6.4 用二次函数解决问题（第2课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级下册

年级

九年级

学科

数学

课型

新授课

教材

苏科版九年级下册

教学目标

1.能根据实际问题中给出的条件，用待定系数法确定二次函数的表达式。

2.能利用二次函数的顶点坐标求出实际问题中的最大值（或最小值）。

3.能根据抛物线形实物建立恰当的平面直角坐标系，并据此求解相关宽度、高度等实际量。

教学重点

用待定系数法确定二次函数表达式；

利用顶点坐标求实际问题中的最值；

建立恰当坐标系解决抛物线形实际问题。

教学难点

从实际问题中抽象出二次函数模型，合理建立平面直角坐标系，将实际量转化为点的坐标并完成求解与解释。

教材分析

本节教学内容源于苏科版九年级下册第六章《二次函数》第四节《用二次函数解决问题》（第2课时）。核心内容包括：根据实际问题中给出的条件，用待定系数法确定二次函数表达式；利用二次函数顶点坐标求实际问题中的最大值（或最小值）；根据抛物线形实物建立恰当的平面直角坐标系，并求解相关宽度、高度等实际量。教材通过沫蝉跳跃、抛物线形拱桥、渡槽等情境，承载二次函数模型的建立与应用。

本课是二次函数知识的综合应用，处于学生掌握二次函数图象、性质及待定系数法之后。内容按“实际问题—数据或图形—二次函数模型—求解—解释实际意义”的逻辑展开：例2由离散数据确定函数表达式并利用顶点求最值；例3由抛物线形拱桥抽象出 模型，通过建系、定系数、求点坐标解决水面宽度问题。其知识价值在于发展数学建模、函数思想和数形结合意识，使学生体会二次函数是刻画现实世界数量关系与变化规律的重要模型。教学重点是用待定系数法确定二次函数表达式、利用顶点坐标求最值，以及建立恰当坐标系解决抛物线形实际问题。

学情分析

学生已学习一元一次方程、方程组、多项式运算、平面直角坐标系及二次函数的图象和性质，具备用待定系数法求函数表达式的基础，也能进行配方和顶点坐标计算。因此，由数据设式、代入求系数及求最值具有较好知识基础，概念归纳相对容易。但学生面对实际情境时，常难以判断应设何种函数模型、如何选取关键点，尤其在抛物线形实物问题中，合理建系并将“水面宽、拱高、船宽”等转化为坐标和函数值较为困难。部分学生对最值的实际意义、自变量范围和近似计算也易忽视。教学中应借助图形和表格降低抽象难度，突出“建坐标—设函数—定系数—求点解”的流程，引导学生比较不同建系方式。教学难点是实际问题数学化、合理建系与关键点坐标确定，以及结果的实际解释。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【复习回顾】

（1）二次函数的一般形式是什么？它的顶点坐标公式是什么？

二次函数的一般形式是 （ 是常数，），

顶点坐标公式是 。

（2）已知二次函数图象经过三个点的坐标，怎样求它的表达式？

已知二次函数图象经过三个点的坐标，可设 ，将三个点的坐标代入，解出 。

（3）抛物线y＝ 的顶点在什么位置？对称轴是哪条直线？

抛物线 的顶点在原点，坐标为 ；对称轴是 轴，即直线 。

【创设情境，引入新课】

沫蝉跳跃的高度与时间满足二次函数关系，如何由少量数据求最大高度？

河上抛物线形拱桥在水位上升后，水面宽如何变化？小船能否通过？

引出课题“6.4 用二次函数解决问题（2）”。

由旧知复习待定系数法、顶点与对称轴，借助沫蝉跳跃、拱桥、渡槽等生活情境，激发兴趣，明确本课学习方向：建模型、定系数、求最值或宽高。

探究点1：用待定系数法确定二次函数并求实际问题中的最值

【问题引入】

问题1：实际问题中已知高度与时间满足二次函数关系，需要确定什么？
问题2：表格中的数据如何转化为图象上的点坐标？
问题3：表达式确定后，最大高度对应抛物线的哪个位置？如何求？

【师生活动】

教师引导审题、列表转点；

学生分组设表达式、代入数据、解方程组、配方验证；

教师追问“为什么可设 ？由 能得到什么？”

学生回答并归纳：先定模型，再定系数，最后用顶点求最值。

【详细过程】

现实问题：（例2）沫蝉跳跃高度 与起跳时间 满足二次函数关系。

数学抽象：设 。由 时 ，得 。
代入 、，得 ， 。

解得 ，。
所以 。
当 时， 最大，最大值为 。
【知识归纳】

用二次函数解决实际问题的一般步骤：

①根据实际规律确定函数模型；

②利用已知数据求函数表达式里面的参数；

③根据问题要求计算对应函数值（如最值、对应坐标值）；

④写出实际问题的答案，带上单位。

通过真实数据与表格转点，突破“由实际数据确定二次函数”的难点，经历“现实问题—数学抽象—解方程—配方最值”的过程，培养建模与运算能力。

探究点2：建立恰当坐标系解决抛物线形实际问题

【问题引入】

问题1：抛物线形拱桥轮廓可抽象为什么函数图象的一部分？
问题2：怎样建立平面直角坐标系，使函数表达式最简？
 

通过拱桥、小船通过、赵州桥、渡槽等抛物线形实例，训练“建坐标—设函数—定系数