专题6.4 用二次函数解决问题（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题6.4 用二次函数解决问题 1.能分析面积、销售利润等实际问题中的数量关系，列出二次函数表达式，并根据实际意义确定自变量的取值范围。 2.会利用配方法或顶点公式求二次函数的最值；理解：顶点不一定在自变量取值范围内，此时最值在区间端点处取得。 3.对于抛物线型实际问题（桥拱、喷泉、隧道等），能够合理建立平面直角坐标系，把实际条件转化为点坐标，用待定系数法求出二次函数表达式，再代入求解。 4.掌握用二次函数解决实际问题的一般流程：审题→建模→列式→求解→检验取舍→作答。 5.经历从现实情境抽象出二次函数模型的过程，体会模型思想、数形结合，学会把实际问题转化为代数问题。 在对比不同建系方案、不同列式思路中，学会优选简便方法，提升分析问题、优化运算的能力。 6.感受二次函数是解决最优化问题的重要工具，发展模型观念、应用意识、运算能力；养成检验结果、结合现实意义取舍答案的严谨习惯。 1．列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）。 (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 (6)写出答案。 2．建立二次函数模型求解实际问题一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题。 题型01 投球问题 【典例】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用AI摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．(1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_____米，实心球在空中的最大高度是____米； (2)求满足条件的抛物线的解析式；(3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【变式1】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【变式2】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度．当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 活动准备 1．查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度；2．准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 如图1，小明负责把篮球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定篮球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与小明投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，小明的出手高度，，．经查询篮筐的高，且、、在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则抛物线的顶点在轴上，可设抛物线解析式为，分析数据得、两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题：(1)求抛物线的表达式； (2)求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度． 【变式3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … (1)求与的函数表达式；(2)已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由；②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 题型02 拱桥问题 【典例】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【变式1】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，有一抛物线形拱桥，桥下的正常水位宽为20米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为12米．(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以平均每小时米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到桥拱顶? 【变式2】（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为．    (1)任务1：以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式．(2)任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 【变式3】（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为． 【建立模型】（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式； 【初步应用】（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度； 【拓展应用】（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围． 题型03 拱门问题 【典例】（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下：①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决：(2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）．①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 【变式1】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 【变式2】（2025·河南新乡·二模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：） 【变式3】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 题型04 喷水问题 【典例】（25-26八年级下·福建福州·期末）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式；(2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【变式1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题：(1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值；(2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【变式3】（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材1 某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，已知在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米． 素材2 现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高． 问题解决：(1)确定水柱形状：根据素材1，求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)探究喷水高度：改建前，身高为1.67米的小明站在距离喷水管3米处，他会被喷到吗？ (3)确定设计方案：根据素材2，喷水管要升高多少？ 【变式4】（26-27九年级上·湖北·单元复习）如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（     ） A． B． C． D． 题型05 隧道问题 【典例】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如下图所示的坐标系． (1)点坐标为____________________．(2)求抛物线的解析式．(3)一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？ 【变式1】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式；(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 【变式3】（2026·陕西宝鸡·一模）如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形构成．矩形的长米，宽米，小明以O为原点，所在水平线为x轴、所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点处贴有一张“小心碰头”的温馨提示．(1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式；(2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方米处（抛物线上的段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）． 题型06 空中跳跃轨迹问题 【典例】（2026·广东深圳·校考模拟预测）已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的成绩达标点，轴于点C，相关数据如下：    水平距离x（米） 5 10 20 30 空中飞行的高度y（米） 4.5 6 0 (1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______； (2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足，则他第二次跳跃落地点与起跳点平面的水平距离为______米，d______30，成绩是否达标？______．（填写是或否） 【变式1】（2026·北京海淀·统考一模）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)建立如图所示的平面直角坐标系． 通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离 0 1 2 竖直高度 0 0 根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为_______，最大竖直高度为_______；②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填“能”或“不能”）跃过篱笆． 【变式2】（2026·山东青岛·校考一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．(1)求抛物线C2的函数解析式；(2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；(3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ 【变式3】（2026·河南平顶山·二模）马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面米，落地点与起跳点水平距离为米．如图，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)若舞台上一处灯光装置的坐标为，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？(3)若机器人在竖直高度不低于米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离． 题型07 销售问题 【典例】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）“十一”黄金周期间，商场计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． (1)A、B两种商品的进货单价分别是多少？ (2)设A商品的销售单价为x，在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表； 销售单价x（元/件） 320 380 日销售量y（件） 80 20 设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）某超市销售一种电子计算器，成本为每个40元，计划每个售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量（个）与每个售价（元）满足如下关系：（）．设这种电子计算器每天的销售总利润为（元）． (1)求与之间的函数表达式；(2)当售价为多少元时获得利润最大，最大利润是多少？ (3)如果物价部门规定这种电子计算器的销售单价不高于60元，该超市销售这种电子计算器每天计划获得600元的利润，销售单价应定为多少元？ 【变式2】（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： (1)求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式；(2)若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式3】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）【项目主题】：蒙阴蜜桃礼盒销售利润优化问题 【项目背景】蒙阴是“中国蜜桃之都”，某特产公司依托本地特色，推出蒙阴蜜桃礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． (1)【建立模型】根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的 函数（选填“一次”“二次”），y与x之间的函数关系式为 ． (2)【问题解决】若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)【问题解决】若考虑额外费用元，且日均销售利润为1800元，此时销售单价为 元/盒时更惠民． 题型08 几何图形问题 【典例】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，某新建小区准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为的篱笆，一面靠墙（墙长为），设花园宽为x（），面积为S（） (1)求S与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少； (3)求花圃的最大面积． 【变式1】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，由长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度为），设的长为，所围的花圃面积为，则当________时，y的值最大． 【变式2】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值是___． 【变式3】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）根据以下素材，完成项目式探索任务： 素材1：如图是某农场计划建一个矩形饲养室，其中一边靠现有旧墙（墙长不限），需再建三面新墙，建筑材料可建新墙的总长为20米． 素材2：实际需求：1．想改造为两间矩形饲养室并安装两个门；饲养室的一面靠现有旧墙（旧墙长16米），中间用一道新墙隔开，建筑材料可建新墙的总长仍为20米，开2个门，且门宽均为1米（如图所示）．2．总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元，2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1.5米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米 (1)根据素材1，设垂直于墙的一边米，怎样围成面积为48平方米的饲养室？ (2)根据素材、，设米，矩形的面积为S，求S关于x的函数解析式． (3)在任务2条件下确定设计方案我的设计方案是选型号______门，当______米，______米时，S有最大值，最大值为______平方米． 题型09 动态问题 【典例】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含的式子表示：；；(2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是． 解决问题：运动时间为何值时，四边形的面积最小？ 【变式1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，△的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B．C． D． 【变式2】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·江苏·课后作业）如图（单位：），等腰直角三角形在正方形的左侧，点在一条直线上．现将由如图所示的位置开始，以的速度沿直线从左向右运动（正方形保持不动），直到边与边重合．设运动时，与正方形重叠部分的面积为．(1)写出与之间的关系式．(2)当，时，的值分别是多少？ (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了多长时间？ 题型10 其他二次函数问题 【典例】（2025·河南焦作·二模）如图，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表： 弹簧被压缩的长度 0 1.5 2 2.5 4 6 小球的速度 3 4 3 0 根据上述数据回答下列问题：(1)小球的速度最大时，弹簧的长度为_____ ，小球下落至最低点时，弹簧的长度为_____ ；(2)求小球的速度和弹簧被压缩的长度的函数表达式；(3)小航说：“当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【变式1】（2024·四川甘孜·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为 ． 【变式2】（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决：如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标；(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【变式3】（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． (1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式．(2)若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． (3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 【巩固训练】 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，要使剪出的矩形面积最大，的长为（     ） A．2 B． C． D．4.5 3．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 4．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，并在如图所示的位置留出两道宽的门，设花圃的宽是（单位：m），面积是（单位：）．（1）写出与的函数关系式___________，的取值范围为___________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为___________米． 5．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为_____．（结果保留根号） 6．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是，铅球路线的最高处B点的坐标是，则这名男同学比赛时的成绩_____________． 7．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图所示，已知在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________，___________．（用含的代数式表示）；(2)时间的取值范围是___________． (3)如果分别从两点出发，那么多少秒后，的面积等于； (4)点运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 8．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）某商店销售一种成本为40元的水产品，若按50元销售，一个月可售出，现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：单价每涨价1元，月销售量就减少。(1)填空：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润可以表示为　　　　　元，月销售量可以表示为　　　　　，月销售利润（单位：元）与x之间的函数关系式为　　　　　； (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 9．（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个米的小门，设篱笆长为米． (1)若矩形鸡舍面积为平方米，求篱笆的长；(2)求能围成矩形鸡舍的最大面积． 10．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米．(1)求抛物线的解析式．(2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【强化训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 2.（2025·陕西·模拟预测）如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求花坛所在抛物线的函数表达式； (2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长． 3.（2025·河南周口·二模）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案： 方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体； 方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且． 两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题： (1)对于方案1，设．①求的长度（用含x的代数式表示）；②求的最大值； (2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由． 4.（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 6．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）第二届“东北超”于5月23日晚在沈阳体育中心正式拉开帷幕．小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分．为研究射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为4.5米． (1)在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门中心点正对原点O所在的水平直线，球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） 7．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 8．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）。(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；(2)点E在缆索上，，且，，求的长． 9．（2025·成都·一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 (1)请求出y与x之间的函数关系式；(2)为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 10．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①所示．跳弹在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示，飞机在距水面垂直高度为的A处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点B，点C．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点A与点O所在直线的表达式为，分别求出A，B两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 用二次函数解决问题 1.能分析面积、销售利润等实际问题中的数量关系，列出二次函数表达式，并根据实际意义确定自变量的取值范围。 2.会利用配方法或顶点公式求二次函数的最值；理解：顶点不一定在自变量取值范围内，此时最值在区间端点处取得。 3.对于抛物线型实际问题（桥拱、喷泉、隧道等），能够合理建立平面直角坐标系，把实际条件转化为点坐标，用待定系数法求出二次函数表达式，再代入求解。 4.掌握用二次函数解决实际问题的一般流程：审题→建模→列式→求解→检验取舍→作答。 5.经历从现实情境抽象出二次函数模型的过程，体会模型思想、数形结合，学会把实际问题转化为代数问题。 在对比不同建系方案、不同列式思路中，学会优选简便方法，提升分析问题、优化运算的能力。 6.感受二次函数是解决最优化问题的重要工具，发展模型观念、应用意识、运算能力；养成检验结果、结合现实意义取舍答案的严谨习惯。 1．列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）。 (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 (6)写出答案。 2．建立二次函数模型求解实际问题一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题。 题型01 投球问题 【典例】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用AI摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．(1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_____米，实心球在空中的最大高度是____米； (2)求满足条件的抛物线的解析式；(3)根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】(1)2，3.6 (2) (3)明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，∴明明在此次考试中能得到满分． 【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，，可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米，故答案为：2，3.6； （2）解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为，则， 得抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）略． 【变式1】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，，设直线的解析式为， ， ，扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为，，， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则，，，，， ．故答案为：； （3）对于，令，则，，，， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ，乙不能接到扣杀球的击球．从点击球，击球点是抛物线的最高点，， ，，，乙能接到网前吊球的击球． 【变式2】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度．当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 活动准备 1．查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度；2．准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 如图1，小明负责把篮球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定篮球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与小明投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，小明的出手高度，，．经查询篮筐的高，且、、在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则抛物线的顶点在轴上，可设抛物线解析式为，分析数据得、两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题：(1)求抛物线的表达式； (2)求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：由题意得，，， 将点、的坐标代入得，，解得 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的顶点在轴上，当时，，抛物线的顶点坐标， 这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度为． 【变式3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … (1)求与的函数表达式；(2)已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由；②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】(1) (2)①不能，理由：，，， 当时，， 守门员的最大防守高度为，， 若守门员选择原地接球，不能防守成功． ② 【详解】（1）解：由表格可知，当和时，的值相同， 对称轴为直线，顶点为， 设与的函数表达式为， 将，代入得，，解得：， 与的函数表达式为； （2）解：①略 ②由题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 当时，，解得：或， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，则舍去， 此时，即足球的飞行距离为，守门员最少后退， 足球飞行的水平速度为，足球飞行的时间为，守门员后退时间为 守门员成功防守的最小后退速度为． 题型02 拱桥问题 【典例】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星求出点的坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】(1)(2)点的坐标为(3) 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，设抛物线的解析式为， ，，，，将，代入，得： ，解得，抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，，，作点B关于y轴的对称点，连接交轴于点， 则，，， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短，设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， 直线的解析式为，当时，，点的坐标为； （3）解：中，抛物线开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论上的最小值： 1.当对称轴在左侧，即，最小值在处取得， ，解得，结合前提，∴； 2.当对称轴落在内，即，开口向下的抛物线在内的最小值出现在端点，比较和的函数值：时，；时，； 由于，， ，范围内所有的函数值均大于9，该范围全部满足条件； 3.当对称轴在右侧，即，最小值在处取得：， 解得，结合前提，得； 综合三种情况，最终b的取值范围为： ，的取值范围为． 【变式1】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，有一抛物线形拱桥，桥下的正常水位宽为20米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为12米． (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以平均每小时米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到桥拱顶? 【答案】(1)(2)小时 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由，可设， 由，水位上升米就达到警戒线，∴可设， 把，代入函数解析式得到， 解得，∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可知，，即警戒线到桥顶的距离为， 由水位以平均每小时米的速度上升得到（小时）， 即从警戒线开始，再持续小时才能到桥拱顶． 【变式2】（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为．    (1)任务1：以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式．(2)任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，根据题意建立平面直角坐标系： ∴，∴顶点，点， 可设该抛物线的解析式为，把点代入得：， 解得：，∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵要确保道路的正常通行，∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行，∴支撑柱到的距离至少为， 令，则，即支撑柱的最大高度为． 【变式3】（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为． 【建立模型】（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式； 【初步应用】（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度； 【拓展应用】（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）从左到右第3根吊杆的长度是；（3） 【详解】（1）解：选图2，则，，顶点坐标为， 可设抛物线的函数表达式为， 把代入，得：，解得． ∴抛物线的函数表达式为． 选图3，则，，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 把，得：，解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：选择图2，抛物线为． 因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为． 把代入，得所以从左到右第3根吊杆的长度是． 选择图3，抛物线为．因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为．把代入，得 所以从左到右第3根吊杆的长度是． （3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为， 的顶点在正方形内，，，，，则，． ，∴当和时，， 把代入，得：，， 把代入，得：，， 当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大， 当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大． 把，代入，得； 把，代入，得， ∴抛物线二次项系数的取值范围为． 题型03 拱门问题 【典例】（2026·山西太原·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，学校新校区校门设计为中间主门、两旁侧门的形式，主门与两个侧门之间各有一根立柱，侧门两边设有完全相同的门卫室，主门、侧门、立柱及门卫室正面形状均为矩形，主门顶部造型设计为抛物线形． 工程队在此基础上要进行校门造型优化设计与相关构件安装，请你与他们共同解决相关问题． 方案分析：在图1中，具体结构与数据如下：①抛物线造型两端分别落在两个矩形立柱内侧的顶点，处，其跨度（即主门宽度）为，抛物线造型最高点到水平线的距离为． ②主门、侧门、立柱及门卫室的高均为，立柱宽，侧门宽． 建立模型：以点，所在水平直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求主门顶部抛物线造型对应的函数表达式； 问题解决：(2)如图2，为优化造型，现要在主门顶部抛物线造型外侧增加一条抛物线造型，它的两端落在门卫室顶部的点，处，它的顶点为．为稳定结构，内外抛物线造型之间需用两根竖直方向的钢筋支架，连接．为节约建材，将现有的一根长为的钢筋全部用来制做支架，（损耗与接口忽略不计）．①若要在这两个抛物线造型之间放置一个以为直径的圆形校徽，请计算这个校徽的直径； ②若要在抛物线造型上安装两个监控摄像头，为保证监控范围与效果，要求摄像头离地面的高度不超过，请直接写出两个摄像头之间水平距离的最小值（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①圆形校徽的直径为；② 【详解】（1）解：根据题意，可知抛物线顶点恰好在轴上，且点、、、、， 故假设对应的函数表达式为，将点、代入 ， 得，解得，故对应的函数表达式为． （2）解：①令对应的函数表达式为， 当时，对应的函数值为．∴，结合点，得， 故可得方程组，解得， ∴对应的函数表达式为，故点，∴． ②根据题意，要求摄像头离地面的高度不超过，即， 当时，得，解得， ∴两个摄像头之间水平距离的最小值为． 【变式1】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，抛物线关于轴对称， ，为中点，，即点的坐标为，通风管距离底部，且， 点的纵坐标为，横坐标为，即；设抛物线的解析式为， 将，代入得 ，解得 ；抛物线解析式为， 顶点的坐标为；拱架最高点距底部的高度为. 【变式2】（2025·河南新乡·二模）如图①，这是某地的一个拱形彩灯门，其横截面如图②所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． (1)求抛物线的函数表达式；(2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，为喜迎元宵佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请设计一种悬挂方案，使悬挂灯笼的数量最多．（参考数据：） 【答案】(1)(2)米 (3)以为中心，在、、、、、、、、、、的位置悬挂灯笼 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线顶点的坐标是， 为的中点，，，∴点的坐标是，设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，解得， ∴抛物线的函数表达式是； （2）解：设点的坐标是，则由抛物线的对称性可得， 则，，则支撑杆的长度和是， 整理得，∴当时，所需支撑杆长度和的最大值为米； （3）解：由（1）知，抛物线的函数表达式是， 令，整理得，解得， ∴时，两点之间的水平距离为， 要让数量最多，相邻间隔取1米，最多可以悬挂灯笼的数量是个． 悬挂方案：以O为中心，在、、、、、0、1、2、3、4、5的位置悬挂灯笼． 【变式3】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 【答案】(1)(2)米(3)， 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点为，且过点， 设抛物线解析式为，将代入得：， 即，解得，故抛物线解析式为； （2）解：由题意，挡雨伞顶端离地面3米，最外侧挡雨伞顶端与水柱的垂直高度为米， 水柱在该位置的纵坐标为，将代入抛物线解析式得：，解得， 最外侧挡雨伞的水平位置为米， 由于5条标志线将到的距离平均分为4段， 则每段间距为米，故每相邻两条标志线的间距为米； （3）解：由题意，左侧新抛物线顶点为，形状不变，设解析式为， 将代入解析式，得在轴上的纵坐标． ∵交点向下移动1米，∴，解得(舍去负值)． 此时，左侧抛物线解析式为， 则左侧喷水装置位置为即，左侧射灯位置为， 光线与地面夹角为，故左侧射灯光线方程为． 在左侧抛物线上任取一点，其中，， 直线上取正上方的点，则， ∴， 这是关于的二次函数，开口向上，∴当时，得最小纵坐标差为， ∴，解得．综上，，． 题型04 喷水问题 【典例】（25-26八年级下·福建福州·期末）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式；(2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1)(2)①2米；② 【详解】（1）解：设水流的函数解析式为， 由题意得∴，∴水流的函数解析式为； （2）解：①∵米，米，∴，设直线的函数解析式为， ∴，∴，∴直线的函数解析式为； 设，则，∴， ∵，∴当时，有最大值，最大值为2， 答：这棵小树可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为，同理可得， ∵两棵树等高，即，∴， ∴，∴， ∵，即，∴，∴， 又∵，∴，∴． 【变式1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：， ，当时，取最大值为，水流喷出的最大高度为. 【变式2】（2026·新疆·中考真题）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： (1)设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； (2)求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】(1)，(2)米 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴解得；∴，； （2）解：由（1）可得原抛物线的表达式为，配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，，解得，（舍去）， ∴（米）∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 【变式3】（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材1 某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，已知在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米． 素材2 现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高． 问题解决：(1)确定水柱形状：根据素材1，求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)探究喷水高度：改建前，身高为1.67米的小明站在距离喷水管3米处，他会被喷到吗？ (3)确定设计方案：根据素材2，喷水管要升高多少？ 【答案】(1)(2)小明会被水喷到(3)喷水管要升高 【详解】（1）解：由题意，得抛物线顶点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为，将点代入得，解得， 水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数解析式为； （2）解：由题意，令，则，，小明会被水喷到； （3）解：设喷水管升高．则抛物线的解析式为， 把点代入上式，得，解得．喷水管要升高． 【变式4】（26-27九年级上·湖北·单元复习）如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：，设抛物线的解析式为， 将代入，得：，解得，∴， 当时，，∴高度为． 题型05 隧道问题 【典例】（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如下图所示的坐标系． (1)点坐标为____________________．(2)求抛物线的解析式． (3)一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？ 【答案】(1)(2)(3)货车能从隧道中顺利通过 【详解】（1）解：∵隧道最高点位于的中央且距地面，， ∴点P的横坐标为，纵坐标为6，即点坐标为． （2）解：由题意可知：点，点，点，设抛物线的解析式为， 则，解得：，所以抛物线的解析式为． （3）解：∵一辆货车高，宽，∴当车在隧道正中行驶时，， 当时，，则货车能从隧道中顺利通过． 【变式1】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式；(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1)(2)能安全通过，见解析 【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下：如图， 由题意得：，将代入，则， ∵，∴能安全通过． 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：，∴， 解得：，∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时，∴， ∴代入解析式得：；∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得，∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，，过点P作于点M， ∵，∴，， ∴，，如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得，由勾股定理得， ∴，∴，∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 【变式3】（2026·陕西宝鸡·一模）如图1是某海洋馆的玻璃隧道，图2是它的截面示意图，玻璃隧道截面可近似看作抛物线和矩形构成．矩形的长米，宽米，小明以O为原点，所在水平线为x轴、所在直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，在抛物线上点处贴有一张“小心碰头”的温馨提示． (1)求隧道截面所在抛物线的函数表达式；(2)为保障游客观赏效果，清洁工人会对玻璃隧道进行定期清洁，某次清洁工人站在地面上清洁玻璃隧道时，能刷到的最大高度是其站立位置地面的正上方米处（抛物线上的段清洁工未清洁，即点E、F到x轴的距离均为米），此次清洁工人站在地面完成玻璃隧道清洁后，求未清洁部分最低两处的水平距离（即求E、F两点之间的距离）． 【答案】(1)(2)未清洁部分最低两处的水平距离为米 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∴， 设抛物线解析式为，点在抛物线的图象上， ∴，解得，，∴； （2）解：点E、F到x轴的距离均为米，则令， ∴，整理得，， ∴，解得，， ∴，∴，∴未清洁部分最低两处的水平距离为米． 题型06 空中跳跃轨迹问题 【典例】（2026·广东深圳·校考模拟预测）已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点O，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，我们研究发现他在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的成绩达标点，轴于点C，相关数据如下：    水平距离x（米） 5 10 20 30 空中飞行的高度y（米） 4.5 6 0 (1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______； (2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足，则他第二次跳跃落地点与起跳点平面的水平距离为______米，d______30，成绩是否达标？______．（填写是或否） 【答案】(1)；(2)；＞；是． 【详解】（1）解：由题意，设该二次函数的解析式为， 米，， 将点代入得：，解得， 则该二次函数的解析式为， 故答案为：． （2）解：对于二次函数，当时，， 解得或（不符合题意，舍去），则， ，，即， 故答案为：；＞；是． 【变式1】（2026·北京海淀·统考一模）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)建立如图所示的平面直角坐标系． 通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离 0 1 2 竖直高度 0 0 根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为_______，最大竖直高度为_______；②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填“能”或“不能”）跃过篱笆． 【答案】(1)①，；②(2)能 【详解】（1）解：①由表格中的数据可知，当时，， ∴野兔本次跳跃的最远水平距离为，∴满足题意的抛物线对称轴为直线， ∵抛物线开口向下，∴当，y最大， ∴由表格数据可知最大竖直高度为，故答案为：，； ②由①可知抛物线顶点坐标为，∴可设抛物线解析式为， ∴，∴，∴抛物线解析式为 （2）解：∵某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为， ∴此时满足题意的抛物线顶点坐标为， 同理可求出此时抛物线的解析式为，当时，， ∵，∴野兔此次跳跃能跃过篱笆，故答案为：能． 【变式2】（2026·山东青岛·校考一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．(1)求抛物线C2的函数解析式；(2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同；(3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ 【答案】(1)(2)12(3) 【详解】（1）把点，代入抛物线得： ，解得：，∴抛物线； （2）设运动员与点A的水平距离是m米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同， 根据题意得：， 化简得：，解得：或（舍）， 故运动员与点A的水平距离是12米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）设运动员与小山坡的高度差为h, 则 ∵，∴当时，h有最大值，最大值为， ∴运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是米． 【变式3】（2026·河南平顶山·二模）马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面米，落地点与起跳点水平距离为米．如图，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)若舞台上一处灯光装置的坐标为，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？(3)若机器人在竖直高度不低于米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离． 【答案】(1)；(2)不会；(3)． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上， 设该抛物线的函数解析式为，把点代入得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：不会，将代入抛物线解析式，得， ∴机器人不会经过该灯光装置所在位置； （3）解：令，则，解得， ∴水平距离为（米），∴机器人进行旋转表演的水平距离为米． 题型07 销售问题 【典例】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）“十一”黄金周期间，商场计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． (1)A、B两种商品的进货单价分别是多少？ (2)设A商品的销售单价为x，在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表； 销售单价x（元/件） 320 380 日销售量y（件） 80 20 设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为300元； (2)当A商品的销售单价定为320元时，日销售利润最大，最大利润是9600元． 【详解】（1）解：设A、B两种商品的进货单价分别是元，元， 根据题意可得解得 答：A、B两种商品的进货单价分别是元，元； （2）解：设， 把，；，分别代入，得解得， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， ，当时，取最大值， 此时， 故当A商品的销售单价定为320元时，日销售利润最大，最大利润是9600元． 【变式1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）某超市销售一种电子计算器，成本为每个40元，计划每个售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量（个）与每个售价（元）满足如下关系：（）．设这种电子计算器每天的销售总利润为（元）． (1)求与之间的函数表达式；(2)当售价为多少元时获得利润最大，最大利润是多少？ (3)如果物价部门规定这种电子计算器的销售单价不高于60元，该超市销售这种电子计算器每天计划获得600元的利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)（）．(2)当售价为60元时获得利润最大，最大利润是800元． (3)销售单价应定为50元． 【详解】（1）解： （2）解：， ∵，∴抛物线开口向下，∵，∴当时，取得最大值800． （3）解：根据题意可得出， 整理得：，解得或， ∵物价部门规定这种电子计算器的销售单价不高于60元，∴． 答：销售单价应定为50元． 【变式2】（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： (1)求该景点马年吉祥物套装的月销售量与销售单价的函数表达式；(2)若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)(2)60元(3)当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【详解】（1）解：设月销售量与销售单价的函数表达式为， 把点代入得：，解得：， ∴月销售量与销售单价的函数表达式为； （2）解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套，则 ，解得：， ∵要尽可能让利于顾客，∴选择较低定价，答：每套吉祥物套装应定价60元； （3）解：设每月销售利润为w元，根据题意得： ， 根据题意得：，解得：， ∵，∴当时，w取得最大值，最大值为6250， 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 【变式3】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）【项目主题】：蒙阴蜜桃礼盒销售利润优化问题 【项目背景】蒙阴是“中国蜜桃之都”，某特产公司依托本地特色，推出蒙阴蜜桃礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． (1)【建立模型】根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的 函数（选填“一次”“二次”），y与x之间的函数关系式为 ． (2)【问题解决】若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)【问题解决】若考虑额外费用元，且日均销售利润为1800元，此时销售单价为 元/盒时更惠民． 【答案】(1)一次；(2)日均销售利润w最大值为2250元，对应的销售单价为45元盒 (3)销售单价定为元盒时更惠民 【详解】（1）解：观察表格，x每增加2，y减少20，是一次函数． 设，将，代入， ，解得，，验证其余点均成立． （2）解：单件利润为元， ，当时，w取得最大值2250． 答：日均销售利润w最大值为2250元，对应的销售单价为45元盒． （3）解：单件利润为元， ，，， ∴，解得，，惠民选较低单价，取． 答：销售单价定为元盒时更惠民． 题型08 几何图形问题 【典例】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，某新建小区准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃，现有长为的篱笆，一面靠墙（墙长为），设花园宽为x（），面积为S（） (1)求S与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少； (3)求花圃的最大面积． 【答案】(1)，(2)的长为(3)花圃的最大面积为 【详解】（1）解：由题意，，∴， ∵，∴； （2）解：当时，解得（舍去）或；答：的长为； （3）解：∵，∴抛物线的开口向下，当时，随着的增大而减小， ∵，∴当时，的值最大为；故花圃的最大面积为. 【变式1】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，由长为的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度为），设的长为，所围的花圃面积为，则当________时，y的值最大． 【答案】 【详解】解：由题意得：，即， ∵，且，∴；故y与x的函数关系为； ∵； ∵开口向下，对称轴为，∴当时，花圃有最大面积． 【变式2】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值是___． 【答案】 【详解】解：设，，，矩形的面积为， 四边形为矩形，，，． （相似证明亦可），， ． 当时，最大值为，即矩形的面积的最大值是． 【变式3】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）根据以下素材，完成项目式探索任务： 素材1：如图是某农场计划建一个矩形饲养室，其中一边靠现有旧墙（墙长不限），需再建三面新墙，建筑材料可建新墙的总长为20米． 素材2：实际需求：1．想改造为两间矩形饲养室并安装两个门；饲养室的一面靠现有旧墙（旧墙长16米），中间用一道新墙隔开，建筑材料可建新墙的总长仍为20米，开2个门，且门宽均为1米（如图所示）．2．总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元，2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1.5米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米 (1)根据素材1，设垂直于墙的一边米，怎样围成面积为48平方米的饲养室？ (2)根据素材、，设米，矩形的面积为S，求S关于x的函数解析式． (3)在任务2条件下确定设计方案我的设计方案是选型号______门，当______米，______米时，S有最大值，最大值为______平方米． 【答案】(1)当长米、长米或长米、长米时，围成面积为48平方米的饲养室 (2)(3)①，，， 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意可得，整理可得，解得，， 当时，米，符合要求；当时，米，符合要求； ∴当长米、长米或长米、长米时，围成面积为48平方米的饲养室； （2）解：设米，则米，米，∴米， ∵矩形的面积为S，∴， ∵,∴，∴，∴； （3）解：由（2）可得米，则米，米，米， 与现有墙垂直方向的建筑材料的总长度为米，故与现有墙垂直方向的墙建筑费用为元， 与现有墙平行方向的建筑材料的总长度为米，故与现有墙平行方向的墙建筑费用为元， 两扇门的总费用为：型号①：（元）； 型号②：（元）；型号③：（元）； ∵总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元， ∴当门选择型号①时，，解得； 当门选择型号②时，，解得； 当门选择型号③时，，解得； 由（2）可得， ∵，∴函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵，∴当时，面积S有最大值，此时米，米，的最大值为平方米， 综上所述，我的设计方案是选型号①门，当米，米时，S有最大值，最大值为平方米． 题型09 动态问题 【典例】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． (1)用含的式子表示：；；(2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是． 解决问题：运动时间为何值时，四边形的面积最小？ 【答案】(1)；；(2)或； (3)四边形的面积不能等于；理由见解析；(4)运动时间时，四边形的面积最小． 【详解】（1）解：设运动时间为，由题意可知：，， 到用时：，到用时：，所以 ． ，． ，； （2）解：令；； ； 解得：，，和都满足 ．运动时间为或． （3）解：四边形的面积不能等于；理由如下：由（1）得，， 当四边形的面积等于，，解得：，（舍）， ，四边形的面积不能等于； （4）解：， ，， 运动时间时，四边形的面积最小． 【变式1】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，△的面积为，则关于的函数图象是（     ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得．①时，点在边上，， 则△的面积，解得；故选项错误； ②时，点在边上，则△的面积，解得；故选项错误； ③时，点在边上，，则△的面积， 解得；故选项错误．综上所述，只有选项符合． 【变式2】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形中，，∴， ∵动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴ ∵设点P的运动时间是时，的面积是， ∴①当点在上运动时，即：，这是开口方向向上的二次函数； ∴②当点在上运动时，即：；这是一次函数； ∴③当点在上运动时，即：， 这是开口方向向下的二次函数；综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意． 【变式3】（26-27九年级上·江苏·课后作业）如图（单位：），等腰直角三角形在正方形的左侧，点在一条直线上．现将由如图所示的位置开始，以的速度沿直线从左向右运动（正方形保持不动），直到边与边重合．设运动时，与正方形重叠部分的面积为．(1)写出与之间的关系式．(2)当，时，的值分别是多少？ (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了多长时间？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：设运动时，运动到，设与交于点，根据题意，得到， 由等腰直角三角形，，， 正方形，，，， ，此时运动的最大时间为：，故与之间的关系式为：． （2）解：， 当时，；当时，． （3）解：根据题意，得正方形面积的一半为：， 当时，，解得或； 由于时间不能为负数，故舍去，故， 故当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，运动了． 题型10 其他二次函数问题 【典例】（2025·河南焦作·二模）如图，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表： 弹簧被压缩的长度 0 1.5 2 2.5 4 6 小球的速度 3 4 3 0 根据上述数据回答下列问题：(1)小球的速度最大时，弹簧的长度为_____ ，小球下落至最低点时，弹簧的长度为_____ ；(2)求小球的速度和弹簧被压缩的长度的函数表达式；(3)小航说：“当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)10，6(2)(3)小航的说法不正确，理由见解析 【详解】（1）解：依题意，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，且观察当时，分别对应的的值有两个，分别是和4，则这个抛物线的对称轴为直线， 当时，对应的，即该抛物线的开口方向向下，∴小球的速度最大时，即，此时， ∵弹簧的初始长度为，则； 则小球下落至最低点时，即，此时∴，故答案为：10，6； （2）解：由（1）得这个抛物线的对称轴为直线，所对应的， 即函数的顶点坐标为，∴设函数的表达式为， ∴把代入，得，解得， ∴函数的表达式为． （3）解：小航的说法不正确，理由如下：由（2）得， 由题意得：令，则，解得，， ∴当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为或．小航的说法不正确 【变式1】（2024·四川甘孜·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，a与各个测量数据的差的平方和 ， 时，有最小值，青稞穗长的最佳近似长度为．故答案为：． 【变式2】（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决：如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标；(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】(1)，，(2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；(3) 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，，∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，∴四边形是矩形，∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，，∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入，解得， 则抛物线的表达式为； 将代入，解得；则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，∴，，∵轴，∴轴， ∵是矩形，∴，∴轴，∴，设， ∴，，∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍），∴，由抛物线对称性可得． 【变式3】（2026·河南驻马店·三模）转枝是果树栽培中的核心技术之一，目的是调整枝条生长方向、抑制顶端优势、促进花芽分化、平衡树势．某果农在进行枝条牵引定形时，将枝条弯成抛物线形状作为支撑骨架（如图1），以垂直于地面的果树主干为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系如图2所示．枝条上的点，，在抛物线形骨架上，点到主干的水平距离为，点在枝条抛物线形骨架的外端处，主干的高度为，已知抛物线形枝条的最高点到的水平距离为，离地面的高度为． (1)设抛物线形枝条上某处离地面的高度为，该处到主干的水平距离为，求与之间的函数解析式．(2)若枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，求点离地面的高度． (3)为保证枝条弯枝之后不至于断枝（当的长度超过时枝条会被折断），需测量安全监测距离（为枝条上某点到牵引绳的铅锤距离）．已知点，间的距离为，试判断该枝条会不会被折断，并说明理由． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为， 由题意得，点在抛物线上，代入得：，解得：， 所以，抛物线的解析式为，即：； （2）解：∵枝条外端到主干的水平距离（即枝条牵引深度）为，∴， ∴， ∴点离地面的高度为； (3)该枝条不会被折断，理由如下：∵，，∴， ∵点到主干的水平距离为，∴，∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为，设，则， ∴， 这是一个开口向下的二次函数，顶点在处， 代入得：的最大值为， ∵，∴该枝条不会被折断． 【巩固训练】 1．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∵，∴当时，y有最大值，最大值为90，∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 2．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，要使剪出的矩形面积最大，的长为（     ） A．2 B． C． D．4.5 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴， 在中，，，∴， 根据勾股定理得：，∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大． 3．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【详解】解：∵，，∴， 在中，当时，， ∵，∴可判定货车能完全停到车棚内，故答案为：能． 4．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，并在如图所示的位置留出两道宽的门，设花圃的宽是（单位：m），面积是（单位：）．（1）写出与的函数关系式___________，的取值范围为___________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为___________米． 【答案】 9 【详解】解：（1）设花圃的宽是，则 ∵墙的最大可用长度是∴∴，根据题意得，； （2）根据题意得，整理得，解得（舍去）， ∴的长9米． 5．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为_____．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，∴抛物线的解析式为：， 由函数图象和题意可得，抛物线经过和， ∴解得：，∴函数解析式为：； ∵水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即， ∴，解得：；∴此时水面宽度为：． 6．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在体育测试时，九年级的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）．如果这个男同学出手处A点的坐标是，铅球路线的最高处B点的坐标是，则这名男同学比赛时的成绩_____________． 【答案】 【详解】解：∵，．∴设抛物线解析式为， 在抛物线上，∴代入得，∴抛物线的解析式为． 令得，（舍负），所以，这名男同学比赛时的成绩为． 7．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）如图所示，已知在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当运动到时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：___________，___________．（用含的代数式表示）；(2)时间的取值范围是___________． (3)如果分别从两点出发，那么多少秒后，的面积等于； (4)点运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)(2)(3)1秒后，的面积等于 (4)当运动2秒后，的面积最大，最大为 【详解】（1）解：由题意，得，∴； （2）解：当点运动到点时，秒；点运动到点时，秒， ∵当运动到时，两点停止运动，∴. （3）解：，的面积，解得或， ∵，∴不符合题意，舍去；，答：1秒后，的面积等于； （4）解：当点运动到点时，秒；由题意，， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随着的增大而增大， ，当时，的值最大为； 故当运动2秒后，的面积最大，最大为． 8．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）某商店销售一种成本为40元的水产品，若按50元销售，一个月可售出，现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：单价每涨价1元，月销售量就减少。(1)填空：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润可以表示为　　　　　元，月销售量可以表示为　　　　　，月销售利润（单位：元）与x之间的函数关系式为　　　　　； (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)，， (2)当销售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元 【详解】（1）解：设每千克水产品涨价x元，则每千克水产品的销售利润为元，月销售量可以表示为， ∴月销售利润y与x之间的函数关系式为； （2）解：， ，当时，y最大为，此时的销售价（元）， 当销售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元． 9．（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个米的小门，设篱笆长为米． (1)若矩形鸡舍面积为平方米，求篱笆的长；(2)求能围成矩形鸡舍的最大面积． 【答案】(1)篱笆的长度为米(2)矩形鸡舍面积的最大值是平方米 【详解】（1）解：米，依题意得， 整理得，解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意；答：篱笆的长度为米； （2）解：矩形鸡舍的面积为， 由可知抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，，此时，符合题意，∴矩形鸡舍面积的最大值是平方米． 10．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米．(1)求抛物线的解析式．(2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【答案】(1)(2)米(3)这艘船能从这座拱桥下通过 【详解】（1）解：如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，把点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，当时，， 解得：，此时水面的宽度是米； （3）解：∵船宽，∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，，此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且，∴这艘船能从这座拱桥下通过． 【强化训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：当点在上时（）：过点作于点． ，，．又，，． ．这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，．当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形，，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）．，． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降．故选：A． 2.（2025·陕西·模拟预测）如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求花坛所在抛物线的函数表达式； (2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长． 【答案】(1) (2)的长为4米，的长为2米 【详解】（1）解：如图②，所在直线是的垂直平分线，且， ，点的坐标为， ，点的坐标为， 点是抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上，解得： 抛物线的函数表达式为； （2）解：点在抛物线上，设点的坐标为， ，交轴于点，，， 在中，，， .，根据题意，得， ，解得：(不符合题意，舍去)，， 答：的长为4米，的长为2米． 3.（2025·河南周口·二模）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案： 方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体； 方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且． 两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题： (1)对于方案1，设．①求的长度（用含x的代数式表示）；②求的最大值； (2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由． 【答案】(1)①，②3600(2)选择两种方案均可，理由见解析 【详解】（1）解：①由题可得，四边形和四边形都是矩形，∴，，， ∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，∴，∴， ∵，，∴，解得； ②由题意得，， ∵，∴当时，有最大值，最大值为3600； （2）解：两种方案任选其一即可，理由如下：设方案2中的， ∵，∴， ∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，∴，∴， ∴，即， ∵，∴当时，y₂有最大值，最大值为3600． ∵，∴两种方案养殖区总面积最大值相等，∴选择两种方案均可． 4.（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)，(2)(3)停车距离约为． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴，解得：，∴， 当时，∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴，解得：，∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时，∴，解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析(3)这条钢架的长度为米 【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 设水滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得：，即，， 水滑道所在抛物线的解析式为； （2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称， ，人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即， ∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：； 由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：， 令，则，即 或（舍去，不符合题意），点，， ，，此人腾空飞出后的落点D在安全范围内； （3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，令，即， （舍去，不符合题意）或，，设所在直线的解析式为， 将代入得：，解得：，所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即，整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点，， 即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合， ，，，，这条钢架的长度为米． 6．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）第二届“东北超”于5月23日晚在沈阳体育中心正式拉开帷幕．小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分．为研究射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点O，水平向右（指向球门）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置A距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点P，距离地面高度为4.5米． (1)在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门中心点正对原点O所在的水平直线，球员甲在距离球门18米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） 【答案】(1)(2)能射入球门 【详解】（1）解：由题意得：抛物线过点，顶点． 设抛物线对应的函数表达式为，将代入得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：能射入球门．在中，令，则． ∵，∴此次射门足球能直接飞入球门． 7．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)小明的说法不正确，理由见解析 【详解】（1）解：，∴当时，h最大，故答案为：； （2）解：根据题意，得当时，，∴，∴（负值舍去）； （3）解：小明的说法不正确．    理由如下：由（2），得， 当时，，解方程，得，， ∴两次间隔的时间为，∴小明的说法不正确． 8．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）。(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；(2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】(1)；(2)的长为． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入得，解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵，∴把代入得，，解得，， ∴或，∵，∴的长为． 9．（2025·成都·一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 (1)请求出y与x之间的函数关系式；(2)为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入－运营成本） 【答案】(1)（，且是整数）； (2)该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 【详解】（1）解：设，将，代入，得：，解得：， （，且是整数）； （2）解：设每场的获利为元，根据题意，得： ，抛物线开口向下， 又，且是整数，时，取得最大值，， 答：该影院将电影票售价定为元时每场的获利最大，最大利润是元． 10．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①所示．跳弹在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示，飞机在距水面垂直高度为的A处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点B，点C．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点A与点O所在直线的表达式为，分别求出A，B两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁． 【答案】(1)，；(2)能避开障碍物和暗礁； 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，，解得：，∴， ∵，当时，，解得：，，∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴，解得：，∴， ∵过点，∴当时，，解得：，∴， 当时，，解得：，，∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物，∴当时，， ∵，∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，，∴，∴当时，， ∵，∴跳弹能避开暗礁，综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； 这是一个开口向下的二次函数，顶点在处， 代入得：的最大值为，∵，∴该枝条不会被折断． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $