专题6.3 确定二次函数的表达式（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题6.3 确定二次函数的表达式 1.理解待定系数法，掌握二次函数两种常用形式：一般式、顶点式，了解零点式；熟练掌握二次函数与几何变换（平移、对称、旋转）、最值等综合问题。 2.能根据已知条件（三点坐标、顶点、对称轴、最值、与坐标轴交点等）合理选择表达式形式，设出函数，列方程（组）求出待定系数，写出二次函数表达式。 3.知道不共线的三个点可以确定一个二次函数；能求出表达式后，结合表达式反推图象性质，解决简单问题。 能处理简单实际情境，建立二次函数模型，求出表达式并结合实际确定自变量取值范围。 4.类比一次函数待定系数法的学习经验，经历 “设式—代点—列方程（组）—求解—回代写解析式”完整流程，体会转化、数形结合、优化选择的思想。 5.在对比不同条件下解析式选择的过程中，学会优选方法，减少计算量，提升运算策略意识。 6.感受待定系数法是确定函数模型的通用方法，发展模型观念、运算能力、几何直观；养成规范代入、检验结果的良好习惯。 1．二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)零点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)。 2．确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中。 3.二次函数的解析式选择方式 （1）一般式：已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为。 （2）顶点式：已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为。 （3）交点式：已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为。 4.二次函数与几何变换（平移、对称、旋转） 1）平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移。 （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式。 2）二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：。 （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：。 （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：。 题型01 用待定系数法求解析式（一般式） 【典例】（26-27九年级上·安徽·阶段检测）已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设二次函数的表达式为，将代入，得，解得，∴该二次函数的表达式为． 【变式1】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图象经过，，． (1)求该二次函数的解析式；(2)该二次函数图象的对称轴是__________；顶点坐标是__________． 【答案】(1)(2)； 【详解】（1）解：设二次函数解析式为，∵图象经过，，， ∴，解得，二次函数解析式是． （2）解：对于，对称轴：， 把代入解析式：；所以对称轴是，顶点坐标． 【变式2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数的图象交轴于，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】这个二次函数的表达式为 【详解】解：已知二次函数的图象交轴于，且经过点， 将点和分别代入中，得：解得，． 所以二次函数的表达式为． 【变式3】（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知一个二次函数的图像经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设二次函数的表达式为， 将、、三点坐标分别代入表达式，得：， 把代入后两个方程，得：，得，解得， 将代入，得，解得，所以这个二次函数的表达式为． 题型02 用待定系数法求解析式（顶点式） 【典例】（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）已知抛物线的顶点为，且经过点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点，∴，解得，∴抛物线的解析式为． 【变式1】（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【详解】解：由题意设该抛物线的函数解析式为， 将点代入上式，得，∴该抛物线的函数解析式为． 【变式2】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知抛物线的顶点是，且经过点，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】抛物线的函数表达式为 【详解】解：∵抛物线的顶点是，∴可设抛物线的函数表达式为， 把代入上式得，解得，∴抛物线的函数表达式为． 【变式3】（26-27九年级上·甘肃·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线解析式为 ， 将代入得 ，解得，∴抛物线的解析式为． 题型03 用待定系数法求解析式（零点式） 【典例】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知抛物线经过，，三点．(1)求该抛物线的解析式．(2)求该抛物线的对称轴及最值． 【答案】(1)(2)对称轴为直线，函数有最大值为4 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为，即； （2）解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数有最大值为4． 【变式1】（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线．求顶点的坐标及抛物线的函数表达式． 【答案】, 【详解】解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得，∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点，代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有，故． 【变式2】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）求二次函数的解析式 (1)经过三点的二次函数的解析式． (2)二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过，∴设二次函数的解析式为， 把代入得解得∴二次函数的解析式为． （2）∵二次函数的图象的顶点为，∴设二次函数的解析式为， 把代入得解得；∴二次函数的解析式为． 题型04 二次函数图象的平移1 【典例】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将向右平移个单位，得；再向上平移个单位，得 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位后所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，所得抛物线的表达式是， 再向上平移1个单位，得，化简得． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 【答案】 【详解】解：对变形： 向上平移3个单位长度，给函数整体加3，得：； 再向右平移2个单位长度，将自变量x替换为，即． 所以，平移后的二次函数解析式为． 【变式3】（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式为，∴其顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线． A．∵，∴抛物线开口向上，说法正确；B．顶点坐标为，不是，说法错误； C．∵，即点与点关于对称轴直线对称，∴，说法正确； D．∵当时，随的增大而减小，∴当时，随的增大而减小，说法正确． 题型05 二次函数图象的平移2 【典例】（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 【答案】C 【详解】解：将抛物线平移得到抛物线， ∴这个平移过程为先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． 【变式1】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为， ∴原抛物线的表达式为． 【变式2】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）将抛物线（b、c为常数）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：平移后顶点：逆向平移求原顶点：向左，向下， 原顶点横坐标：，原顶点纵坐标：，所以原抛物线顶点为， 原抛物线顶点式：展开得： ∴，∴． 【变式3】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线．(1)用配方法求此抛物线的顶点坐标；(2)如果将该抛物线沿y轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(2) 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：设平移后的抛物线的表达式为，代入，得，解得． 故平移后的抛物线的表达式为． 题型06 二次函数图象的轴对称 【典例】（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数关于轴对称的图象的函数解析式为_________________，关于轴对称的图象的函数解析式为_________________． 【答案】 【详解】解：根据平面直角坐标系的性质，若两个点关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数，设新图象上任意一点为，则其关于轴对称的点在原函数图象上， 将点代入原函数解析式得到，整理得； 若两个点关于轴对称，则它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数， 设新图象上任意一点为，则其关于轴对称的点在原函数图象上， 将点代入原函数解析式得到，整理得． 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）抛物线关于轴对称的新抛物线表达式是_____． 【答案】 【详解】解：抛物线的开口向上，顶点坐标为， 关于轴对称的新抛物线开口向下，顶点坐标为， 关于轴对称的新抛物线表达式是，故答案为：． 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）与抛物线关于直线对称的图象的解析式是  （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，∵点关于直线的对称点是， ∴与抛物线关于直线对称的图象的解析式是，故选：C 【变式3】（25-26九年级上·陕西延安·期末）若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由抛物线可知抛物线的对称轴为直线，交y轴的于， 抛物线可知抛物线的对称轴为直线， 抛物线与抛物线关于直线对称， ，解得，点关于直线对称的点在抛物线， 把代入，解得：，综上所述：，故选：D 题型07 二次函数图象的中心对称 【典例】（25-26九年级上·湖北鄂州·期末）已知二次函数：与二次函数关于原点对称，则的解析式为_____． 【答案】 【详解】设二次函数：上任意一点，其关于原点的对称点为，则是二次函数上的任意一点，根据题意，得，代入， 得，所以， 故的解析式为，答案：． 【变式1】（2026·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将抛物线向下平移个单位长度，∴平移后抛物线的表达式为：， ∴平移后抛物线顶点坐标为，且二次项系数为，开口向下， ∵抛物线绕原点旋转后，抛物线形状不变，开口方向向上，顶点坐标关于原点对称， ∴旋转后抛物线的二次项系数由变为，顶点坐标为，∴旋转后抛物线的表达式为． 【变式2】（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为_________． 【答案】 【详解】解：，抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为，故答案为：． 题型08 利用二次函数的对称性求最短路径 【典例】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：把代入抛物线，得，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵，∴点的坐标为； （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点， 则，∴，由两点之间线段最短，可知当点共线时， 取最小值，此时的周长最小，∵，∴，∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得，∴直线的解析式为， 把代入，得，∴， 此时的周长． 【变式1】（25-26九年级·成都·专题练习）图，已知点，在抛物线上． (1)求的值．(2)在轴上找一点，使得点到两点的距离之和最小，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点如图所示；点的坐标为 【详解】（1）解：把分别代入，得. 点在第一象限，． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点．设直线的表达式为． 把分别代入，得解得．令，则点的坐标为． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．(1)求该二次函数的解析式；(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得，抛物线的解析式为； （2）如图，连接，，，，，， 抛物线的对称轴为直线， ，，，关于抛物线的对称轴对称，， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，设直线的解析式为，将、两点代入， 得，解得，直线的解析式为， 当时，，当点的坐标为时，的周长最小． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，求时的点坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标； 【答案】(1)(2)，，(3)点的坐标为 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 得，，解得，∴抛物线的解析式为； （2）由得对称轴为∵点，关于对称，∴，设 ∵ ∴，即 ∴ 当时，解得，当时，解得， ∴，， （3）如图：连接与对称轴为的交点为点，此时最小， 故的周长最小．设直线的解析式为， 将，代入解析式得，解得， ∴当时，，∴点的坐标为； 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【答案】B 【详解】解：∵中，∴开口向上，A正确； ∵∴顶点坐标为，∴当时，取最小值，C正确； 将抛物线向左平移1个单位，替换为，得，D正确； 当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误．故选：B． 2．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 【答案】 【详解】解：∵，∴将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为． 3．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律即可得出新的解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为． 4.（26-27九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线是顶点式，∴原抛物线的顶点坐标为， ∴将顶点向左平移2个单位，横坐标减2，得到横坐标为；再向上平移3个单位，纵坐标加3，得到纵坐标为；∴新抛物线的顶点坐标是． 5．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）写一个与二次函数的图像开口相同，且顶点在x轴上的二次函数_____________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数开口形状和方向由二次项系数决定，开口相同则二次项系数与原函数相同；顶点在轴上说明顶点纵坐标为，利用顶点式即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：∵原二次函数为，开口相同意味着二次项系数相同， ∴所求二次函数的二次项系数， ∵顶点在轴上，说明顶点纵坐标为， ∴可设顶点横坐标为任意实数，例如取顶点为，代入二次函数顶点式，得． 6．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的最低点为坐标原点，且该抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 【详解】解：由题意可设该抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得，∴该抛物线的函数表达式为． 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线过点，，，求该抛物线的函数表达式和顶点坐标． 【答案】， 【详解】解：设 ，将代入，得将，代入， 得：，解得所以该抛物线的函数表达式为 因为当时，，所以顶点坐标为． 8．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式．(2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【答案】(1)（2）略 【详解】（1） 解： ∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 ∴ 这个二次函数的解析式为； (2)解：点不在抛物线上，理由如下：将代入 得 ∵ ∴点不在抛物线上． 9．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知二次函数（）的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … (1)二次函数图象的顶点坐标为 ， ；(2)求该二次函数的表达式． (3)试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． 【答案】(1)，(2) (3)将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到此抛物线的图象 【详解】（1）解：∵当时，，时，，∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时，，∴二次函数图象的顶点坐标为， ∵与关于对称轴对称，且时，∴． （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得：，∴ ，即． （3）解：∵，∴，∵， ∴将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到此抛物线的图象． 10．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线．(1)求抛物线的解析式．(2)当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】(1)(2)最大值为，最小值为． 【详解】（1）解：抛物线，将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线．则抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为． ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，当时，取得最小值为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，对应纵坐标越大， ∵，∴当时的函数值大于当时的函数值， 即当时，抛物线的最大值为 ∴当时，抛物线的最大值为，最小值为． 【强化训练】 1．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线，∵抛物线与抛物线关于轴对称，∴抛物线的解析式为． 2.（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 【答案】 【详解】解：，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是。化为一般式得． 3．（2026·贵州遵义·校考一模）若一个函数的图象关于轴对称，则称这个函数为偶函数，如二次函数是偶函数．若二次函数是偶函数，则的值为___________． 【答案】3 【详解】∵二次函数是偶函数，∴二次函数的对称轴为轴， ∴，即：，即有：，故答案为：3． 4．（25-26浙江九年级期末）把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________． 【答案】 【详解】解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；故答案为． 5．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是：顶点式：________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点：一般式：________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线：顶点式：________； 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是，∴，解得：，∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，，∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，∴，∴，∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反，∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是，∴． 6．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知二次函数的与的部分对应值如下表： (1)求这个二次函数的解析式．(2)当为何值时，随的增大而增大． (3)判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由． 【答案】(1)(2)当时，随的增大而增大 (3)解：点在这个函数的图像上， 理由如下：当时，可得：，点在这个函数的图像上． 【详解】（1）解：由表可知当时，，当时，， 可得：，解得：，二次函数的解析式为； （2）解：由二次函数的解析式可知：，抛物线开口向上， 二次函数的对称轴为，当时，随的增大而增大； （3）略 7．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求此抛物线的函数表达式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出上述二次函数图象的草图； (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最值？ 【答案】(1)；(2)二次函数的图象如图所示： (3)从图象上观察，当时，y随x的增大而增大；当时，函数有最值． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 过点，，，抛物线的解析式为； （2）略 （3）略 8.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，抛物线，经过，两点，与y轴交于点C，(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，求最小值以及此时P点的坐标． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为直线 ，即 ，∴抛物线解析式可写为， 将点 代入抛物线解析式得，解得， 抛物线解析式：，展开得一般式：． （2）解：如图，连接，交对称轴于点，则，此时最小，， 抛物线的解析式为，其对称轴为直线， 当时，，，又，设的解析式为， ，解得：，的解析式为，当时，，， ． 9．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线﹒    (1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； 【答案】(1)(2)存在点使的周长最小， 【详解】（1）解：由对称轴，可得， 将代入得：，解得，抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点，此时的周长最小，    根据二次函数的对称轴，利用中点公式可得点的横坐标为，， 当时，，，设直线的解析式为， 把，代入，可得：，解得， 直线的解析式为，当时，，， 存在点使的周长最小，． 10．（2026·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向_____，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为______； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”．①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 【答案】(1)①上，； ②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： (2)①画图像如解图所示； ②． 【详解】（1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称，∴当时，， 补全表格与画图见答案； （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为，∴抛物线为， 将代入中，解得，∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得，∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得，∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 确定二次函数的表达式 1.理解待定系数法，掌握二次函数两种常用形式：一般式、顶点式，了解零点式；熟练掌握二次函数与几何变换（平移、对称、旋转）、最值等综合问题。 2.能根据已知条件（三点坐标、顶点、对称轴、最值、与坐标轴交点等）合理选择表达式形式，设出函数，列方程（组）求出待定系数，写出二次函数表达式。 3.知道不共线的三个点可以确定一个二次函数；能求出表达式后，结合表达式反推图象性质，解决简单问题。 能处理简单实际情境，建立二次函数模型，求出表达式并结合实际确定自变量取值范围。 4.类比一次函数待定系数法的学习经验，经历 “设式—代点—列方程（组）—求解—回代写解析式”完整流程，体会转化、数形结合、优化选择的思想。 5.在对比不同条件下解析式选择的过程中，学会优选方法，减少计算量，提升运算策略意识。 6.感受待定系数法是确定函数模型的通用方法，发展模型观念、运算能力、几何直观；养成规范代入、检验结果的良好习惯。 1．二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)零点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)。 2．确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中。 3.二次函数的解析式选择方式 （1）一般式：已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为。 （2）顶点式：已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为。 （3）交点式：已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为。 4.二次函数与几何变换（平移、对称、旋转） 1）平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移。 （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式。 2）二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：。 （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：。 （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：。 题型01 用待定系数法求解析式（一般式） 【典例】（26-27九年级上·安徽·阶段检测）已知二次函数的图象经过三点，求该二次函数的表达式． 【变式1】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图象经过，，． (1)求该二次函数的解析式；(2)该二次函数图象的对称轴是__________；顶点坐标是__________． 【变式2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数的图象交轴于，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【变式3】（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知一个二次函数的图像经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 题型02 用待定系数法求解析式（顶点式） 【典例】（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）已知抛物线的顶点为，且经过点，求这条抛物线的解析式． 【变式1】（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 【变式2】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知抛物线的顶点是，且经过点，求这条抛物线的函数表达式． 【变式3】（26-27九年级上·甘肃·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 题型03 用待定系数法求解析式（零点式） 【典例】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知抛物线经过，，三点．(1)求该抛物线的解析式．(2)求该抛物线的对称轴及最值． 【变式1】（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线．求顶点的坐标及抛物线的函数表达式． 【变式2】（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）求二次函数的解析式 (1)经过三点的二次函数的解析式． (2)二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 题型04 二次函数图象的平移1 【典例】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位后所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）把二次函数向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为__________． 【变式3】（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 题型05 二次函数图象的平移2 【典例】（26-27九年级上·重庆江津·阶段检测）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 【变式1】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）将抛物线（b、c为常数）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为，则的值为________． 【变式3】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线．(1)用配方法求此抛物线的顶点坐标；(2)如果将该抛物线沿y轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 题型06 二次函数图象的轴对称 【典例】（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数关于轴对称的图象的函数解析式为_________________，关于轴对称的图象的函数解析式为_________________． 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）抛物线关于轴对称的新抛物线表达式是_____． 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）与抛物线关于直线对称的图象的解析式是  （   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·陕西延安·期末）若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型07 二次函数图象的中心对称 【典例】（25-26九年级上·湖北鄂州·期末）已知二次函数：与二次函数关于原点对称，则的解析式为_____． 【变式1】（2026·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移个单位长度，再绕原点旋转后，得到的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为_________． 题型08 利用二次函数的对称性求最短路径 【典例】（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长． 【变式1】（25-26九年级·成都·专题练习）图，已知点，在抛物线上． (1)求的值．(2)在轴上找一点，使得点到两点的距离之和最小，并求出此时点的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．(1)求该二次函数的解析式；(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点在抛物线上，求时的点坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标； 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 2．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 3．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为______． 4.（26-27九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 5．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）写一个与二次函数的图像开口相同，且顶点在x轴上的二次函数_____________ 6．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的最低点为坐标原点，且该抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式． 7．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线过点，，，求该抛物线的函数表达式和顶点坐标． 8．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式．(2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 9．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知二次函数（）的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … (1)二次函数图象的顶点坐标为 ， ；(2)求该二次函数的表达式． (3)试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． 10．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线．(1)求抛物线的解析式．(2)当时，求抛物线的最大值和最小值． 【强化训练】 1．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 2.（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是_____．（请化为一般式） 3．（2026·贵州遵义·校考一模）若一个函数的图象关于轴对称，则称这个函数为偶函数，如二次函数是偶函数．若二次函数是偶函数，则的值为___________． 4．（25-26浙江九年级期末）把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________． 5．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是：顶点式：________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点：一般式：________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线：顶点式：________； 6．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知二次函数的与的部分对应值如下表： (1)求这个二次函数的解析式．(2)当为何值时，随的增大而增大． (3)判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由． 7．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求此抛物线的函数表达式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出上述二次函数图象的草图； (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最值？ 8.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，抛物线，经过，两点，与y轴交于点C，(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得的值最小，求最小值以及此时P点的坐标． 9．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线﹒    (1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； 10．（2026·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向_____，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为______； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”．①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $