第6章 二次函数（复习讲义）数学新教材苏科版九年级下册

第02讲 排列组合 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 排列数、组合数的化简与证明 2 题型02 排列数、组合数的方程与不等式 4 题型03 相邻问题和不相邻问题 6 题型04 定序问题 8 题型05 多面手问题 9 题型06 涂色问题 11 题型07 分组分配问题 13 题型08 隔板法 16 题型09 数字排列问题 18 题型10 最短路径问题 21 题型11 元素配对问题 23 题型12 环排问题 25 重难·创新演练 26 真题·实战演练 32 模拟·基础演练 考查重点：排列数与组合数化简证明、方程不等式求解，相邻不相邻、定序、环排、数字排列、最短路径、配对、涂色、多面手、分组分配、隔板模型应用，区分有序排列与无序组合，识别典型模型，侧重模型辨析与分步分类计数。 题型01 排列数、组合数的化简与证明 1．（多选）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据组合数的性质或组合数的计算公式， 所以 ，所以A选项正确； ， ， 所以，所以B选项正确； ，而，所以C选项错误； ， ，所以D选项正确． 2．（多选）已知，且，则下列等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由知，故A正确； 由知，故B错误； 例如，则，即，故C错误； 因为，， 所以，故D正确. 3．（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，取，则，， 所以，故A错误； 对于B，因为，， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 所以，故C正确； 对于D，取，则，， 所以，故D错误. 故选：BC. 4．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)5或 (2) 【分析】 【详解】（1）由组合数的定义知，解得， 当时，； 当时，． （2）原式 ． 题型02 排列数、组合数的方程与不等式 5．不等式的解集为________. 【答案】/ 【详解】由题意得，解得且， 又，即， 即，解得， 综上可知，故解集为. 故答案为： 6．解下列方程或不等式： (1). (2). 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）由，得． 因为，且，所以． 化简整理得，解得，（舍去），所以． （2）由题意得，化简得，即， 解得．由题意知，且，所以不等式的解集为． 7．（1）已知，求实数的值 （2）解方程：. 【答案】（1）或；（2） 【分析】 【详解】（1）因为， 所以或， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； （2）由， 得， 化简得，解得或（舍去）， 所以. 8．解关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）由排列数公式，可得， 化简得， 解得或或或． 又因为x要满足，且， 所以原方程的解为． （2）由条件，结合组合数的性质，可得或， 则或 （舍去） 又因为， 可得， 即， 把代入上式，解得． 题型03 相邻问题和不相邻问题 9．现有，，，四人排成一行，其中与相邻，不排在两边，则共有不同的排法为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将、看成一个整体，总的有种排法， 当排在最左边时，有种排法，当排在最右边时，有种排法， 满足条件的排法为种. 10．变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺. 已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（    ） A．24 B．120 C．144 D．168 【答案】C 【详解】先安排第一天的演出： 变脸和吐火的演出顺序相邻，共有种情况， 捆绑后与滚灯、藏刀全排列，共有种情况， 所以第一天有种不同的演出顺序； 再安排第二天的演出： 变脸和吐火的演出顺序不相邻， 先对滚灯、藏刀排列，共有种情况， 形成的三个空隙中选两个排变脸和吐火，共有种情况， 所以第二天有种不同的演出顺序； 由分步乘法计数原理，不同的方案数为. 11．某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（    ） A．6种 B．8种 C．12种 D．24种 【答案】C 【详解】数学课相邻，采用捆绑法将其看为一个整体，将数学课整体与物理课全排列，共有种， 且排列后形成3个空隙，语文课与英语课要求不相邻，从三个空隙中选两个排入，共有种， 根据分步乘法计数原理，不同排列方法共有种． 12．某中学高二（1）班筹备校园文化展演，安排了名男生和名女生作为班级方阵的领演，人随机排成一列走在队伍最前方，则两位女生相邻的不同排法种数是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【详解】由两位女生相邻，则将两位女生看成一个整体，则女生内部排列，有种排法， 再将一个整体与名男生全排列，有种排法， 所以两位女生相邻的不同排法种数是． 13．名同学排成一排照相若甲､乙相邻且丙、丁不相邻，则不同的排法有________种. 【答案】 【详解】首先，甲、乙捆绑有种情况，然后和第名同学排好有种情况，再让丙、丁插空进来有种情况， 因此不同的排法有种. 题型04 定序问题 14．甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 【答案】B 【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有种不同的排法， 其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法， 其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为种. 故选：B. 15．用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【详解】当首位为2时，这样的五位数有个； 当首位为1时，这样的五位数有个. 综上，这样的五位数共有个. 故选：C. 16．近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（    ） A．2376 B．2352 C．2208 D．2068 【答案】B 【详解】8 个字母包含4对重复字母（BB、WW、MM、FF），， ① 恰好4对全部相邻：把4对重复字母各自捆绑为1个整体，共4个独立模块，全排列数是， ② 恰好3对相邻：先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑，选法为种，将3对捆绑的整体排列，排列数是种，3个整体排列后形成4个空隙，将剩余2个相同的字母插入空隙，因为两个字母相同，所以插空方法共有种， 所以该类排列数为种， 利用间接法，至多两对相邻排列数 = 总排列数 − 恰好3对相邻 − 恰好4对相邻， 所以不同排列种数为. 17．现有6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外两人每人得1本，则有__________种不同的分配方式. 【答案】90 【详解】先在6本书中选择4本分给1人，然后把最后2本平均分成两组，再倍缩， 3组和3人组成全排列，故有种不同的分配方式. 故答案为：90. 18．六名同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有_______． 【答案】360 【详解】根据题意，6人并排站成一排，有种情况， 而其中甲站在乙的左边与甲站在乙的右边是等可能的，则其情况数目是相等的， 则甲站在乙的左边的情况数目为． 故答案为：360. 题型05 多面手问题 19．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 【答案】B 【详解】解：根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有种． 综上分析，共可开出种． 故选：B． 20．有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．52种 B．53种 C．54种 D．55种 【答案】D 【详解】（1）若只会划右舷的3人去划右舷，则划左舷的人有种，共有种； （2）若从只会划右舷的人中选2人去划右舷，则需从3名既会划左舷又会划右舷的运动员中选1人划右舷， 再从余下能划左舷的4名运动员中选3人划左舷，有种； （3）若从只会划右舷的人中选1人划右舷，则需从左、右都会划的人中选2人划右舷， 则另3人去划左舷，有种. 因此，共有种选法. 21．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理． 第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种； 第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种； 第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种， 所以共有种不同的选法， 故选：A． 题型06 涂色问题 22．现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先涂底面，有种涂法，再涂4个侧面， 如果4个侧面用2种颜色，则不同的涂法有种； 如果4个侧面用种颜色，则不同的涂法有； 故相邻（有一条公共边）的两面不同色，共有种不同的涂法. 若相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色， 则这两个面只能是平面、平面或平面、平面. 则此时不同的涂法有种， 设为随机事件“恰有两个面涂了红色”， 则. 23．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 【答案】D 【详解】如图所示： 当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有种方法, 将选出的5种颜色分配给5个区域有种方法,总方法数为种， 当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有种方法, 从（A,D）或（B,C）中选择一组涂同一颜色，有2种选择， 比如选择（A,D）组，将选出的4种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 当选择3种颜色时，从6种颜色中选3种共有种方法, 则（A,D），（B,C）各涂同一颜色，有1种选择， 将选出的3种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 则所有的方法数为种. 24．春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 【答案】C 【详解】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E， 用三种颜色：区域和相同，（种）， 用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色， 及（种）， 用五种颜色：（种）.一共有（种）. 25．用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有______种涂色方法． 【答案】108 【详解】分类讨论，根据题意，若用四种颜色时，则有种涂色方法； 若只用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一组是同色，先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有种选法，则共有种涂色方法； 若只用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色，先选两种颜色种选法，则共有种涂色方法， 因此，综上所述，共有种涂色方法. 26．如图，在A，B，C，D，E，F六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为_____________． 【答案】 【详解】根据题意，先分组、再种植， 共有，所以有5种不同的分组方式， 因为同组种植一种植物，则不同的种植方案种数为种． 题型07 分组分配问题 27．现安排小李、小明、小玲、小王四位同学到、、三个社区参加志愿者活动，每位同学仅在一个社区参与活动，每个社区至少有一名同学，且要求小李和小王不能在同一个社区，则不同的排法种类数为（    ） A．72 B．66 C．36 D．30 【答案】D 【详解】每位同学仅在一个社区参与活动，每个社区至少有一名同学， 故安排方案为，则有种情况， 其中小李和小王在同一个社区，另外两人各自在一个社区，情况有种， 所以不同的排法种类数为. 28．某单位派出包括甲、乙在内的9名员工参加培训，需要把他们随机平均分成3个小组，那么甲、乙两人分到同一个小组的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】9人平均分成3组的方法数为 ， 甲乙同组的情况：先选1人和甲乙同组，再把剩余6人平均分成2组的方法数为 ， 所以甲、乙两人分到同一个小组的概率为. 29．年世界人工智能大会在上海举办．现将甲、乙等名志愿者分配到浦东世博中心、上海世博展览馆、浦东张江科学会堂、徐汇西岸国际会展中心四个展馆开展志愿者服务，每名志愿者只分配到个场馆，每个场馆至少安排名志愿者，若甲不安排至上海世博展览馆，乙必须安排至浦东世博中心展馆，则不同的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】由题意，5人分配到4个展馆，每个展馆至少1人，故分组必为， 记浦东世博中心、上海世博展览馆、浦东张江科学会堂、徐汇西岸国际会展中心四个展馆分别为展馆，展馆，展馆，展馆， 乙固定安排在展馆，甲不能安排至展馆，分两类讨论： （1） 两人组包含乙（乙与另一人同在展馆）， ①甲与乙同组在展馆，剩余人全排列分配到展馆，方法数为； ②从除甲乙外的人中选人与乙同组在展馆，剩余人（甲+余下人）分配到展馆，每人一个展馆，甲不去，方法数为； 本类方法数为； （2）两人组不包含乙，乙单独在展馆， 剩余甲与另外人，共人分配到，且每个展馆至少人，甲不能去， ①展馆安排人：从人中选人去，剩下人分为一组人、一组人分到，方法数为； ②展馆安排人：从人中选人去，剩下甲与人分到 方法数为， 本类方法数为， 由分类加法计数原理，总安排方法数为． 30．现有4名志愿者要安排到3个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 【答案】B 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将4人分为3组，②将分好的3组全排列，安排到3个站点去服务，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①将4人分为3组，有种分组方法， ②将分好的3组全排列，安排到3个站点去服务，有种情况， 则有种安排方法. 31．把包括甲、乙、丙、丁等在内的8位员工分成1组、2组两个技术攻关组（每组4人），其中甲、乙不同组，丙、丁同组，则分组方案共有（     ） A．24种 B．16种 C．12种 D．10种 【答案】B 【详解】∵ 两个技术攻关组分别为1组、2组，属于有序分组，要求丙、丁同组，甲、乙不同组. ∴ 按分步计数原理求解： 第一步，确定丙、丁所在的组，可选择1组或2组，共2种情况. 第二步，分配甲、乙：甲、乙需分属不同组，故恰好有1人与丙、丁同组，另1人在另一组，共2种分配方式. 第三步，丙、丁所在组共需4人，已有丙、丁及甲、乙中的1人共3人，剩余1个名额从除甲、乙、丙、丁外的4名员工中选取，共有种选法， 剩余未选中的3人与甲、乙中的另一人恰好组成4人，自动归为另一组. 根据分步乘法计数原理，总方案数为种. 32．张、王、李、赵、吴共五名教师，利用周末时间去包括“半山崖线”在内的四条徒步路线进行考察．要求每条路线至少去一名教师，每名教师只能去一条路线，那么张老师恰好被安排去“半山崖线”考察的不同安排方法数为（    ）． A．60 B．64 C．72 D．96 【答案】A 【详解】分两类考虑， 第一类安排2人“半山崖线”考察，则有种不同安排方法； 第二类安排1人“半山崖线”考察，则有种不同安排方法， 故共有种不同的安排方法. 题型08 隔板法 33．有11个周末听讲座的名额要随机分配给四个班级，每个班至少分一个，则不同的分配方法有（   ） A．50种 B．120种 C．210种 D．310种 【答案】B 【详解】有11个周末听讲座的名额要随机分配给四个班级，每个班至少分一个，可采用隔板法， 在11个小球之间可放入3个隔板，每个隔板至少分隔一个小球，则有种分配方法. 34．某高校校庆发放纪念品，将6本完全相同的校庆纪念册、3枚完全相同的校庆纪念章、4张不同校园风景的明信片全部分给3位校友，要求每一位校友至少有一本纪念册，纪念章不能全给同一位校友，每一位校友至少有一张明信片，其中A明信片必须给校友甲，则不同的分配方案有（     ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 【答案】B 【详解】第一步，分6本完全相同的校庆纪念册，要求每一位校友至少有一本纪念册，采用“隔板法”，方案数为种； 第二步，分3枚完全相同的校庆纪念章，要求纪念章不能全给同一位校友，则每人分得1枚纪念章或3人分别获得0枚、1枚、2枚纪念章，方案数为种； 第三步，分4张不同校园风景的明信片，要求每一位校友至少有一张明信片，其中A明信片必须给校友甲，则剩余3张明信片分法为每人一张或除校友甲外一人1张、另一人2张，方案数为种； 三类物品分配独立，总方案数为种. 35．某海滨旅游路线全线共设有24个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留3个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有________种． 【答案】252 【详解】因为5个关停的中途驿站中有4个空隙，每个空隙插入3个中途驿站， 此时剩余个中途驿站， 把5个关停站看作分隔元素，连同两端的空隙，一共形成6个空隙， 将剩余的5个运营站随意分配到这6个空隙中（允许部分空隙分配0个运营站）， 此问题即转化为将5个相同的球放入6个不同的盒中，盒中的球数可以为0， 再加入6个完全相同的球，共有11个球，有10个空隙， 利用隔板法将11个球分成6个部分，共有种不同分法， 所以不同的站点关停方案共有252种. 36．将各位数字之和等于10的四位数称为“好数”，比如2026，则四位数中共有“好数”（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该四位数为， 其中， 由题设有，将该方程转化为， 设，则. 先考虑方程正整数解的组数， 由隔板法可得该方程不同正整数解的组数为. 当时，，此时对应的正整数为五位数，舍； 当时，每一组均可得唯一的四位数， 故四位数中共有“好数”为. 37．在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为（    ） A．504 B．168 C．84 D．36 【答案】C 【详解】由题可知，若点是三棱锥内部（不包括表面）的整点，则，且． 利用隔板法可知：当时，不同的正整数解个数为； 当时，不同的正整数解个数为； 当时，不同的正整数解个数为； 当时，不同的正整数解个数为， 所以三棱锥内部的整点的个数为 题型09 数字排列问题 38．用1，3，5，7组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用1，3，5，7组成没有重复数字的三位数的个数是. 39．从标有，，，，的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于的个数为（   ） A．44 B．43 C．42 D．41 【答案】D 【详解】要求从五张不重复的卡片中选4张，组成大于2027的四位偶数，按千位分类讨论： （1）若千位为3或4 ①千位为3，个位需为偶数，可选0、2、4共3种，剩余3个数字选2个排列百位十位， 共个； ②千位为4，个位需为偶数，可选0、2共2种，剩余3个数字选2个排列百位十位， 共个； 即此时满足条件的四位数共 个. （2）千位为2，千位已用2，个位只能是偶数0或4，分情况： ①个位为0，剩余数字1、3、4选2个排列百位十位，共 个； ②个位为4，剩余数字0、1、3选2个排列百位十位，共 个， 其中只有2014小于2027，其余5个都符合； 即此时满足条件的四位数共个. 综上，满足条件的四位数共个. 40．（多选）一个正整数，如果将它从左向右读和从右向左读完全相同，就称为回文数，这种对称性质体现了数学中的数字美学，如22，121，3443，94249等.下列说法正确的是（   ） A．百位为2的五位回文数有100个 B．十位大于个位的六位回文数有360个 C．位回文数有个 D．位回文数有个 【答案】BC 【详解】根据题意，由回文数的定义，结合排列数与组合数，可得判定A错误，B正确；再用分步计数原理分析和位回文数的数目，可判定C正确，D错误. 【分析】 【详解】由题意，组成没有重复数字且比30000大的正整数， 所以万位只能在3，4中二选一，共有2种选法， 其余4个数，分别排在千位、百位、十位和个位，共有种排法， 所以由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的所有正整数的个数为. 41．若从这九个数字中选取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的取法种数为__________. 【答案】30 【详解】被除余的数有，被除余的数有，被整除的数有. 若要使选取的三个数字的和能被整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字， 则取出的这三个数字的和能被3整除的种数种． 42．将1，1，2,3，5，6，6，6，6这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有___________种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的填法共有___________种．（用数字作答） 【答案】 【详解】①给出的9个数为：1,1,2,3,5,6,6,6,6，其中2个1相同、4个6相同，其余数字不同， 则不同的填法共有种； ②每行3个数，和为偶数等价于每行奇数个数为偶数（0或2，奇数个奇数相加和为奇数，偶数个奇数相加和为偶数）， 总共有4个奇数（1,1,3,5），因此只能是“1行0个奇数，另外2行各2个奇数”（，符合总奇数个数）， 分步计算： 第一步：选哪一行放0个奇数,共有种不同的方法； 第二步，在两个放奇数的行中，每行选2个格子放奇数，共有种不同的方法； 第三步，排列4个奇数，共有种不同的方法； 第四步，排列剩余5个格子的偶数（2,6,6,6,6），共有种不同的方法， 故总填法共有种. 题型10 最短路径问题 43．如图，某地有南北走向街道5条，东西走向街道6条，一快递员从该地西南角的餐厅B出发，送餐到东北角的A地，要求所走路程最短，则途经C地的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由B出发，送餐到东北角的A地，向东走4格，向北走5格，一共9格，其中只需确定东向的格子即可确定路线，所以由B出发，送餐到东北角的A地的最短路径有种, 同理可得由B出发，到C地的最短路径有种， 由C出发，到A地的最短路径有种， 则由B出发，送餐到东北角的A地，途经C地有种， 所以途经C地的概率是. 44．如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 【答案】 66 96 【详解】第一空：若先经过再到，需向下走3步，向左走2步，有种走法， 由到需向下运动2步，向左运动2步，有种走法， 故先经过再到共有， 所以不经过共有种走法. 第二空：经过，需要3步由到，再需要5步由到， 由到共有种走法，由到共有种走法， 所以经过的走法共有种， 故不经过的走法共有种. 45．如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有_________条． 【答案】150 【详解】由题可知，的最短路线必经过两点， 则的最短路线有种，的最短路线有种； 的最短路线有种，的最短路线有种； 因为的最短路线有和， 所以的最短路线有种， 故答案为：150． 题型11 元素配对问题 46．为了加强家校联系，某班举行一次座谈会，会上邀请了6位学生及他们的父母总共18人参加，并从中选出6位代表发言，如果这6人由其中一个家庭的3人与其他三个家庭中的各1人组成，那么不同的选人方案有（    ） A．720种 B．1240种 C．1440种 D．1620种 【答案】D 【详解】根据题意可知从6个家庭中任意选出一个，这个家庭的3人都被选中，共有种选择； 再从剩余的5个家庭里面选出3个家庭，共有种选择； 最后从3组家庭中各选一人，即有种； 因此不同的选人方案共有种. 故选：D 47．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B， 事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则， 又，则， 即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为． 故选：D． 48．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 【答案】B 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 49．某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是_____ 【答案】80 【详解】分步进行： 第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有=5种； 第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有×××=16； 根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80． 故答案为80． 【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 50．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）． 【答案】. 【分析】 【详解】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是, 3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选3对夫妻出来， 有种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有种，即有 种，故所求概率. 故答案为： 【点睛】本题是组合与古典概型的综合题，属于基础题. 题型12 环排问题 51．15人围坐在圆桌旁，从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（    ） A．1820 B．450 C．360 D．前三个答案都不对 【答案】B 【详解】解法一  ． 解法二  将15人从其中一人（记为A）处开始逆时针排成一列，按A是否被选中分为两类，不同的选法数为． 故选：B. 52．3位男生和2位女生围着圆桌就坐，要求2位女生不相邻，则不同的排列方式有（   ） A．40种 B．50种 C．55种 D．60种 【答案】D 【详解】将座位依次编号为，将男生编号1，2，3，女生编号4，5， 先将1号男生安置在1号位，考虑此时剩下四人的排列，要使2位女生不相邻，号座位上，女生的座位只能是2和5，2和4，3和5，共3种，再对两位女生和两位男生进行排列，有种. 而1号男生有5种安置情况，故总的排列方法共有种. 53．小鱼和A，B，C，D，E共六个好友在圆桌上用餐，则A坐在小鱼对面且B和C不相对的坐法的种数是__________.如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式. 【答案】16 【详解】A坐在小鱼对面，先固定两人位置，在小鱼和的相对位置确定后， 有四种选择，的每种选择确定下有两种选择， 确定的情况下剩余两人有两种排列方式，故总坐法有种. 故答案为：16 54．春节期间，小明一家3口､姑姑一家3口和爷爷，奶奶围坐圆桌聚餐，则在爷爷､奶奶相邻的前提下，小明一家3口均不相邻的概率为__________． 【答案】/ 【详解】将爷爷、奶奶捆绑在一起有种方法，与另外6人排列， 又因为是围坐圆桌，所以有种， 将爷爷、奶奶捆绑在一起和姑姑一家三口排列有种，形成4个空， 将小明一家3口插空，有种，故共有种， 所以在爷爷､奶奶相邻的前提下，小明一家3口均不相邻的概率为. 故答案为：. 重难·创新演练 设题创新：依托卡特兰模型、置换轮换自定义规则命题，跳出常规排列组合套路，融合几何图形、坐标路径、表格填数情境，侧重考查模型识别、阅读理解、分类分步与等价转化的综合解题能力。 1．（2025·黑龙江牡丹江·二模）五名男生和五名女生排成一列，从左边第一个位置开始至右算到任何一个位置，男生的人数不比女生的人数少，且所有男生之间的顺序一定，这种排队方式共有（     ）种． A．30240 B．25200 C．5040 D．2520 【答案】C 【详解】先只考虑5个男生位置和5个女生位置的安排，共有种性别排列． 对于不符合要求的排列，从左到右找出女生人数首次比男生人数多的位置， 将从第一个位置起到此位置的男、女位置互换，可得到含6个男生位置、4个女生位置的辅助排列． 反过来，对任一这样的辅助排列，取男生人数首次比女生人数多的位置， 将此前的男、女位置互换，可唯一恢复原来的不合要求的排列． 因此，不符合要求的性别排列数为， 符合要求的性别排列数为． 对于每一种符合要求的性别排列，5名男生的相对顺序已确定，只有1种安排； 5名女生可以任意排列，共有种安排． 所以符合题意的排队方式共有种． 2．（2026·广东东莞·二模）如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，.将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．144种 【答案】D 【详解】设点处的数字为，每条线段上数字之和为， 则， 因为，所以是的倍数，又， 所以的取值可能为， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 当时，，所以每条线段上除点外的两个点的数字之和为， 因为，每组数据分到个线段上有种， 每组数据在每个线段上的情况有种，所以共有种， 综上，共有种. 3．（2025·广东中山·二模）某年级每天排节课：语､数､外､理､化门每天必排，另一门从政､史､地､生中任取门；每门课每天至少排节；上午节，下午节.某天，如果要求数学不排下午第节，语文和外语不连排（上午第节与下午第节不算连排），那么排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】由题意得，特定门课的全排列总数为 种， ①数学排在下午第节，则剩下的门课全排列，排法数为种； ②语文和外语连排，首先内部有种排列（语外或外语）， 由于上午第节和下午第节不算连排，因此连排的节次组合有，共种位置组合， 剩下的门课全排列，则排法数：种； ③数学在下午第节，且语文外语连排， 数学固定在下午第节（第节），语文和外语连排，可能的连排位置组合有，共种位置组合，剩下的门课全排列， 则排法数为种； 因此符合条件的排法数为种； 又因为第门课有种选择（政、史、地、生），且每种选择下的排列情况是相同的， 因此总排法为种，故B正确. 4．（2026·黑龙江鹤岗·二模）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 【答案】B 【详解】不同的分配方案需要3步： 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一个布娃娃，有种方法； 将3个相同的陀螺分给3位小朋友，且不能全给同一位小朋友，有种； 将4只不同的风筝分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝， 其中甲风筝必须给周周小朋友，有种， 所以不同的分配方案有（种）. 5．（2025·江苏南京·二模）【新考法】（多选）已知集合，为表格如图，则下列说法正确的是（    ） A．从中任取三个不同的数，三个数之和为奇数的概率为 B．从中任取三个不同的数，三个数之和为3的倍数的概率为 C．将中所有数填入，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是奇数的概率是 D．将中所有数填入，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是3的倍数的概率是 【答案】ABD 【详解】对于A，设三数之和为奇数为事件，中， 奇数的有，偶数的有，要想三数之和为奇数，可以三数均为奇数，也可以1奇数2偶数，即：从中任选3个；或中任选1个，再在中任选2个， 故，故A正确； 对于B，设三数之和为3的倍数为事件，中， 除以3余数为0的有，除以3余数为1的有，除以3余数为2的有， 要想三数之和为3的倍数，可以三数余数相同，也可以余数分别为，即：从中选3个；或中选3个；或中选3个；或从中选1个，中选1个，中选1个， 故，故B正确； 对于C，设每行每列之和为奇数为事件，中，由A知总共有5个奇数，且要想三数之和为奇数， 可以三数均为奇数，也可以1奇数2偶数，则这三行与这三列的奇数个数均为， 因此必有一行和一列均为奇数，其他4个位置为偶数，故，故C错误； 对于D，设每行每列之和为3的倍数为事件，中，由B知总共有4种情况可以使得三数之和为3的倍数， ①若有某一行的数除以3的余数相同，则剩余两行所有数除以3就没有该余数， 则剩余任何一行都不会出现余数为，因此剩余两行必然是每行的数除以3的余数也都相同， 即三行余数分别为，此时每列的余数都是，符合题意，共有种余数分布； ②若有某一列的数除以3的余数相同，与①同理可得三列余数分别为， 此时每行的余数都是，符合题意，共有种余数分布； ③若每行每列的数除以3的余数都是，共有种余数分布； 故，故D正确； 6．（2025·浙江杭州·二模）智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 【答案】 【详解】以舞台中心为坐标原点，则的初始位置为，    设在6秒内，机器人向正北方向移动步，正南方向移动步， 因为最后要回到原点， 所以向正东和正西移动的距离相等，设为步， 由题意可得， 所以， 所以当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，（舍）； 综上，一共有种移动方法. 7．（2026·河北保定·模拟预测）【新考法】设，且，由a，a，b，c能构成_________个不同的四位数． 【答案】252 【详解】是集合，意味着三者互不相同. 已知，在中枚举的组合，仅有三组可能：， 可以是中除了a，b之外的任意数字，所以有种选择， 根据分步乘法计数原理，有种不同的元素构成方案． 对于确定好的一组a，a，b，c（两个相同，另外两个相异），构成的不同的四位数的方案为种 所以共可构成不同的四位数个． 8．（2025·辽宁阜新·二模）【新考法】某校开展学农活动，举办劳动技能比赛，通过初选，甲、乙、丙、丁、戊名同学进入决赛，决出第名到第名的名次．比赛后甲、乙、丙三人去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不是最差的．”对丙说：“甲比你好．”对这三个回答进行分析，这人的名次排列顺序有____种可能． 【答案】18 【详解】由题意可得，第名只能是丁或戊，第名只能是丙、丁或戊，因此可分为如下三种情况： ①甲是第名，先考虑乙，有种情况，再考虑丙，有种情况，最后排丁、戊，有种情况，即此时所包含的情况有（种）． ②甲是第名，当乙是第名时，丙只能是第名，只需考虑丁、戊的排列，此时有种情况；当乙是第名时，丙可以有种选择，最后排丁、戊，有种情况．故此时包含的情况共有（种）． ③甲是第名，丙只能是第名，而乙有种选择，最后排丁、戊，有种情况，此时所包含的情况有（种）． 综上，这人的名次排列顺序有种可能． 9．（2025·江苏常州·二模）【新考法】有5个小朋友进行换座位游戏，他们分别坐在编号为1~5的5个座位上，每一轮游戏开始后，5个小朋友重新选座位，要求第号座位上的小朋友坐到第号座位上，其中是定义域和值域均为的函数，且每轮游戏中每个小朋友只选一次座位．若经过30轮游戏后，每个小朋友的座位与最初一样，则满足条件的函数有___________个． 【答案】 【详解】因为的定义域和值域均为，所以其自变量和函数值是一一对应的， 满足该条件的函数个数为． 根据题中换座位的规则，我们把只在内部循环的若干个座位称为一个＂圆圈＂， 比如，若，， 那么第1,2,3号座位上的小朋友都只会按照轮换座位， 这就形成3个人的圆圈，其余同理， 最多有5个人的圆圈，最少只有1个人的圆圈（即存在，满足，表示号座位上的小朋友总是保持不动）． 容易发现，个人的圆圈，最少经过轮游戏恰好与最初一样． 每一个都能把5个人拆成若干个圆圈（圆圈人数和为5，如）， 要想经过30轮游戏，5个人的座位都与最初一样，必须每个圆圈的人数都是30的约数． 只有这种组合中，4不是30的约数，故排除， 因为个数排成一个圆圈，有种情况， 故需要排除的的个数为． 综上，符合条件的的个数为． 真题·实战演练 高频考点：相邻不相邻、定序环排、分组分配、隔板法、涂色与数字排列；近三年以选择填空为主，侧重基础+中档综合，突出模型辨析、等价转化、限制条件处理三大热点。 1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 2．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 排列组合 目 录 第02讲 排列组合 1 模拟·基础演练 2 题型01 排列数、组合数的化简与证明 2 题型02 排列数、组合数的方程与不等式 2 题型03 相邻问题和不相邻问题 3 题型04 定序问题 3 题型05 多面手问题 4 题型06 涂色问题 4 题型07 分组分配问题 5 题型08 隔板法 6 题型09 数字排列问题 7 题型10 最短路径问题 7 题型11 元素配对问题 8 题型12 环排问题 9 重难·创新演练 9 真题·实战演练 11 模拟·基础演练 考查重点：排列数与组合数化简证明、方程不等式求解，相邻不相邻、定序、环排、数字排列、最短路径、配对、涂色、多面手、分组分配、隔板模型应用，区分有序排列与无序组合，识别典型模型，侧重模型辨析与分步分类计数。 题型01 排列数、组合数的化简与证明 1．（多选）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，且，则下列等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算下列各式： (1)； (2)． 题型02 排列数、组合数的方程与不等式 5．不等式的解集为________. 6．解下列方程或不等式： (1). (2). 7．（1）已知，求实数的值 （2）解方程：. 8．解关于x的方程： (1)； (2)． 题型03 相邻问题和不相邻问题 9．现有，，，四人排成一行，其中与相邻，不排在两边，则共有不同的排法为（   ） A． B． C． D． 10．变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺. 已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（    ） A．24 B．120 C．144 D．168 11．某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（    ） A．6种 B．8种 C．12种 D．24种 12．某中学高二（1）班筹备校园文化展演，安排了名男生和名女生作为班级方阵的领演，人随机排成一列走在队伍最前方，则两位女生相邻的不同排法种数是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 13．名同学排成一排照相若甲､乙相邻且丙、丁不相邻，则不同的排法有________种. 题型04 定序问题 14．甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 15．用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 16．近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（    ） A．2376 B．2352 C．2208 D．2068 17．现有6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外两人每人得1本，则有__________种不同的分配方式. 18．六名同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有_______． 题型05 多面手问题 19．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（    ）种不同的选法 A．225 B．185 C．145 D．110 20．有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．52种 B．53种 C．54种 D．55种 21．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（   ）种不同的选法． A． B． C． D． 题型06 涂色问题 22．现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（    ） A． B． C． D． 23．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 24．春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 25．用4种颜色为四个词组“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，要求每个词组颜色相同，相邻词组不同色，共有______种涂色方法． 26．如图，在A，B，C，D，E，F六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为_____________． 题型07 分组分配问题 27．现安排小李、小明、小玲、小王四位同学到、、三个社区参加志愿者活动，每位同学仅在一个社区参与活动，每个社区至少有一名同学，且要求小李和小王不能在同一个社区，则不同的排法种类数为（    ） A．72 B．66 C．36 D．30 28．某单位派出包括甲、乙在内的9名员工参加培训，需要把他们随机平均分成3个小组，那么甲、乙两人分到同一个小组的概率为（     ） A． B． C． D． 29．年世界人工智能大会在上海举办．现将甲、乙等名志愿者分配到浦东世博中心、上海世博展览馆、浦东张江科学会堂、徐汇西岸国际会展中心四个展馆开展志愿者服务，每名志愿者只分配到个场馆，每个场馆至少安排名志愿者，若甲不安排至上海世博展览馆，乙必须安排至浦东世博中心展馆，则不同的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 30．现有4名志愿者要安排到3个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 31．把包括甲、乙、丙、丁等在内的8位员工分成1组、2组两个技术攻关组（每组4人），其中甲、乙不同组，丙、丁同组，则分组方案共有（     ） A．24种 B．16种 C．12种 D．10种 32．张、王、李、赵、吴共五名教师，利用周末时间去包括“半山崖线”在内的四条徒步路线进行考察．要求每条路线至少去一名教师，每名教师只能去一条路线，那么张老师恰好被安排去“半山崖线”考察的不同安排方法数为（    ）． A．60 B．64 C．72 D．96 题型08 隔板法 33．有11个周末听讲座的名额要随机分配给四个班级，每个班至少分一个，则不同的分配方法有（   ） A．50种 B．120种 C．210种 D．310种 34．某高校校庆发放纪念品，将6本完全相同的校庆纪念册、3枚完全相同的校庆纪念章、4张不同校园风景的明信片全部分给3位校友，要求每一位校友至少有一本纪念册，纪念章不能全给同一位校友，每一位校友至少有一张明信片，其中A明信片必须给校友甲，则不同的分配方案有（     ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 35．某海滨旅游路线全线共设有24个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留3个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有________种． 36．将各位数字之和等于10的四位数称为“好数”，比如2026，则四位数中共有“好数”（    ）个 A． B． C． D． 37．在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为（    ） A．504 B．168 C．84 D．36 题型09 数字排列问题 38．用1，3，5，7组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 39．从标有，，，，的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于的个数为（   ） A．44 B．43 C．42 D．41 40．（多选）一个正整数，如果将它从左向右读和从右向左读完全相同，就称为回文数，这种对称性质体现了数学中的数字美学，如22，121，3443，94249等.下列说法正确的是（   ） A．百位为2的五位回文数有100个 B．十位大于个位的六位回文数有360个 C．位回文数有个 D．位回文数有个 41．若从这九个数字中选取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的取法种数为__________. 42．将1，1，2,3，5，6，6，6，6这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有___________种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的填法共有___________种．（用数字作答） 题型10 最短路径问题 43．如图，某地有南北走向街道5条，东西走向街道6条，一快递员从该地西南角的餐厅B出发，送餐到东北角的A地，要求所走路程最短，则途经C地的概率是（    ） A． B． C． D． 44．如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 45．如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有_________条． 题型11 元素配对问题 46．为了加强家校联系，某班举行一次座谈会，会上邀请了6位学生及他们的父母总共18人参加，并从中选出6位代表发言，如果这6人由其中一个家庭的3人与其他三个家庭中的各1人组成，那么不同的选人方案有（    ） A．720种 B．1240种 C．1440种 D．1620种 47．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ） A． B． C． D． 48．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 49．某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是_____ 50．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）． 题型12 环排问题 51．15人围坐在圆桌旁，从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（    ） A．1820 B．450 C．360 D．前三个答案都不对 52．3位男生和2位女生围着圆桌就坐，要求2位女生不相邻，则不同的排列方式有（   ） A．40种 B．50种 C．55种 D．60种 53．小鱼和A，B，C，D，E共六个好友在圆桌上用餐，则A坐在小鱼对面且B和C不相对的坐法的种数是__________.如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式. 54．春节期间，小明一家3口､姑姑一家3口和爷爷，奶奶围坐圆桌聚餐，则在爷爷､奶奶相邻的前提下，小明一家3口均不相邻的概率为__________． 重难·创新演练 设题创新：依托卡特兰模型、置换轮换自定义规则命题，跳出常规排列组合套路，融合几何图形、坐标路径、表格填数情境，侧重考查模型识别、阅读理解、分类分步与等价转化的综合解题能力。 1．（2025·黑龙江牡丹江·二模）五名男生和五名女生排成一列，从左边第一个位置开始至右算到任何一个位置，男生的人数不比女生的人数少，且所有男生之间的顺序一定，这种排队方式共有（     ）种． A．30240 B．25200 C．5040 D．2520 2．（2026·广东东莞·二模）如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，.将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有（    ） A．36种 B．48种 C．96种 D．144种 3．（2025·广东中山·二模）某年级每天排节课：语､数､外､理､化门每天必排，另一门从政､史､地､生中任取门；每门课每天至少排节；上午节，下午节.某天，如果要求数学不排下午第节，语文和外语不连排（上午第节与下午第节不算连排），那么排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．（2026·黑龙江鹤岗·二模）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 5．（2025·江苏南京·二模）【新考法】（多选）已知集合，为表格如图，则下列说法正确的是（    ） A．从中任取三个不同的数，三个数之和为奇数的概率为 B．从中任取三个不同的数，三个数之和为3的倍数的概率为 C．将中所有数填入，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是奇数的概率是 D．将中所有数填入，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是3的倍数的概率是 6．（2025·浙江杭州·二模）智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 7．（2026·河北保定·模拟预测）【新考法】设，且，由a，a，b，c能构成_________个不同的四位数． 8．（2025·辽宁阜新·二模）【新考法】某校开展学农活动，举办劳动技能比赛，通过初选，甲、乙、丙、丁、戊名同学进入决赛，决出第名到第名的名次．比赛后甲、乙、丙三人去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不是最差的．”对丙说：“甲比你好．”对这三个回答进行分析，这人的名次排列顺序有____种可能． 9．（2025·江苏常州·二模）【新考法】有5个小朋友进行换座位游戏，他们分别坐在编号为1~5的5个座位上，每一轮游戏开始后，5个小朋友重新选座位，要求第号座位上的小朋友坐到第号座位上，其中是定义域和值域均为的函数，且每轮游戏中每个小朋友只选一次座位．若经过30轮游戏后，每个小朋友的座位与最初一样，则满足条件的函数有___________个． 真题·实战演练 高频考点：相邻不相邻、定序环排、分组分配、隔板法、涂色与数字排列；近三年以选择填空为主，侧重基础+中档综合，突出模型辨析、等价转化、限制条件处理三大热点。 1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 3．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $