二次函数与方程、不等式 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数与方程、不等式 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 学生版 复习导航 把“相等的位置”和“满足大小关系的一段范围”分清，是本专题的主线。先确定与谁比较，再求分界，最后检查端点和题目允许的范围。 知识说明与短示例用于理解方法；正式典例和变式用于练习；A、B、C、D四组依次巩固基础、辨析难点、综合应用和连接中考。 一、方程的根与公共点坐标 1 二、公共点个数与判别式 2 三、图像的正负与不等式解集 4 四、两个函数的大小比较 5 五、保留题目允许的范围 7 六、由完整解集反推条件 8 七、利用表格定位方程的根 9 A组、基础巩固 11 B组、难点突破 13 C组、综合提升 15 D组、连接中考 17 一、方程的根与公共点坐标 设抛物线的表达式为（。它与轴的公共点满足所以先解若根为对应的公共点就是 它与水平线的公共点满足若解得对应公共点是不能仍写成 它与直线的公共点满足先求横坐标再代入任一原函数求纵坐标，得到一元方程的解只写联立方程组的解则要写出横、纵坐标。 例如，与的公共点是而方程的解只写或同一个横坐标，不能把点和根混写。 例1、已知求其与直线的公共点，并写出方程的解。 变式1-1、二次函数的对称轴为直线图像经过点 （1）写出方程的另一个根； （2）若图像与轴的两个交点横坐标为写出方程的解。 变式1-2、二次函数与轴交于 求方程的解。 变式1-3、抛物线与直线交于两点，点在点左侧。求的坐标，并写出方程的解。 二、公共点个数与判别式 对于一元二次方程必须先确认再使用判别式 当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根，但只有一个不同的根；当时，没有实数根。 联立完整的抛物线与完整的直线，移项得到一元二次方程后，上述三种情况分别对应两个、一个、零个公共点。如果另有限定的范围，还要筛选，不能直接把判别式给出的根数当成限定部分的公共点数。 图像上也可先配成比较顶点与水平参照线的位置。与斜直线比较时，应对联立后得到的新方程计算判别式，不能直接使用原抛物线与轴对应方程的判别式。 例如，的最小值为所以它与轴没有公共点，与只有一个公共点，与有两个公共点。参照线变了，公共点个数也可能变。 例2、函数的图像与轴恰有一个公共点，求 变式2-1、已知抛物线分别求它与直线 有两个、一个、没有公共点时的取值范围或值。 变式2-2、分别求抛物线与轴、与直线的公共点个数，并求出所有公共点的坐标。 变式2-3、只保留抛物线上满足的部分。求这部分图像与轴的公共点个数及坐标。 三、图像的正负与不等式解集 设抛物线与轴有两个不同交点，横坐标为且开口向上时，两根之间图像在轴下方，两根外侧在轴上方；开口向下时则相反。判断正负时必须同时看零点和开口。 求或的解集，不含函数值为零的位置；求或的解集，要把满足等号的端点包括进来。结果应写出所有符合条件的不能只写两个根。 没有零点时，整条抛物线都在轴的同一侧；与轴相切时，只有切点处函数值为零，两侧同号。没有两个不同零点时，不能照搬“两根之间”的结论。 例如，开口向上，零点是所以时若改问只需把这两个零点也包括进来。 例3、已知分别求时的取值范围。 变式3-1、分别求下列条件成立时的取值范围。 （1）（2）（3） 变式3-2、已知求时的取值范围。 变式3-3、求不等式的所有整数解。将条件改为后，写出新增的整数解及其个数。 四、两个函数的大小比较 表示在同一个横坐标处，第一个函数的图像在第二个函数的图像上方。不能拿两个不同横坐标处的高度作比较。 可直接观察两图的上下位置，也可把两个表达式相减：就是差大于零，就是差小于零，两者相等就是差等于零。 先令差等于零，求出的就是原来两图公共点的横坐标。若解得不能直接把公共点写成它的纵坐标仍需把代回任一原函数求出。 比较两个二次函数时，也先把两个表达式相减。两式的二次项系数相同，二次项会抵消，所得式子可能是一次式、非零常数或零。 此时按实际剩下的式子解，不能再套抛物线的正负规律。 例如，比较与作差得所以只需解得到这里的分界来自一次不等式。 例4、已知求两函数值相等时的以及时的取值范围。 变式4-1、如图，开口向下的抛物线与直线交于求和时的取值范围。 变式4-2、已知分别与下列函数比较，求时的取值范围。 （1）（2）（3） 变式4-3、已知 （1）求时的取值范围； （2）在第（1）问所得范围内，求时的取值范围。 五、保留题目允许的范围 实际问题中的常有范围，例如时间不能为负、销售单价有规定区间、商品件数必须是整数。解得代数范围以后，还要保留题目允许的部分。 若题目要求几个条件同时成立，就分别找出每个条件允许的范围，再取它们共同允许的部分。“或”表示任一条件成立即可，“且”表示每个条件都要成立。 先看不等号是否带等号，再看实际范围的端点是否允许。求整数解时，先求完整实数范围，再逐个选出其中的整数；不要把非整数端点随意四舍五入。 例如，代数上算得或题目又规定最后只保留或数轴上被题目排除的部分不能写入答案。 例5、已知求同时满足且时的取值范围。 变式5-1、已知且求时的取值范围，并写出其中所有整数。 变式5-2、某商店销售一种商品，销售单价为元，每天利润为元。规定若每天利润不低于元，求销售单价的取值范围。 变式5-3、一小球从离地米处竖直向上抛出。抛出秒后的离地高度为米，直到小球第一次落地为止。求小球离地高度不低于米的持续时间。 六、由完整解集反推条件 若二次函数满足的解集恰为且则是两处零点，抛物线开口向上，可写成其中 这里的“解集恰为”表示：区间内全部满足，区间外全部不满足。两个端点正是图像进入、离开轴下方部分的分界，因此函数值为零。如果没有其他独立条件，通常只能确定的符号，不能求出它的具体值。 “当时，”只说明这一段中的都满足条件，并没有排除区间外也满足，不能直接把当成零点。 例如，的完整解集是可知且但或都符合，不能仅凭解集求出 例6、二次函数满足的解集为求及的取值范围。 变式6-1、二次函数满足的完整解集是或且图像经过点求函数表达式。 变式6-2、已知二次函数满足：当时，下列函数中满足条件的是（　）。 A. B. C. D. 变式6-3、二次函数的图像经过点已知的完整解集为求的表达式，并写出的解集。 七、利用表格定位方程的根 抛物线是一条连贯的曲线。函数值从负变正或从正变负，说明图像从轴的一侧到另一侧，中间必经过轴。在已知递增或递减的同一支上，这样的交点只有一个。 表格给出的变号位置通常只能确定根所在的区间，不表示根就等于某个表中横坐标。求近似值时，还要检查这个区间能否确定所需的四舍五入结果。 两端函数值同号，不能直接断定中间没有根。抛物线可能先穿过轴再穿回来，也可能在中间恰与轴相切。 例如，在同一递增支上，时时只能说根在与之间，不能把表格端点当成根。 例7、函数在时随的增大而增大。当时，函数值分别为求方程正根所在的宽度为的区间，并给出精确到的近似值。 变式7-1、二次函数在时随增大而增大。下表给出部分值。 设正根为先确定所在的宽度为的区间，再写出精确到的近似值。 变式7-2、某二次函数的对称轴为已知右侧与轴交点的横坐标满足求左侧交点横坐标所在的宽度为的区间。 变式7-3、分别写出满足下列条件的一个二次函数表达式：图像在和处的函数值均为且与轴在内的公共点个数分别为 A组、基础巩固 A1、如图，二次函数的图像经过点并与轴交于方程的解是（　）。 A. 或 B. 或 C. D. 或 A2、抛物线与轴的公共点个数是（　）。 A. B. C. D. 无法确定 A3、关于的方程有______个不同的实数根；抛物线与轴的公共点为______。 A4、二次函数满足时，的取值范围是（　）。 A. B. 或 C. D. 或 A5、求抛物线与直线的公共点坐标。 A6、已知且当时，的取值范围为______。 A7、开口向上的抛物线与直线交于当时，的取值范围是（　）。 A. 或 B. C. D. A8、已知二次函数满足的解集为则______ 方程的解为______。 A9、若则的解集是（　）。 A． B． C．全体实数 D．无解 A10、方程的两个根分别为______、______，其中正根有______个。 B组、难点突破 B1、二次函数的部分对应值如下。 求：（1）时的取值范围；（2）时的取值范围。 B2、已知抛物线与直线分别求与时的取值范围。 B3、已知抛物线 （1）若它与直线恰有两个不同的公共点，则的取值范围为______； （2）当时，它与直线的公共点为______。 B4、直线与抛物线只有一个公共点。 （1）求及该公共点坐标； （2）求的解集。 B5、二次函数求且时的取值范围。 B6、二次函数在时随增大而增大。其部分对应值如下。 设方程的正根为下列说法一定正确的是（　）。 A. B. C. D. 精确到为 B7、已知二次函数满足：当时，求时的取值范围。 B8、已知一元二次方程的两个根为 求方程的解。 C组、综合提升 C1、二次函数与直线交于两点。 （1）求的坐标； （2）一条竖直线同时与两图像相交，两交点间的距离为求 C2、已知其中为实数。 分别在三种情况下，求的解集。 C3、已知若不等式恰有三个整数解，求的取值范围，并写出这三个整数解。 C4、开口向上的抛物线在处的函数值小于在处的函数值大于设方程的两个根为且下列结论正确的是（　）。 A． B． C． D． C5、某文具店销售一种笔记本，每本进价元。售价为元时，每天可售出本，规定且取整数。每天另需支付固定费用元。 若扣除这笔费用后的每天利润不低于元，求符合条件的整数售价的个数。 C6、二次函数满足的完整解集为则不等式的解集为______。 C7、二次函数的部分对应值如下。 （1）写出时的取值范围； （2）求时的取值范围。 C8、二次函数上有点求且时的取值范围。 D组、连接中考 D1、（2025年连云港中考第15题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度。若铅球抛出时离地面的高度为则掷铅球的水平距离为______ D2、（2025年陕西省中考第8题）在平面直角坐标系中，二次函数 （的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　）。 A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， D3、（2026年湖北省中考第10题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，均大于三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（　）。 A. B. C. D. D4、（2025年徐州中考第18题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是________（写出所有正确结果的序号）。 ①②③④⑤ D5、（2025年连云港中考第24题）已知二次函数 为常数。 （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点。 D6、（2025年淮安中考第25题）已知二次函数（为常数）。 （1）若点在该函数图象上，则______； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点当时， 直接写出的取值范围。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与方程、不等式 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册 教师详解版 复习导航 把“相等的位置”和“满足大小关系的一段范围”分清，是本专题的主线。先确定与谁比较，再求分界，最后检查端点和题目允许的范围。 知识说明与短示例用于理解方法；正式典例和变式用于练习；A、B、C、D四组依次巩固基础、辨析难点、综合应用和连接中考。 一、方程的根与公共点坐标 1 二、公共点个数与判别式 2 三、图像的正负与不等式解集 4 四、两个函数的大小比较 5 五、保留题目允许的范围 7 六、由完整解集反推条件 7 七、利用表格定位方程的根 8 A组、基础巩固 10 B组、难点突破 12 C组、综合提升 13 D组、连接中考 15 一、方程的根与公共点坐标 设抛物线的表达式为（。它与轴的公共点满足所以先解若根为对应的公共点就是 它与水平线的公共点满足若解得对应公共点是不能仍写成 它与直线的公共点满足先求横坐标再代入任一原函数求纵坐标，得到一元方程的解只写联立方程组的解则要写出横、纵坐标。 例如，与的公共点是而方程的解只写或同一个横坐标，不能把点和根混写。 例1、已知求其与直线的公共点，并写出方程的解。 【解析】由得所以或 在直线上，纵坐标均为故公共点为方程的解为或 先看等号右边，确认参照线。若求与轴的交点，应另解即得到或不能沿用上面的两个根。能直接开平方时，不必先展开。 变式1-1、二次函数的对称轴为直线图像经过点 （1）写出方程的另一个根； （2）若图像与轴的两个交点横坐标为写出方程的解。 【解析】（1）设另一个根为同一水平线上的两个交点关于对称，所以得 （2）方程的解为或这里函数值为第（1）问的函数值为对应的根为这些条件可以同时成立，例如就满足题设。 变式1-2、二次函数与轴交于 求方程的解。 【解析】把看作原方程中的横坐标。原方程的两个根为 因此或解得或代回时，确为或 变式1-3、抛物线与直线交于两点，点在点左侧。求的坐标，并写出方程的解。 【解析】由得所以或 分别代入得或按左右顺序， 方程的解为或 二、公共点个数与判别式 对于一元二次方程必须先确认再使用判别式 当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根，但只有一个不同的根；当时，没有实数根。 联立完整的抛物线与完整的直线，移项得到一元二次方程后，上述三种情况分别对应两个、一个、零个公共点。如果另有限定的范围，还要筛选，不能直接把判别式给出的根数当成限定部分的公共点数。 图像上也可先配成比较顶点与水平参照线的位置。与斜直线比较时，应对联立后得到的新方程计算判别式，不能直接使用原抛物线与轴对应方程的判别式。 例如，的最小值为所以它与轴没有公共点，与只有一个公共点，与有两个公共点。参照线变了，公共点个数也可能变。 例2、函数的图像与轴恰有一个公共点，求 【解析】当时，函数为与轴恰有一个公共点符合题意。 当时，函数是二次函数。令判别式为只有一个公共点，故得此时公共点为 综上，或 如果题干改为“二次函数”，就已经要求答案只剩“函数”与“二次函数”给出的条件不同。 变式2-1、已知抛物线分别求它与直线 有两个、一个、没有公共点时的取值范围或值。 【解析】因为抛物线的最高点为 当时，有两个不同实根，所以有两个公共点；当时仅有一个公共点；当时右边为负，无实根，没有公共点。 变式2-2、分别求抛物线与轴、与直线的公共点个数，并求出所有公共点的坐标。 【解析】与轴的公共点满足因为所以没有公共点。 与直线联立，得即所以代入得只有一个公共点 参照对象不同，所列的方程也不同。判断的是抛物线与轴的公共点，不能用它判断抛物线与直线的公共点。 变式2-3、只保留抛物线上满足的部分。求这部分图像与轴的公共点个数及坐标。 【解析】令得或 题给范围只允许所以只有一个公共点。 原方程的判别式大于零，只说明完整抛物线有两个横坐标不同的零点。限制范围后还要筛选，不能直接照搬根数。 三、图像的正负与不等式解集 设抛物线与轴有两个不同交点，横坐标为且开口向上时，两根之间图像在轴下方，两根外侧在轴上方；开口向下时则相反。判断正负时必须同时看零点和开口。 求或的解集，不含函数值为零的位置；求或的解集，要把满足等号的端点包括进来。结果应写出所有符合条件的不能只写两个根。 没有零点时，整条抛物线都在轴的同一侧；与轴相切时，只有切点处函数值为零，两侧同号。没有两个不同零点时，不能照搬“两根之间”的结论。 例如，开口向上，零点是所以时若改问只需把这两个零点也包括进来。 例3、已知分别求时的取值范围。 【解析】令得或抛物线开口向下，因此两根之间为正，两根外侧为负。 当时，当时，或 代入得可检查中间区域的正负；代入两个端点，函数值都为零，所以第二问保留端点。 对照无解；时仅有时或时为任意实数。相切并不表示图像穿过轴。 变式3-1、分别求下列条件成立时的取值范围。 （1）（2）（3） 【解析】（1）平方不小于零，要使只能等于零，故 （2）当且仅当时平方大于零，添负号后小于零，故或 （3）所以取任意实数都成立。 变式3-2、已知求时的取值范围。 【解析】等价于得 等价于得或 两个条件同时满足，故或四个端点分别对应或都可以取到。 变式3-3、求不等式的所有整数解。将条件改为后，写出新增的整数解及其个数。 【解析】两个零点为二次项系数为所以的解集为整数解为 改成后，解集为 左端点不是整数，右端点是整数，因此只增加一个整数解 四、两个函数的大小比较 表示在同一个横坐标处，第一个函数的图像在第二个函数的图像上方。不能拿两个不同横坐标处的高度作比较。 可直接观察两图的上下位置，也可把两个表达式相减：就是差大于零，就是差小于零，两者相等就是差等于零。 先令差等于零，求出的就是原来两图公共点的横坐标。若解得不能直接把公共点写成它的纵坐标仍需把代回任一原函数求出。 比较两个二次函数时，也先把两个表达式相减。两式的二次项系数相同，二次项会抵消，所得式子可能是一次式、非零常数或零。 此时按实际剩下的式子解，不能再套抛物线的正负规律。 例如，比较与作差得所以只需解得到这里的分界来自一次不等式。 例4、已知求两函数值相等时的以及时的取值范围。 【解析】 当时，两函数值相等；代回得公共点为 当时，所以的解集为或不存在使成立的 直线只在处与抛物线接触，在其他同横坐标处都位于抛物线下方。“只有一个公共点，所以两侧一定交换上下位置”是错误的；相切时不交换。 变式4-1、如图，开口向下的抛物线与直线交于求和时的取值范围。 【解析】作差二次项系数仍为两个零点是 所以在两根之间差为正、两根外侧差为负。时或时 变式4-2、已知分别与下列函数比较，求时的取值范围。 （1）（2）（3） 【解析】（1）故解得 （2）所以取任意实数都符合。 （3）两函数值处处相等，严格大于不可能成立，因此无解。 变式4-3、已知 （1）求时的取值范围； （2）在第（1）问所得范围内，求时的取值范围。 【解析】（1）所以的解集为 （2）由得两个根为抛物线开口向上，所以的解集为或 结合得时允许取到；时不能取到。低于或等于另一图像，不等于低于或等于轴。 五、保留题目允许的范围 实际问题中的常有范围，例如时间不能为负、销售单价有规定区间、商品件数必须是整数。解得代数范围以后，还要保留题目允许的部分。 若题目要求几个条件同时成立，就分别找出每个条件允许的范围，再取它们共同允许的部分。“或”表示任一条件成立即可，“且”表示每个条件都要成立。 先看不等号是否带等号，再看实际范围的端点是否允许。求整数解时，先求完整实数范围，再逐个选出其中的整数；不要把非整数端点随意四舍五入。 例如，代数上算得或题目又规定最后只保留或数轴上被题目排除的部分不能写入答案。 例5、已知求同时满足且时的取值范围。 【解析】由得 由得两者共同允许的范围是 满足两个条件；时不满足严格大于，所以右端不取。 变式5-1、已知且求时的取值范围，并写出其中所有整数。 【解析】等价于得 这个范围全部在题给范围内，所以最终为其中整数是两端函数值均为都符合条件。 变式5-2、某商店销售一种商品，销售单价为元，每天利润为元。规定若每天利润不低于元，求销售单价的取值范围。 【解析】由得所以 再结合得因此销售单价应不低于元且不高于元。元时利润恰为元，元时利润为元，两端都允许。 变式5-3、一小球从离地米处竖直向上抛出。抛出秒后的离地高度为米，直到小球第一次落地为止。求小球离地高度不低于米的持续时间。 【解析】由得即所以 第一次落地时得（负根不合时间意义）。由于区间都在实际运动期间。 所以高度不低于米的时间持续秒。这里求的是持续时间，不是把末时刻秒当⁠作⁠答⁠案⁠。 六、由完整解集反推条件 若二次函数满足的解集恰为且则是两处零点，抛物线开口向上，可写成其中 这里的“解集恰为”表示：区间内全部满足，区间外全部不满足。两个端点正是图像进入、离开轴下方部分的分界，因此函数值为零。如果没有其他独立条件，通常只能确定的符号，不能求出它的具体值。 “当时，”只说明这一段中的都满足条件，并没有排除区间外也满足，不能直接把当成零点。 例如，的完整解集是可知且但或都符合，不能仅凭解集求出 例6、二次函数满足的解集为求及的取值范围。 【解析】由完整解集可知，两个零点是且因此 比较系数，得所以 可以取任意正数，不能唯一确定。例如时，非正值的解集都为 反推前要先确认给出的是全部解，且两端确实是不同的边界。如果所写两条半直线发生重叠，它们的并集可能是全体实数，不能据此强行认定有两个不同零点。 变式6-1、二次函数满足的完整解集是或且图像经过点求函数表达式。 【解析】完整正值解集在两边，故两个零点是可设 代入得解得所以 此式确在或时为正，在两根之间为负，边界为零，与完整解集相符。 变式6-2、已知二次函数满足：当时，下列函数中满足条件的是（　）。 A. B. C. D. 【解析】选B。的负值范围为包含题给区间所以符合条件。 A项在时函数值为正，而在题给区间内，不符合条件。C项在整个内为正；D项的函数值始终大于零，都不符合条件。 B项在时函数值均为不是零点。题目只保证一段范围内没有说这就是全部解集，不能把这段范围的两端直接当作零点。 变式6-3、二次函数的图像经过点已知的完整解集为求的表达式，并写出的解集。 【解析】作差得由完整解集可知它开口向下，两个零点是所以 由图像经过得令有得 因此差式在两根外侧为负，所以的解集为或 七、利用表格定位方程的根 抛物线是一条连贯的曲线。函数值从负变正或从正变负，说明图像从轴的一侧到另一侧，中间必经过轴。在已知递增或递减的同一支上，这样的交点只有一个。 表格给出的变号位置通常只能确定根所在的区间，不表示根就等于某个表中横坐标。求近似值时，还要检查这个区间能否确定所需的四舍五入结果。 两端函数值同号，不能直接断定中间没有根。抛物线可能先穿过轴再穿回来，也可能在中间恰与轴相切。 例如，在同一递增支上，时时只能说根在与之间，不能把表格端点当成根。 例7、函数在时随的增大而增大。当时，函数值分别为求方程正根所在的宽度为的区间，并给出精确到的近似值。 【解析】在这一支上，函数递增；由可知正根满足 这一范围内的数四舍五入到都为所以正根精确到的近似值为 不能把根写成或因为这两处的函数值都不为零。正根的精确值是但利用表格定位时不必先求出它。 变式7-1、二次函数在时随增大而增大。下表给出部分值。 设正根为先确定所在的宽度为的区间，再写出精确到的近似值。 【解析】时时所以 这个区间内所有数四舍五入到都为所以两个表格端点都不是根。 变式7-2、某二次函数的对称轴为已知右侧与轴交点的横坐标满足求左侧交点横坐标所在的宽度为的区间。 【解析】两个零点关于对称，因此即 由得所以当增大时减小，区间端点的先后不⁠能⁠写⁠反⁠。 变式7-3、分别写出满足下列条件的一个二次函数表达式：图像在和处的函数值均为且与轴在内的公共点个数分别为 【解析】以下给出每种情况的一个表达式，答案不唯一。 没有公共点：在和处，函数值均为且函数值始终大于零。 只有一个公共点：在和处，函数值均为令只有根 有两个公共点：在和处，函数值均为令得或均在内。 两端函数值同为正数，仍可能在中间没有零点、只有一个零点或有两个零点。因此不能凭有限的同号表值断定整段图像的位置。 A组、基础巩固 A1、如图，二次函数的图像经过点并与轴交于方程的解是（　）。 A. 或 B. 或 C. D. 或 【解析】选B。方程要求函数值为对应图像上纵坐标为的两个点，其横坐标是故或 A2、抛物线与轴的公共点个数是（　）。 A. B. C. D. 无法确定 【解析】选A。因为图像始终在轴下方，所以没有公共点。 A3、关于的方程有______个不同的实数根；抛物线与轴的公共点为______。 【解析】填方程可化为两个相等实根都是只有一个不同的根，对应一个公共点 A4、二次函数满足时，的取值范围是（　）。 A. B. 或 C. D. 或 【解析】选C。零点为抛物线开口向下，两根之间函数值为正；两个端点处函数值为零，也满足条件。故 A5、求抛物线与直线的公共点坐标。 【解析】由得即所以或 代入分别得因此公共点为 A6、已知且当时，的取值范围为______。 【解析】填或抛物线开口向上，零点为所以完整图像上时或再保留题给范围内的部分，即得所求；可取，不可取。 A7、开口向上的抛物线与直线交于当时，的取值范围是（　）。 A. 或 B. C. D. 【解析】选B。差是开口向上的二次函数，两个零点是所以在时非正，即两端相等，应包括在内；解集写的是的范围。 A8、已知二次函数满足的解集为则______ 方程的解为______。 【解析】填或负值的全部范围恰在这两个边界之间，说明抛物线开口向上，故两边界处函数值为零，故方程的根为 A9、若则的解集是（　）。 A． B． C．全体实数 D．无解 【解析】选D。两函数作差得因此始终大于不可能严格小于。 A10、方程的两个根分别为______、______，其中正根有______个。 【解析】直接开平方得或因为所以两个根都大于零，都在原⁠点⁠右⁠侧⁠。 “有两个根”并不说明一个为正、一个为负，必须检验根的符号。 B组、难点突破 B1、二次函数的部分对应值如下。 求：（1）时的取值范围；（2）时的取值范围。 【解析】函数在时取相等值，所以对称轴为离对称轴较近的处函数值小于处的函数值故抛物线开口向上。 （1）两个零点为所以的解集为或 （2）图像与水平线交于横坐标为的两点，两点之间的图像低于这条直线，故 B2、已知抛物线与直线分别求与时的取值范围。 【解析】开口向上，所以时， 所以时， 第一种比较以轴为参照，分界是的两个根第二种比较以直线为参照，分界是的两个根不能把两种范围混用。 B3、已知抛物线 （1）若它与直线恰有两个不同的公共点，则的取值范围为______； （2）当时，它与直线的公共点为______。 【解析】填因为抛物线的最低点为水平线高于时有两个不同公共点；当时只有顶点这一个公共点。 B4、直线与抛物线只有一个公共点。 （1）求及该公共点坐标； （2）求的解集。 【解析】（1）由得只有一个公共点，故解得 此时方程为得代入得公共点为 （2）等价于所以解集为或直线与抛物线在处相切，除这一点外，直线始终在抛物线下方。 B5、二次函数求且时的取值范围。 【解析】等价于得 再结合得到被题给条件排除，处恰有也不能取。 B6、二次函数在时随增大而增大。其部分对应值如下。 设方程的正根为下列说法一定正确的是（　）。 A. B. C. D. 精确到为 【解析】选B。在递增的这一支上，时函数值为负，时函数值为正，所以两个表中函数值都不为零，A、C错误。 仅凭这个宽度为的区间，不能直接确定四舍五入到的结果。进一步有故实际精确到为D也错误。 B7、已知二次函数满足：当时，求时的取值范围。 【解析】将代入，得所以抛物线开口向下，两个零点为 故的解集为这里不必求出的具体数值，只需确定其符号。 B8、已知一元二次方程的两个根为 求方程的解。 【解析】令或分别得或 因为原方程是二次方程且已有两个不同根，没有其他根； 因此所求方程的全部解就是或 C组、综合提升 C1、二次函数与直线交于两点。 （1）求的坐标； （2）一条竖直线同时与两图像相交，两交点间的距离为求 【解析】（1）联立得所以或公共点为 （2）同一竖直线上的两点横坐标相同，距离等于纵坐标之差的绝对值，因此 若解得或 若得所以或四个值互不相同，代入均使竖直距离为全部保留。 C2、已知其中为实数。 分别在三种情况下，求的解集。 【解析】作差得 当时，差恒为零，两个函数完全相同，所以取任意实数都成立。 当时，不等式两边除以正数得所以 当时，除以负数时不等号反向，得所以或 三种情况包含所有实数其中时是一次函数，但差式仍为已包含在的情形中，不另漏掉。 C3、已知若不等式恰有三个整数解，求的取值范围，并写出这三个整数解。 【解析】配方得其对称轴为整数横坐标从向两侧依次取值时，函数值依次为：时或时或时再向外函数值更大。 要恰有三个整数解，必须包括而不包括因此 当时只有符合，故左端不能取；当时处函数值恰为仍不满足严格小于，所以右端可以取。三个整数解为 C4、开口向上的抛物线在处的函数值小于在处的函数值大于设方程的两个根为且下列结论正确的是（　）。 A． B． C． D． 【解析】选B。由于可写成在处函数值小于零，说明最小值所以图像与轴有两个不同交点。 有两个不同根时，可写开口向上，两根之间为负；因此 在处函数值为正，说明在两根外侧。又因不可能在左侧，只能有所以两端函数值都不为零，等号不能取。 C5、某文具店销售一种笔记本，每本进价元。售价为元时，每天可售出本，规定且取整数。每天另需支付固定费用元。 若扣除这笔费用后的每天利润不低于元，求符合条件的整数售价的个数。 【解析】每天毛利润为元，扣除固定费用后，要求 整理得即所以 结合且为整数，可取共种。规定范围内销量为正；时利润恰为元，应计入。 C6、二次函数满足的完整解集为则不等式的解集为______。 【解析】由完整非正解集可知抛物线开口向上，在或时为正。 把视为原函数的自变量，因此或得或 当或时，代入原函数的自变量分别是函数值为零，不满足严格大于，故⁠两⁠端⁠不⁠取⁠。 C7、二次函数的部分对应值如下。 （1）写出时的取值范围； （2）求时的取值范围。 【解析】（1）表中时函数值为零，而两根外侧处函数值为所以抛物线开口向上。故时 （2）由两个零点设代入得所以即 于是等价于解得两个边界对应函数与直线相等，都要包括。最后回代得与表格一致。 C8、二次函数上有点求且时的取值范围。 【解析】 由得所以由得所以 共同范围为这里比较的是同一函数在两个不同横坐标处的值，应先分别代入，不能把它误读为两条图像在同一横坐标处的高低。 D组、连接中考 D1、（2025年连云港中考第15题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度。若铅球抛出时离地面的高度为则掷铅球的水平距离为______ 【解析】铅球抛出时，代入得解得 落地时所以即得或 表示水平距离，不能为负，因此取掷铅球的水平距离为 D2、（2025年陕西省中考第8题）在平面直角坐标系中，二次函数 （的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　）。 A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【解析】选D。配方得若则图像不与轴相交，不符合题意。因此 两个交点位于轴两侧，说明在两个零点之间。抛物线开口向上，两零点之间的函数值为负，所以时得 A项：图像开口向上，错误。B项：在上函数值随增大而减小，错误。C项：最小值恰为不是小于错误。D项：当时，正⁠确⁠。 D3、（2026年湖北省中考第10题）已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，均大于三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（　）。 A. B. C. D. 【解析】选D。设三个相同的函数值为由均大于可知并有 当时，所以A项可以出现。 当时，B项可以出现。 当时，所以C项可以出现。 以上三种情况涵盖所有的情形，D项的顺序不可能出现。 D4、（2025年徐州中考第18题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是________（写出所有正确结果的序号）。 ①②③④⑤ 【解析】填①②⑤。图像开口向下，故①的值为负数。 设对称轴为直线由图可知而所以于是其中故②的值为负数。 图像与轴的交点在轴上方，故图像与轴有两个不同的交点，故③④的值均不是负数。 由图可知，在左侧零点的左边，此处图像位于轴下方。代入得故⑤的值为负数。 D5、（2025年连云港中考第24题）已知二次函数 为常数。 （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； （3）求证：该二次函数的图像不经过原点。 【解析】先配方：抛物线开口向上，最小值为 （1）水平线与抛物线有两个交点，须有化简得所以当时只有一个交点，不能取到。 （2）与轴有交点，须有最小值平方不小于零，故只能此时与轴相交于符合题意。 （3）当时，不可能等于因此该二次函数的图像不经过原点。 D6、（2025年淮安中考第25题）已知二次函数（为常数）。 （1）若点在该函数图象上，则______； （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有两个点当时， 直接写出的取值范围。 【解析】（1）将代入，得即解得 （2）令得它的判别式为因此方程有两个不相等的实数根，该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点。 （3）配方得把和分别代入后相减，得 由得即所以或当时，两函数值相等，不符合严格不等号，不能取到。 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $