。 D4、（2025年四川遂宁中考第25题（1）（2）节选，问法调整）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于对称轴为直线 （求二次函数的表达式； （连接点在抛物线上，且求所有符合条件的点的坐标。 D5、（2025年天津中考第25题（Ⅱ）节选）已知抛物线（为常数，，与轴交于两点，与轴交于 ①当时，点在抛物线上，且求点的坐标； ②若以为边的平行四边形的顶点在抛物线的对称轴上。当取得最小值为时，求顶点的坐标。 D6、（2025年四川成都中考第26题（1）（3）节选，问法调整）如图，抛物线经过点且对称轴为直线直线与抛物线交于两点，与轴交于过点且垂直于的直线交抛物线于两点，分别为的中点。 （求抛物线的表达式； （当在满足上述作图条件的范围内变化时，求对称轴上使射线始终平分的定点的坐标。 1 / 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