专题6.2 二次函数的图象与性质（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题6.2 二次函数的图象与性质 1.会用列表、描点、连线的描点法画出二次函数的图象，知道二次函数图象叫做抛物线，识别抛物线的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性。 2.理解参数a、h、k对抛物线y=a(x-h)2+k图象的影响；掌握抛物线平移规律，能由 y=ax2 通过平移得到 y=a(x-h)2+k。 3.会用配方法把y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k；记住顶点坐标公式、对称轴公式，能求一般式抛物线的顶点、对称轴、最值。 4.能根据二次函数表达式或者图象，比较函数值大小，判断增减区间；能根据图象特征反推系数a、b、c的符号。 5.类比一次函数、反比例函数 “表达式 — 画图 — 观察性质” 的研究套路，经历从特殊到一般的探究过程，体会数形结合、转化、类比思想。 6.在图象平移、配方变形中，感受解析式和图形变换之间的对应关系，发展几何直观。 7.感受数形结合的价值，养成看图、识图、用图的习惯；重点发展数学抽象、几何直观、运算能力。 1．二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，可类比用描点法（列表、描点、连线）画其图象。 二次函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小； 当x>0时，y的值随x值的增大而增大。 当x<0时，y的值随x值的增大而增大； 当x>0时，y的值随x值的增大而减小。 最值 当x=0时，y有最小值0 当x=0时，y有最大值0 2．二次函数的图象与性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 c>0 c<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 （0，c） 增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小； 当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大； 当x>0时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=0时，y有最小值c 当x=0时，y有最大值c 3．二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 h>0 h<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 （h，0） 增减性 当x<h时，y的值随x值的增大而减小； 当x>h时，y的值随x值的增大而增大 当x<h时，y的值随x值的增大而增大； 当x>h时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=h时，y有最小值0 当x=h时，y有最大值0 4．二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 （h，k） 增减性 当x<h时，y的值随x值的增大而减小； 当x>h时，y的值随x值的增大而增大 当x<h时，y的值随x值的增大而增大； 当x>h时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=h时，y有最小值k 当x=h时，y有最大值k 5．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当x<时， y的值随x值的增大而减小； 在对称轴的右侧，即当x>时， y的值随x值的增大而增大 在对称轴的左侧，即当x<时， y的值随x值的增大而增大； 在对称轴的右侧，即当x>时， y的值随x值的增大而减小 最值 抛物线有最低点， 当时，y有最小值 抛物线有最高点， 当时，y有最大值 题型01 二次函数的图象与性质 【典例】（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 【答案】D 【详解】解：抛物线的开口向上，抛物线的开口向下，故选项A正确； 抛物线和的对称轴均为轴，故选项B正确，两个图像的开口大小不一样，不对称，选项D错误；抛物线和的顶点均为，故选项C正确；故选项D符合题意． 【变式1】70．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知下列二次函数：①；②；③．其中开口最大的是________（填序号） 【答案】② 【分析】根据越小，开口越大求解即可． 【详解】解：，故开口最大． 【变式2】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数可化为顶点式，∴顶点坐标为． 【变式3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．开口向上 B．图像位于二、四象限 C．有最低点 D．在y轴左侧，图像上升 【答案】D 【详解】解：A、∵抛物线的二次项系数， ∴抛物线开口向下，故选项错误，不符合题意； B、∵对任意实数，，∴，即图像位于第三、四象限及过原点， 故选项错误，不符合题意； C、∵抛物线开口向下，∴有最高点，故选项错误，不符合题意； D、∵该抛物线对称轴为直线（即轴），开口向下， ∴在轴左侧，随的增大而增大，即图像上升，故选项正确，符合题意． 【变式4】（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）以下有四个函数：①；②；③；④．则当时，随的增大而减小的函数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：，，故随的增大而减小，符合题意； ，，故随的增大而增大，不符合题意； ，，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意；，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，符合题意； 综上：当时，随的增大而减小的函数有2个. 【变式5】（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得，把代入，得， ∵， ∴． 【变式6】（26-27九年级上·成都·期中）当时，二次函数的最大值和最小值分别是_______． 【答案】， 【详解】解：二次函数的二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为直线， ，对称轴直线在该区间内，当时，取得最大值，代入得； 当时，，当时，， ，的最小值为，综上，的最大值为，最小值为． 题型02 二次函数的图象与性质 【典例】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解：对于： ∵，∴开口向上，顶点，对称轴为轴，在时随增大而增大； 对于：∵，∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 对于：∵，∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 综上，三条抛物线对称轴均为轴；故选C． 【变式1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）抛物线的对称轴为______． 【答案】y轴 【详解】解：根据题意得，抛物线的对称轴为y轴． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，都在函数的图像上，则___（填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵点，都在函数的图像上， ∴，，∵，∴． 【变式4】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴，解得， 因此可取，符合要求即可． 【变式5】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）对于二次函数，下列说法中不正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时随的增大而减小 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，即直线， ∴函数有最小值，最小值为1，当时，y随x的增大而减小， 故选项C不正确，符合题意，选项B、A、D正确，不符合题意． 【变式6】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5，当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 题型03 二次函数的图象与性质 【典例】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【详解】解：∵，∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符题意；、顶点坐标为，原选项错误，不符题意；故选：． 【变式1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 【答案】 【详解】解：当时，，因此它的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，解得， 代入得二次函数为，因此顶点坐标为． 【变式2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为，∴该函数图象开口向上， 又∵该函数的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·广东江门·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数为 ，当时，； 当时，；当 时，； ，，，故 ．故选． 【变式4】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大，∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧，∴． 【变式5】（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：函数中，二次项系数，因此开口向下，选项A错误； 顶点式为，对称轴为直线，选项B错误； 原函数向右平移2个单位得到，而非向左平移，选项C错误； 开口向下时，对称轴左侧（）函数值随增大而增大，选项D正确；故选：D ． 题型04 二次函数的图象与性质 【典例】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于二次函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为4 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【详解】解：A．二次项系数，其图象开口向下，故该结论不正确，不符合题意； B．其图象的对称轴是直线， 故该结论不正确，不符合题意； C．对称轴是直线，图象开口向下，当时，函数有最大值，此时， 故该结论正确，符合题意； D．对称轴是直线，图象开口向下，当时，随的增大而增大， 故该结论不正确，不符合题意． 【变式1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线的开口向_____，顶点坐标为_________． 【答案】 上 【详解】解：∵二次项系数为，∴抛物线开口向上，∵，∴顶点坐标为． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的对称轴是__________． 【答案】直线 【详解】解：因为，因此该二次函数图像的对称轴是直线． 【变式3】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 【答案】 【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小． 【变式4】（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）函数，当时，函数值的取值范围是______ 【答案】 【详解】解：函数是二次函数的顶点式，其中二次项系数为1，大于0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即当时，函数取得最小值； 已知自变量取值范围为，对称轴在该区间内，因此函数在该区间内的最小值为顶点处的函数值；开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大： 当时，代入函数得；当时，代入函数得； 由于到对称轴的距离大于到对称轴的距离，因此区间内函数值的最大边界为5，又因为x的取值不包含和2，因此函数值取不到5；综上，当时，函数值的取值范围是． 【变式5】（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值3 D．顶点坐标是 【答案】D 【详解】解：A、∵在中，二次项系数，∴开口向下，原说法错误，不符合题意； B、由解析式可得对称轴是直线，原说法错误，不符合题意； C、∵函数图象开口向下，顶点坐标为，∴函数有最大值3，原说法错误，不符合题意； D、由解析式可得顶点坐标是，原说法正确，符合题意． 【变式6】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数的图象上有，，三个点，则，，的大小关系为_________. 【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为，∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 计算各点到对称轴的距离：点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，∵，∴. 题型05 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴该函数的对称轴为直线，在轴右侧，顶点坐标为，在轴下方，故A、B选项错误； ∵，∴当时，随的增大而增大，∵，∴当时，随的增大而增大， 当时，有最小值是，故C选项正确；故D选项错误； 【变式1】（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线图像开口向下，则的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线图像开口向下，∴，解得． 【变式2】（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：对抛物线配方得：，∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上，∴将代入直线方程得：，解得：． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：二次函数中，抛物线开口向上， 整理可得：，当时函数有最小值； 当时，可得：，当时，可得：， 二次函数在范围内的最大值和最小值分别是和2． 【变式4】（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线上有三点，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的纵坐标越小， ∵，，，又∵，∴． 【变式5】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知抛物线． (1)将化成的形式；(2)写出抛物线的开口方向和增减性． 【答案】(1) (2)开口方向向下；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 【详解】（1）解：； （2）解：由可知，、对称轴为，抛物线的开口方向向下； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 题型06 多个函数图象的综合判断 【典例】（26-27九年级上·成都·单元复习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；一致，符合要求； 选项B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得；不一致，不符合要求； 选项C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意；     选项D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得，不一致，不符合题意． 【变式`1】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，当时，，在中，当时，， ∴一次函数与二次函数交于点，故B、D不符合题意； A选项中，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，二者不一致，故此选项不符合题意； C选项中，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，则，且对称轴在y轴左侧，则，即，二者一致，故此选项符合题意； 【变式`2】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限；分析选项可得，只有D选项符合题意． 【变式`3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式4】（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由与可知，两函数图象与轴的交点为同一点， ∴选项不符； ∵选项中抛物线开口向下， ∴，∴直线从左到右下降，∴选项符合； ∵选项中抛物线开口向上，∴，∴直线从左到右上升，∴选项不符． 题型07 二次函数的对称性运用 【典例】（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知两个交点的横坐标分别为2和4， 因此对称轴对应的横坐标为：所以，对称轴为． 【变式1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，两点纵坐标相等， 对称轴为，故D错误， ，顶点的纵坐标大于，A、C错误，B正确，故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：设任意点在抛物线上， ∵点关于直线的对称点为，且与关于直线对称， ∴点在抛物线上，∴，展开整理右侧得：， 又∵，多项式相等对应系数相等， 可得，，解得，，∴． 【变式3】（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，∴对称轴为直线， ∵，∴，∴，∵，∴，∴． 题型08 二次函数图象与各项系数符号 【典例】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数图象的开口向下，∴， ∵对称轴为直线，∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴，∴，∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值，当时，， ∴，即，故③正确； 由图象知，当时，，∵，∴，故④正确；综上，正确的个数是3个． 【变式1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线对称轴为直线，，即，∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方，∴，∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线，∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下，∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，，且，∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确；综上所述，正确的结论是①④⑤． 【变式2】（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线，∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 【变式3】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴， ∵对称轴为直线，∴，∴，，①正确，②正确； ∵当时，，∴，③正确； 当时，最大值在顶点处取得，为，最小值在离对称轴更远的端点处取得，为，∴最大值与最小值的差，④正确； 综上4个结论全部正确，正确个数为4． 【变式4】（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴上，∴，， ∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴，故①错误； ∵抛物线与轴的一个交点横坐标在之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的一个交点横坐标在之间，∴当时，，即，故②正确； 由图象可知，当时，，∴，∴， 由图象可知，当时，，当时，， ∴，，∴，∴，∴，故③错误； ∵，，∴，即，故④正确；综上，正确结论的个数为． 题型09 二次函数的最值（含参） 【典例】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 【答案】A 【详解】解：二次函数，该函数的对称轴是直线． 当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 当时，当时，；当时，．，解得． 当时，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 当时，当时，；当时，．，解得． 综上所述，的值为或． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数在时有最小值，则________． 【答案】或 【详解】解：，对称轴为直线，对称轴在内， 当时，抛物线开口向上，最小值在对称轴处取得，即时，，解得； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 在中，离对称轴最远，时取得最小值，代入得， 解得；因此或． 【变式2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【答案】或 【详解】解：二次函数开口向上，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，分三种情况讨论： ① 若，此时在的范围内，随增大而增大，最小值在处取得， 可得，解得或，，； ②若，此时在的范围内，随增大而减小，最小值在处取得， 可得，解得或，，； ③若，此时顶点的横坐标在的范围内，函数最小值为， 不满足最小值为的条件，舍去；综上，的值为或． 【变式3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数，当时，其最大值为4，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：二次函数， ∵，∴二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，其最大值为4，∴． 【变式4】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，的最小值为，则的值为________． 【答案】或 【详解】解：二次函数（为常数）对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ①若，时，函数值的最小值为， 则， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，时，函数值有最小值为，则，解得； ③若，时，函数值的最小值为，则，无解； 的值为或． 【巩固训练】 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）关于抛物线和的异同点，下列说法中正确的有（） ①有共同的顶点和对称轴；②两抛物线的开口方向相反；③两抛物线关于x轴成轴对称；④两抛物线关于原点中心对称； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：①抛物线和的顶点都是原点，对称轴都是y轴，二者顶点和对称轴完全相同，故①正确； ②的二次项系数是，的二次项系数是，和符号相反，因此两个抛物线开口方向必然相反，故②正确； ③若点在上，则点满足，也就是这两个点关于x轴对称，因此两条抛物线整体关于x轴成轴对称，故③正确； ④若点在上，则点满足，整理得，也就是这两个点关于原点中心对称，因此两条抛物线整体关于原点中心对称，故④正确．综上可知，4个说法全部正确． 2．（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）嘉嘉用软件绘制抛物线 时，将“3”按成了“4”，和原图象相比，发生改变的是（     ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【详解】解：原抛物线为，错输后的抛物线为， ∵ 两个抛物线的二次项系数均大于0，且均为的形式， ∴ 开口方向均向上，对称轴均为轴，顶点坐标均为，∵ ，∴ 开口大小发生改变． 3.（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最小值3 【答案】C 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴抛物线开口向下，A错误；该函数顶点坐标为，B错误； ∵抛物线对称轴为直线，开口向下，∴当时，随的增大而增大，C正确； ∵抛物线开口向下，顶点为最高点，∴当时，有最大值，D错误． 4.（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同，∴， ∵抛物线的顶点坐标是，∴将，代入解析式得：，∴． 5．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而增大 【答案】C 【详解】解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误；C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故D错误． 6.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的最大值为（     ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】解：，∴该函数图象的顶点坐标为， ∵，∴二次函数的最大值为9． 7．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在抛物线中，二次项系数，对称轴为轴， ∵，∴抛物线开口向上，∴点离对称轴越近，对应的函数值越小，∵，∴． 8.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）有下列二次函数：①；②；③，在同一平面直角坐标系中，将它们的图像的开口大小按从大到小的顺序排列为________（填序号）． 【答案】 【详解】解：∵，且，∴图像的开口大小按从大到小的顺序排列为． 9．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的对称轴是________________． 【答案】直线 【详解】解：二次函数顶点式（）的对称轴为直线， 故抛物线的对称轴为直线． 10.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数最大值是___________，最小值是___________． 【答案】 【详解】解：，∴抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵，在此范围内，∴当时，取最小值，最小值为． ∵与中，，即离对称轴较远， ∴当时，取最大值，最大值为．∴二次函数的最大值是，最小值是． 11.（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标；(2)直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)顶点坐标为.(2)当时，随的增大而减小. 【详解】（1）解：，∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）得，，∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 【强化训练】 1.（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线有最低点，∴抛物线开口向上，∴，解得．故选：C． 2.（2026·浙江金华·校考二模）如图，一次函数与二次函数的图像相交于、两点，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 由=x2+bx+c图象可知，对称轴x=＞0，， ，抛物线与y轴的交点在x轴下方，故选项B，C错误， 抛物线的对称轴为，∴， ∴抛物线y=x2+（b-1）x+c的对称轴在y轴的右侧，故选项D错误，故选：A． 3.（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、三、四象限可知，，∴．∴b矛盾．故A错误． B．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧可知，得； 由直线过一、二、四象限可知，，∴．故B正确． C．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过二、三、四象限可知，，∴．故C正确． D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧可知，得； 由直线过一、二、三象限可知， ，∴．故D正确． 4．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴，∴，故A错误； 由图可得，当时，，当时，， ∴，∴，∴，故C错误； 由图可得，当时，，故D错误； ∵，∴当时，，∴，∴，即，故B正确． 5.（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，∴抛物线的对称轴为直线， ∵，∴抛物线开口向下，∴到对称轴的距离越大函数值越小， ∵点，，与对称轴的距离分别为： ，，，∴． 6．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 又当时，随的增大而增大,抛物线开口向上，即，解得． 7．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 【答案】A 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符；由上可得，h的值是6或1． 8．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）对于任意实数，抛物线的顶点一定在（     ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．抛物线上 【答案】B 【详解】解：，∴ 抛物线顶点坐标为 由，得，即顶点在直线上． 9．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同；②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为， ∴两函数图象形状相同，结论①正确； 将代入，得， ∴该函数图象一定经过点，结论②正确； ∵该抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小， ∵的值不确定，∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误； 该函数的顶点坐标为，将代入，得， ∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确；综上，正确结论为①②④． 10．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的式子表示）；(2)点A为抛物线上对称轴左侧的一点，且点A的纵坐标为1，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，若，求a的值； (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值为3，请直接写出n的值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(2)(3)或 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴把，代入得：，解得， ∴抛物线的解析式为；∴抛物线的对称轴为， 把代入得：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵轴，∴点与点A的纵坐标都为1； ∵抛物线的对称轴为直线，∴两点关于直线对称， ∵，∴两点与对称轴的距离为，∴, 把点代入抛物线得：，解得：； （3）解：∵，∴， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，则，解得：，， 当，时，取得最大值，∴，解得或， ∵，∴，∴； 当，时，取得最大值，∴，解得或， ∵，∴， 综上，符合条件的的值为或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 二次函数的图象与性质 1.会用列表、描点、连线的描点法画出二次函数的图象，知道二次函数图象叫做抛物线，识别抛物线的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性。 2.理解参数a、h、k对抛物线y=a(x-h)2+k图象的影响；掌握抛物线平移规律，能由 y=ax2 通过平移得到 y=a(x-h)2+k。 3.会用配方法把y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k；记住顶点坐标公式、对称轴公式，能求一般式抛物线的顶点、对称轴、最值。 4.能根据二次函数表达式或者图象，比较函数值大小，判断增减区间；能根据图象特征反推系数a、b、c的符号。 5.类比一次函数、反比例函数 “表达式 — 画图 — 观察性质” 的研究套路，经历从特殊到一般的探究过程，体会数形结合、转化、类比思想。 6.在图象平移、配方变形中，感受解析式和图形变换之间的对应关系，发展几何直观。 7.感受数形结合的价值，养成看图、识图、用图的习惯；重点发展数学抽象、几何直观、运算能力。 1．二次函数的图象与性质 二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，可类比用描点法（列表、描点、连线）画其图象。 二次函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小； 当x>0时，y的值随x值的增大而增大。 当x<0时，y的值随x值的增大而增大； 当x>0时，y的值随x值的增大而减小。 最值 当x=0时，y有最小值0 当x=0时，y有最大值0 2．二次函数的图象与性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 c>0 c<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 （0，c） 增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小； 当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大； 当x>0时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=0时，y有最小值c 当x=0时，y有最大值c 3．二次函数y=a（x-h）2的图象与性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 h>0 h<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 （h，0） 增减性 当x<h时，y的值随x值的增大而减小； 当x>h时，y的值随x值的增大而增大 当x<h时，y的值随x值的增大而增大； 当x>h时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=h时，y有最小值0 当x=h时，y有最大值0 4．二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 （h，k） 增减性 当x<h时，y的值随x值的增大而减小； 当x>h时，y的值随x值的增大而增大 当x<h时，y的值随x值的增大而增大； 当x>h时，y的值随x值的增大而减小 最值 当x=h时，y有最小值k 当x=h时，y有最大值k 5．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 a的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当x<时， y的值随x值的增大而减小； 在对称轴的右侧，即当x>时， y的值随x值的增大而增大 在对称轴的左侧，即当x<时， y的值随x值的增大而增大； 在对称轴的右侧，即当x>时， y的值随x值的增大而减小 最值 抛物线有最低点， 当时，y有最小值 抛物线有最高点， 当时，y有最大值 题型01 二次函数的图象与性质 【典例】（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 【变式1】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知下列二次函数：①；②；③．其中开口最大的是________（填序号） 【变式2】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）关于抛物线，下列说法中正确的是（     ） A．开口向上 B．图像位于二、四象限 C．有最低点 D．在y轴左侧，图像上升 【变式4】（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）以下有四个函数：①；②；③；④．则当时，随的增大而减小的函数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5】（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式6】（26-27九年级上·成都·期中）当时，二次函数的最大值和最小值分别是_______． 题型02 二次函数的图象与性质 【典例】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【变式1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）抛物线的顶点坐标是______． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）抛物线的对称轴为______． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，都在函数的图像上，则___（填“”或“”）． 【变式4】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）若抛物线（为常数）的开口向下，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【变式5】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）对于二次函数，下列说法中不正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时随的增大而减小 【变式6】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是_____． 题型03 二次函数的图象与性质 【典例】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【变式1】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 【变式2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·广东江门·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【变式4】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，随着的增大而增大，则的取值范围是__________． 【变式5】（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．可以由的图象向左平移2个单位得到 D．当时，随的增大而增大 题型04 二次函数的图象与性质 【典例】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于二次函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为4 D．当时，随的增大而减小 【变式1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线的开口向_____，顶点坐标为_________． 【变式2】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的对称轴是__________． 【变式3】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）函数的图象上，若随的增大而减小，则此时的取值范围为________ 【变式4】（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）函数，当时，函数值的取值范围是______ 【变式5】（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值3 D．顶点坐标是 【变式6】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数的图象上有，，三个点，则，，的大小关系为_________. 题型05 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例】（26-27九年级上·安徽淮南·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的对称轴在轴左侧 B．图象的顶点在轴上方 C．当时，随的增大而增大 D．有最小值是5 【变式1】（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线图像开口向下，则的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线顶点在直线上，则的值为______． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式4】（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线上有三点，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式5】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知抛物线． (1)将化成的形式；(2)写出抛物线的开口方向和增减性． 题型06 多个函数图象的综合判断 【典例】（26-27九年级上·成都·单元复习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式`1】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式`2】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式`3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型07 二次函数的对称性运用 【典例】（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可以是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（为常数）与抛物线（为常数）关于直线对称，则的值为___________． 【变式3】（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 题型08 二次函数图象与各项系数符号 【典例】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【变式2】（26-27九年级上·天津·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【变式3】（26-27九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④当时，该二次函数的最大值与最小值的差为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 题型09 二次函数的最值（含参） 【典例】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知二次函数在时有最小值，则________． 【变式2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，函数值y的最小值为1，则h的值为__________． 【变式3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数，当时，其最大值为4，则m的取值范围是______． 【变式4】（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，的最小值为，则的值为________． 【巩固训练】 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）关于抛物线和的异同点，下列说法中正确的有（） ①有共同的顶点和对称轴；②两抛物线的开口方向相反；③两抛物线关于x轴成轴对称；④两抛物线关于原点中心对称； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）嘉嘉用软件绘制抛物线 时，将“3”按成了“4”，和原图象相比，发生改变的是（     ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 3.（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最小值3 4.（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 5．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）对于抛物线的图象，下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而增大 6.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数的最大值为（     ） A．0 B．3 C．6 D．9 7．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）有下列二次函数：①；②；③，在同一平面直角坐标系中，将它们的图像的开口大小按从大到小的顺序排列为________（填序号）． 9．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的对称轴是________________． 10.（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）已知二次函数，当时，二次函数最大值是___________，最小值是___________． 11.（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标；(2)直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【强化训练】 1.（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 2.（2026·浙江金华·校考二模）如图，一次函数与二次函数的图像相交于、两点，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 5.（26-27九年级上·福建南平·阶段检测）已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 8．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）对于任意实数，抛物线的顶点一定在（     ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．抛物线上 9．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同；②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的式子表示）；(2)点A为抛物线上对称轴左侧的一点，且点A的纵坐标为1，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，若，求a的值； (3)在（2）的条件下，当时，二次函数的最大值为3，请直接写出n的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $